绝对值化简求值及“零点分段法”解绝对值方程
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之阿布丰王创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号,使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键. 1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩,有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解,如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ,再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解,这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去失落绝对值,尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法,是指：若数x,2x,……,n x分别使含有|x－1x|,|x－2x|,……,|x－n x|的代数式中相应绝对值为零,称1x,2x,……,n x为相应绝对值的零点,零点1x,2x,……,n x将数轴分1为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,获得代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项即是零,获得的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于-+->或||||-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b mx a x b m||||ax b cx d m+++>(或<m),当|a|≠|c|时一般不用.||||二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常呈现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部份的正负,借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号,这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出,这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清：1．零点的左边都是负数,右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜,牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采纳零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不竭变动的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：,把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时,,∴原式③那时,,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来,获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件,以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中,如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题.那么,如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样界说的,“在数轴上,暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解,数a的绝对值所暗示的是一段距离,那么,不论数a自己是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知,一个正数的绝对值肯定是它的自己,一个负数的绝对值肯定是它的相反数,零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用,二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质,判断出a 的3种情况,便能快速去失落绝对值符号.当a>0时,︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时,︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时,︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b 的3种情况,根据绝对值的3个性质,去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小,所以当a>b时,︱a-b︱=（a-b）= a-b,︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小,还是小减年夜,去失落绝对值,都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简,更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边（不论正负）,即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b,︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单,去失落绝对值符号的同时,不要忘记打括号.前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比力,年夜于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知,化简的结果是 x-8 .(4) 已知,化简的结果是 -x+8 .(5) 已知,化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且,那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若,则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数,下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D）有无穷多个x使y取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看,a 暗示数a 的点到原点的距离(长度,非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=,则x y z --=.总结：若干非负数之和为0,.（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a ,且a b b a -=-,那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1,则m_______1; 若|m －1|>m －1,则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题：我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式21-++x x 时,可令01=+x 和02=-x ,分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内,零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x ,原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x ,原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x ,原式=1221-=-++x x x .综上讨论,原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读,请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a ,23+--x x 的最年夜值为b ,求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x ,点B 暗示的数为―1,则A 与B两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为,取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数,试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时,3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时,25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ,设421--++++=x y y y x M ,求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数,则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a ,1,一l,那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++,可以看出,这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和,它暗示两条线段相加：⑴那时x >,发现,这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <,发现,这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤,发现,无论x 在这个范围取何值,这两条线段的和是一个定值,且比⑴、⑵情况下的值都小.因此,总结,23x x -++有最小值,即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--,这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑵那时x ≥,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑶那时x <<,随着x 增年夜,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零. 因此,总结,式子71x x +--那时x ,有最年夜值；那时x ,有最小值；9．设0=++c b a ,0>abc ,则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x ,则=+-x 11；若a a -=,则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,而且c b a ≤≤,则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时,5-12-b 有最年夜值,最年夜值是_______当a 为_____时,1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时,3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时,1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数,且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1,求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数,求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=,求x 的取值范围.。
实用文档之绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
实用文档之"绝对值大全（零点分段法、化简、最值）"一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析
数学篇解题指南绝对值在化简求值问题、解方程或不等式问题中都会涉及.解答含绝对值问题的关键就在于去掉绝对值符号.一般遵循的原则是：先判断绝对值符号中式子的正负，再根据法则去掉绝对值符号.单个绝对值的问题一般比较简单，但是有的题目会同时出现多个绝对值或多重绝对值，这样就使题目变得复杂了.下面介绍几类有关绝对值的化简求值问题，供大家参考.一、含单个绝对值问题一个题目中只含有一个绝对值是最基础的题目，此时只需考虑去绝对值符号的条件，即对于任意数|a |：（1）当a >0时，|a |=a ；（2）当a =0时|a |=0；（3）当a <0时；|a |=-a .同学们在解题时应根据题设条件或挖掘隐含条件，确定绝对值符号里代数式的正负.若题目对含绝对值代数式的字母没有限制条件，须运用分类讨论的方法来解答.例1若|x |=3，|y |=2，且|x -y |=y -x ，求x +y 的值.分析：此题中|x |=3，可知x =±3；|y |=2可知y =±2.由题中|x -y |=y -x 可知y ≥x .由此可以推断，当y =2时，x 可以为±3，此时x +y =-1或5；当y =-2时，x 只能为-3，此时x +y =-5.最后综合所有情况即可得解.解：∵|x |=3，∴x =±3；同理可得y =±2，∵|x -y |=y -x ，∴y ≥x ，①当y =2时，x =-3，x +y =-1.②当y =-2时，x =-3，则x +y =-5.综合①②得x +y 的值可能是-1、-5.评注：求解此题是利用|x -y |≥0挖掘了隐含条件y ≥x ，然后确定x 和y 的可能值，简化了分类讨论的种类.同学们在求解过程中一定要仔细观察，充分挖掘题目中的隐含条件.二、含多个绝对值问题有些含有绝对值的题目中往往不止一个含绝对值的代数式，可能是两个、三个甚至是更多个含绝对值的代数式，通过“+”“-”“×”“÷”等运算符号连接.此时，去绝对值符号就需要先找出每个绝对值的零点值，再把全体实数分段，然后在每一实数段中化去绝对值符号，最后分类讨论去绝对值的结果.例2化简：|3x +1|+|2x -1|.分析：此题含有两个绝对值，要想去绝对绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析盐城市新洋初级中学聂玉成19数学篇值符号就要将绝对值符号内的数或式与“0”比较，然后逐个去掉绝对值符号.令3x +1=0得x =-13，同理，令2x -1=0得x =12.所以，当x 取不同的值时，两个绝对值的正负是不同的，需要分类讨论来解答.x 的取值分布如图所示：---解：令3x +1=0，得x =-13，令2x -1=0，得x =12，所以，实数轴被-13和12分为如图所示的三个部分.当x <-13时，3x +1<0，且2x -1<0，则原式=-（3x +1）+[-（2x -1）]=-5x ；当-13≤x ≤12时，3x +1≥0，且2x -1≤0，则原式=（3x +1）+[-（2x -1）]=x +2；当x >12时，3x +1>0，且2x -1>0，则原式=（3x +1）+（2x -1）=5x ；综上所述，当x <-13，原式=-5x ；当-13≤x ≤12，原式=x +2；当x >12，原式=5x .评注：此题含有两个绝对值，即含有两个零点（x =-13和x =12），在去绝对值符号时需要借助“分类讨论思想”分情况解答.特别是第二种情况，去绝对值符号时两个代数式是一正一负，务必要注意符号问题.三、含多重绝对值问题有些较为复杂的问题中含有多重绝对值符号，即绝对值符号中还有绝对值符号，我们称这种形式为多重绝对值.在求解多重绝对来解答问题.例3已知x <-3，化简：|3+|2-|1+x |||.分析：这是一个含有多重绝对值符号的问题，在求解时需要根据“由内而外”的原则逐层去绝对值.首先根据x 的范围判断出1+x <0，所以最里层绝对值|1+x |=-（1+x ）.第二层|2-|1+x ||可以转化为|2-[-（1+x ）]|=|3+x |.因为x <-3，所以3+x <0，即|2-|1+x ||=-（3+x ）.最外层|3+|2-|1+x |||可转化为|3+[-（3+x ）]|=|-x |.这样根据x 的取值范围一步步利用绝对值的代数意义即可化简.解：①最内层：∵x <-3，∴1+x <-2<0，∴|1+x |=-（1+x ），②第二层：|2-|1+x ||=|2-[-（1+x ）]|=|2+（1+x ）|=|3+x |,∵x <-3，∴3+x <0，∴|3+x |=-（3+x ），∴|2-|1+x ||=-（3+x ），③最外层：|3+|2-|1+x |||=|3+[-（3+x ）]|=|-x |，∵x <-3，∴-x >3>0，∴|-x |=-x ，∴|3+|2-|1+x |||=-x ，综合①②③可得|3+|2-|1+x |||化简后为-x .评注：此题数值比较简单，但含有多重绝对值符号.在去绝对值符号时要由内而外逐层将3个层次的绝对值符号内部的数或式同“0”作比较，大于等于“0”的直接去绝对值；小于“0”的一定要添加“-”.绝对值是中学数学中的一个重要概念，常与其他知识结合起来考查.同学们只要牢牢掌握去绝对值的基本方法，结合“由内而解题指南。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
初一数学绝对值化简与零点分段法(含详细解答)
初一数学绝对值与零点分段【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．【例4】化简：3x-【例5】化简：3121x x ++-．【例6】求21++-x x 的最小值。
【例7】求代数式111213x x x ++-++的最小值．【例8】如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．【例9】若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．【例10】将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．课后练习：【练习1】⑴已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--⑵如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值与c 无关.【练习2】化简：⑴1x -；⑵5x +；⑶523x x ++-【练习3】若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．【练习4】利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x =．利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值．52x x ++-的最小值为．214x x x ++-+-的最小值．7326x x x x ++++-+-的最小值．归纳：若1221n a a a +<<< ，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++- 取得最小值．若122n a a a <<< ，当x 满足时，122n x a x a x a -+-++- 取得最小值．初一绝对值与零点分段（详细解答）【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a++-+--()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =．所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．解：原式=)1996()2()()1997()3()1x x x x x x --⋅⋅⋅------+⋅⋅⋅+-+-（)1996()2(199731-+⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x 999)19961997()45()231=-⋅⋅⋅+-+-+=（【例4】化简：3x-解；原式=⎩⎨⎧≥-<-)3(,33,3x x x x ）（【例5】化简：3121x x ++-．解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=．即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤当≥时评注解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．【例6】求21++-x x 的最小值。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
千万于值大齐（整面分段法、化简、最值）之阳早格格创做一、去千万于值标记的几种时常使用要领解含千万于值不等式的基础思路是去掉千万于值标记，使不等式形成不含千万于值标记的普遍不等式，而后，其解法与普遍不等式的解法相共.果此掌握去掉千万于值标记的要领战道路是解题闭键.1利用定义法去掉千万于值标记根据真数含千万于值的意思，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的本量去掉千万于值标记利用不等式的本量转移|x |<c 大概|x |>c (c >0)去解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 大概ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此供出本不等式的解集.对付于含千万于值的单背不等式应化为不等式组供解，也可利用论断“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 大概－b ≤x ≤－a ”去供解，那是种典型的转移与化归的数教思维要领.3利用仄要领去掉千万于值标记对付于二边皆含有“单项”千万于值的不等式，利用|x|2=2x可正在二边脱去千万于值标记去解，那样解题要比按千万于值定义去计划脱去千万于值标记解题更为简便，解题时还要注意不等式二边变量与参变量的与值范畴，如果不精确不等式二边均为非背数，需要举止分类计划，惟有不等式二边均为非背数(式)时，才不妨曲交用二边仄圆去掉千万于值，更加是解含参数不等式时更必须注意那一面.4利用整面分段法去掉千万于值标记所谓整面分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含1有|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相映千万于值为1整，称x，2x，……，n x为相映千万于值的整面，整面1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用千万于值的意思化去千2万于值标记，得到代数式正在各段上的简化式，进而化为不含千万于值标记的普遍不等式去解，即令每项等于整，得到的值动做计划的分区面，而后再分区间计划千万于值不等式，末尾应供出解集的并集.整面分段法是解含千万于值标记的不等式的时常使用解法，那种要领主要体现了化归、分类计划等数教思维要领，它不妨把供解条理化、思路曲瞅化.5利用数形分离去掉千万于值标记解千万于值不等式偶尔要利用数形分离，利用千万于值的几许意思绘出数轴，将千万于值转移为数轴上二面间的距离供解.数形分离法较为局里、曲瞅，不妨使搀纯问题简朴化，此解法适用于||||x a x b m-+-<(m为仄常-+->大概||||x a x b m数)典型不等式.对付||||+++>(大概<m)，当|a|≠|c|时普遍ax b cx d m不必.二、怎么样化简千万于值千万于值的知识是初中代数的要害真量，正在中考战百般竞赛中时常出现，含有千万于值标记的数教问题又是教死逢到的易面之一，办理那类问题的要领常常是利用千万于值的意思，将千万于值标记化去，将问题转移为不含千万于值标记的问题，决定千万于值标记里里分的正背，借以去掉千万于值标记的要领大概有三种典型.（一）、根据题设条件例1：设化简的截止是（）.（A）（B）（C）（D）思路分解：由可知可化去第一层千万于值标记，第二次千万于值标记待合并整治后再用共样要领化去．解：∴应选（B）．归纳面评只消了解千万于值将合内的代数式是正是背大概是整，便能根据千万于值意思成功去掉千万于值标记，那是解问那类问题的惯例思路．（二）、借帮数轴例2：真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分解由数轴上简单瞅出，那便为去掉千万于值标记扫浑了障碍．解：本式∴应选（C）．归纳面评那类题型是把已知条件标正在数轴上，借帮数轴提供的疑息让人去瞅察，一定弄浑：1．整面的左边皆是背数，左边皆是正数．2．左边面表示的数总大于左边面表示的数．3．离本面近的面的千万于值较大，牢记那几个重心便能从容自如天办理问题了．（三）、采与整面分段计划法例3：化简思路分解本典型的题既不条件节造，又不数轴疑息，要对付百般情况分类计划，可采与整面分段计划法，本例的易面正在于的正背不克不迭决定，由于x是不竭变更的，所以它们为正、为背、为整皆有大概，应当对付百般情况—一计划．解：令得整面：；令得整面：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴本式②当时，，∴本式③当时，，∴本式∴归纳面评：虽然的正背不克不迭决定，但是正在某个简曲的区段内皆是决定的，那正是整面分段计划法的便宜，采与此法的普遍步调是：1．供整面：分别令各千万于值标记内的代数式为整，供出整面（纷歧定是二个）．2．分段：根据第一步供出的整面，将数轴上的面区分为若搞个区段，使正在各区段内每个千万于值标记内的部分的正背不妨决定．3．正在各区段内分别观察问题．4．将各区段内的情形概括起去，得到问题的问案．误区面拨千万不要念天然天把等皆当成正数大概无根据天减少一些附加条件，免得得堕落误的截止．三、戴千万于值标记的运算正在初中数教教教中，怎么样去掉千万于值标记？果为那一问题瞅似简朴，所往常往简单被人们轻视.本去它既是初中数教教教的一个沉面，也是初中数教教教的一个易面，仍旧教死简单搞错的问题.那么，怎么样去掉千万于值标记呢？尔认为应从以下几个圆里收端：（一）、要明白数a的千万于值的定义.正在中教数教教科书籍中，数a的千万于值是那样定义的，“正在数轴上，表示数a的面到本面的距离喊搞数a的千万于值.”教习那个定义应让教死明白，数a的千万于值所表示的是一段距离，那么，不管数a自己是正数仍旧背数，它的千万于值皆该当是一个非背数.（二）、要弄领会何如去供数a的千万于值.从数a的千万于值的定义可知，一个正数的千万于值肯定是它的自己，一个背数的千万于值肯定是它的好异数，整的千万于值便是整.正在那里要让教死沉面明白的是，当a是一个背数时，何如去表示a的好异数（可表示为“-a”），以及千万于值标记的单沉效率（一利害背的效率，二是括号的效率）.（三）、掌握初中数教罕睹去掉千万于值标记的几种题型.1、对付于形如︱a︱的一类问题只消根据千万于值的3个本量，推断出a的3种情况，便能赶快去掉千万于值标记.当a>0时，︱a︱=a (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a=0 时，︱a︱=0 (本量 2：0的千万于值是0) ；当 a<0 时；︱a ︱=–a (本量3：背数的千万于值是它的好异数) .2、对付于形如︱a+b︱的一类问题最先要把a+b瞅做是一个完齐，再推断a+b的3种情况，根据千万于值的3个本量，便能赶快去掉千万于值标记举止化简.当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (本量1：正数的千万于值是它自己)；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (本量 2：0的千万于值是0)；当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (本量3：背数的千万于值是它的好异数).3、对付于形如︱a-b︱的一类问题共样，仍旧要把a-b瞅做一个完齐，推断出a-b 的3种情况，根据千万于值的3个本量，去掉千万于值标记举止化简.但是正在去括号时最简单出现过得.怎么样赶快去掉千万于值标记，条件非常简朴，只消您能推断出a与b的大小即可（不管正背）.果为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b 时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b .心诀：无论是大减小，仍旧小减大，去掉千万于值，皆是大减小.4、对付于数轴型的一类问题，根据3的心诀去化简，更快速灵验.如︱a-b︱的一类问题，只消推断出a正在b的左边（不管正背），即可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对付于千万于值标记前有正、背号的运算非常简朴，去掉千万于值标记的共时，不要记记挨括号.前里是正号的无所谓，如果是背号，记记挨括号便惨了，好之毫厘得之千里也！6、对付于千万于值号里有三个数大概者三个以上数的运算万变不离其宗，仍旧把千万于值号里的式子瞅成一个完齐，把它与0比较，大于0曲交去千万于值号，小于0的完齐前里加背号.四、去千万于值化简博题训练（1）设化简的截止是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 真数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则代数式的值等于（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知，化简的截止是 x-8 .(4) 已知，化简的截止是 -x+8 .(5) 已知，化简的截止是 -3x .(6) 已知a、b、c、d谦脚且，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借帮数轴完毕）(7) 若，则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c正在数轴上的位子如图所示，则式子化简截止为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b正在数轴上的对付应面如图所示，那么下列四个式子，中背数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是真数，下列四个论断中精确的是（ D ）.（A）y不最小值（B）有有限多个x使y与到最小值（C）惟有一个x使y博得最小值（D）有无贫多个x使y博得最小值五、千万于值培劣教案千万于值是初中代数中的一个基础观念，是教习好异数、有理数运算及后绝二次根式的前提．千万于值又是初中代数中的一个要害观念，正在解代数式化简供值、解圆程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广大的应用，周到明白、掌握千万于值那一观念，应从以下圆里人脚：l ．千万于值的代数意思：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．千万于值的几许意思从数轴上瞅，a 表示数a 的面到本面的距离(少度，非背) ；b a -表示数a 、数b 的二面间的距离．3．千万于值基赋本量①非背性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培劣道解（一）、千万于值的非背性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --=.归纳：若搞非背数之战为0，.（二）、千万于值中的完齐思维【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、千万于值相闭化简问题（整面分段法）【例3】阅读下列资料并办理有闭问题：咱们了解()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，当前咱们不妨用那一个论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 战02=-x ，分别供得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的整面值）.正在有理数范畴内，整面值1-=x 战2=x 可将部分有理数分成不沉复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，本式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，本式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，本式=1221-=-++x x x .综上计划，本式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请您办理以下问题：（1） 分别供出2+x 战4-x 的整面值；（2）化简代数式42-++x x 变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；变式2.已知2--xx的最大值为b，3+x的最小值是a，23++-x供ba+的值.（四）、ba-表示数轴上表示数a、数b的二面间的距离．【例4】（距离问题）瞅察下列每对付数正在数轴上的对付应面间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回问下列各题：（1）您能创造所得距离与那二个数的好的千万于值有什么闭系吗？问：___.（2）若数轴上的面A表示的数为x，面B表示的数为―1，则A与B二面间的距离不妨表示为 ______________.（3）分离数轴供得23-++的最小值为，博得最小值时x的x x与值范畴为 ___.（4）谦脚3+x的x的与值范畴为 ______ .+x41>+（5）若1232008-+-+-++-的值为常数，试供x的与值范x x x x畴．（五）、千万于值的最值问题【例5】（1）当x与何值时，3-x有最小值？那个最小值是几？（2）当x与何值时，2-x有最大值？那个最大值是5+几？（3）供54-+-x x 的最小值.（4）供987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，供M 的最大值与最小值．课后训练：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为好异数，供321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为好异数，则a 与b 的大小闭系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三面A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 二面的距离 B ．A 、C 二面的距离C ．A 、B 二面到本面的距离之战D ． A 、C 二面到本面的距离之战4.利用数轴分解23x x -++，不妨瞅出，那个式子表示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之战，它表示二条线段相加：⑴当x >时，创造，那二条线段的战随x 的删大而越去越大；⑵当x <时，创造，那二条线段的战随x 的减小而越去越大；⑶当x ≤≤时，创造，无论x 正在那个范畴与何值，那二条线段的战是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值皆小.果此，归纳，23x x -++有最小值，即等于到的距离5. 利用数轴分解71x x +--，那个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之好它表示二条线段相减：⑴当x ≤时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑵当x ≥时，创造，无论x 与何值，那个好值是一个定值；⑶当x <<时，随着x 删大，那个好值徐徐由背变正，正在中面处是整. 果此，归纳，式子71x x +--当x 时，有最大值；当x 时，有最小值；9．设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3大概-1D ．-3大概110．若2-<x ，则=+-x 11；若a a -=，则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位战个位数字，而且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-大概博得的最大值是．4、当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.2、已知b 为正整数，且a 、b 谦脚| 2a －4|＋b ＝1，供a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，供x 的与值范畴.7、若|5||2|7x x ++-=，供x 的与值范畴.。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)之欧阳美创编
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含有1|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为1零，称x，2x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对2值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之欧侯瑞魂创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号, 使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式, 而后, 其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键.1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义, 即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩, 有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解, 如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c , 再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解, 也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解, 这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式, 利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解, 这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷, 解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围, 如果没有明确不等式两边均为非负数, 需要进行分类讨论, 只有不等式两边均为非负数(式)时, 才可以直接用两边平方去失落绝对值, 尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法, 是指：若数x, 2x, ……, n x分别使含有1|x－x|, |x－2x|, ……, |x－n x|的代数式中相应绝对值为零, 1称x, 2x, ……, n x为相应绝对值的零点, 零点1x, 2x, ……, n x 1将数轴分为m+1段, 利用绝对值的意义化去绝对值符号, 获得代数式在各段上的简化式, 从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解, 即令每项即是零, 获得的值作为讨论的分区点, 然后再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法, 这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法, 它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合, 利用绝对值的几何意义画出数轴, 将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观, 可以使复杂问题简单化, 此解法适用于-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b m||||-+->或||||x a x b m+++>(或<m), 当|a|≠|c|时一般不用.||||ax b cx d m二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容, 在中考和各类竞赛中经常呈现, 含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一, 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义, 将绝对值符号化去, 将问题转化为不含绝对值符号的问题, 确定绝对值符号内部份的正负, 借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号, 第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零, 就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号, 这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出, 这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上, 借助数轴提供的信息让人去观察, 一定弄清：1．零点的左边都是负数, 右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜, 牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制, 又没有数轴信息, 要对各种情况分类讨论, 可采纳零点分段讨论法, 本例的难点在于的正负不能确定, 由于x是不竭变动的, 所以它们为正、为负、为零都有可能, 应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：, 把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时, ,∴原式③那时, ,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定, 但在某个具体的区段内都是确定的, 这正是零点分段讨论法的优点, 采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零, 求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点, 将数轴上的点划分为若干个区段, 使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来, 获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件, 以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中, 如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单, 所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点, 也是初中数学教学的一个难点, 还是学生容易搞错的问题.那么, 如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中, 数a的绝对值是这样界说的, “在数轴上, 暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解, 数a的绝对值所暗示的是一段距离, 那么, 不论数a自己是正数还是负数, 它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知, 一个正数的绝对值肯定是它的自己, 一个负数的绝对值肯定是它的相反数, 零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是, 当a是一个负数时, 怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）, 以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用, 二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质, 判断出a的3种情况, 便能快速去失落绝对值符号.当a>0时, ︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时, ︱a︱=0(性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体, 再判断a+b的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时, ︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时, ︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时, ︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样, 仍然要把a-b看作一个整体, 判断出a-b 的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号, 条件非常简单, 只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小, 所以当a>b时, ︱a-b︱=（a-b）= a-b, ︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小, 还是小减年夜, 去失落绝对值, 都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简, 更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题, 只要判断出a在b的右边（不论正负）, 即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b, ︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单, 去失落绝对值符号的同时, 不要忘记打括号.前面是正号的无所谓, 如果是负号, 忘记打括号就惨了, 差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗, 还是把绝对值号里的式子看成一个整体, 把它与0比力, 年夜于0直接去绝对值号, 小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知, 化简的结果是 x-8 .(4) 已知, 化简的结果是 -x+8 .(5) 已知, 化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且, 那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若, 则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示, 那么下列四个式子, 中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数, 下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念, 是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念, 在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用, 全面理解、掌握绝对值这一概念, 应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看, a 暗示数a 的点到原点的距离(长度, 非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=, 则x y z --=.总结：若干非负数之和为0, .（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a , 且a b b a -=-, 那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1, 则m_______1; 若|m －1|>m －1, 则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x , 现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式21-++x x 时, 可令01=+x 和02=-x , 分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内, 零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x , 原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x , 原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x , 原式=1221-=-++x x x .综上讨论, 原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读, 请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a , 23+--x x 的最年夜值为b , 求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-, 3与5, 2-与6-, 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x , 点B 暗示的数为―1, 则A与B 两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为, 取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数, 试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时, 3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时, 25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x , 设421--++++=x y y y x M , 求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数, 求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数, 则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a , 1, 一l, 那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++, 可以看出, 这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和, 它暗示两条线段相加：⑴那时x >, 发现, 这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <, 发现, 这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤, 发现, 无论x 在这个范围取何值, 这两条线段的和是一个定值, 且比⑴、⑵情况下的值都小.因此, 总结, 23x x -++有最小值, 即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--, 这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑵那时x ≥, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑶那时x <<, 随着x 增年夜, 这个差值渐渐由负变正, 在中点处是零.因此, 总结, 式子71x x +--那时x , 有最年夜值；那时x , 有最小值；9．设0=++c b a , 0>abc , 则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x , 则=+-x 11；若a a -=, 则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字, 而且c b a ≤≤, 则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是_______当a 为_____时, 1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时, 3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时, 1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数, 且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1, 求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数, 求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=, 求x 的取值范围.。