元高次不等式的解法
不等式的解法
x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数 不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法 二.二次不等式的解法 三.高次不等式的解法 四.分式不等式的解法 五.绝对值不等式的解法 六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0， （1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
一元二次不等式和简单高次不等式的解法
C.
6
4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0， 可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
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7
5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
2019/2/2 5
3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范 围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题， 要注意利用“三个二次”之间的联系(如一 元二次不等式的解区间端点是对应二次方 程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， 则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.
一元高次不等式的解法
一元高次方程的解法
分解因式法
通过因式分解将高次方程 化为低次方程，从而求解。
公式法
利用一元高次方程的求根 公式进行求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的 解。
一元高次不等式的变种
区间不等式
在给定区间内解一元高次不等式。
参数不等式
含有参数的一元高次不等式，需 要讨论参数的取值范围。
绝对值不等式
含有绝对值符号的一元高次不等 式，需要去掉绝对值符号进行求
配方法
总结词
通过配方将高次不等式化为完全平方形式，便于求解。
详细描述
配方法是另一种常用的解一元高次不等式的方法。它通过将高次多项式配成完全平方的形式，将高次 不等式转化为易于解决的一元二次不等式。在进行配方时，需要注意项的调整和符号的处理，以确保 不等式的正确性。
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近解，适用于求解复杂 或难以因式分解的高次不等式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ决策分析
在决策分析中，一元高次不等式可 以用来描述成本、收益和风险等因 素之间的关系，帮助决策者做出最 优选择。
04 一元高次不等式的注意事 项
符号判断
符号判断是解一元高次不等式的重要步骤，需要根据不等式的性质和一元函数的单 调性来判断解集的符号。
在判断符号时，需要特别注意不等式的临界点和拐点，这些点可能会导致符号发生 变化。
特殊情况处理
特殊情况是指一些特殊形式的一 元高次不等式，如等根、重根、
不等式两边同时为0等。
在处理特殊情况时，需要根据具 体情况采用不同的方法，如因式
分解、配方法、参数方程等。
特殊情况处理需要综合考虑不等 式的形式和性质，以及解的取值 范围和实际意义，采用合适的方
高次不等式
高次不等式
高次不等式是：二次以上的不等式。
解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。
常用的解法有化为不等式组法、列表法和根轴法（串根法或穿针引线法）来求解。
高次不等式的计算：
简单不等式我们可以直接计算来求解，分式不等式，我们先整理右侧为0，然后判断分子分母的正负情况，考虑需不需要变不等号，二次不等式，引用函数方程的思想，通过根的判别式计算求解。
不等式问题在咱们的管理类联考的数学中占有很大的比重，而且逐年仍有题量加多、题型变难的趋势。
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.一、解题步骤求不等式32638x x x -+<-+的解集1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.-2 1 44. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或二、易错提示求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.三、分式不等式解法1.()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例1.解不等式：22320712x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：（1）不能随便去分母（2）移项通分，必须保证右侧为“0”（3）注意重根问题3.解不等式：2256032x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：（1）不能随便约去因式（2）重根空实心，以分母为准4.解不等式：2121332x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
解高次不等式
解高次不等式
解高次不等式
一、解高次不等式的方法：
1、先化简：
首先先将不等式本身化简，如果能化简得到一个二次以内的不等式，就可以进行求解，如果不能，就需要进一步化简。
2、先分解：
如果不能进行化简，可以尝试用方程求解的方法做分解，将整个不等式分成多个不等式来求解，这样比较容易求解。
3、合并：
有时候，如果不等式的右边有多个项，可以将多个项合并，这样可以把高次不等式简化为低次不等式，从而较容易求解。
4、变形求解：
有时，不等式右边有多项时，可以利用变量变换，将不等式右边的多项变换成一个式子，就可以较容易求解。
二、实例演示
例题：已知a>0，求解不等式：
a^3-3a^2+2a≤0
解：将不等式化简，令f(a)=a^3-3a^2+2a，
f'(a)=3a^2-6a+2=3(a-1)(a-2)，
可以得出f(a)在a=1处取得最小值，f(1)=0，
即a^3-3a^2+2a=0，
所以a≤1时，不等式a^3-3a^2+2a≤0成立。
高次不等式的解法完整版
高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
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元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021
一元高次不等式的解法
步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解
穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”
（2）移项通分，不等号右侧化为“0”
（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式
（4）数轴标根。
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n
解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。
（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。
注意：奇穿偶不穿。
④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间：
注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。
解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->
由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或
（1）()()()()00,f x f x g x g x >⇔⋅> ()()
()()(2)00;f x f x g x g x <⇔⋅<
（3）()()()()()000f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ （4）()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：数轴标根法。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”
（2）移项通分，不等号右侧化为“0”
（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式
（4）数轴标根。
例2、解不等式：22320712x x x x -+≤-+- 解
例3、解不等式：22911721x x x x -+≥-+ 点评：1、不能随便去分母
2、移项通分，必须保证右侧为“0”
3、注意重根问题
例4、解不等式：22560(0)32
x x x x +-≥≤-+
点评：1、不能随便约去因式
2
例5、解不等式：
2121332x
x x
x ++
>--
点评：不等式左右不能随便乘除因式。
例6、解不等式：
22331x x x ->++
练习：解不等式：
1、
3
2
x
x
-
≥
-
（首相系数化为正，空实心） 2、
21
1
3
x
x
-
>
+
（移项通分，右侧化为0）
3、
2
2
32
23
x x
x x
-+
≤
--
（因式分解） 4、
221
2
x x
x
--
<
-
（求根公式法因式分解）
5、()()
()
32
2
16
3
x x x
x
-++
≤
+
（恒正式，重根问题） 6、
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-
（不能随便约分）
7、
1
01
x
x
<-<（取交集）
例7、解不等式：
()1
1
2
a x
x
-
>
-。