高中数学必修常考题型一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法

【知识梳理】

1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表

题型一、一元二次不等式的解法

【例1】 解下列不等式：

(1)2x 2＋7x ＋3＞0；

(2)x 2－4x －5≤0；

(3)－4x 2＋18x －814

≥0； (4)－12

x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0.

[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12

，或x ＜

－3}．

(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．

(3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .

【类题通法】

解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

(2)计算对应方程的判别式；

(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．

【对点训练】

1．解下列不等式：

(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6.

(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．

解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，

x 2＝6.

结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．

(2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0.

解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.

结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为

{x |1

(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.

方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.

结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．

(4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.

∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.

解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23

. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23

}. 题型二、解含参数的一元二次不等式

【例2】 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.

[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；

当a ＝－1时，原不等式解集为∅；

当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．

【类题通法】

解含参数的一元二次不等式时：

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；

(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

【对点训练】

2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )．

解：原不等式可化为：

(ax ＋1)(x －1)＜0，

当a ＝0时，x ＜1，

当a ＞0时⎝⎛⎭

⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a

＜x ＜1.

当a ＝－1时，x ≠1，

当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭

⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a

或x ＜1. 当a ＜－1时，－1a

＜1， ∴x ＞1或x ＜－1a

， 综上原不等式的解集是：

当a ＝0时，{x |x ＜1}；

当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－1a ＜x ＜1； 当a ＝－1时，{x |x ≠1}；

当－1＜a ＜0时，

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a . 当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系

【例3】 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．

[解] ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，

∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．

由韦达定理有⎩

⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，

b ＝1×2， 得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－3，

b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.