人教版九年级上册期末高频考点小练：圆周角定理(二)(填空题)
人教版九年级上册期末高频考点小练：圆周角定理(四)(选择题专项)
九年级上册期末高频考点小练：圆周角定理（选择题专项）1．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．105°C．125°D．110°2．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝，下列说法错误的是（）A．∠B＝30°B．∠BAD＝60°C．BD＝2D．AB＝24．如图，在⊙O中，点B是的中点，点D在上，连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB＝50°，则∠BDC的大小为（）A．50°B．35°C．25°D．15°5．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝76°，则∠ADC的度数是（）A．24°B．35°C．38°D．76°6．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE，若∠ACB＝50°，则下列结论中正确的是（）A．∠AOB＝50°B．∠ADB＝50°C．∠AEB＝30°D．∠AEB＝50°7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是CD边、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是（）A．B．2 C．3 D．38．如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5 B．10 C．5D．1010．下列说法中错误的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知⨀O的直径CD⊥弦AB于点E，∠ACD＝25°，则∠ADB的大小为（）A．120°B．130°C．140°D．150°12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝38°，则∠AOB等于（）A．52°B．68°C．76°D．86°13．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（）A．60°B．55°C．58°D．40°14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝120°，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠CAB＝40°，则∠CAD ＝（）A．30°B．40°C．50°D．25°16．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，CD＝4，以BC上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离为（）A．5 B．C．D．17．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（）A．B．C．D．19．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC＝AB B．2∠C＝∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD 20．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（）A．80°B．60°C．50°D．40°参考答案1．解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，如图所示：∵∠CBD＝55°．∴∠E＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：D．2．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．3．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，故选项A、B不符合题意，在Rt△ADB中，BD＝AD＝3，AB＝2AD＝2，故选项C符合题意，选项D不符合题意，故选：C．4．解：连接OC，如图，∵点B是的中点，∴＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∵∠BDC＝∠BOC＝25°．故选：C．5．解：∵BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝76°，∴∠AOC＝∠AOB＝76°．又∵点D在⊙O上，∴∠ADC＝∠AOC＝×76°＝38°．故选：C．6．解：∵∠ACB＝50°，∴∠AEB＝∠ACB＝50°，∠AOB＝2∠ACB＝100°，∠ADB＝∠ACB+∠CAD＞∠ACB＝50°，故选项A、B、C不正确，只有选项D正确，故选：D．7．解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接BD，DA′，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BDA＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∵∠BDC＝∠ADB＝60°，∴∠ADN＝60°，∴∠A′DN＝60°，∴∠ADB+∠ADA′＝180°，∴A′，D，B在一条直线上，由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE＝1，DF＝2，∴PE+PF的最小值是3．故选：C．8．解：作直径AD，连接BD、AB，如图，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣140°＝40°，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；在上取一点E，连接AE、BE，∴∠AEB＝∠ACB＝140°．故选：D．9．解：∵AC＝AC，∴∠D＝∠B，∵∠BAC＝∠D，∴∠B＝∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC＝5，∴AB＝5，故选：C．10．解：垂直平分弦的直线经过圆心，所以①的说法正确；平分弦（非直径）的直径一定垂直于弦，所以②的说法错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以③的说法错误；等弧所对的弦相等，所以④的说法正确；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，所以⑤的说法错误．故选：C．11．解：如图所示：∵直径CD⊥弦AB，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD是O的直径，∴∠DAC＝90°，∴∠BDC＝∠ADC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝2∠ADC＝130°，故选：B．12．解：∵∠ACB＝38°，∴∠AOB＝2∠ACB＝76°．故选：C．13．解：∵∠D＝120°，∴∠B＝60°，∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，故选：A．14．解：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∵∠CDB＝∠BOC＝30°．故选：B．15．解：连接OD、OC，如图，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵＝，∴∠AOD＝∠COD＝∠AOB＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°．故选：D．16．解：∵∠AOB+∠OAB＝90°，∠AOB+∠DOC＝90°，∴∠OAB＝∠DOC，在△ABO与△OCD中，，∴△ABO≌△OCD（AAS），∴OB＝CD＝4，根据勾股定理得OA＝＝2．∴AD＝＝2过O作OF⊥AD，垂足为F．∵∠AOD＝90°，OA＝OD，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OF＝AD＝，即O到AD距离为．故选：C．17．解：∵∠A与∠E都对，∴∠A＝∠E，所以①正确；∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，所以②正确；∵AB⊥DG，∴＝，∵点D是弧EB的中点，即＝，∴＝，∴∠DBE＝∠BDG，∴FB＝FD，所以③正确．故选：D．18．解：连接OC，如图，∵BC∥OA，∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，∵∠AOB＝130°，∴∠OBC＝50°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝50°，∴∠AOC＝50°，∴的长＝＝．故选：C．19．解：连接OA、BC，如图，∵直径CD⊥弦AB，∴＝，＝，∴AC＝BC，所以A选项错误；∵＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵2∠ACD＝∠AOD，∴2∠ACD＝∠BOD，所以B选项正确，C、D选项错误．故选：B．20．解：∵B、C分别是弧AD的三等分点，∴＝＝，∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∴∠AOD＝3×40°＝120°，∴∠AED＝∠AOD＝60°，故选：B．。
圆的有关性质-圆周角定理考点训练课件人教版数学九年级上册
6 【母题：教材P88练习T2】如图，A，B，C，D是⊙O 上的点，则图中与∠A相等的角是( ) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【点拨】 根据同弧所对的圆周角相等得∠A＝∠D.
【答案】 D
7 【2022·朝阳】如图，在⊙O中，点A是B︵C的中点， ∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是( ) A．24° B．26° C．48° D．66°
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝180°－ 2 92°＝44°.
【答案】 A
5 【2022·枣庄】将量角器按如图所示的方式放置在三 角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为 86°，30°，则∠ACB的度数是( ) A．28° B．30° C．36° D．56°
【点拨】 设量角器的中心点为 O，连接 OA，OB. 由题意得∠AOB＝86°－30°＝56°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝28°.
【点拨】
︵
连接 BD.∵点 A 是BC的中点，
︵︵
∴AC＝AB.∴∠ADB＝∠ADC＝24°.
∴∠AOB＝2∠ADB＝48°.
【答案】 C
8 【2022·包头】如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E 是劣弧BC的中点，连接BC，DE，若∠ABC＝22°， 则∠CDE的度数为( ) A．22° B．32° C．34° D．44°
【点拨】 如图，连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根
据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆 周角定理计算即可．
【答案】 C
9 【2023·北京四中月考】已知在半径为 4 的⊙O 中， 弦 AB＝4 3，点 P 在圆上，则∠APB＝ _____6_0_°__或__1_2_0_°____.
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论测试题
人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140° B．110° C．120° D．130°(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3 B． C．5-12D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•B(4) (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O 半径为1，求弦长AB ．2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐 标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．A参考答案一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又AB AC=，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=433．（1）略（2）4，（，2）初三第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
2021年数学九年级中考复习专题圆之三大定理：圆周角定理(二)
2021年数学九年级中考复习专题圆之三大定理：圆周角定理（二）一．选择题1．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，⊙O中，AD、BC是圆O的弦，OA⊥BC，∠AOB＝50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）A．25°B．65°C．45°D．55°3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（）A．25°B．40°C．30°D．50°6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°7．如图，A、B、C、D是⊙O上的点，若∠D＝50°，则∠B＝（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°9．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（）A．40°B．140°或40°C．20°D．20°或160°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝100°，则∠BCD等于（）A．100°B．130°C．80°D．160°11．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（）A．40°B．60°C．80°D．100°12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．l00°B．105°C．110°D．120°二．填空题13．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则⊙O的半径为．14．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是．17．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠A＝30°，则∠D＝．18．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝3cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以3cm/s 的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t值为s时，△BEF是直角三角形．三．解答题19．如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．求证：（1）∠DFC＝∠DOB；（2）MN•OM＝MC•FM．20．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，PB＝2，求△PCM的面积．21．已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC＝2cm．AD：DB＝4：1，求AD的长．22．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连结BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．参考答案一．选择题1．解：连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°．故选：B．2．解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠D＝∠AOB＝×50°＝25°，∵CE⊥AD，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝65°．故选：B．3．解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，故选：A．4．解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．5．解：∵DE∥OA，∠D＝50°，∴∠AOD＝∠D＝50°，∴∠C＝∠AOD＝25°．故选：A．6．解：∵∠ABC＝25°，∴∠ADC＝25°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣25°＝65°．故选：C．7．解：∠B＝∠D＝50°．故选：A．8．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．9．解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°；当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣40°＝140°；所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．故选：B．10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°；∵∠BAD＝∠BOD＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝130°；故选：B．11．解：连接OC．∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，同理，∠A＝∠ACO∴∠ACB＝∠A+∠B＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．故选：C．12．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA＝OC，∠B＝∠C，∴AB＝AC，由圆周角定理知，∠O＝2∠D＝60°，所以等腰△OAC是等边三角形，有AB＝AC＝OA，∵∠B＝∠C，∴AE⊥BC∵AB＝AC，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△ACE，∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC，∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴BF2＝AB2﹣AF2，AF2+EF2＝AE2，由相交弦定理知，BE•CE＝AE•ED＝8，而BE•CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，∴AB2＝12，∴半径等于2．14．解：连接OB，如图，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝15°，∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠C＝∠AOB＝75°．故答案为75°．15．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．16．解：如图，AB为⊙O的弦，且AB＝OA，则△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝30°，∴∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣30°＝150°．∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．故答案为30°或150°．17．解：∵⊙O的直径CD⊥AB，∠A＝30°，∴＝，∠AOC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠D＝∠AOC＝30°．故答案为：30°．18．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°．∵∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．又BC＝3cm，∴AB＝6cm．则当0≤t＜3时，即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．若△BEF是直角三角形，则当∠BFE＝90°时，根据垂径定理，知点E与点O重合，即t ＝1；当∠BEF＝90°时，则BE＝BF＝，此时点E走过的路程是或，则运动时间是s或s．故答案为：1或或．三．解答题（共4小题）19．证明：（1）连接OC，∵DC⊥AB，OD＝OC，∴∠DOB＝∠DOC．∵∠DFC＝∠DOC，∴∠DFC＝∠DOB．（2）∵∠DFC＝∠DOB，∴∠DFC＝∠BOC．∴∠MFN＝∠MOC．又∵∠FMA＝∠OMC，∴△NFM∽△MOC．∴＝，即MN•OM＝MC•FM．20．（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵CM∥BP∴∠PCM＝∠BPC＝60°，又∵∠APC＝60°，∴△PCM是等边三角形∴PC＝MC，∠M＝60°，∵∠BCA﹣∠PCA＝∠PCM﹣∠PCA，∴∠PCB＝∠ACM，在△ACM和△BCP中，，∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS），（2）∵△ACM≌△BCP，∴AM＝PB＝2，∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，∵△PCM是等边三角形，∴△PCM的面积＝CM2＝．21．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°．∴∠ACB＝∠ADC．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．设DB＝xcm，则AD＝4xcm，AB＝5xcm．∴．即5x×4x＝（2）2．解得x＝．∴AD＝4cm．22．（1）证明：∵，∴CD＝BD，∵∠CDB＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BD，在线段CE上取点F，使得EF＝AE，连接DF，∵DE⊥AC，∴DF＝DA，∴∠DFE＝∠DAE，∵＝，∴CD＝BD，∠DAC＝∠DCB，∴∠DFE＝∠DCB，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFC＝∠DAB，∵在△CDF和△BDA中，∴△CDF≌△BDA（AAS），∴CF＝AB＝5，∵AC＝7，AB＝5，∴AE＝AF＝（AC﹣CF）＝1．。
人教版九年级上期末考前复习：《圆之圆周角定理》含答案
人教版九年级上期末考前复习：《圆之圆周角定理》1．已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．3．如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若BE＝2，CD＝8，求AD的长．5．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．（1）若AC＝6，则BC的长是；（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．6．已知，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，D为的中点，连接AD．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝60°，求AD的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝6，OD与CB相交于点P，求PB、PD的长．7．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，D为的中点．（1）求∠ABD的大小；（2）若AC＝6，BD＝5，求BC的长．8．如图①，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点，∠A＝30°，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E，与AC的延长线交于点F，①求∠F的大小；②若⊙O的半径为2，求AF的长．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，连接BD ，点E 是AB 边上一点（点E 不与点A ，B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ；（3）若AE ＝3cm ，EB ＝6cm ，求DG 的长．10．已知OA 是⊙O 的半径，OA ＝1，点P 是OA 上一动点，过P 作弦BC ⊥OA ，连接AB 、AC ．（1）如图1，若P 为OA 中点，则AC ＝ ，∠ACB ＝ °；（2）如图2，若移动点P ，使AB 、CO 的延长线交于点D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．△AOD 的面积为S 3，且满足，求的值．参考答案1．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．2．（1）证明：∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴CB平分∠ABD；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：DB＝＝＝2，∵OC∥BD，AO＝BO，∴AF＝DF，∴OF＝BD＝＝，∵直径AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴CF＝OC﹣OF＝4﹣．3．（I）解：∵点P为弧AB的中点，∴＝，∴∠C＝∠NDE，∵AD⊥CP，∴∠EMC＝90°，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝180°﹣∠NDE﹣∠DEN＝180°﹣∠C﹣∠CEM＝∠EMC＝90°；（II）证明：∵∠DNE＝90°，∴∠DNE＝∠DNB＝90°，∵＝，∴∠EDN＝∠BDN，在△EDN和△BDN中，，∴△EDN≌△BDN（ASA），∴EN＝BN．4．（1）证明：∵弦CD⊥AB，∴∠AGD＝∠ADC，∵四边形ABCG是圆内接四边形，∴∠FGC＝∠ADC，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：连接OD，如图，∵CD⊥AB，CD＝8∴DE＝CE＝4，在Rt△DOE中，∵DO2＝OE2+ED2，∴DO2＝（OD﹣2）2+42，解得OD＝5，∴AE＝10﹣2＝8，∴AD＝．5．解：（1）如图1中，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2．故答案为2．（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．∵D是的中点，∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，设DH＝x，则OH＝4﹣x，∵AC⊥OD，∴∠CHD＝∠CHO＝90°，∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，解得x＝，∴CH＝＝＝，∵OD垂直平分AC，∴AC＝2CH＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝7．②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．∵D，E，C是的三等分点，∴＝＝，∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，∴DE∥AC，∵∠H＝∠I＝90°，∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AHIC是矩形，∴AH＝CI，AC＝HI，∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，∵∠H＝90°，∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，解得x＝，∵EI＝DH＝，∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，∴AC＝HI＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝．6．解：（Ⅰ）如图①中，连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵＝，∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴BD＝AB＝5，∴AD＝＝＝5．（Ⅱ）如图②中，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴CB＝＝＝8，∵＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠OPB＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，∴PB＝BC＝4，又O为AB的中点，∴OP＝AC＝3，∴PD＝OD﹣OP＝2．7．解：（1）∵D为的中点，∴＝，∴DA＝DB，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAB＝45°．（2）∵AD＝BD＝5，∠ADB＝90°，∴AB＝AD＝10，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8．8．解：（Ⅰ）如图①中，连接OC．∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OPC中，∠POC+∠P＝90°，∴∠P＝90°﹣60°＝30°．（Ⅱ）如图②中，①由（Ⅰ）∠OCP＝90°，又∵BF⊥PC，即∠PEB＝90°，∴OC∥BF，∴∠F＝∠ACO＝∠A＝30°，②由①∠F＝∠A，∴AB＝BF，连接BC，则∠BCA＝90°，即BC⊥AF，∴AC＝CF，∵∠BOC＝60°，OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2，∴，∴AF＝．9．（1）证明：连接BD．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，∴∠FDB+∠BDG＝90°，又∵∠EDA+∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE＝BF；（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，∴DE＝DF．∵∠EDF＝90°．∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°．∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；（3）解：∵AE＝BF，AE＝3，∴BF＝3．在Rt△EBF中，EF＝＝＝3，∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴DE＝EF＝×3＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴，即GE•DE＝AE•BE，∴GE＝＝，∴DG＝GE+ED＝＝．10．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，∴AC＝OA，∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝1，∠ACO＝60°，∵PC⊥OA，∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，故答案为：1；30．（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，∵BC⊥OA，∴PB＝PC，∴AB＝AC，∵OB＝CO，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴S△ABO ＝S△ACO＝S1，∴S1+S2＝S3，∵，∴，∴S12+S1S2﹣S22＝0，∴﹣1＝0．解得：，∴，∴，∴，∵CE为直径，∴∠CBE＝90°，∴AO∥BE，∴△AOD∽△BED，∴，∵OE＝OC，∴OP＝BE，∴，∴+1，∴，∴．。
新人教版九年级数学上册圆知识总结与题型练习及答案
每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ dR r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d第二部分：习题及详解一．选择题（共10小题） 1．下列说法，正确的是（ ） A ．弦是直径 B ． 弧是半圆C ．半圆是弧D ． 过圆心的线段是直径 2．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（ ）A ．3cmB ．4cmC ． 5cmD ． 6c m（2题图） （3题图） （4题图） （5题图） （8题图）3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ．若CD=6，则隧道的高（ME 的长）为（ ） A ．4B ．6 C ．8 D ． 9图4rRd图5r Rd图2r Rd每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”A ．51°B ． 56°C ． 68°D ． 78° 5．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50° C ． 60° D ． 30° 6．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）A ．点A 在圆上B ． 点A 在圆内C ．点A 在圆外D ． 无法确定7．已知⊙O 的直径是10，圆心O 到直线l 的距离是5，则直线l 和⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ． 相切D ． 外切8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ） A ．2，B ． 2，πC ． ，D ． 2，9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）A ．2πB ．π C ．D ．10．如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．12πB ．24π C ．6π D ． 36π二．填空题（共10小题）11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为 ．（9题图） （10题图） （11题图） （12题图） 12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为 ．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．（13题图） （14题图） （15题图） （17题图）14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 ． 15．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”17．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留π）． 18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是 ．19．如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是 ． 20．半径为R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ． 三．解答题（共5小题）21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ． （1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若AB=8，求CD 的长．22．已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点，且OD ∥BC ．求证：AD=DC ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．24．如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．参考答案一．选择题（共10小题） 1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．C8．D9．B10．B二．填空题（共10小题） 11．12．50° 13．70 14．1或515．54° 16．50° 17．2π18．24π 19．20πcm 2 20．60° 三．解答题（共5小题）21．（1）证明：连接AC ，如图 ∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴，∴AC=AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF=DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC=CD ， ∴AC=AD=CD ．即：△ACD 是等边三角形，∴∠FCD=30°， 在Rt △COE 中，，∴，∴点E 为OB 的中点；（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8，∴，又∵BE=OE ，∴OE=2，∴，∴．（21题图） （22题图） （23题图） （24题图）22．证明：连结OC ，如图，∵OD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3， 又∵OB=OC ，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC ．23．（1）证明：连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，圆1精品讲义 每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．24．解：连接OC ，∵AB 与圆O 相切，∴OC ⊥AB ，∵OA=OB ，∴∠AOC=∠BOC ，∠A=∠B=30°，在Rt △AOC 中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°， ∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，则S 阴影=S △AOB ﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13， 所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．。
圆周角定理练习题
《圆周角定理》练习题一．选择题（共16 小题）1．如图， A、 B、 C三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30° B ．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B．2C．3D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠ BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙ O中，点 A，B，C 均在圆上，∠AOB=80°，则∠ ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B ．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙ O的直径，A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC的度数为） A ．40°B．50° C ．60°D．70°8．如图， AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B ．60° C ．65° D ．70°第7题图第8题图第9题图9．如图， AB是⊙ O的直径， C， D 为圆上两点，∠ AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2D．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 211．如图，AB是半圆 O的直径，∠BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A ．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中， OA⊥ BC，∠ AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙ O中，点 A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦A B所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ ACB的角均分线CD交⊙ O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第 10题图第11题图第12题图16．如图， AB是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8 小题）17．如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，则∠EOD等于．第 17题图第18题图第19题图18．如图，点A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点C 是劣弧 AB上不与 A、 B 重合的任意一点，则∠ C=°．19．在⊙ O中，弦 AB=2cm，∠ ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙ O中弦 AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第 20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的⊙ O交 BC于点 D，交 AC于点E，则 DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16 小题）25． 28．如图， AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上的点， AC=6cm，BC=8cm，∠ ACB的均分线交⊙O 于点 D，求 AB和 BD的长．26．如图，已知 CD是⊙ O的直径，弦 AB⊥ CD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ ABC的形状，并说明你的原由．27、如图，△ ABC的高 AD、 BE订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．28．已知：如图， AB为⊙ O的直径， AB=AC，BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．29．如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙ O的半径．30．如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB于点 D，点 C是弧 AF 的中点，连接AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点G．（1）求证： AE=CE；．31．如图，△ ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分线交外接圆于D， DE⊥ AB于 E， DM⊥ AC于 M．（1）求证： BE=CM．（2）求证： AB﹣ AC=2BE．32．如图， OA是⊙ 0 的半径，以OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB 订交于点D．求证： AD=BD．33．如图，已知： AB是⊙ O的弦， D为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C， DM均分∠ CDO．求证：M 是弧 AB的中点．34．如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足， CE是直径，求证：∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．36．已知 AB为⊙ O的直径，弦BE=DE，AD， BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．41．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点 E， G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图， AB是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥ AB垂足为 E， AC分别与 DE、 DB订交于点 F、 G，则 AF 与 FG可否相等？为什么？43．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB的中点．44．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°， D 是 AB 的中点，以 DC为直径的⊙ O交△ ABC的边于G，F，E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．45．如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥ AC垂足为 P，DH⊥ BH垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．《圆周角定理》 22参照答案与试题解析一．选择题（共16 小题）1．（ 2012? 呼伦贝尔）如图，A、B、C 三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠ BAC的度数是（）A．152°B．76° C ．38° D ．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠ BAC，又∵∠ BOC=76°，∴∠ A=76°×=38°．应选 C．2．（ 2015? 眉山）如图，⊙O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠ B 的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵ OA=OC，∠ ACO=45°，∴∠ OAC=45°，∴∠ AOC=180°﹣ 45°﹣ 45°=90°，∴∠ B=∠ AOC=45°．应选 D．3．（ 2010 秋 ? 海淀区校级期末）如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B． 2C．3D．4【解答】解：∠ 1 和∠ 3 吻合圆周角的定义，∠2极点不在圆周上，∠4的一边不和圆订交，故图中圆周角有∠ 1 和∠ 3 两个．应选 B．4．（ 2015? 珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【解答】解：∵在⊙ O中，直径CD垂直于弦AB，∴= ，∴∠ DOB=2∠C=50°．应选： D．5．（ 1997? 陕西）如图，已知在⊙O中，点 A， B， C均在圆上，∠ AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°【解答】解：设点 E 是优弧∵∠ AOB=80°C．145°D．150°AB上的一点，连接EA， EB∴∠ E=∠AOB=40°∴∠ ACB=180°﹣∠ E=140°．应选： B．6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【解答】解：连接OP，可得∠ MAP= ∠ MOP，∠ NBP= ∠ NOP，∵MN为直径，∴∠ MOP+∠NBP=180°，∴∠ MAP+∠NBP=90°，∵∠ PBN=50°，∴∠ MAP=90°﹣∠ PBN=40°．应选 B．7．（ 2007? 太原）如图，CD是⊙ O的直径， A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC 的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ ABD=20°∴∠ C=∠ABD=20°∵CD是⊙ O的直径∴∠ CAD=90°∴∠ ADC=90°﹣ 20°=70°．应选 D．8．（ 2013? 苏州）如图，AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．应选 C．9．（2009? 枣庄）如图，AB是⊙ O的直径， C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°【解答】解：∵∠ AOC=130°，∴∠ BOC=50°，∴∠ D=∠BOC=25°．应选A．10．（ 2013 秋 ? 沙洋县校级月考）如图，∠1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2 D ．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠ 1=∠ 3=∠ 5=∠ 6，依照三角形的外角的性质得：∠ 5＞∠ 4，∠ 2＞∠ 6，∴∠ 4＜∠ 1=∠3＜∠ 2，应选 B．11．（ 2012 秋 ? 天津期末）如图，AB 是半圆 O的直径，∠ BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：连接BC，∵AB 是半圆的直径∴∠ ACB=90°∵∠ BAC=60°，∴∠ ABC=90°﹣∠ BAC=30°，∴∠ D=∠ABC=30°．应选 A．12．（ 2009? 塘沽区二模）如图，在⊙ O中，OA⊥ BC，∠AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．50°【解答】解：∵ OA⊥BC，∠ AOC=50°，∴，∴∠ ADB= ∠AOC=25°．应选 C．13．（ 2012 秋 ? 宜兴市校级期中）在⊙对的圆周角是（）A．42° B ．84° C．42°或 138°O中，点D．84°或A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦 96°AB所【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ ACB=∠ AOB=×84°=42°，∴∠ ADB=180°﹣∠ ACB=138°．∴弦 AB所对的圆周角是： 42°或138°．应选 C．14．（ 2011? 南岸区一模）以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ACB的角均分线CD交⊙O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙ O中， AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∵CD是∠ ACB的角均分线，∴= ，∴AD=BD，∴△ ABD是等腰直角三角形，∴∠ ABD=45°．应选 C．15．（ 2015 秋 ? 合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠ CBA的度数为（）A．60° B．50° C． 40° D．30°【解答】解：连接AC，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵∠ A=∠CDB=40°，∴∠ CBA=90°﹣∠ A=50°．应选 B．16．（ 2013? 万州区校级模拟）如图，AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ BAD=30°，∴=60°，∵AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∴= =60°，∴=180°﹣ 60°=120°，∴∠ AEC==×120°=60°．应选 C．二．填空题（共8 小题）17．（ 2016? 大冶市模拟）如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF的中点 G，∠ DCF=20°，则∠ EOD 等于 40° ．【解答】解：∵⊙ O的直径 CD过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，∴弧 DF=弧 DE，且弧的度数是40°，∴∠ DOE=40°，答案为 40°．18．（ 2015? 历城区二模）如图， AB是半圆的直径，点 D是弧 AC的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．故答案为65°．19．（ 2013 秋 ? 滨湖区校级期末）如图，点 A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一点，则∠ C= 130 °．【解答】解：在优弧AB上取点 D，连接 AD、 BD，如图，∴∠ D=∠ AOB=×100°=50°，∵∠ D+∠C=180°，∴∠ C=180°﹣ 50°=130°．故答案为130．20．（ 2008 秋? 苏州校级期中）球员甲带球冲到 A 点时，伙伴乙已经助攻冲到 B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．依照圆周角定理，得∠PCQ=∠B，PCQ＞∠ A，依照三角形的外角的性质，得∠则∠ B＞∠ A．故答案为第二种．21．（ 2015? 黄岛区校级模拟）在⊙ O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙ O的直径为4cm．【解答】解：连接OA， OB，∵∠ ACB=30°，∴∠ AOB=60°，∴△ AOB是等边三角形，∴O A=OB=AB=2cm，∴⊙ O的直径=4cm．故答案为：4．22．（ 2014 春? 海盐县校级期末）如图，⊙O中弦 AB 等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．【解答】解：连接OA、 OB，∠ APB和∠ AP′B为弦 AB所对的圆周角，如图，∵弦 AB等于半径R，∴△ OAB为等边三角形，∴∠ AOB=60°，∴∠ APB= ∠AOB=30°，∴∠ AP′B=180°﹣∠ APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．故答案为60°；是 30°或 150°．23．（ 2012? 义乌市模拟）如图，等腰△BC于点 D，交 AC于点 E，则 DE的长为ABC的底边2 cm．BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交【解答】解：连接AD，∵∠ DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠ DEC=∠B，又等腰△ ABC， BC为底边，∴A B=AC，∴∠ B=∠ C，∴∠ DEC=∠C，∴D E=DC，∵AB 为圆 O的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∴BD=CD= BC，又 BC=4cm，∴D E=2cm．故答案为： 224．（ 2012 秋? 哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设 AP与圆的交点是C，连接 CQ；则∠ PCQ＞∠ A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠ B；因此∠ B＞∠ A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16 小题）25．（ 2009? 沈阳模拟）如图，△ ABC的高 AD、BE 订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．【解答】证明：∵∠ C=∠ G，△ ABC的高 AD、 BE，∴∠ C+∠DAC=90°，∠ AHE+∠DAC=90°，∴∠ C=∠ AHE，∵∠ AHE=∠BHG=∠ C，∴∠ G=∠ BHG，∴BH=BG，又∵ AD⊥ BC，∴HD=DG．26．（ 2013 秋 ? 虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的原由．【解答】解：△ ABC为等边三角形．原由以下：∵AB⊥ CD，CD为⊙ O的直径，∴弧 AC=弧 BC，∴AC=BC，又∵∠ BPC=∠A=60°，∴△ ABC为等边三角形．27．（ 2013 秋 ? 耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙ O的直径， AB=AC， BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．【解答】（ 1）解：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠C，∵∠ BAC=40°，∴∠ C=（180°﹣40°）=70°，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ EBC=90°﹣∠ C=20°；证明：连接AD，如图，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∴AD⊥ BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（ 2014 秋 ? 高密市期中）如图， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上的点， AC=6cm， BC=8cm，∠ACB的均分线交⊙ O于点 D，求 AB和 BD的长．【解答】解：如图，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∠ ADB=90°．∴AB===10（ cm）．∵A C=6cm，BC=8cm，∵C D是∠ ACB的均分线，∴∠ ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴B D= AB=5 cm．综上所述， AB和 BD的长分别是10cm， 5cm．29．（ 2013 秋? 宜兴市校级期中）如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连接 BD，如图，∵CD为直径，∴∠ CBD=90°，∵∠ D=∠A=30°，∴C D=2BC=2× 3=6，∴⊙ O的半径为 3cm．30．（ 2010 秋 ? 瑞安市校级月考）如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF交 CD于点 E，连接 BC交 AF于点 G．（1）求： AE=CE；（2）已知 AG=10， ED： AD=3：4，求 AC的．【解答】（ 1）明：∵点 C 是弧 AF 的中点，∴∠ B=∠ CAE，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，即∠ ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥ AB，∴∠ B+∠BCD=90°，∴∠ B=∠ CAE=∠ ACE，∴A E=CE⋯（ 6 分）（2）解：∵∠ ACB=90°，∴∠ CAE+∠CGA=90°，又∵∠ ACE+∠BCD=90°，∴∠ CGA=∠BCD，∵A G=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3： 4，∴A D=4， DE=3，∴AC=⋯（ 10 分）．31．（ 2015 秋 ? 中市期中）如，△ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分交外接于D， DE ⊥AB 于 E，DM⊥ AC于 M．（1）求： BE=CM．（2）求： AB AC=2BE．【解答】证明：（ 1）连接 BD，DC，∵AD均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∴弧 BD=弧 CD，∴BD=CD，∵∠ BAD=∠CAD， DE⊥ AB， DM⊥ AC，∵∠ M=∠DEB=90°， DE=DM，在 Rt △ DEB和 Rt △ DMC中，，∴R t △ DEB≌ Rt △ DMC（ HL），∴B E=CM．（2）∵ DE⊥ AB， DM⊥AC，∵∠ M=∠DEA=90°，在 Rt △ DEA和 Rt △ DMA中∴R t △ DEA≌ Rt △ DMA（ HL），∴A E=AM，∴A B﹣ AC，=AE+BE﹣ AC，=AM+BE﹣ AC，=AC+CM+BE﹣ AC，=BE+CM，=2BE．32．（ 2013? 宁夏模拟）如图， OA是⊙ 0 的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB订交于点D．求证： AD=BD．【解答】证明：连接OD，如图，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ADO=90°，∴OD⊥ AB，∴AD=BD．33．（ 2011 秋 ? 宁波期中）如图，已知：AB是⊙ O的弦， D 为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C，DM 均分∠ CDO．求证： M是弧 AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ ODM=∠OMD，∵DM均分∠ ODC，∴∠ ODM=∠CDM，∴∠ CDM=∠OMD，∴CD∥ OM，∵CD⊥ AB，∴OM⊥ AB，∴弧 AM=弧 BM，即点 M为劣弧 AB 的中点．34．（2009 秋 ? 哈尔滨校级期中）如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足，CE是直径，求证：∠ ACD=∠ BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠ EAC=90°，∴∠ ACE=90°﹣∠ AEC，∵CD是高， D 是垂足，∴∠ BCD=90°﹣∠ B，∵∠ B=∠ AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ ACE=∠BCD，∴∠ ACE+∠ECD=∠ BCD+∠ ECD，∴∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．【解答】证明：∵ AE是⊙ O的直径，∴∠ ABE=90°，∴∠ E+∠BAE=90°，∵A F⊥ BC于 D，∴∠ FAC+∠ACB=90°，∵∠ E=∠ ACB，∴∠ BAE=∠FAC，∴弧 BE=弧 CF，∴B E=CF．36．（ 2015 秋 ? 哈尔滨校级期中）已知 AB为⊙ O的直径，弦 BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证： AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ AEB=∠AEC=90°，∵弦 BE=DE，∴= ，∴∠ DAE=∠BAE，∵∠ C=90°﹣∠ DAE，∠ B=90°﹣∠ BAE，∴∠ B=∠ C，∴A C=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？【解答】解： AD和 BF相等．原由：如图，连接 AC、 BC，∵OC⊥ AB，∴∠ BOC=90°∴∠ BDC=∠BAC=45°∵EC⊥ CD，∴∠ DCE=∠ACB=90°，∴△ DCF和△ ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC， AC=BC，∵∠ DCA+∠ACF=∠ BCF+∠ACF=90°，∴∠ DCA=∠FCB在△ ACD和△ BCF中，{ ，∴△ ACD≌△ BCF∴D A=BF．38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．【解答】证明：连接AD， AE，∵AB 是直径． AB⊥ DE，∴AB 均分 DE，弧 ACE=弧 AD，∴∠ ACD=∠ADE，∵A、 C、 E、 D四点共圆，∴∠ FCE=∠ADE，∴∠ FCE=∠ACD，∴∠ FCE+∠DCE=∠ DAC+∠ ECD，∴∠ FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．【解答】解：延长 CE交⊙ O于 M，∵AD是⊙ O的直径，作CE⊥ AD，∴弧 AC=弧 AM，∴∠ ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．【解答】解：△ DBC为等腰三角形．原由以下：∵AD为△ ABC的外角均分线，∴∠ EAD=∠DAC，∵∠ EAD=∠DCB，∠ DBC=∠ DAC，∴∠ DBC=∠DCB，∴△ DBC为等腰三角形．一．解答题（共 6 小题）1．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠ FGC与∠ AGD相等．原由以下：连接 AD，如图，∵CD⊥ AB，∴= ，∴∠ AGD=∠ADC，∵∠ FGC=∠ADC，∴∠ FGC=∠AGD2．如图， AB 是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥AB垂足为 E，AC分别与DE、 DB订交于点 F、G，则 AF与 FG可否相等？为什么？【解答】解： AF=FG，原由是：连接AD，∵AB 是直径， DE⊥ AB，∴∠ ADB=∠DEB=90°，∴∠ ADE=∠ABD，∵D 为弧 AC中点，∴∠ DAC=∠ABD，∴∠ ADE=∠DAC，∴A F=DF，∠ FAE=∠ DAC，∴D F=FG，∴A F=FG．3．如图， AB为⊙ O的直径，以 OA为直径作⊙ C， AD为⊙ O的弦，交⊙ C 于 E，试问，当 D 点在⊙ O上运动时（不与 A 重合）， AE与 ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解： AE=ED．原由：连接OE，∵AO是⊙ C的直径，∴∠ OEA=90°，∴OE⊥ AD，∵OE过圆 O的圆心 O，∴A E=ED．4．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB交于点 D，求证： D 是 AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ODA=90°，即OD⊥ AB，∴D 是 AB的中点．5．（ 2007? 鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB的中点，以DC为直径的⊙ O 交△ ABC的边于 G， F， E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D 是AB的中点，∴BD=DC= AB，（ 2 分）∵DC是⊙ O的直径，∴D F⊥ BC，（ 4 分）∴B F=FC，即 F 是 BC的中点；（5 分）（2）∵D，F 分别是AB，BC的中点，∴DF∥ AC，（ 6 分）∴∠ A=∠ BDF，（ 7 分）∵∠ BDF=∠GEF（圆周角定理），（ 8 分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）证明二：（1）连接 DF， DE，∵DC是⊙ O直径，∴∠ DEC=∠DFC=90°．（ 1分）∵∠ ECF=90°，∴四边形 DECF是矩形．∴E F=CD， DF=EC．（2 分）∵D 是 AB的中点，∠ ACB=90°，∴E F=CD=BD= AB．（ 3 分）∴△ DBF≌△ EFC．（4 分）∴BF=FC，即 F 是 BC的中点．（5 分）（2）∵△ DBF≌△ EFC，∴∠ BDF=∠FEC，∠ B=∠ EFC．（ 6 分）∵∠ ACB=90°（也可证AB∥ EF，得∠ A=∠ FEC），∴∠ A=∠ FEC．（ 7 分）∵∠ FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）（此题证法很多，大纲卷参照答案中，又给出了两种不同样的证法，可供参照．）6．（ 2000? 兰州）如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥AC垂足为 P，DH⊥BH 垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．【解答】证明：（ 1）在△ DHC与△ DPC中，∵∠ DCH=∠DCA， DP⊥ AC， DH⊥ BH， DC为公共边，∴△ DHC≌△ DPC，∴CH=CP．（2）连接 DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠ DBH，∵△ DHC≌△ DPC，∴DH=DP，∵DP⊥ AC，DH⊥ BH，∴∠ DHB=∠DPC=90°，∴△ DAP≌△ DBH，∴A P=BH．。
人教版九年级上知识点试题精选--关于圆周角定理
九年级上册关于圆周角定理一．选择题（共20小题）1．如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别为AB、AC的中点，BF为高，若AB=，则线段BF的长等于（）A．2DE B．DE C．AF D．AE2．如图，在⊙O中，弦AB=BC=CD，且∠ABC=140°，则∠AED=（）A．45°B．60°C．75°D．30°3．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠ABO的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°4．如图所示，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，A，B，C三点都在圆上，∠DAC=30°，则∠BAE为（）A．10°B．30°C．20°D．18°5．如图，在⊙O中，∠A=35°，∠E=40°，则∠BOD的度数（）A．75°B．80°C．135° D．150°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C=16°，则∠BOC的度数是（）A．74°B．48°C．32°D．16°7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为（）A．B．1 C．或1 D．或1或8．如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°9．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则∠D的度数为（）A．60°B．120°C．135° D．150°10．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A．①B．④C．③D．②11．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°12．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F．G，则弧FG对的圆周角∠FPG的大小为（）A．45°B．60°C．75°D．30°13．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）A．62πB．63πC．64πD．65π14．下列图形中能够说明∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．15．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C+∠AOB=60°，则∠AOB的大小为（）A．10°B．20°C．30°D．40°16．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°17．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，∠A=30°，则∠CBD=（）A．10°B．15°C．30°D．45°18．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°19．如图，A，B，C三点都在⊙O上，∠ACB=30°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．220．如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（）A．只有①B．只有①②C．只有②③D．①②③都是二．填空题（共20小题）21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD过点O，且长为2，若∠ABD=∠ACB，则AB的长为．22．如图，已知点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠AOB=度．23．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=5，则⊙O的半径为．24．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=°．25．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是．26．如图，⊙O中，∠AOC=80°，则∠ABC=°．27．如图△ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4cm，∠A=30°，则AB=cm．28．如图，△ABC内接于⊙O，CB=a，CA=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的半径为．29．如图，已知AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD并延长到C，使DC=BD，连接AC，则△ABC是三角形．30．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．设∠ACP=x，则x的取值范围是．31．如图，点O是⊙O的圆心，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，弦AB=2cm，则△OAB的周长是cm．32．如图①，用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠BAO=（度）；如图②，在矩形ABCD中，AB=3、AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2．把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其零刻度线MN与EF重合．若将量角器零刻度线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α（0°＜α＜90°），此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n°．（Ⅰ）用含n的代数式表示∠α的大小．∠α=；（Ⅱ）当n=时，线段PC与M′F平行．33．如图，等边△ABC的顶点在⊙O上，点P在劣弧AB上，∠ABP=22°，则∠BCP 的度数为．34．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为．35．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的半径的长是．36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则⊙O的直径AD的长度为．37．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB=4，BE=2，则PE的长为．38．如图AB为⊙O的直径，∠AOD=20°，则∠BCD=．39．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形OABC为菱形，则∠ADC=．40．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为．三．解答题（共10小题）41．如图，P是正方形ABCD的外接圆弧AD上的一点，点E在PA的延长线上，且AE=PC．已知PB=5，求PE的长？42．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．求∠EBC的度数．43．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．44．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．45．如图，BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，垂足为D点，=，AE与BF相交于G点．求证：（1）=；（2）BG=GE．46．如图，AB，BC为⊙O的弦，D为的中点，DE⊥BC于E，求证：AB+CE=BE．47．如图1，点A，B，C在⊙O上，连结OC，OB，（1）求证：∠BAC=∠B+∠C；（2）若点A在如图2的位置，以上结论仍成立吗？请说明理由．48．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若AE=10，∠ACB=60°，求BC的长．49．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4，DE⊥AB于E．（1）求DE的长．（2）求证：AC=2OE．50．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．九年级上册关于圆周角定理参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别为AB、AC的中点，BF为高，若AB=，则线段BF的长等于（）A．2DE B．DE C．AF D．AE【分析】此题需要将∠BAC转化到直角三角形中进行求解，连接AO和BO，利用勾股定理逆定理可以判定∠AOB=90°，然后利用圆周角定理得到∠C=45°，得到△BFC为等腰直角三角形，从而得到BF于BC的关系，进而得到BF与DE的关系．【解答】解：如图，连接AO、BO，∵△ABC的外接圆⊙O的半径为1，∴OA=OB=1，∵AB=，∴△ABO为直角三角形，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=45°，∵BF为高，∴BF=，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴BC=2DE∴BF===，故选B．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、锐角三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质等知识，正确地构造出直角三角形是解题的关键．2．如图，在⊙O中，弦AB=BC=CD，且∠ABC=140°，则∠AED=（）A．45°B．60°C．75°D．30°【分析】根据弦AB=BC=CD，可以的到BC∥AD，则∠BAC的度数即可求得，则∠COD的度数即可得到，从而求得∠AOD的度数，然后利用圆周角定理即可求解．【解答】解：连接OA、OD、AC、OC．∵弦AB=BC=CD，∴BC∥AD，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=40°，∵BC=CD∴∠CAD=20°，∴∠COD=40°，∴∠AOD=3×30=120°，∴∠AED=∠AOD=60°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理，正确求得∠COD的度数是关键．3．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠ABO的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C=50°；则在直角△BOE中，利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质解题．【解答】解：如图，∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．∴∠ABO=90°﹣∠DOB=40°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．如图所示，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，A，B，C三点都在圆上，∠DAC=30°，则∠BAE为（）A．10°B．30°C．20°D．18°【分析】首先连接BE，由AE是⊙O的直径，AD是△ABC的高，易求得∠BAE=∠DAC．【解答】解：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠BAE=90°﹣∠E，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°﹣∠C，∵∠E=∠C，∴∠BAE=∠DAC=30°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．如图，在⊙O中，∠A=35°，∠E=40°，则∠BOD的度数（）A．75°B．80°C．135° D．150°【分析】连接OC，利用圆周角定理，由∠A=35°，可得∠BOC=70°，由∠E=40°，可得∠DOC=80°，则∠BOD=150°．【解答】解：如图，连接OC，∵∠A=35°，∴∠BOC=70°，∵∠E=40°，∴∠DOC=80°，则∠BOD=∠BOC+∠DOC=70°+80°=150°．故选D．【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C=16°，则∠BOC的度数是（）A．74°B．48°C．32°D．16°【分析】欲求∠BDC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵OA=OC，∴∠A=∠C=16°，∴∠BOC=∠A+∠C=32°．故选C．【点评】本题考查三角形外角的性质、圆心角、圆周角的应用能力．7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为（）A．B．1 C．或1 D．或1或【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB﹣BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离，根据时间=路程÷速度即可求得t的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm；①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB﹣BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm，故t=1s；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB﹣BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm，故t=1.75s；③当E从B回到O的过程中，在运动的距离是：2（4﹣3.5）=1cm，则时间是：1.75+=s．综上所述，当t的值为1s或1.75s和s时，△BEF是直角三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想．8．如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数．【解答】解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠A=∠BOC=40°．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则∠D的度数为（）A．60°B．120°C．135° D．150°【分析】连接AC，由BC为半圆O的直径，得到∠BAC=90°，则AC== =1，因此得到∠B=30°，再利用∠D与∠B互补即可求出∠D的度数．【解答】解：连接AC，如图，∵BC为半圆O的直径，∴∠BAC=90°，而AB=，BC=2，则AC===1，因此∠B=30°．又∵∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度、勾股定理以及在直角三角形中30度所对的边为斜边的一半．10．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A．①B．④C．③D．②【分析】①AB是直径，易知∠AEB=90°，而∠ABE=45°，AB=AC，从而易求∠ABC和∠ACB，进而可求∠EBC；②在Rt△BCE中，易求∠EBC和∠C，利用BE=tan67.5°•CE，可知BE≠2CE，利用∠BAC=45°，∠AEB=90°，易证△ABE是等腰直角三角形，从而可知AE≠2CE；③由于∠ABE=45°，BAD=22.5°，易得劣弧AE=2劣弧BD，而劣弧BD=劣弧DE，从而易证劣弧AE=2劣弧DE；④由圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DEC=∠ACB，利用等角对等边即可得到DE=DC．【解答】解：①∵∠A=45°，AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠EBC=67.5°﹣45°=22.5°，此选项正确，不符合题意；②∵AB是直径，∴∠AEB=90°，由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，∴BE=tan67.5°•CE，∴BE≠2CE，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°，∴∠ABE=45°，∴AE=BE，∴AE≠2CE，此选项错误，符合题意；③∵∠ABE=45°，∠BAD=22.5°，∴劣弧AE=2劣弧BD，∵劣弧BD=劣弧DE，∴劣弧AE=2劣弧DE，此选项正确，不符合题意；④∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠ABC，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=DC，本选项正确，不符合题意；故选D．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．11．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F．G，则弧FG对的圆周角∠FPG的大小为（）A．45°B．60°C．75°D．30°【分析】首先求得正六边形OABCDE的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【解答】解：∵六边形OABCDE是正六边形，∴∠AOE==120°，即∠FOG=120°，∴∠FPG=∠FOG=60°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．13．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）A．62πB．63πC．64πD．65π【分析】由于252+602=4225=652，而392+522=4225=652．因此可以得到边长顺次为25、39、52与60的四边形一定内接于一个直径为65的圆，从而求出此圆的周长．【解答】解：如图，设AB=25，BC=39，CD=52，DA=60．∵252+602=4225=652，即AB2+AD2=652，而392+522=4225=652．即BC2+CD2=652，即AB2+AD2=BC2+CD2，若以BD为直径作⊙O，则A，B，C，D在以BD为直径的圆上．即边长顺次为25、39、52与60的四边形一定可内接于一个直径为65的圆．此圆的周长为65π．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了勾股定理及其逆定理．14．下列图形中能够说明∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．【分析】利用对顶角、圆周角、直角三角形的内角、三角形的内角和外角的关系等分析．【解答】解：A、根据对顶角相等，得∠1=∠2；B、根据同弧所对的圆周角相等，得∠1=∠2；C、直角三角形中，直角最大，则∠1＜∠2；D、由于三角形的任何一个外角＞和它不相邻的内角，故∠1＞∠2．故选D．【点评】此题从对顶角、圆周角、直角三角形的内角、三角形的内角和外角的关系等角度考查了角的大小的比较方法，各具特点，需逐一分析．15．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C+∠AOB=60°，则∠AOB的大小为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】根据圆周角定理得到∠C=∠AOB，根据题意列出算式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理得∠C=∠AOB，∴∠AOB+∠AOB=60°，解得，∠AOB=40°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°【分析】由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，∠A=30°，则∠CBD=（）A．10°B．15°C．30°D．45°【分析】首先证明OC⊥AD，推出=，推出∠CBD=∠CBA，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵∠A=30°，∴∠ABD=90°﹣30°=60°，∵OC∥BD，∴OC⊥AD，∴=，∴∠CBD=∠CBA=30°，故选C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、直径的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°【分析】根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：连接OD，∵∠DAB=20°，∴∠BOD=2∠DAB=40°，∴∠COD=90°﹣40°=50°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=（180°﹣∠COD）=65°，故选C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．19．如图，A，B，C三点都在⊙O上，∠ACB=30°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．2【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，证明△OAB是等边三角形，得出OA=AB即可．【解答】解：连接OA、OB，如图：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2；故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．20．如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（）A．只有①B．只有①②C．只有②③D．①②③都是【分析】①△ABC的高CF、BG相交于点H，根据同角的余角相等，即可求得∠ABG=∠ACF，即可得AD=AE；②首先延长AH交BC于M点，由H是垂心，根据同角的余角相等，即可得∠ACB=∠AHE，则可证得∠AHE=∠AEB，根据等角对等边的性质，即可得AH=AE；③由①②，易得△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，又由DE为△ABC的外接圆的直径，易求得∠ADE=∠BAC=45°，则可得BC=AE．【解答】解：①∵CF、BG是△ABC的高，∴∠AGB=∠AFC=90°，∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，∴∠ABG=∠ACF，∴=，∴AD=AE；故①正确；②延长AH交BC于M点，∵H是垂心，∴AM⊥BC，∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，∴∠ACB=∠AHE，∵∠ACB=∠AEB，∴∠AHE=∠AEB，∴AE=AH；故②正确；③由①②可知AD=AE=AH，∴△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，∴∠BAC=∠DAE，∵当DE为直径时，∠DAE=90°，∴∠BAC=45°，∵在Rt△ADE，AD=AE，∴∠ADE=45°，∴AE=BC．故③正确．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二．填空题（共20小题）21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD过点O，且长为2，若∠ABD=∠ACB，则AB的长为．【分析】连接AD，根据∠ABD=∠ACB得到AB=AD，根据直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中运用勾股定理解答．【解答】解：连接AD．∵∠ABD=∠ACB，∴=，∴AB=AD，∵BD是⊙O直径，∴∠BAD=90°，∴2AB2=22，∴AB2=2，AB=．故答案为．【点评】本题考查了圆周角定理，同时考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°等知识．22．如图，已知点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠AOB=80度．【分析】由圆周角定理知，∠AOB=2∠ACB=80°．【解答】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．23．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=5，则⊙O的半径为5．【分析】连接OA、OB，由圆周角定理得∠AOB=60°，则△OAB为等边三角形，根据等边三角形的性质，从而得出⊙O的半径．【解答】解：连接OA、OB，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB，∵AB=5，∴OA=5，故答案为5．【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，难度适中．24．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=25°．【分析】由AB是⊙O直径，∠AOC=130°，根据邻补角的定义，即可求得∠BOC 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠D的度数．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故答案为：25．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．25．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60．【分析】在移动的过程中，x的最小值即点B和点O重合时，即是90°﹣60°=30°．x的最大值即当点B和点E重合时，根据圆周角定理，得x=30°×2=60°．由此可求出x的取值范围．【解答】解：当O、B重合时，∠POF的度数最小，此时∠POF=∠PBF=30°；当B、E重合时，∠POF的度数最大，∠POF=2∠PBF=60°；故x的取值范围是30≤x≤60．故答案为：30≤x≤60．【点评】本题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是能够分析出x取最大值和最小值时B点的位置．26．如图，⊙O中，∠AOC=80°，则∠ABC=140°．【分析】首先在优弧上取点D，连接AD，CD，然后由圆周角定理，即可求得∠D的度数，再利用圆的内接四边形的性质，求得答案．【解答】解：在优弧上取点D，连接AD，CD，∵⊙O中，∠AOC=80°，∴∠D=∠AOC=40°，∴∠ABC=180°﹣∠D=140°．故答案为：140．【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．27．如图△ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4cm，∠A=30°，则AB=8cm．【分析】由AB是直径，得到∠ACB=90°，∠A=30°，则AB=2BC，已知BC，便可求出AB的长．【解答】解：如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∵∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=2×4=8（cm）．所以AB的长为8cm．故答案为8．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度和含30度的直角三角形的三边的关系．28．如图，△ABC内接于⊙O，CB=a，CA=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的半径为．【分析】作直径AE，连接BE，如图，根据圆周角定理得∠ACE=90°，∠AEC=∠ABC，易得∠ABC+∠CAE=90°，加上∠CAB﹣∠ABC=90°，则∠CAB+∠CAE=180°，所以∠DAC=∠CAE，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，所以∠CBE=∠CEB，则CE=CB=a，然后在Rt△ACE中根据勾股定理计算出AE，即可得到⊙O的半径．【解答】解：作直径AE，连接BE，如图，∠DAC为△ABC的外角，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∵∠AEC=∠ABC，∴∠ABC+∠CAE=90°，∵∠CAB﹣∠ABC=90°，∴∠CAB+∠CAE=180°，而∠CAB+∠CAD=180°，∴∠DAC=∠CAE，∵∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，∴∠CBE=∠CEB，∴CE=CB=a，在Rt△ACE中，∵AC=b，CE=a，∴AE==，∴⊙O的半径为．故答案为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．29．如图，已知AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD并延长到C，使DC=BD，连接AC，则△ABC是等腰三角形．【分析】△ABC为等腰三角形，理由为：连接AD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD垂直于BC，再由BD=CD，得到AD垂直平分BC，利用线段垂直平分线定理得到AB=AC，可得证．【解答】解：△ABC为等腰三角形，理由为：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，又BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．30．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．设∠ACP=x，则x的取值范围是30°≤x≤90°．【分析】因为点P在线段OB上运动，所以分别求得P点位于点O或点B时，∠ACP的度数，即可得到x的取值范围．【解答】解：①当P在O点时，∵OA=OC∴∠ACP=∠BAC=30°；当P在B点时，∵圆的直径所对的圆周角为直角，∴∠ACP=90°；∴30°≤x≤90°．故答案为：30°≤x≤90°．【点评】本题重点考查了圆的直径所对的圆周角为直角这个知识点的运用．31．如图，点O是⊙O的圆心，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，弦AB=2cm，则△OAB的周长是6cm．【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可证∠AOB=60°，又可证△AOB为等边三角形，即可求△OAB的周长．【解答】解：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形．∴△OAB的周长=3AB=6cm．【点评】本题考查的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．32．如图①，用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠BAO=25°（度）；如图②，在矩形ABCD中，AB=3、AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2．把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其零刻度线MN与EF重合．若将量角器零刻度线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α（0°＜α＜90°），此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n°．（Ⅰ）用含n的代数式表示∠α的大小．∠α=；（Ⅱ）当n=120°时，线段PC与M′F平行．【分析】①根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解；②（I）连接O′P，根据圆周角定理进行求解；（II）连接M′P，则四边形PCFM′是平行四边形．根据题意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．在直角三角形PCF中，根据接直角三角形的知识求得∠CPF的度数，即为∠α的度数，再进一步结合（I）的结论求解．【解答】解：（Ⅰ）①∵∠AOB=130°，OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=（180°﹣130°）=25°；②（I）连接O′P．∵∠MO′P=180°﹣n°，∴∠α=90°﹣n°；（II）连接M′P，则四边形PCFM′是平行四边形．根据题意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．在直角三角形PCF中，PC=2CF，则∠CPF=30°，即∠α=30°，结合（I）的结论，得n=120°．故答案为25°；90°﹣n°；120°．【点评】此题综合运用了圆周角定理、平行四边形的判定及性质、解直角三角形的知识．注意：在直角三角形中，如果斜边是一条直角边的2倍，则这条直角边所对的角是30°．33．如图，等边△ABC的顶点在⊙O上，点P在劣弧AB上，∠ABP=22°，则∠BCP 的度数为38°．【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A的度数，再由圆周角定理求出∠P的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠PCB的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∴∠P=∠A=60°，在△BPC中，∵∠P=60°，∠ABP=22°，∴∠BCP=180°﹣∠P﹣∠ABP﹣∠ABC=180°﹣60°﹣22°﹣60°=38°．故答案为：38°．【点评】本题考查的是圆周角定理及等边三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．34．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为．【分析】首先过点B作BC⊥PA于点C，由点P是优弧的中点，可得PA=PB，易得△PBC是等腰直角三角形，设PC=x，则PA=PB=x，即可得方程：2=[（﹣1）x]2+x2，继而求得答案．【解答】解：过点B作BC⊥PA于点C，∵点P是优弧的中点，∴PA=PB，∵∠AOB=90°，∴∠APB=∠AOB=45°，∴△PBC是等腰直角三角形，∴PC=BC，设PC=x，则PA=PB=x，∴AC=PA﹣PC=（﹣1）x，∵AB2=AC2+BC2，AB=，∴2=[（﹣1）x]2+x2，解得：x2=，=PA•BC=x2=．∴S△APB故答案为：．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．35．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的半径的长是．【分析】连接AC，根据∠ABC=90°可知AC是⊙O的直径，故可得出∠D=90°，再由AD=3，CD=2可求出AC的长，进而得出结论．【解答】解：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠D=90°，∵AD=3，CD=2，∴AC===，∴⊙O的半径=．故答案为：．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则⊙O的直径AD的长度为．【分析】连接CO，过O作OE⊥AC，根据垂径定理可得AE=4，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，进而可得∠1=30°，再根据直角三角形的性质可得AO=2EO，再利用勾股定理计算出AO长，进而可得AD长．【解答】解：连接CO，过O作OE⊥AC，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，∴∠1=∠2=30°，∵OE⊥AC，∴EO=AO，设AO=x，则EO=x，∵AC=8，∴AE=4，∵AO2=AE2+EO2，∴x2=42+（x）2，解得：x=，∴AD=．【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．37．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB=4，BE=2，则PE的长为．【分析】易证CB=BE，设PE=x，在直角△ABC中利用勾股定理即可列方程，求得PE的长．【解答】解：∵∠PAE=∠CAB，∠CAB+∠C=∠PAE+∠PEA，∴∠PEA=∠C．∵∠PEA=∠CEB，∴∠C=∠CEB，∴CB=BE=2=AB．∴△ADE∽△ABC，设PE=x，PA=2x．。
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人教版九年级上册期末高频考点小练：圆周角定理（二）1．如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点M，∠C＝20°，则∠MBC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为（）A．32°B．29°C．58°D．116°3．如图，AB，BC都是⊙O的弦∠ABC＝40°，∠AOC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°4．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC＝130°，则∠BOC是（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠AOC＝80°，则∠ABC的大小是（）A．30°B．35°C．40°D．50°7．如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为（）A．122.5°B．135°C．112.5°D．115.5°8．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝40°，则∠AOC的大小是（）A．90°B．80°C．70°D．50°9．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC ＝70°，则∠BAD的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．50°10．如图，点A、B、C在圆O上，连接OA、OB、AC、AB、BC，∠ABO＝62°，则∠ACB的度数为（）A．31°B．28°C．56°D．62°11．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是（）A．②③B．③④C．②③④D．①②③④12．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（）A．B．C．4 D．613．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则tan ∠BED等于（）A．B．C．2 D．14．如图，点A、B、C在半径为3的⊙O上，当AC＝2时，锐角∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．15．如图，在平面直角坐标系中，圆P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限内的AB上，则∠BCO的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．15°16．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB＝24°．则∠AOC的度数为（）A．36°B．48°C．56°D．60°17．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．140°18．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，AD＝CD，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAD＝24°，则∠C的度数为（）A．24°B．56°C．66°D．76°20．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，若∠C＝35°，则∠ABD＝（）A．55°B．45°C．35°D．65°参考答案1．解：∵BC∥OA，∴∠A＝∠C＝20°，∵∠AOB＝2∠C＝40°，∴∠B＝∠A+∠AOB﹣∠C＝40°．故选：B．2．解：∵弦BC⊥OA，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°．故选：B．3．解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：C．4．解：在优弧上取点E，连接BE，CE，如图所示：∵∠BDC＝130°，∴∠E＝180°﹣∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠E＝100°．故选：A．5．解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°．故选：C．6．解：∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°．故选：C．7．解：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝22.5°，∴∠AOB＝180°﹣2×22.5°＝135°，∴∠P＝∠AOB＝67.5°，∴∠ACB＝180°﹣67.5°＝112.5°．故选：C．8．解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：B．9．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝20°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADC＝∠B＝70°，∴∠DAC＝∠DCA＝55°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，故选：B．10．解：∵∠AOB和∠ACB都对，∴∠ACB＝∠ABO＝×62°＝31°．故选：A．11．解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故④正确；故选：C．12．解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠P＝30°，∴∠D＝∠P＝30°．∵AD是⊙O的直径，AD＝8，∴∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝4．故选：C．13．解：∵∠DAB＝∠DEB，∴tan∠BED＝tan∠DAB＝，故选：B．14．解：过点A作直径AD，连接CD，∴∠ACD＝90°，∵AD＝6，AC＝2，∴sin∠ABC＝sin，故选：B．15．解：连接AB，如图，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙P的直径，∵A（0，）、B（1，0），∴OA＝，OB＝1，∴tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠C＝∠OAB＝30°．故选：C．16．解：连接OB，如图所示：∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝48°．故选：B．17．解：如图，在优弧AB上上取点D，连接AD、BD，由圆周角定理得：∠ADB＝∠AOB＝70°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，故选：C．18．解：连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝20°，∴∠ADC＝90°+20°＝110°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DAC＝（180°﹣110°）＝35°．故选：B．19．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣24°＝66°，∴∠C＝∠B＝66°．故选：C．20．解：∵∠C＝35°，∴∠A＝35°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，故选：A．。