高等数学第三章课后习题答案

第三章 中值定理与导数的应用

1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。

解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足

拉格朗日中值定理的条件。又x

x f 1

)(=

'，解方程,111,1)1()()(-=--=

'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。

2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('

=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，

且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ

),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程

'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，

分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 011

10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明:

方程0)1(1211

0=++-+---n n n a x n a nx

a 必有一个小于0x 的正根。

解：取函数()1

011n

n n f x a x a x

a x --=++

+。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，

且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程

12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。

4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-

证明：取函数)(,arcsin )(x f x x f =在[]上连续，在（a , b ）内可导，

由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),,(b a ∈ξ，使()()'()()f a f b f a b ξ-=-， 即

arcsin arcsin )a b a b -=

-，

故.11arcsin arcsin 2

b a b a b a -≥--=-ξ

5．设)(x f 在)0](,[b a b a <<上连续，在),(b a 内可导，证明存在),,(b a ∈ξ使

.3)()()()(2

'

22ξ

ξf b ab a a b a f b f ++=-- 证明：取函数3

()g x x =，则()g x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，由柯西中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使

333

()()'()

f b f a f b a ξξ-=-，

即

222

()()'()

()3f b f a f a ab b b a ξξ-=++-。

6．证明恒等式: .2

cot arctan π

=

+x arc x

证明：取函数()arctan arccot f x x x =+，则22

11

'()011f x x x =

-=++. 则).()(为常数c c x f =因为(1)arctan1cot12

f arc π

=+=

，故(1)()2

f f x π

==

。

7．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式),()('

x f x f =且,1)0(=f 则

x e x f =)(.

证明：,0)

()()()()(,)()(2=-'=-'='=

x

x x x x e x f x f e e x f e x f x F e x f x F 因取故

C x F =)(，又()()

()(0)1,1,1,.x x x F F x f x e e

====f 故即故

8．用洛必达法则求下列极限

（1） n

n m

m a x a x a x --→lim

解：()11lim lim 0.m m m m n

n

n n x a x a x a mx m a a x a nx n ---→→-==≠- （2） x

b a x

x x -→0lim

解：00ln ln lim

lim ln ln 1

x x x x x x a b a a b b

a b x →→--==- （3）2

2

)

2(sin ln lim

x x

x -→

ππ

解： 81

8csc lim )2(4cot lim )2(sin ln lim 22

2

22

-=-=--=-→

→→x x x x x x x x πππππ

（4）)0,1(log lim

>>+∞→αα

a x x

a x

解： 0ln 1lim ln 1

lim log lim 1===+∞→-+∞→+∞→α

ααααax x a x x x x x a x （5）)

2ln(tan )

7ln(tan lim

0x x x +→

解：22sec 21

7

7sec 71

lim 22sec 2tan 177sec 7tan 1lim )2ln(tan )

7ln(tan lim 2202200⋅⋅=⋅⋅=+→+→+→x x

x x x x x x x x x x x

12

2sec 77

7sec 2lim 220=⋅⋅=+→x x x