《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量及其分布专项试卷及答案解析
+ +c (4）在一元二次方程 x2 Bx
= 0中， B,C 分别是将一枚假子接连掷两次先后出现
的两个点数．试求：
< I ）该方程有实根的概率ρ；
( 11)该方程有重根的概率 q.
(5）设随机变盘X服从参数为1的指数分布．试求：
< I )Y1 = I XI的分布函数F1 (y);
+ ( JI )Y2 = 3X 2的概率密度f2 (y).
lb=+·
( 1a
＝
1’ 言
CD）斗
． ll b
一 一 一
－3 2
.
(2）设随机变量X满足XJ ～N(l, 7勺，记标准正态分布函数为φ（叫，则P{l<X<Z}
的值为
(A）φ（ 2 ）一 φCl). (B）φ（;fi）一 φ(1). (C）φ(1 ）一0. 5.
．．
CD）φ（；／3） 一φ（;fi).
t 若 P{X ζ2} = ，则 P{X =3} =
(3）设某时间段内通过路口的车流盐X服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率 为土，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为
(4 ）设随机变:Lt 草在 (1,6 ）上服从均匀分布，则方程x2 十位＋ l=O 有实根的概率是
3. 解答题 (1）设随机变量X服从参数为 λ 以＞ 0 ）的指数分布，且 P{X ζ1} ＝÷，试求：
＝巾巧l}= F（乎）
!2 (y) ＝ 川 ＝ 叫乎） ＝ ti（平）
号l> O,
「O,
与气。，
3 ' y> 2,
即！2 (y) = 斗 3
lO,
yζ2.
随机变量及其分布
【答案】
概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第六章 随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x xa x f ，则=a π1；=>)0(X P ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , ,，则()E X =15．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=，则n= 。
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。
(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，解：X 只能取值0，1，2。
设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。
则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。
（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。
而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
概率论与数理统计随机变量及其分布习题课
01 排列及其逆序数
解 以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时， （1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h）， 因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
， 则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为 为单调增函数, p σ
,
所以 随着 的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为 为X的分布函数, 求 解 由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每 周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概 率控制在5%以下?
，求
解 当y≤0时,Y的密度函数为 当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数 即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()， pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b (X, Y)P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α 6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: 下面求X 的边沿密度: 当x < 1或x > e 2时 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=Λ服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)则 i. Z = X + Y iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)(Λ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)(Λ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时 当z ≥ 0时 =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z x z y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数: 当y ≥ 2时 当0 ≤ y < 2时 当y < 0时于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3,…) i. ii.1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P ΛΛ, (k = 1, 2, …) iii. 每次抽取后总以一个正品放回3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c cx c dx xc dx x4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 当－1< x < 1时 当x ≥ 1时所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时当0 ≤ x < 1时 当1 ≤ x < 2时 当2 ≤ x 时所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402).i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=-6. 设电子元件的寿命X 具有密度为问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx Fππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)所以Y 的分布律为所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时 y = xz (z < 1)D 1当z ≥ 1时zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时当0 < x < 1时所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时当0 < y < 1时所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x页眉内容所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。