高等代数第三版 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社
高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012
第一章 行列式1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。
14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。
12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题 计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题 计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题 计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－ （第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题 计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章 线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4） 题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。
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高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社：篇一：2013福州大学高等代数大纲福州大学2013年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲一、考试科目名称: 《高等代数》二、招生学院：数学与计算机学院（数学）说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
003数学与计算机科学学院Y120M49 数学与计算机科学学院085211 计算机技术数学与计算机科学学院070101 基础数学▲●070104 应用数学 071400 统计学 070102 计算数学 070105 运筹学与控制论 081201 计算机系统结构 070101基础数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生01非线性分析02代数学03小波分析及其应用04生物信息学 070102计算数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①离散数学或②数值计算本专业不招收同等学力考生01系统建模与仿真02并行计算与分布式处理03海量信息处理与数据挖掘 070104应用数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生01微分方程及其应用02应用概率统计03信息与计算科学070105运筹学与控制论①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①离散数学或②复变函数本专业不招收同等学力考生 01运筹学与优化理论02图像处理与模式识别 071400统计学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生 01随机分析及其应用 02应用统计与方法 03统计计算与数据分析04应用概率统计福州大学初试科目参考书目611 数学分析《数学分析》（上、下），复旦大学数学系欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编著，高等教育出版社，2007年4月，第三版818 高等代数《高等代数》北京大学数学系编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社，第三版。
高等代数(第三版)4.3
, Bm , C 的行向量组为 C1 , aim Bm
, ai 1b1 s ai 2b2 s
ห้องสมุดไป่ตู้
, Cn .
则向量组合 ai 1 B1 ai 2 B2
ai 1b11 ai 2b21
第四章 矩阵
aim bm1 ,
aim bms
4-3 矩阵乘积的行列式与秩
即有 ai 1 B1 ai 2 B2
, Bm 线性表示.
所以 R(C ) R( B ) ． 同理，R(C ) R( A).
R( AB ) min R( A), R( B ) .
第四章 矩阵 4-3 矩阵乘积的行列式与秩
推广 如果 A A1 A2
At ，则 , R( At )}.
R( A) min{ R( A1 ), R( A2 ),
A 1,
2
而 A 0,
于是有
A E A E ,
所以
A E 0.
4-3 矩阵乘积的行列式与秩
第四章 矩阵
证： AB 非退化 AB 0 A B 0
A 0 且 B 0 A, B 都非退化 .
第四章 矩阵
4-3 矩阵乘积的行列式与秩
二、矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms 为数域 P上的矩阵，则
R( AB ) min R( A), R( B ) .
证： 令 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns . 设 B 的行向量组为 B1 ,
b1n b2 n , bnn
c11 c12 c21 c22 则 AB C c c n1 n 2
一元n次方程的解法
分类号O151.1编号2012010634毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：一元n次方程的解法摘要:讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目 录0引言 .............................................................. 1 1二,三,四次方程根的情况: . (1)1.1二次方程求根公式 ............................................. 1 2.1三次方程求根公式 ............................................. 2 3.1.四次方程求根公式 ............................................ 3 2 几类特殊高次方程的解法.. (4)1.2 解方程0=-A x n............................................. 4 2.2解方程02=++c bu au n n ........................................ 4 3.2 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n ......................5 4.2求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a.............. 6 5.2求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a ............. 7 3 利用a Mathematic 软件解方程 . (9)1.3求解步骤: .................................................... 92.3例题展示..................................................... 9 4 小结............................................................. 13 参考文献........................................................... 14 致谢 (15)一元n 次方程的解法0引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示.代数学基本定理[]1 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根. 定义1 形如0)(122110=+++++=---n n n n n a x a x a x a x a x f 的方程称为在一个数域S 上的一个未知数的n 次代数方程，)(x f 称为一元n 次多项式，式中n 为正整数,0a ,1a ,2a ,...,1-n a ,n a 都是属于数域S 的常数,称为方程的系数.定义2 若存在一个常数C,使0)(=c f ,则称C 为多项式)(x f 或方程0)(=x f 的根.1 二,三,四次方程根的情况: 1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 02=++c bx ax )0(≠a 1.1.2 根的表达式 aacb b x 2422,1-±-=1.1.3 根与系数的关系 a b x x -=+21 a cx x =211.1.4 判别式 ac b 42-=∆当0>∆,方程有两个不相等的实根; 当0=∆,方程有两个相等的实根;当0<∆,方程有两个复根.1.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式023=+++d cx bx ax )0(≠a (1) 求解过程: 对(1)式除以a,并设aby x 3-=.则(1)式可以化成如下形式, 03=++q py y (2) (1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根. 对于方程(2)的三个根有:3323321322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y33233222322322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω33223323322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω其中 231i +-=ω,2312i --=ω. 再把321,,y y y 带入aby x 2-=解出321,,x x x . 例1 解方程0223223=++-x x x .解 对方程0223223=++-x x x 两边同除以2,再设21+=y x ,方程化为,054433=++y y ,45,43=-=q p代人以上公式解得:i y i y y -=+=-=21,21,1321 因此解得：i x i x x -=+=-=1,1,21321.1.2.2 根与系数的关系a b x x x -=++321,a c x x x -=++321111, a dx x x -=3211.2.3 方程(2)的判别式3232⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆p q当0>∆时,方程有一个实根和两个复根;当0=∆时,方程有三个实根;0==q p 时,有一个三重零根;03232≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时,三个实根中有两个相等;当0<∆时,有三个不等的实根.1.3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式0234=++++e dx cx bx ax (0≠a ) （3） 给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程0234=++++e dx cx bx x 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.()()048248048248222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-+++c b y d by y x c b y b x c b y d by y x c b y b x其中y 是三次方程()()0482482223=--+-+-d b c e y e bd cy y 的任一实根. 在方程0234=++++a bx cx bx ax 中,设xx y 1+=,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为2424,3,2,1-±=y y x , 其中a a ac b b y 28422+-±-= 若四次方程为024=++e cx ax ,则设2x y =,原方程可化为二次方程02=++e cy ay ,可解出四个根为aaec c x 2424,3,2,1-±-±=阿贝尔定理]2[ 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义3 形如0=-A x n 的方程称为二项方程.2.1 解方程0=-A x n解题过程: 把A 写成()θθsin cos i r A +=,则方程0=-A x n 的n 个根是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n k n i n k nr x n k πθπθ2sin 2cos ()1,,2,1-=n k几何说明: 复平面上与数()θθsin cos i r +的n 次方根对应的点是一个正n 边形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以n r 为半径的圆上,而这个n 边形的顶点之一有辐角nθ.定义4 形如02=++c bu au n n 的方程称为三项方程,其中a,b,c,n 都不等于0,n 为整数.2.2 解方程02=++c bu au n n 解题过程: l 令x u n =,代入以上方程得02=++c bx ax ，由此解出x,则0=-x u n 是一个二项方程,从而再解出u,方程的解.例 2031124=+-u u 解 令 x u =21,代入方程得 0342=+-x x ，求解此方程得 3,121==x x ,从而有112=u ,或312=u,解这两方程,得出原方程的解为31,31,1,14321-==-==u u u u .定义5 形如0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n 的方程称为倒数方程（其中k n x -和k x 项 的系数相同）.2.3 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n2.3.1 方程求解过程：a) 解偶次()k n 2=倒数方程,对方程两边除以k x ,再令xx z 1+=,则原方程可化为z 的k 次方程,解此方程,得z 值,然后对应x 的值可由二次方程012=+-zx x 求出.b) 解奇次()12+=k n 倒数方程归结到解偶次倒数方程,奇数次倒数方程必有一个根为11-=x ,因此,先把原方程除以1x +化成偶数次方程再求解.例 3 求方程0251313522345=++--+x x x x x 的根.解 由于11-=x 是原方程的一个根,因此把原方程除以1+x ,得到四次倒数023*******=++-+x x x x再对其除以2x ,然后合并整理得：016131222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x令 x x z 1+=,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+z x x x x 从而上式变为:()0163222=---z z ,即 020322=-+z z ,解得25,421=-=z z 因而有确定x 得两个方程:025201422=+-=++x x x x 和,由这两个方程解得:21,2,32,325432==--=+-=x x x x . 定义6 对于一般的方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a假定1,1,2,,,kk a q k n a -==则原方程可解.2.4求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a求解过程: 对于101n-10n n n a x a x a x a -++++=,利用0n n a a q =,则此方程为1100000n n n n a x a qx a q x a q --++++=方程两边同除以0a ,得 110n n n n x qx q x q --++++= (4)对(4)同乘以x q得, 10n n x q q+-=, 即11n n xq ++=,解得:x =n k n k i n k q x k ,,2,1,012sin 12cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ. 去掉增根.q x =得到原方程的解.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ特别的,当1=q 时.,,2,112sin 12cosn k n k i n k x k =+++=ππ 例4 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解 方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ得()ii x ii x i x ii x ii x 3135sin 35cos 23134sin 34cos 22sin cos 23132sin 32cos 2313sin 3cos 254321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定义7对于一般的方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a假定,,,2,1,1n k q a a k k==-则此方程也可解. 2.5 求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a求解过程: 对于0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ,由于n n q a a 0=,代入以下方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n得 0002201100=+++++--a qx a x q a x q a x q a n n n n 两边同除以0a ,得到012211=+++++--qx x q x q x q n n n n (5)再给(3)两边同乘以qx ,得到0223311=+++++++qx x q x q x q x q n n n n (6)()()56-得,0111=-++n n x q即()11=+n qx则 .,,2,1,0,12sin 12cos11n k n k i n k qx n =+++==+ππ.,2,1,0,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ去掉增根qx 1=,则原方程的解为 .,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ例 5 0124816322345=+++++x x x x x解 方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ可得,()()()()()ii x ii x i x ii x ii x 314135sin 35cos 21314134sin 34cos 2121sin cos 21314132sin 32cos 2131413sin 3cos 2154321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定理2]3[设()n n n n a x a x a x x f ++++=--111 是数域P 上的任意多项式,那么方程()0=x f 的根与矩阵A 的特征根相同,其中A 的形式如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000100000100001121n n aa a a A 证 设矩阵A 对应的特征矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=--λλλλλ00010000100010121n n aa a a A E 则按第一列展开λλλλλ000100010001121 nn a a a a A E ---+=-- ()()()()()()()()nn n n n n n n n n n n n nn n na a a a a a a a a a a a +++++=--+--++++=----+---++-----+----+----+-λλλλλλλλλλλλλλλλ122111121221111211111100010000011000010*******0010000010100001令x =λ,以上定理得证.因此,把求方程()0=x f 的根转化为求矩阵A 的特征值的问题,关于求矩阵的特征值问题,可以用a Mathematic 软件求得.3 利用a Mathematic 软件解方程 3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵A ;第二步:打开a Mathematic 软件,输入命令Eigenvalues[A]; 第三步:求得矩阵A 得特征值; 第四步:得到原方程的解.3.2 例题展示例 6 0223223=++-x x x解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0011010123A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:原方程的解为: i x i x x -=+=-=1,1,21321例 7 求解方程0251313522345=++--+x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0000110002501002130010213000125A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:即原方程的解: 32,21,1,2,3254321+-==-==--=x x x x x .例8 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000032100016010080010400012A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:.31,31,31,31,254321i x i x i x i x x -=+=--=+-=-=例 9 解方程0124816322345=+++++x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=00003211000161010081001041000121A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:()()()()ix ix i x i x x 31413141314131412154321-=+=--=+-=-=4 小结通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用Mathematic软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利a用aMathematic软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的方法给求解高次方程带来了极大地方便.参考文献:[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].第三版.高等教育出版社:2003.7:27[2]安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究[J].高校讲台.2007.12:134-135[3]罗芳.求解高次实系数代数方程的Excel算法[J].雁北师范学院学报.2004.20(5):60-61[4]张景晓.四类高次代数方程的升幂解法[J].聊城大学学报.2003.16(3):20-22[5]张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解[J].河北理工教学研究.2003.2:5-7[6]张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解[J].数学通报.2003.8:42-43[7]张栋恩,许晓革.高等数学实验[M].高等教育出版社.2004.7致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!。
高等代数答案(王萼芳,石生明)
g(2) = 0 。即知 2 不是 f (x) 的根，但 2 是 g(x) 的根。 进一步考察 2 是 g(x) 的几重根。 求 g(x) 的各阶导函数。因为 g(x) = x 5 − 6x 4 + 11x3 − 2x 2 −12x + 8
所以
g / (x) = 5x4 − 24x3 + 33x2 − 4x −12 g // (x) = 20x3 − 72x 2 + 66x − 4 g /// (x) = 60x 2 − 144x + 66
例 4 试问：2 是否为一元多项式
f (x) = 3x4 + 4x3 − x2 + 4x − 4 g(x) = x 5 − 6x 4 + 11x3 − 2x 2 + −12x + 8
的根？如果是，它是几重根？
解：考察 2 是否为 f (x) 或者 g(x) 的根时，可采用综合除法，得 f (2) = 80 ≠ 0 ，
3． 一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因 式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4． 一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根 的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳 本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大
d1(x) d(x) 即 d (x) 还是 f (x) − h(x)g(x) 与 g(x) 的一个首项系数为 1 的最大公因式，故有
d (x) = ( f (x), g (x)) = ( f (x) − h(x)g (x), g(x))
2019年常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案.doc
常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dxdy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e eexy uu xy x u u x yxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一．课程任务二．教材与参考书目1．教材：1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。
2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。
3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。
4.《LinearAlgebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。
5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。
三．课程考核方法与命题要求本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求第一章基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。
2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
能够判别一些数集是否为数环、数域。
3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。
第二章多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。
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（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
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3
高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答
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28、（ 1）因为 ± 1 都不是它的根，所以 x2 +1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
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20、证 因为 f（x）的导函数
所以
于是
从而 f（x）无重根。
21、证 因为
，
，由于 a 是
的 k 重根，故 a
是
的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 ⇒ s=k+3，即证。
22、证 必要性：设 x0 是 f（x）的 k 重根，从而是
的 k-1 重根，是
33
33
（3）u（x）=-x-1, v(x) = x3 + x2 − 3x − 2
⎧u = 0 ⎧u = −2 7、 ⎨⎩t = 2 或 ⎨⎩t = 3
8、思路：根具定义证明
证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 ϕ(x) 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证
ϕ(x) d(x) 。
⎧ p +1+ m2 = 0
⎧⎪m(2 − p − m2 ) = 0 ⎧m = 0 ⎧q = 1
2、（ 1） ⎨⎩q − m = 0
，
（2）由 ⎨ ⎪⎩q
+1−
p
− m2
=
0
得
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
或
⎨ ⎩
p
+
m2
=
。
2
3、（ 1） q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109, r(x) = −327
−1± 3i
15、
。
2
16、（ 1）由 x-2 得三重因式
2
（2）无重因式。
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17、当 t=3 时有三重根 x=1,；当 t= −15 由二重根 x = 1 。
4
2
18、 4 p3 + 27q2 = 0
19、a=1，b=-2 。
d5 =212
x1
=
d1 d
1057
=
665
x2
=
d2 d
=−
229 133
x3
=
d3 d
=-
37 35
x4
=
d4 d
79 =−
133
x5
=
d5 d
=
212 665
20、证明：由
得
这是一个关于
的线性方程组，且他的系数行列式
为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。
当 n 为偶数时
n−1
n+1
xn −1 = (x +1)(x −1)[x2 − (ε + ε n−1)x +1][x2 − (ε 2 − ε n−2 )x +1].....[x2 − (ε 2 + ε 2 )x + 1] 27、（ 1）利用
剩余除法试根：有一有理根：2
11 （2）有两个有理根： − ， −
所以 ( f (x)g(x)) ≠ 0 ，由消去律可得
有因为 f（x）， g（x）不全为 0，
11.由上题结论类似可得。
所以
12. 证 由假设，存在
使 （2）， 将 （ 1）（ 2）两式相乘得
所以 ( f (x), g(x))h(x) = 1
13. 证 由于
。 （1）
反复应用第 12 题结论，可得
同理可证
14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。
（4）160 （5） x2 y2
（6）0
15、（ 1） A11 =-6， A12 =0， A13 =0， A14 =0， A21 =12， A22 = 6， A23 =0， A24 =0， A31 =15， A32 =-6，
A33 =-3， A34 =0， A41 =7， A42 =0， A43 =1， A44 =-2
的 一 重 根 ， 并 且 x0 不 是
的根。于是
。
的 k-2 重 根 。。。。。， 是 ，而
充分性 由
而
，知 x0 是
的一重根。又由于
是
的二重根，以此类推，可知 x0 是 f（x）的 k 重根。
，知 x0
23、解：例如：设 f (x) = 1 xm+1 −1，那么 f ' (x) = xm 以 0 为 m 重根。 m +1
21、13.56 13.48
第三章 线性方程组 习题解答
1、（ 1）无穷多解 （2）无解
（3）（ -8,3,6,0） （4）无穷多解
51 1 1 2、（ 1） β = 4 α1 + 4 α2 − 4 α3 − 4 α4
（2）从第二列起个人列减去第一列：
当 n ≥ 3 时，原式=0，当 n=2 时，原式= (a2 − a1)(b2 − b1 ) ，当 n=1 时，原式= a1 − b1
n
∑ （3） ( xi − m)(−m)n−1
i=1
（4） （-2）（ n-2）！
（5）各列加到第一列得： (−1)n−1 1 (n +1)(n −1)! 2
=2
x3
=
d3 d
=1
x4
=
d4 d
=-2
（3） d =24， d1 =96， d2 =-336， d3 =-96， d4 =-168， d5 =312
x1
=
d1 d
=4
x2
=
d2 d
=-14
x3
=
d3 d
=-4
x4
=
d4 d
=-7
x5
=
d5 d
=13
（4） d =665， d1 =1507， d2 =-1145， d3 =703， d4 =-395，
1 18、 提 示 ：（1）分别将第 i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行 −
ai−1
（2）从最后一行起，分别将每一行乘以 x 后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：
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因为 ( f (x), g(x)) h(x) 的首相系数为 1，所以 ( f (x)h(x), g(x))h(x) = ( f (x), g(x))h(x) 。
10. 证 存在 u（x）， v（x）使
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高等代数习题答案（一至四章）
第一章 多项式 习题解答
1、（ 1）由带余除法，得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 − 2
39
99
（2） q(x) = x2 + x −1， r(x) = −5x + 7
第二章 行列式 习题解答
1、均为偶排列 2、（ 1）i=8，k=3 3、
（2）i=3 k=6
4、当 n=4k，4k+1 时为偶排列 当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列
5、 n(n −1) − k 2
6、正号
7、 −a11a23a32a44 ， −a12a23a34a41 ， −a14a23a31a42
个下标中至少有一个要取 3,4,5 列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式 中每一项的乘积必为 0，因此行列式只为零。
10、解：含有 x4 的展开项中只能是 a11a22a33a44 ，所以 x4 的系数为 2；同理，含有 x3 的张开项中只能是
a12a21a33a44 ，所以 x3 的系数为-1。
（3） f (x) = 24(7 + 5i) − 5(x + i) + (−1− i)(x + i)2 − 2i(x + i)3 + (x + i)4
5、（ 1）x+1 （2）1 （3） x2 − 2 2x −1
6、（ 1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2） u(x) = − 1 x + 1 ， v(x) = 2 x2 − 2 x −1
h（x）是 f（x）h（x）与 g（x）h（x）的一个组合。
另一方面，由 ( f (x), g(x)) f (x) 知 ( f (x), g(x))h(x) f (x) h(x) 。同理可得
( f (x), g(x))h(x) g (x)h(x) 从而 ( f (x), g(x))h(x) 是 f (x)h(x) 与 g(x)h(x) 的一个最大公因式，又
1
an−1
a2 n−1
....
an−2 n−1
的数即知含有 xn−1 的对应项的系数不为零，因而 p（x）为一个 n-1 次的多项式。
4
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13、（ 1） −294×105 （2） −2(x3 + y3) （3）48