第1,2讲 组合与数论问题
高考数学难点突破数论与排列组合的应用
高考数学难点突破数论与排列组合的应用高考数学难点突破 - 数论与排列组合的应用数论和排列组合是高考数学中的难点部分，但只要我们掌握了一些基本的技巧和方法，就能够轻松突破这些困难。
本文将针对数论和排列组合的应用进行讨论，并给出一些解题的技巧和例题。
数论的应用数论是研究整数性质和整数运算的一个分支，它在高考数学中经常以问题的形式出现。
为了解决数论问题，我们可以采用以下方法：1. 整除性整除性是解决数论问题的重要方法。
当遇到问题时，我们首先需要确定题目中的数是奇数还是偶数，是否能被2整除。
接下来，可以考虑问题中的数是否能够被3、4、5等整除，找出数的整除规律，然后应用到具体题目中。
2. 奇偶性在数论问题中，奇偶性也经常被使用。
奇数和偶数之间的性质有很多，例如奇数加奇数一定是偶数，奇数乘偶数一定是偶数等。
因此，我们可以利用奇偶性来得出一些结论，简化问题的解决过程。
3. 同余关系同余关系也是解决数论问题的重要工具。
当题目给出的整数之间存在某种关系时，我们可以考虑通过取模运算来简化问题。
例如，如果两个数模3同余，那么它们除以3的余数一定相等。
排列组合的应用排列组合是高考数学中另一个常见的难点部分，它主要涉及到不同对象之间的组合方式。
下面是一些常用的解题思路：1. 基本要素在解决排列组合问题时，需要了解基本的要素：排列、组合和二项式系数。
排列是表示不重复地选取对象进行排列的方式，组合则表示无序地选取对象的方式。
二项式系数则是排列和组合的常用公式，可以通过它们来计算具体的数值。
2. 乘法原理与加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的两个重要原理。
乘法原理指的是将排列与组合的过程分解为若干独立的步骤，并将步骤的结果相乘。
加法原理则是将排列与组合的不同情况分开计算，并将结果相加。
通过灵活运用这两个原理，我们可以解决更为复杂的排列组合问题。
3. 分类讨论在某些问题中，我们可以通过分类讨论的方式来解决。
例如，考虑特定的情况、限制条件或者对象的顺序等。
组合数论问题
组合数论问题组合数论作为数论的一个（小）分支，是研究整数集合的组合性质。
与代数数论、解析数论等分支相对应，组合数论的证明与结论更多地带有“离散的、组合的”味道。
例1. （组合数论经典定理）证明：任意2n+1个整数中一定可以找到n 个，其和为n 的倍数。
[证：]先证命题的（完全）积性，即引理：若对于正整数m, n 原命题都成立，则命题对于mn 亦成立。
由引理，只需对n=p 为素数的情形证明即可。
反证法，设存在2p+1个正整数1221,,,+p x x x 使得其中任意p 个之和 考察 )(m o d )(11221p x x x C p i i i p p p∑-++++≡例2．(IMO 预选题2008N4).对于整数k ≣2,证明122kk C +－122k k C -被23k整除但不被23k+1整除.[证：]利用2nnC =2(2)!(!)n n =2(21)!!!n n n -=222((21)!!)(2)!n n n -,122kk C+－122k kC-=212(21)!!(2)!kk k +-－222((21)!!)(2)!kk k -=22(21)!!(2)!kk k-(121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏). 121(221)k k i i -=+-∏－121(2(21))k k i i -=--∏=212(21)12(21)12k k r k r r S ---+--=∑≡2k+1(2k －1)!!121121k i i -=-∑(mod 23k+1). 121121k i i -=-∑=1212111()212(21)k k i i i -=+---∑=2k-11211(21)(2(21))k ki i i -=---∑. A={1,3,…, 2k －1}是(mod 2k )的缩系,故r -2(r ∈A)是r 2(r ∈A)的置换,因此1(2)k r A r r ∈-∑≡－21r A r ∈∑≡－2r A r ∈∑=－121(4(1)1)k i i i -=-+∑≡2k-1(mod 2k ).由于α2((2)!k)=2121k --=2k －1,故α2(122kk C +－122k k C -)=2k －(2k －1)+k+1+2(k －1)=3k.例3.（2008莫斯科数学奥林匹克） 每个正整数染n 色之一,每色都有无穷多个数.已知,任意两个同奇偶的不同数的算术平均值的颜色只由该两数的颜色确定(例如,红色数与蓝色数的平均值总是黄色).(1).求证,任意两个同奇偶的同色数的平均值必与该两数同色; (2).对哪些n 存在这样的染色法?[证：](1).考虑任一色例如红色.设每两个同奇偶的不同红色数的平均值为X 1色(记作(红,红)→X 1),再设(红,X 1)→X 2,(红,X 2)→X 3.由于红色数有无穷多个,必有两个a,b(mod 8)同余.可以依次标出下列各数的颜色:a 78a b + 34a b + 538a b +2a b+ 358a b +34a b + 78a b + b 98b a - 红X 3 X 2 X 3X 1X 3 X 2 X 3 红X 3由此得到(X 3,X 3)→X 1, (X 3,X 3)→红,故X 1=红.(2).当n 为奇数时记n 色为0～n ―1,每个整数a 染a(mod n)色即可. 若对偶数n 有符合要求的染色法.设任一色的所有数依递增次序排列为a 1,a 2,....由于每两个相邻项之间没有该色的数以及每两个同奇偶的同色数的平均值与该两数同色,归纳可证这个数列是公差为奇数的等差数列.现在设各色数列的公差为d 1,…,d n ,首项的最大者为a,D=lcm(d 1,…,d n ).则D 个相继正整数a,a+1,…,a+D ―1中第i 色数的个数是i D d .故有1n i i D d =∑=D,即11ni id =∑=1.但左边通分后分母为奇数,分子是偶数个奇数之和,为偶数,矛盾.因此当且仅当n 为奇数时存在这样的染色法.例4．正n 边形的顶点染若干色(每点染一色,至少有2色),已知,每种颜色的所有点都构成一个正多边形.求证,这些同色多边形中必有2个全等.[证：]以正n 边形的中心作为复平面原点.则正n 边形的顶点集为 M ={uωt | t=0,1,2,…,n －1} ,其中ω=cos2n π+isin 2nπ. 反设所有同色多边形互不全等,则它们的边数互不相同,设是k 1<k 2<…<k r (<n,r ≣2).M 划分为r 个子集M j ={u j ωj t | t=0,1,2,…,k j －1} ,其中ωj =cos2j k π+isin 2jk π,1≢j ≢r. u 和u j 都是非零复数(它们的模都等于正n 边形的外接圆半径).记S=1kz Mz ∈∑,S j =1jk z M z ∈∑,应当有S=1rj j S =∑.但根据单位根的性质,122(cossin )m kt t i m mππ-=+∑当m |/k 时等于0,而m|k 时等于m.故S=S 2=S 3=…=S r =0, S 1=k 111ku ≠0,得出矛盾.[注：]此即数论中著名的三角和方法.本题表明,整数集Z 划分为若干个互不相交的(双向无穷)等差数列只有这样的方式:Z 先划分成d 个公差为d 的等差数列,然后其中若干个再分别划分成等公差的数列。
数论和组合数学知识
• 进阶:/
• 6、全排列 next_permutation 康托展开STL 常见算法
• 7、回溯
• 2、C++ 输入输出（包括流、文件） • 8、DFS、BFS、hash表
• 3、C++常用泛型：list vector stack map • 9、数学上的有：辗转相除（两行
•
9、数学：线段交点、多角形面积公式 等
排列组合
排列组合
公式
二项式定理
a的n次幂，超范围处理
较小的数可以直接相乘求出幂指数，一旦指数超出范围，则溢出 处理方式1：在程序运行中对p取余（p常取一个质数），结果为a^n取余。 处理方法2：当指数过大时，方法1不能解决，使用分治法
例题：素数计算超范围
例题：最大买不到的数目
出现连续4次(a次)能买到，之后的就都可以 买到，最大不能买到的数字就是这之前的数
比酒量
利用浮点数近似相等
通分，转为整数运算
保留分数形式， 不进行运算！
有理数是整数和分数的集合。 有理数：整数或有限小数或无限循环小数； 无理数：无限不循环小数 任何一个有理数，都可以表示成 分数 形式
整数的基本性质
• 素数、和数、整除、余数、最大公约数、最
小公倍数
• 互质的两个数的最大公约数是1，两个数如果
数论和组合数学知识
高华玲 主讲 2018.12.3
穷举法（暴力破解）
穷举法（暴力破解）
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浮点数不能直接使用==来判断。 因为计算机中是二进制表示，有可能是无限循环小数，导致 不能精确相等。
乘以10，避免小数
注意：啤酒2.3，饮料1.9，啤酒比饮料的少，求啤酒的数量。 答案有两组，应该取11，30这一组，啤酒的数量为11.
奥数之数论与排列组合
奥数之数论与排列组合
引言
数论与排列组合是奥林匹克数学竞赛中的重要内容之一。
数论涉及整数的性质和关系，而排列组合则研究如何计算对象的不同排列和组合方式。
数论
数论是研究整数的性质和关系的数学分支。
在奥数竞赛中，数论题目常常涉及诸如质数、最大公约数、最小公倍数以及模运算等概念。
数论题目通常要求解决整数的特定问题，如找出某个数的因子，验证某个数的性质等。
解决数论问题需要掌握一些基本的数论定理和技巧。
排列组合
排列组合是研究对象的不同排列和组合方式的数学分支。
在奥林匹克数学竞赛中，排列组合题目常常涉及诸如排列、组合、二项式系数等概念。
排列组合题目通常要求计算对象在不同条件下的排列或组合数量。
解决排列组合问题需要了解基本的计数原理和组合公式。
竞赛应用
数论和排列组合在奥数竞赛中扮演着重要的角色。
通过掌握数论和排列组合的基本原理和方法，参赛者可以更好地解决奥数竞赛中的相关问题。
这些问题不仅能帮助参赛者提高数学思维能力，还能锻炼他们的逻辑推理和问题解决能力。
总结
数论和排列组合是奥林匹克数学竞赛中重要的内容之一。
掌握数论和排列组合的基本原理和方法，对于提高数学竞赛成绩非常有帮助。
通过解决数论和排列组合问题，可以培养参赛者的数学思维能力和解决问题的能力。
奥数竞赛中的数论和排列组合题目也是考察参赛者数学综合素质的重要手段之一。
组合数学问题选讲
组合问题选讲例1 将正方形ABCD 分割成n 2个相等的小方格（n 是正整数），把相对的顶点A ，C 染成红色，B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红蓝两色中的一种颜色。
证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的数目必是偶数。
（1991，初中联赛）。
证 用数代表颜色点，将红色点记为0，蓝色点记为1，再将n 2个小方格编号为2,,2,1n 。
设第i 个小方格四个顶点数字和记为A i ，恰有三个顶点同色的第i 个小方格，则A i =1或3，即为奇数，否则为偶数。
在212n A A A +++中，有如下事实：正方形内部的点各加了四次，正方形四边上的点各加两次，四个顶点各加1次，其中两个1，两个0，其和为2。
因此，212n A A A +++=4×（内部点相应数之和）+2×（四边上点相应数之和）+2即212n A A A +++必为偶数。
故212n A A A +++中奇数的个数为偶数，从而证明了恰有三个顶点有相同颜色的小方格的个数为偶数个。
（恰有三个顶点有相同颜色的小方格的顶点颜色和必为奇数）例2 设E a a a G E ⊂==},,,{},200,,2,1{10021 。
且G 具有下列性质：（1）对任何201,1001≠+≤<≤j i a a j i ， （2）∑==100110080i ia。
试证： G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数的平方和是一定数。
（1990，高中联赛）证 对1001≤≤i ，记)101(2201,12i i i i i -=-=-=αβα，令},{i i i E βα=，（1,2,.....i =）则G 中包含且只包含i E 中的一个元素。
设G 中有k 个奇数)1001(,,,2121≤<<<≤k i i i i i i a a a k ，于是令)1(k t a t t i i ≤≤=α，)(t j j i j a ≠=β，由题（2）得∑∑=≠=+kt i j j i tt110080βα， ①另一方面∑∑===-=1001100110100)101(2i i i i β，②②—①得∑∑∑====-+=-kt k t kt i i i i i t t t t t111202)()(ααβαβ，∑==-kt i t k 1202201α，∑=+=kt i t k 1220201α， ③故k 必为偶数，令k =2m ，则③可化为.102011∑=+=kt i t a m因为k 是偶数，故右端为偶数，从而m 是偶数，所以k 是4的倍数。
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用
高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用在高考数学中，数论和排列组合是考生们经常遇到的难点，而这两个知识点经常会在一道题目中进行综合应用。
本文将探讨如何突破这些难点，以及如何应对多重综合应用的题目。
一、数论的难点及突破方法数论在高考数学中属于相对较难的部分，主要包括整数性质、最大公约数、最小公倍数等内容。
其中，常见的难点包括同余、递推关系和整数解的判断等。
首先，我们来看同余的应用。
同余是数论中一个重要的概念，它可以解决一些复杂的问题。
在解题过程中，我们可以通过找规律、列方程或者利用性质等方式进行推导。
另外，还要注意掌握同余运算的特性，例如两个数同余于一个数的倍数时，它们的差也是这个倍数。
其次，递推关系是另一个数论的难点。
递推关系的表达形式有多种，例如：Sn = Sn-1 + a(n)，其中Sn表示数列的第n项，a(n)为与前面几项相关的式子。
要解决这类问题，关键是找到递推关系的规律，并利用递推公式进行推导和计算。
最后，整数解的判断也是数论的难点之一。
当遇到非常复杂的问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的性质进行求解。
同时，还需要注意题目中可能出现的取模运算和质因数分解等技巧。
总之，要突破数论的难点，我们需要掌握各种性质和公式，并进行大量的练习和思考，提高解题能力和思维灵活性。
二、排列组合的难点及突破方法排列组合是高考数学中另一个常见的难点，主要包括排列、组合、重复排列、多重集合等内容。
其中，常见的难点包括计数原理、容斥原理和应用题的解答等。
首先，计数原理是排列组合中的基础知识，涉及到阶乘、乘法原理、加法原理等概念。
在解题时，我们要根据题目的情况选择适用的计数原理，并灵活运用。
其次，容斥原理是排列组合中的一个重要工具。
它可以解决一些重叠计数的问题，例如某些事件同时满足或者互斥的情况。
在应用容斥原理时，我们要注意构造事件的表达式，并进行交集和并集的计算。
最后，应用题的解答是排列组合的难点之一。
数论与组合数学中的问题
数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。
在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。
一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。
素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。
例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。
素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。
另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。
二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。
在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。
另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。
排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。
三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。
例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。
除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。
同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。
四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。
例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。
在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。
这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。
五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。
例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。
另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。
六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。
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第1，2讲组合与数论问题
一．填空题:
1.设a,b,c是互异的自然数且ab+bc+ca=abc,则a+b+c=_______.
2.从1到2013连续的2013个自然数按某种顺序排列,然后按连续三项计算和数,得到2011个和数,则这些和数中,奇数的个数最多有_________个.
3.在式子:12○22○32○…○20092的“○”中填入“+”或“−”中的一个,如果所得的数非负,那么这个非负数的最小值是________.
4.直角三角形的三边之长为正整数,其中一条直角边的长为35,那么它的周长的最大值与最小值分别是_______、_________.
5. 已知
S的最大
整数为__________.
6.末四位数为2013,且被71整除的最小的正整数为_____________.
7.用6种不同的颜色给正方体的6个面染色,各面颜色互不相同,经过适当的翻转重复的染色视为同一种染色,则不同的染色方式有__________.
8.某数学竞赛分两试进行.一试有选择题6个,答对一个得6分,填空题6个,答对一个得9分,解答题三个,每题20分,每5分一档分步计分,二试解答题有三个,每题50分,每10分一档分步计分,某同学参加竞赛,则他的得分可能有________种.
9.把1,2,3,…,2n这2n个正整数随意放置在一个圆周上,据统计,在所有相邻的三个数中,三个数全为奇数的有a组,三个数中恰有两个数奇数的有b组,三个数中恰有一个数为奇数的有c组,三个数都为偶数的有d组,如果a-d≠0,那么(b-c)/(a-d)=____________.
10.自然数k具有性质:在半径为1的圆上任取4点,都有两点的距离不大于k,则k的最小值为________.
二．解答题：
11.n是正整数,求证
537
5315
n n n
++是整数.
12. 任取2013个不同的正整数,将其中任意两个求和,至少可得多少个不同的和?证明你的结论.
13.若x,y都是正整数,试证x2+y+1和y2+4x+3不可能同时都是完全平方数. 14.已知正整数x,y都是质数,并且7x+y与xy+11也是质数,试求u=(x2+y x)(y2+x y)的值.
15.有n个数x1,x2,…,x n,它们中每个数或者为1,或者为-1,若x1x2+x2x3+…x n-1x n+x n x1=0,求证n是4的倍数.
16.如果一个正整数的各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个正整数,则称这个数为“幸运数”,试求出所有“幸运数”的和.
17.求所有的正整数m,n,使得2m+3n是完全平方数. 18.求所有正整数对(a,b),使得
2
23
21
a
ab b
-+
是一个正整数.
19.正8边形的各边染上蓝色或黄色,每步操作按如下方式进行:若某边的两邻边不同色,则将该边改为蓝色,否则将该边改为黄色,求证:经过有限步后,正八边形的各边都会变成黄色.
20.某班有60个同学,求证其中必有两个人,他们的公共朋友(若A是B的朋友,则B也是A的朋友)的个数为偶数. 21. 10个地区间有两个国际航空公司服务,在任意两个地区间有且只有一条直达航线,所有航线都是可往返的,证明至少有一个国际航空公司,可提供两条互不相交的环行线,其中每条上的站数为奇数个.。