《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》PPT课件
2 y 1 x2 4x 3
2
向上
1 (x2 8x 6) 2
X=4
1 (x2 8x 16 16 6) 2
（4，-5）
1 [(x 4)2 10] 2
1 (x 4)2 5 2
检测
用配方法写出下列抛物线的开口方向、 对称轴及顶点坐标。
（1）y = -x2-2x （2）y = 2x2-8x-8
想一想： 我们怎样作出函数y=3x2-6x+5的
图象呢?
1.思路：化成y=3(x-h)2 +k的形式，
即配方
y 3x2 6x 5
3(x2 2x 5) 3
3(x2 2x 11 5) 3
3[(x 1)2 2] 3
3(x 1)2 2
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
y 3(x 1)2 2
例题讲解
确定y 1 x2 4x 3的开口方向、对称轴、顶点.
谈谈你的收获
❖学会用配方求y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴和顶点坐标。
独立 确定下列二次函数的开口方向、 作业 对称轴和顶点坐标.
(1).y x2 2x 2;
2.y 2x2 4x 1;
3.y 3x2 6x 2;
4.y x 1x 2.
结束寄语
• 探索是数学的生命线.
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和性质
学习目标
1、会用配方法将y=ax2+bx+c写成 y=a(x-h)2+k的形式；
2、掌握二次函y=ax2+bx+c的性质， 并会灵活运用.
提出问题 探究新知
我们知道,作出二次函数y=3x2的图 象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次 函数y=3(x – h)2+k的图象.
合集下载
22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件1-九年级下册数学北师大版
二次函数图像变换与点的变换
一、 温故而知新
（1）把点P(1,2)向右平移2个单位，得点 (3,2) .
（2）把点P(1,2)向上平移3个单位，得点(1,5) .
（3）把点P(1,2)向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，得点 (3,5) . （4）点P(-1,4)关于x轴对称的点为(-1,-4). 关于y轴对称的点为(1,4) 关于原点对称的点 为 (1,-4) .
将该抛物线关于x轴对称，所得抛物线的解 析式为 y=（x+1）2-4
练习3：已知抛物线 y=-（x+1）2+4.
将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线 的解析式为 y=（x+1）2+4
变式1：将该抛物线绕原点旋转180°，所得 抛物线的解析式为 y=（x-1）2-4
四、回顾与提升
1.知识小结
抛物线的变换
y
旋转变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
抛物线的旋转
转 化 x 点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
练习1：已知抛物线 y=x2-2x+3.
将该抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单 位，所得抛物线的解析式为y=（x-3）2+5 练习2：已知抛物线y=-（x+1）2+4.
谢谢指导！
二、
y
向右平移5个单位 平移变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
抛物线的平移
y =2(x-3)2 -1
转
化
x 点的平移
(3,-1)
y
轴对称变换
一、 温故而知新
（1）把点P(1,2)向右平移2个单位，得点 (3,2) .
（2）把点P(1,2)向上平移3个单位，得点(1,5) .
（3）把点P(1,2)向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，得点 (3,5) . （4）点P(-1,4)关于x轴对称的点为(-1,-4). 关于y轴对称的点为(1,4) 关于原点对称的点 为 (1,-4) .
将该抛物线关于x轴对称，所得抛物线的解 析式为 y=（x+1）2-4
练习3：已知抛物线 y=-（x+1）2+4.
将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线 的解析式为 y=（x+1）2+4
变式1：将该抛物线绕原点旋转180°，所得 抛物线的解析式为 y=（x-1）2-4
四、回顾与提升
1.知识小结
抛物线的变换
y
旋转变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
抛物线的旋转
转 化 x 点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
练习1：已知抛物线 y=x2-2x+3.
将该抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单 位，所得抛物线的解析式为y=（x-3）2+5 练习2：已知抛物线y=-（x+1）2+4.
谢谢指导！
二、
y
向右平移5个单位 平移变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
抛物线的平移
y =2(x-3)2 -1
转
化
x 点的平移
(3,-1)
y
轴对称变换
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件(共2课时,58张)
例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是 A
（
）
方法点拨：把函数的一般
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）式化为顶点式，再由定点
式确定开口方向、对称轴、
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
顶点及其他性质.
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
探究新知
怎样将 y
配方可得
1 2
x 6 x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？
2
1 2
y x 6 x 21
想一想：配方的方
2
1
( x 2 12 x 42)
法及步骤是什么？
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
[( x 2 12 x 62 ) 62 42]
直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象
和性质吗？
2
b
4
ac
b
y=ax2+bx+c a( x )2
2a
4a
探究新知
2
b
4
ac
b
2
y=ax2+bx+c a( x )
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4 -6.5 ···
《二次函数y=ax^2 bx c的图象》课件5(9张PPT)(北师大版九年级下)
解: y= - 0.1(x-13)²+59.9
(1)当0≤x ≤13时, 学生的接受能力逐步增强;当13≤x ≤30时, 学生的接受能力逐步降低。 (2)当x=10时，y=59。 (3)当x=13时，学生的接受能力最强为59.9。
回味无穷：
1、抛物线y=-x2-1的开口向（ 下 ），对称轴
是（ y轴），顶点坐标是（ (0, -1) ），在对称
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y
x
探索新知 二次函数y= ３x2-６x+５的图象
是什么形状，它与我们已经作过的 二次函数的图象有什么关系？ 解：y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2 列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 50 29 14 5 2 5 14 29 …
x
化为y=a(x-h)²+k的形式是（A）
1
A、y
1
(x
4
2)2
2 B、y
1
(x
2)2 (x 2)2 2 D、y 1 (x 2)2 2
3、抛物线4y=3x²先向上平移2个单位4，后向右平移3个单位，
所得到的抛物线是（ ）D
A、y=3(x+3)²-2
轴的左侧，y随x的增大而（增大），在右侧，
y随x的增大而（减小），可由y=-x2沿（ y ）
轴向（ 下 ）平移（ 1 ）个单位而得到。
2、抛物线y=２（x-３）2的开口向（ 上 ）， 对称轴是（ x=3 ），顶点坐标是（ (3,0) ）， 在对称轴的左侧，y随x的增大而（减小），在 右侧，y随x的增大而（增大），可由y= ２x2 沿（ x ）轴向（ 右 ）平移（ 3 ）个单位 而得到。
(1)当0≤x ≤13时, 学生的接受能力逐步增强;当13≤x ≤30时, 学生的接受能力逐步降低。 (2)当x=10时，y=59。 (3)当x=13时，学生的接受能力最强为59.9。
回味无穷：
1、抛物线y=-x2-1的开口向（ 下 ），对称轴
是（ y轴），顶点坐标是（ (0, -1) ），在对称
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y
x
探索新知 二次函数y= ３x2-６x+５的图象
是什么形状，它与我们已经作过的 二次函数的图象有什么关系？ 解：y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2 列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 50 29 14 5 2 5 14 29 …
x
化为y=a(x-h)²+k的形式是（A）
1
A、y
1
(x
4
2)2
2 B、y
1
(x
2)2 (x 2)2 2 D、y 1 (x 2)2 2
3、抛物线4y=3x²先向上平移2个单位4，后向右平移3个单位，
所得到的抛物线是（ ）D
A、y=3(x+3)²-2
轴的左侧，y随x的增大而（增大），在右侧，
y随x的增大而（减小），可由y=-x2沿（ y ）
轴向（ 下 ）平移（ 1 ）个单位而得到。
2、抛物线y=２（x-３）2的开口向（ 上 ）， 对称轴是（ x=3 ），顶点坐标是（ (3,0) ）， 在对称轴的左侧，y随x的增大而（减小），在 右侧，y随x的增大而（增大），可由y= ２x2 沿（ x ）轴向（ 右 ）平移（ 3 ）个单位 而得到。
《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》PPT课件(建设兵团市级优课)
y
o
x
（A）
y
o
x
（B） y
o （C）x
o
x
（D）
5、已知函数 y ax2 ax 与函数 y= a (a<O)，
x
则它们在同一坐标系中的大致图象是( B )
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
下列结论:① a+b+c＜0,②a-b+c＞0,③abc＞0,
④b=2a,⑤b2-4ac>0中正确个数为
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0
-1
C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0
2.（09黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1 (1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值; (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴 上方，求a的取值范围．
3.(09年本溪 )二次函数y=x2+bx+c的图像如图所示，则
函数值y>0时，对应的x取值范围是
.
函数值y<0时，对应的x取值范围是
.
4.(08大连)如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都 经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴求m的值和抛物线的解析式；
⑵求不等式 x2 bx c x m 的解集. .
8、(青海省) 已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴 的两个交点分别为A(x1,0)， B(x2，0)， 且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作 直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件3-九年级下册数学北师大版
初中数学
九年级(下册)
2.5 二次函数的图像和性质
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？
y＝x2＋2可以 看成是y＝x2向上 平移两个单位长 度．
y＝ (x＋3)2可以 看成是y＝x2向左 平移三个单位长 度．
5 4
二次函数y＝ (x－1)2 － 6
3
2
的图像和y＝x2的图像的位置 y＝ (x＋3)2 1
有什么关系？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2、二次函数图象与系数的关系
例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点， 且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确 的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0
C．a≠0，b＜0，c=0
D．a≠0，b≥0， c=0
例2、如图，给出八个结论：①a＞0；②b＞0；
③c＞0； ④a+b+c=0；⑤abc＜0；⑥2a+b ＞0；
(7)a+c=1；⑧a＞1．其中正确的结论的序号是
(
)
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是由y＝x2的图 像如何得到？
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
九年级(下册)
2.5 二次函数的图像和性质
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？
y＝x2＋2可以 看成是y＝x2向上 平移两个单位长 度．
y＝ (x＋3)2可以 看成是y＝x2向左 平移三个单位长 度．
5 4
二次函数y＝ (x－1)2 － 6
3
2
的图像和y＝x2的图像的位置 y＝ (x＋3)2 1
有什么关系？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2、二次函数图象与系数的关系
例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点， 且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确 的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0
C．a≠0，b＜0，c=0
D．a≠0，b≥0， c=0
例2、如图，给出八个结论：①a＞0；②b＞0；
③c＞0； ④a+b+c=0；⑤abc＜0；⑥2a+b ＞0；
(7)a+c=1；⑧a＞1．其中正确的结论的序号是
(
)
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是由y＝x2的图 像如何得到？
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT
2.y=ax²+bx+c(a≠0 )的b图象
(1)对称轴是直线x= 2a
。
课堂总结
b 4ac - b2
(2)顶点坐标是（ 2a
，
4a
）
(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
解法二：
a1 0 2
∴抛物线开口向下，
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
课堂总结
1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0) 顶点式：y=a(x+m)2+k。 二次函数的特殊形式： 当b=0时，y=ax2+c 当c=0时，y=ax2+bx 当b=0,c=0时，y=ax2 。
人民教育出版社 九年级 | 上册
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时
当m<0时
向左平移m个单位 向右平移|m|个单位
y=a(x+m)2
当k>0时 向上平移k个单位 y=a(x+m)2+k
在y=-x2-2x+1中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图象经怎 样的平移得到的？
知识点详解
二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是
怎样的？
二次函数y=ax2bxc的图象和性质课件-人教版九年级数学上册
(
3)2 4
2
（代数式的 恒等变形）
2
( x
3)2 4
41 16
2(x 3)2 41. 48
初中数学
把二次函数 y 2x2 3x 4 转化为 y a(x h)2 k 的情势，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 3x 4
2(x 3)2 41. 48
抛物线的对称轴为x 3，
点坐标吗？
解： y ax2 bx c a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
抛物线的对称轴为x b ，
2a
顶点坐标为 (
b
4ac b2
,
).
2a 4a
初中数学
另解：
y ax2 bx c a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
(
b 2a
)2
(
b )2 2a
c
a(x b )2 b2 c 2a 4a
a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为x b ，
2a
顶点坐标为 ( b , 4ac b2 ). 2a 4a
我们也可以利用这个结论来求出抛物线的对称轴 和顶点坐标。
初中数学
初中数学
求抛物线 y 3x2 5x 1 的对称轴和顶点坐标.
24
4
(x 3)2 41. （等式两边同时加上一次 4 16 项系数一半的平方）
初中数学
把二次函数 y 2x2 3x 4 转化为 y a(x h)2 k
的情势，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。
解： y 2x2 3x 4 2(x2 3 x 2)
2
二次函数y=ax2bxc的图象和性质课件人教版数学九年级上册
增大；
2a
2a
如果a＜0，当 x＜ b 时，y随x的增大而增大，当 x＞ b 时，y随x的增大而
减小.
2a
2a
例1.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小; （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新 抛物线的表达式.
（ D）
A．y1<y2<y3
B．y2<y3<y1
C．y3<y1<y2
D．y2<y1<y3
解：∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,-4)， 当y=0时，(x-1)2-4=0， 解得x=-1或x=3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)， ∴当-1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y2<y1<y3.
向上 向下 向下 向上
直线x=-1 直线x=2 直线x=4
(-1,1) (2,0) (4,-5)
例2.如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
……
﹣2
0
1
3
……
y
……
6
﹣4
﹣6 ﹣4
……
下列各选项中，正确的是（ C ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c 的图 象和性质
教学目标
1.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象； y=ax2+bx+c的顶点坐标公式； y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.