离散数学-最小生成树
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学(图与树(2))
无向树的定义及其性质
(5)=>(6).首先证明G是连通图.否则,设G1,G2是G的两 个连通分支.v1和v2分别是G1与G2中的一个顶点. 在G 中加边(v1,v2)不形成回路,这与已知条件矛盾.若G中存 在边e=(u,v),G-e仍连通.说明在G-e中存在u到v的通 路. 此通路与e构成G中回路,这与G中无回路矛盾. (6)=>(1).只需证明G中无回路.若G中含回路C.在C上 删除一边e后,G-e连通,这与(6)中条件矛盾. • 除了由定理6.1.1.给出的树的充分必要条件外,树还有 下述重要的必要条件. 定理6.1.2 设T=<V,E>是非平凡的无向树,则T至少有两 片树叶. 证明: 设T是非平凡树,有n个顶点m条边.由树的定义易知, 非平凡的树中,每个顶点的度数均大于等于1.设G中有k
无向树的定义及其性质
所得6棵非同构的树如图所示:
(2)画出所有非同构的无向树不是件易事,但当n较小时 还是不难画出的. 本题是7阶非同构无向树度数分配方 案中的一种,它有3个2度顶点,1个3度顶点,3个1度顶点, 3度顶点与1个2度顶点相邻;与2个2度顶点相邻;与3个2 度顶点相邻,所得3棵树显然非同构, 所以共有3棵非同 构的树:
生成树与基本回路和基本割集
树枝.称这样的回路为基本回路.定义如下： 定义6.1.3 设G是m条边的n阶连通图,T是G的一棵生成树, T的m-n+1条弦为e1,e2,…,em-n+1.G中仅含T的一条弦 er(1 ≤r≤m-n+1)的回路Cr称作对应弦er的基本回路.{C1,C2, …,Cm-n+1}称作对应生成树T的基本回路系统. • 在例6.1.3中,树②对应弦e1的基本回路是e1e4e2e3;对 应弦e6的基本回路是e6e4e5. 基本回路系统 为:{e1e4e2e3, e6e4e5}. 树③的基本回路系统是{e3e1e4e2, e6e4e5}. • 一般,G的不同生成树的基本回路可能不同,但基本回路 的个数是相同的,都等于m-n+1. • 再看例6.1.3图②,{e5,e6},{e4,e1,e6},{e2,e1},{e3,e1}
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学上机实验指导
离散数学上机实验指导徐凤生如果你需要索取源程序，请发邮件至xfs@。
实验11实验内容（1）求任意一个命题公式的真值表。
（2）利用真值表求任意一个命题公式的主范式。
（3）利用真值表进行逻辑推理。
注：（2）和（3）可在（1）的基础上完成。
2实验目的真值表是命题逻辑中的一个十分重要的概念，利用它几乎可以解决命题逻辑中的所有问题。
例如，利用命题公式的真值表，可以判断命题公式的类型、求命题公式的主范式、判断两命题公式是否等价，还可以进行推理等。
本实验通过编写一个程序，让计算机给出命题公式的真值表，并在此基础上进行命题公式类型的判定、求命题公式的主范式等。
目的是让学生更加深刻地理解真值表的概念，并掌握真值表的求解方法及其在解决命题逻辑中其他问题中的应用。
3算法的主要思想利用计算机求命题公式真值表的关键是：①给出命题变元的每一组赋值；②计算命题公式在每一组赋值下的真值。
真值表中命题变元的取值具有如下规律：每列中0和1是交替出现的，且0和1连续出现的个数相同。
n个命题变元的每组赋值的生成算法可基于这种思想。
含有n个命题变元的命题公式的真值的计算采用的方法为“算符优先法”。
为了程序实现的方便，约定命题变元只用一个字母表示，非、合取、析取、条件和双条件联结词分别用！、&、|、－、＋来表示。
算符之间的优先关系如表1-32所示：为实现算符优先算法，另一个称作OPND，用以寄存操作数或运算结果。
算法的基本思想是：（1）首先设置操作数栈为空栈，符号“@”为运算符的栈底元素；（2）调用函数Divi（exp，myopnd）得到命题公式包含的命题变元序列myopnd（按字典序排列，同一个命题变元只出现一次）；（3）依次读入命题公式中的每个字符，若是命题变元则其对应的赋值进OPND栈，若是运算符，则和OPTR栈的栈顶运算符比较后作相应操作，直至整个命题公式求值完毕。
实验21实验内容（1）求任意两个集合的交集、并集、差集。
（2）求任意一个集合的幂集。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
离散数学实验报告
离散数学实验报告姓名：学号：班级：实验地点：实验时间：1实验目的和要求运用最小生成树思想和求最小生成树程序解决实际问题。
实际问题描述如下：八口海上油井相互间距离如下表，其中1号井离海岸最近，为5km。
问从海岸经1号井铺设油管把各井连接起来，怎样连油管长度最短（为便于检修，油管只准在油井处分叉）？2实验环境和工具实验环境：Windows 7 旗舰版工具：Dev-C++ 5.8.33实验过程3.1算法流程图3.2程序核心代码//油管铺设问题 Prim算法实现#include <iostream>#include<iomanip>using namespace std;#define MAXV 10#define INF 32767 //INF表示∞typedef int InfoType;typedef struct{int no; //顶点编号InfoType info; //顶点其他信息} VertexType; //顶点类型typedef struct{ //图的定义float edges[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵int vexnum; //顶点数VertexType vexs[MAXV]; //存放顶点信息} MGraph; //图的邻接矩阵类型/*输出邻接矩阵g*/void DispMat(MGraph g){int i,j;for (j=0;j<g.vexnum;j++)if (g.edges[i][j]==INF)cout<<setw(6)<<"∞";elsecout<<setw(6)<<g.edges[i][j];cout<<endl;}}void prim(MGraph g,int v){ //从顶点V0出发，按Prim算法构造G的最小生成树//输出最小生成树的每条边及其权值float Vlength[MAXV];int i, j, k;int cloest[MAXV];float min;float sum = 0.0;for(i=0;i<g.vexnum;i++){Vlength[i]=g.edges[v][i];cloest[i]=v;}min=INF; //min为其中最大的一条边=MAXVfor(j=0;j<g.vexnum;j++){ //找n-1条边if(Vlength[j]!=0&&Vlength[j]<min){min=Vlength[j];k=j;}}cout<<"连接油井<"<<cloest[k]+1<<","<<k+1<<">"<<"长度为:"<<min<<endl;sum+=min;Vlength[k]=0;Vlength[cloest[k]]=0;for(j=0;j<g.vexnum;j++){ //选择当前代价最小的边if(g.edges[k][j]!=0&&g.edges[k][j]<Vlength[j]){ Vlength[j]=g.edges[k][j];cloest[j]=k;}}}cout<<"管道总长度为："<<sum<<endl;}int main(){int i,j,u=3;MGraph g;float A[MAXV][10];g.vexnum=8;for (i=0;i<g.vexnum;i++)for (j=0;j<g.vexnum;j++)A[i][j]=INF;A[0][1]=1.3; A[0][2]=2.1; A[0][3]=0.9;A[0][4]=0.7; A[0][5]=1.8; A[0][6]=2.0;A[0][7]=1.8; A[1][2]=0.9; A[1][3]=1.8;A[1][4]=1.2; A[1][5]=2.8; A[1][6]=2.3;A[1][7]=1.1; A[2][3]=2.6; A[2][4]=1.7;A[2][5]=2.5; A[2][6]=1.9; A[2][7]=1.0;A[3][4]=0.7; A[3][5]=1.6; A[3][6]=1.5;A[3][7]=0.9; A[4][5]=0.9; A[4][6]=1.1;A[4][7]=0.8; A[5][6]=0.6; A[5][7]=1.0;A[6][7]=0.5;for (i=0;i<g.vexnum;i++)for (j=0;j<g.vexnum;j++)A[j][i]=A[i][j];for (i=0;i<g.vexnum;i++) /*建立图的邻接矩阵*/ for (j=0;j<g.vexnum;j++)g.edges[i][j]=A[i][j];cout<<endl;cout<<"各油井间距离:\n";DispMat(g);cout<<endl;cout<<"最优铺设方案:\n";prim(g,0);cout<<endl;return 0;}3.3运行结果3.4运行结果分析程序实现了输出需要铺设管道的油井编号，并给出了每条管道长度以及总长度，基本实现了题目要求。
离散数学大作业——编程实现最小生成树
离散数学大作业——编程实现最小生成树学院：电子工程学院班级：021051学号：*********名：***一、最小生成树概念：设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。
E中每条边(v,w)的权为c[v,w]。
所有生成树G’上各边权的总和最小的生成树称为G的最小生成树。
二、prim算法（贪心思想）设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
1.把v0放入U。
2.在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
3.把2找到的边的v加入U集合。
如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行2其算法的时间复杂度为O(n^2)三、程序源代码# include<stdio.h># include<malloc.h># define m 6# define n 11 typedef struct {int i,tag;char s;}vertice;typedef struct {int a,b,tag;int weight;}edge;vertice v[m];edge e[n];void inititate();void sort();void chuli();int biaoji( edge *s); void print();void main() {inititate();sort();chuli();print();}void inititate() {int i;printf("输入图的%d个顶点:\n",m);for(i=0;i<m;i++) {v[i].i=i+1;v[i].tag=0;scanf("%c",&v[i].s);getchar();}printf("\n输入%d条边的两端顶点及权：\n",n);for(i=0;i<n;i++) {scanf("%d %d %d",&e[i].a,&e[i].b,&e[i].weight);e[i].tag=0;}}int biaoji( edge *s) {int i,j;i=s->a;j=s->b;if(v[i].tag==0 || v[j].tag==0) {v[i].tag=1;v[i].tag=1;s->tag=1;return 1;}return 0;}void print() {int i,j=0;printf("\n最小生成树的边为：\n");for(i=0;i<n&&j<m-1;i++)if(e[i].tag==1) {printf("<%d-%d> ",e[i].a,e[i].b);j++;}printf("\n\n");}void sort() {edge s;int i,j;for(i=0;i<n-1;i++) {for(j=i+1;j<n;j++) {if(e[i].weight>e[j].weight) {s=e[i];e[i]=e[j];e[j]=s;}}}}void chuli() {int i,j=0;edge *s;for(i=0;i<n&&j<m;i++) {s=&e[i];if(biaoji(s)==1)j++;}}四、实验结果输入图的6个顶点:1 2 3 4 5 6输入11条边的权及两端顶点：1 2 11 4 61 6 91 3 112 3 22 4 33 5 83 6 74 5 104 6 45 6 5最小生成树的边为：<1-2> <2-3> <2-4> <4-6> <5-6> Press any key to continue。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验五实验名称：得到最小生成树实验目的：1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
2.掌握图论中的最小生成树及Prim 和 Kruskal 算法等，进一步能用它们来解决实际问题。
实验内容：输入一个图的权矩阵，得到该图的生成树，用Kruskal算法的最小生成树，用Prim算法的最小生成树。
Kruskal算法假设T中的边和顶点均涂成红色，其余边为白色。
开始时G中的边均为白色。
1）将所有顶点涂成红色；2）在白色边中，挑选一条权最小的边，使其与红色边不形成圈，将该白色边涂红；3）重复2）直到有n-1条红色边，这n-1条红色边便构成最小生成树T的边集合。
Prim算法假设V是图中顶点的集合,E是图中边的集合,TE为最小生成树中的边的集合,则prim算法通过以下步骤可以得到最小生成树:1)初始化:U={u 0},TE={f}。
此步骤设立一个只有结点u 0的结点集U和一个空的边集TE作为最小生成树的初始形态,在随后的算法执行中,这个形态会不断的发生变化,直到得到最小生成树为止。
2)在所有u∈U,v∈V－U的边(u,v)∈E中,找一条权最小的边(u 0,v 0)，将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。
此步骤的功能是在边集E中找一条边,要求这条边满足以下条件:首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U 中,其次边的权要最小。
找到这条边以后,把这条边放到边集TE中,并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。
这一步骤在算法中应执行多次,每执行一次,集合TE和U都将发生变化,分别增加一条边和一个顶点,因此,TE和U是两个动态的集合,这一点在理解算法时要密切注意。
3)如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。
可以把本步骤看成循环终止条件。
我们可以算出当U=V时,步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),TE中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。
附：程序源代码：#include<iostream.h>#include<string.h>main(){system("color 9c");cout<<"请输入图的点数：\n";int n;cin>>n;char c1='a';cout<<"系统自动生成点为：\n";int i,j,k;cout<<c1;for(i=1;i<n;i++)cout<<","<<(char)(c1+i);int a[n][n];cout<<"\n请输入图的权矩阵：\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>a[i][j];cout<<"\n\n此图的邻接矩阵为：\n ";for(i=0;i<n;i++)cout<<(char)(c1+i)<<" ";cout<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<(char)(c1+i)<<" ";for(j=0;j<n;j++)if(a[i][j])cout<<"1"<<" ";elsecout<<"0"<<" ";cout<<endl;}int m=0;k=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(a[i][j]&&i<j)m++;int b[m][3];for(i=0;i<n;i++) //找出边和权 for(j=0;j<n;j++)if(a[i][j]&&i<j){b[k][0]=i;b[k][1]=j;b[k++][2]=a[i][j];}int t;for(i=0;i<m-1;i++) //排序for(j=i+1;j<m;j++)if(b[i][2]>b[j][2])for(k=0;k<3;k++){t=b[i][k];b[i][k]=b[j][k];b[j][k]=t;}for(i=0;i<m;i++)cout<<"("<<(char)(c1+b[i][0])<<","<<(char)(c1+b[i][1])<<","<<b[i][2]< <")";cout<<endl;int c[n-1][3],d[n];for(k=0;k<3;k++)c[0][k]=b[0][k];d[0]=b[0][0];d[1]=b[0][1];k=1;int k1=2,k2,k3,m1=0;for(i=1;i<m;i++){for(j=0;j<3;j++)c[k][j]=b[i][j];k++;k3=k1;for(k2=0;k2<k1;k2++)if(b[i][0]==d[k2])m1++;if(!m1)d[k1++]=b[i][0];elsem1=0;for(k2=0;k2<k1;k2++)if(b[i][1]==d[k2])m1++;if(!m1)d[k1++]=b[i][1];elsem1=0;if(k>=k1){k--;k1=k3;}if(k==n)break;}cout<<"用Kruskal算法得到的最小生成树为：\n{";int count=0;for(i=0;i<n-2;i++){cout<<"("<<(char)(c1+c[i][0])<<","<<(char)(c1+c[i][1])<<"),";count+=c[i][2];}cout<<"("<<(char)(c1+c[n-1][0])<<","<<(char)(c1+c[n-1][1])<<")}\n"; count+=c[n-1][2];cout<<"最小权和为："<<count<<endl<<endl;for(k=0;k<3;k++)c[0][k]=b[0][k];b[0][2]=0;d[0]=b[0][0];d[1]=b[0][1];k1=2;k2=0;k3=0,m1=1;while(k1<=n){for(i=1;i<m;i++)if(b[i][2]){for(j=0;j<k1;j++)if(b[i][0]==d[j])k2++;for(j=0;j<k1;j++)if(b[i][1]==d[j])k3++;if(k2&&!k3){d[k1++]=b[i][1];for(k=0;k<3;k++)c[m1][k]=b[i][k];b[i][2]=0;m1++;k2=0;goto h;}else if(!k2&&k3){d[k1++]=b[i][0];for(k=0;k<3;k++)c[m1][k]=b[i][k];b[i][2]=0;m1++;k3=0;goto h;}else{k2=k3=0;}}h:;}cout<<"用Prim算法得到的最小生成树为：\n{";count=0;for(i=0;i<n-2;i++){cout<<"("<<(char)(c1+c[i][0])<<","<<(char)(c1+c[i][1])<<"),";count+=c[i][2];}cout<<"("<<(char)(c1+c[n-1][0])<<","<<(char)(c1+c[n-1][1])<<")}\n"; count+=c[n-1][2];cout<<"最小权和为："<<count<<endl<<endl;system("pause");}。