一元二次方程知识点和易错点总结
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程第1讲_一元二次方程 讲义(无答案)
初中九年级数学上册第1讲：一元二次方程一：思维导图 二：知识点讲解知识点一：一元二次方程的定义及一般形式➢ 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程➢ 一元二次方程的一般形式是()002≠=++a c bx ax ，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系统；c 是常数项 ➢ 构成一元二次方程的三个条件：✧ 是整式方程✧ 只含有一个未知数 ✧ 未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程➢ “0≠a ”是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的重要组成部分。
当0=a ，0≠b 时，它就成为一元一次方程。
若方程02=++c bx ax 未指明0≠a ，则它不一定是一元二次方程例1：下面关于x 的方程：①022=++x ax ；②()()119322=+--x x ；③xx x 1=+；④02=-a x (a 为任意实数)；⑤11-=+x x 。
其中，为一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点二：一元二次方程的根➢ 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
➢ 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根例2：若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（ ）A.2-B.234-C.33- D. 31+知识点三：根据实际问题列出一元二次方程➢ 步骤1．正确理解题目的含义2．找出其中的数量关系和等量关系 3．列出一元二次方程例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。
求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。
初中数学一元二次方程易错题点拨
一元二次方程易错问题点拨
一元二次方程是初中数学的重点内容之一，也是学好其它知识的基础．初学这部分知识时，经常会现这样或那样的错误，现举例剖析如下，以防患于未然．
一、 忽视二次项系数的限制条件
【例1】关于x 的方程（m +2） +2（m -1）x -1=0．
m 为何值时，是一元二次方程？
错解 当222=-m ，即m =±2时原方程是一元二次方程
【点拨】 忽略了二次项系数不等于0这一隐含条件
【正解】 当222=-m 且m +2≠0即m =2时关于x 的方程（m +2） +2（m -1）x -1=0是一元二次方程
二、 忽略方程的同解原理，同时约去含未知数的代数式
【例2】解方程5x （x -2）=3（x -2）
错解：方程两边都除以（x -2），得5x =3，所以x =
【点拨】方程两边都除以（x -2），导致原方程在降次过程中产生失根，丢掉x =2这个根．正确的解法为移项后提公因式，然后再解．
【正解】移项，得5x （x -2）-3（x -2）=0 即（x -2）（5 x -3）=0，所以 =2， =
三、 利用公式法时不将方程化为一般形式
【例3】用公式法解方程2 +3x =1
错解 因为a =2，b =3，c =1，所以 -4ac =1
所以x = =
即 =-1， =-
【正解】将方程化为一般形式2 +3x -1=0，因为a =2，b =3，c =-1，所以 -4ac =17 所以x = = 3174-±，所以 = 3174-+， =
．。
一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析
根与系数关系的应用错例示例一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1 · x 2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x 1和x 2”.一、例1 判断正误：方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和为－ba．( )错解：对．正解：错误．因不知方程是否有根.二、例2 若方程x 2＋(m 2 - l)x ＋l ＋m ＝0的两根互为相反数，则m 的值 为( )(A)l 或一1； (B)l ； (C)－l ； (D)0. 错解：选A ．正解：选C ．因当m ＝l 时，原方程无实根.三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )(A)3x 2－x ＋2＝0； (B)3x 2＋x ＋2＝0； (C)x 2－13x ＋3＝0； (D)6x 2 -2x 一1＝0．错解：选A 或C ．正解：选D ．因方程A ，C 均无实根．四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋ (m ＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m 的值．错解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l) 2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．正解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l)，2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．当m ＝2时，原方程b 2-4ac ＜0，∴m ＝－2．五、例5 已知方程x 2 ＋ 2(m -l)x ＋3m 2－11＝0，问m 为何实数时，方程有两个根x 1、x 2，且x 1x 2＋x 2x 1＝－1．错解：由根与系数的关系有x I ＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．正解：由根与系数关系有x 1＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．因m ＝3或5时，方程b 2-4ac ＜0，∴不存在m 使x 1x 2＋x 2x 1＝－1成立．六、忽视方程中的隐含条件例6 已知关于x 的方程(k －1)x 2＋3＝0有实数根，求k 的取值范围．错解： ∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝2－4(k －1)×3≥0，解得k ≤65． ∵k －1≠0，解得k ≠1．∴k 的取值范围是k ≤65且k ≠1．错解分析：一元二次方程的解题中考虑b 2－4ac ≥0及k －1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k －1＝0；二是忽视了隐含条件2k ≥0．七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．∴原方程没有实数根．错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．正解：整理，得4x2－3x－1＝0，∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．一元二次方程错解示例一、例1a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？错解：∵ 方程有两个实数根∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，．解得a≤14错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．且a≠0．正确的答案应为a≤14二、例2已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则a b＝．b a错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根，∴a ＋b ＝2，ab ＝－1，∴a b b a +＝22a b ab +＝2()2a b ab ab +-＝421+-＝－6．错解分析：在a ≠b 时，a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两根；在a ＝b 时，ab b a+＝1+1＝2．故本题的正确答案应是－6或2．三、例3 已知α、β是方程x 2＋5x ＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．错解：设A ＝，两边平方得A 2＝α2·βα＋2αβ＋β2·αβ＝4αβ，∴A ＝αβ＝3，∴所求式的值为错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此0．所以正确的结论应为－ 四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋(m －3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m 的值．错解：设两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝(m －3)2，∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2 x 1x 2＝(2m －1)2－2(m －3)2＝25，化简得m 2＋4m －21＝0，解得m 的值为3或－7．错解分析：当m ＝－7时，原方程为x 2＋15x ＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m ＝－7应舍去，本题正确答案应为m ＝3．五、例5 已知x ＝－1是关于x k =的一个根，求以2k 和k ＋1为根的一元二次方程．错解：把x ＝－1=k ，解得k 1＝2，k 2＝－1．当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．错解分析：=k成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．错解：由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．错解分析：解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．正确的解法还必须求出m的取值范围．∵原方程有两个实数根，∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，即－12m＋17≥0，∴m≤1712．∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，由已知条件得14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．错解分析：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4k(k＋4)≥0，化简得k≤0．故正确的答案应是k＝－3．5与根的判别式有关的常见错解示例一、忽略二次项系数不为零例1已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．错解：∵ 方程有实数根，∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，解得m≤1．错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.二、忽略根的判别式例2已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4(m －2)2－2m 2＝2m 2－16m ＋16．若x 12＋x 22＝56，则有m 2－8m －20＝0． 解得m 1＝10,m 2＝－2．故符合题意的实数m 存在，它的值为10或－2．错解分析：当m ＝10时，原方程x 2－16x ＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m ＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m ＝－2．三、忽略题设条件例3 当m 是什么整数时，关于x 的方程mx 2－4x ＋4＝0①与x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②的解都是整数？错解：由已知，得12222=16-16m 0,=(-4m)-4(4m -4m-5)0,∆≥⎧⎨∆≥⎩解得－54≤m ≤1．因此，满足条件的整数m 为－1，0，1．错解分析： 当m ＝－1时，方程①的解不是整数；当m ＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m ＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x 1＝x 2＝2，方程②的解是x 1＝－1，x 2＝5．显然，m ＝－1与m ＝0不合题意，应舍去．忽视了m 的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m ＝1．四、忽视隐含条件例4 已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．错解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ △＝(－)2＋4(1－2k )＞0， 解得k ＜2．∵ 1－2k ≠0，即k ≠12，∴ k 的取值范围是k ＜2且k ≠12．错解分析：这里忽视了一次项系数－须有意义，即k ＋1≥0这个隐含条件．正解：由题设可得2(4(12)0,10,120.⎧∆=-+->⎪+≥⎨⎪-≠⎩k k k 解得－1≤k ＜2且k ≠12．因此，k 的取值范围是－1≤k ＜2且k ≠12．五、忽略“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0，即[]22(1)4(1)0k k k -+--≥，解得k ≥－31.又因为0k ≠， 所以k ≥－31且0k ≠.错解分析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k ＝0时，原方程为一元一次方程-2x=1，其实根为x=12-，故k 可取0.（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足Δ≥0，即k ≥－31且0k ≠，1. 综合（1）（2）知：k≥－3。
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点主要有：
1. 未正确识别方程的形式：有时候题目给出的方程可能不是标
准的一元二次方程形式，容易误以为是其他类型的方程。
因此，要注
意检查方程中是否有二次项、一次项和常数项，确保正确识别方程类型。
2. 错误地标记未知数：在解一元二次方程时，常常用字母表示
未知数，如通常用x表示。
然而，在一些情况下，可能会错误地将其
他字母或符号当作未知数。
因此，应该仔细检查并确保正确标记未知数。
3. 求平方根时忽略正负号：在解一元二次方程时，通常需要使
用平方根。
但容易忽略平方根的正负号，导致忽略了可能存在的另一
个解。
解决这个问题的方法是在解方程时考虑两个解，一个是取正平
方根，另一个是取负平方根。
4. 运算错误导致计算结果出错：在解一元二次方程时，可能会
有繁琐的运算过程，容易出现计算错误。
例如，错误地计算平方项、
未正确对齐等。
为避免这些错误，应该仔细地进行每一步的运算、检
查计算过程和结果。
5. 未检查解是否符合题目条件：解一元二次方程后，得到的解
有时候需要符合题目中给出的条件。
如果未仔细检查解是否满足条件，可能会得到不正确的结果。
因此，在解完方程后，应该将解代入原方
程中检查是否成立。
以上就是一元二次方程易错点的一些常见问题，注意避免这些错误，能够提高解题的准确性。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点归纳1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. （重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
练习：知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x-3=0.(7)x x 32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2（B ）－2（C ）0（D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。
3、已知关于x 的方程()2220mm x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
第07讲 一元二次方程(易错点梳理+微练习)(原卷版)
第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（）A．1B．2C．3D．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．36．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（）A．3B．2C．2或3-D．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（）A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。
一元二次方程知识梳理和易错题
一元二次方程一、下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？如果不是，请在方程下写出理由。
1.（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x2.关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程。
二、关于x 的方程()()02132=+----m x m x m 是一元二次方程，则二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
三、根的判别式的运用：1.若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，试判断方程2(1)220m x m x m +-+-=的根的情况。
2.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
3.m 为何值时，关于x 的方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根4.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m（1）有两个实数根。
（2）有实数根。
注意：题2、3的区别、题3与4的区别。
5.关于x 的一元二次方程032)1(22=--+++m m x x m 有一个根是0,求m 的值6.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个实数根，求k 的取值范围7．当m 为何值时，方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根8.若一元二次方程02)12(22=+-+-x x x x k 有实数根, 求k 的取值范围小结：题5—8在解题中要注意什么？9.已知关于x 的一元二次方程20x m --=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围10.关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围上述两题要注意什么？四、综合运用：1.已知12)1)(3(2222=++-+b a b a ,求22b a +的值.2.已知多项式22x 2xy y x y 1-+-+-的值为0,求x-y 的值3.如果012=--x x ,求2009223++-x x 的值4.若二次三项式2542+-kx x 是完全平方式,则 k 值为________.5.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______6.如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，求k 的取值范围7.已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -8.如果m 是实数,且不等式1)1(+>+m x m 的解集是x<1,那么关于x 的一元二次方程041)1(2=++-m x m mx 的根的情况如何?9.三角形的两边的长是3和4,第三边的长是方程035122=+-x x 的根,求三角形的周长10. 等腰三角形的周长是12，它的一边长是关于x 的方程2x 6x 80-+=的一个实数根,求它的腰长和底边长？11. 等腰△ABC 中,BC=8,AB,BC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根,则三角形的周长是多少？12.已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根； ⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．。
用公式法一元二次方程的解法(3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：142b x a-+=，2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．4.用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．5.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．6.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．7.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-=．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．9.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x 的方程x 2+2x ＝c 无实数根，则c 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．113.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．题型7：一元二次方程与一次函数的综合18．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2210x x kb +++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）．．．．2023春·山东济南·八年级统考期末）关于的一元二次方程axax b+的图象经过第一、二、四象限，设2a b=+，则t的取值范围是（．1142t<<B．1122t-≤<20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．求此时m 的值．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件23．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题24．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x 的方程：()()2245260k x k x ---+=．25．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【方法四】仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．935．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．436．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0 37．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3C．m≤3D．m＜338．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．40．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【方法五】成功评定法一、单选题二、填空题三、解答题18．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程：2++=．240x x k k=时，解方程；(1)当1x-，求k．(2)若2++=的一个解是=1x x k24019．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x--=(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．(1)点B的坐标为，直线AB的表达式为．(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点关系式表达出来；为等腰三角形时，直接写出点(4)点C在y轴上移动过程中，当OBP(1)求点C 的坐标；(2)连接AD ，在直线CD 上是否存在点E ，使得2EAC DAC S S = ．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，已知()7.5,0G -，()1,0H ，过B 作BF x ∥轴且 3.5BF =；若点G 沿GH 方向以每秒2个单位长度运动，同时，F 点沿FB 方向以每秒1个单位长度运动经过t 秒的运动，G 到达G '处，F 到达F '处，连接F H '、F G ''．问：F G ''能否平分FF H '∠？若能，请直接写出t 的值；若不能，请说明理由．。
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一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法（4） 法，其中求根公式是根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5） 一元二次方程（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例 用因式分解法解下列方程：（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()222596x x x -=+-。
知识点二 直接开平方法解一元二次方程若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()22135+=-x x （因式分解）知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如()()002≥=-+k k b ax 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）()036542=--x ； （2）()03212=--x知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：0201.02=-t t ，将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出200,0020.0021===-=t t t t ，即或注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五 形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法。
对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。
例 解下列方程：（1）0652=+-x x ； （2）0122=--x x配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程：（1）0562=-+x x ； （2）02272=--x x知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为()n m x =+2的形式。
（3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：0342=+-x x知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2的形式； （3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例 用配方法解下列方程：（1）02932=+-x x ； （2）0342=+--x x公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；（2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代人求根公式aac b b x 242-±-=，求出21,x x 。
例 用公式法解下列方程（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x知识点二 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()()2232932+=-x x ； （2）0682=+-x x ； （3）()0)1(2=-+x x知识点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） △=ac b 42-﹥0⇒方程有两个不相等的实数根；（2） △=ac b 42-=0⇒方程有两个相等的实数根；（3） △=ac b 42-﹤0⇒方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。
例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）05322=--x x ；（2）253092-=x x ；（3）01062=++x x知识点四 根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例 m 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， ab x x =21 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x ++++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例 已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。
（1）2221x x +； （2）()221x x -。
知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。