概率论重点附课后题答案

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概率论·课后答案(绝对详解)

概率论·课后答案(绝对详解)

i习题一3 设,,B A 为二事件,化简下列事件:B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成,每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个,求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,求其中至少有一人中奖的概率。

答案:.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少?解;将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==,则C 表示:“至少有两只配成一双”;从5双不同的鞋子中任取4只,其可能选法有.45C不能配对只能是:一组中选i 只,另一组中选4-i 只,且编号不同,其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1,1]上任取一点,求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案:518在长度为a 的线段内任取两点,将其分成三段,求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0,又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数,求这两个数的积小于41的概率。

概率论和数理统计课后习题答案解析

概率论和数理统计课后习题答案解析

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点.习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下:X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答:(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答:依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答:随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 3512036120211201120习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.解答:因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答:首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次,F(x)单调不减且右连续,即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x),并画出图形.解答:由题意知X的分布律为:X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求:(1)X的概率分布; (2)P{X<2∣X≠1}.解答:(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答:P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求:(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答:(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答: F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答:应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答:P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时,F(x)=0;当0<x<1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:(1)A,B的值;(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答:(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答:由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答:设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答:设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?解答:因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即 P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答:先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1, 即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答:已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答:X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走. 第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?解答:设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答:f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.解答:因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度:(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答:(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);;②当y<0时,FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时,FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时,FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时,FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答:已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数,所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答:因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX-1(y)存在,又Y在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是,Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数,故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能,故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此,Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数,若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率.解答:设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1,所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立,所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布,其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答:1)以“年”为单位来考虑,在1年的1月1日,保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元),要使保险公司亏本,则必须 200000X>300000即X>15(人).因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时,能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答:设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验,一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大,p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13,故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求:(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答:(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求:(1)q的值; (2)X的分布函数.解答:(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示:因F(x)在x=π6处连续,故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管,在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数,求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x),并求电子管在T小时内损坏的概率.解答:因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时,F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时,由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程,分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答:当x≤0时,F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时,F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量,其密度函数为:f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求:(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率;(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答:先求X的分布函数F(x). 显然,当x<0时,F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0, 所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答:由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意,a-1<a, 而当x<a时,f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答:根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3) dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数,(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数,为什么?(2)若a1,a2是正常数,且a1+a2=1. 证明:a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答:(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减,右连续,且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减,右连续,且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数,试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足:(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答:(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答:因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0, 即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0, 解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取?解答:要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多,可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理:P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①,②解得σ=10,μ=70, 所以,X∼N(70,100).某人是否能被录取,关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取,解法有两种:方法1:P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2:看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分,所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布,X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位:年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数;(2)求今后3年内再次发生地震的概率;(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答:(1)当t≥0时,P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时,F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中,90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品,则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率;(2)已知设备寿命超过1,求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答:(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”,Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2),则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式:P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式:P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答:因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答:X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时, FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y 1231 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答:由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答:P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (2)P{0<Y≤b};解答:P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (3)P{X>a,Y≤b}.解答:P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答:P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答:P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答:P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表:Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答:由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y}, 故 P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答:如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为 f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求:(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1, 有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为解答:由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立,所以X与Y的联合密度为:fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布,且X与Y相互独立,求(X,Y)的联合概率密度函数.解答:由题意知,随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22,fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问:X与∣X∣是否相互独立?解答:若X与∣X∣相互独立,则∀a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度;(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答:(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到: P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x 22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以 P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答:由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外,有 P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是,随机变量U和V的联合概率分布为\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时,f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时,fZ(z)=0;当z>0时,fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立,若X服从(0,1)上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答:据题意,X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见:当z≤0时,有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时,fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y);(3)求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答:(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1,所以b=11-e-1,从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.(2)由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它,fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它(3)因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立,故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u),其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以 FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0,因此 FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成,L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答:设Z=min{X,Y}, 则 F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z} =1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0, F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故 F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立,且服从同一分布,试明: P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答:设min{X,Y}=Z,则 P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),。

概率论重点及课后题答案5

概率论重点及课后题答案5

第五章随机变量的数字特征一、大纲要求(1)理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念,并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.(2)掌握常用分布的数字特征.(3)会根据一维随机变量X的概率分布求其函数的数学期望.和的联合概率分布求其函数的数学期望.(4)会根据二维随机变量X Y1.随机变量的数学期望(1)离散型随机变量的数学期望 定义若离散型随机变量X 的分布律是{}i i p P X x ==,(1,2,)i = ,且级数i i ix p ∑绝对收敛,则称此级数的和为X 的数学期望(或均值),记为EX .即i i iEX x p =∑简单地说,离散型随机变量的数学期望等于各个取值与对应概率的乘积之和. (2)连续型随机变量的数学期望 定义若随机变量X 有概率密度函数()f x ,并且积分()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛,则称此积分为X 的数学期望,记为EX ,即()EX xf x dx +∞-∞=⎰2.随机变量函数的数学期望(1)离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为{,}i j ij P X x Y y p ===(,1,2,)i j =如果,(,)ijiji jg x y p∑绝对收敛,则(,)g X Y 的数学期望存在,且有,(,)(,)i j ij i jEg X Y g x y p =∑(2)连续型随机变量函数的数学期望设二维连续型随机变量(,)X Y 的分布密度函数为(,)f x y ,如果(,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛,则(,)g X Y 的数学期望存在,且有(,)(,)(,)Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰特别有(,)(,)()X EXxf x y dxdy x f x y dy dx xf x dx +∞+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞-∞⎡⎤===⎢⎥⎦⎣⎰⎰⎰⎰⎰ 式中,()X f x 为X 的分布密度函数.3.数学期望的性质性质1一个常数c 的数学期望等于这个常数,即Ec c =. 性质 2 设c 是常数,若随机变量X 的数学期望EX 存在,则EcX 也存在,并且有EcX cEX =.性质 3 若随机变量(,)X Y 的数学期望存在,则X Y +的数学期望也存在,并且有()E X Y EX EY +=+.性质4 若性质3的条件成立,且X Y 与相互独立,则EXY 存在,且有()E XY EX =EY .4.方差和标准差定义设X 是一个随机变量,若2()E X EX -存在,则称2()E X EX -为X 的方差,记作DX ,即2()DXE X EX =-.X 的标准差或均方差.对于离散型随机变量X ,若有分布律i p ,则2()i i iDX x EX p =-∑.对于连续型随机变量X ,若有密度函数()f x ,则2()()DX x EX f x dx +∞-∞=-⎰5. 方差的性质性质10Dc =(c 是常数). 性质22DcXc DX =(c 是任意常数).性质3当X Y 与相互独立时,()()()D X Y D X D Y ±=+.性质40DX =的充要条件是X 以概率1取常数c ,即{}1P X c ==(显然,应有EX c =).6.协方差与相关系数 对于随机变量X Y 与,若()()E X E X Y E Y --存在,则称其为随机变量X Y 与的协方差,记作c o v (,)[()(X Y E X E X Y E Y=--.若X Y 与的方差都不等于零.称cov(,)/XY X Y ρ=为随机变量X Y 与的相关系数.定理1对给定的二维随机变量(,)X Y , (1)若X Y 与独立,则cov(,)0X Y =; (2)[]2cov(,)()()X Y D X D Y ≤.定理2 对给定的二维随机变量(,)X Y ,XY ρ为X Y 与的相互系数, (1)若X Y 与独立,则0XY ρ=;(2)11XYρ-≤≤,当且仅当X Y 与有严格的线性关系时,等号成立.若(,)X Y 服从二维正态分布,则X Y 与独立的充要条件是X Y 与不相关,即0XY ρ=.定理3 若(,)X Y 是二维随机变量,则(1)()cov(,)E XY EX EY X Y =⋅+;(2)()()()2cov(,)D XY D X D Y X Y +=++.对不相关的随机变量X Y 与,必有()E XY EX EY =⋅,()()()D X Y D X D Y +=+若12,,,n X X X 是两两独立的随机变量,则必有11()n nk k k k D X DX ===∑∑7.矩定义设X 为随机变量,c 为常数,k 为正整数,则[()]kE x c -称为X 关于c 点的k 阶矩.(1)当0c =时,()k k a E X =称为X的k 阶原点矩;(2)当()c E X =时,[()]k k E X EX μ=-称为X 的k 阶中心矩.四、典型例题例1 设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布,随机变量100010X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当当当则方差()D Y =_________. 解X 的密度函数为112()30x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他2012{0}33P X dx >==⎰,0111{0}33P X dx -<==⎰,{0}0P X ==因此211100(1)333EY =⨯+⨯+-⨯=222221100(1)133EY =⨯+⨯+-⨯=2218()199DY EY EY =-=-= 例2设随机变量X Y 与的方差存在且不等于0,则()D X Y DX DY +=+是X Y 与(). (A )不相关的充分条件,但不是必要条件(B )独立的必要条件,但不是充分条件 (C )不相关的充分必要条件 (D )独立的充分必要条件 解若X Y 与独立,则一定有()D XY DX DY +=+.但若()D X Y DX DY +=+ ,则X Y 与不一定独立.因此()D XY DX DY +=+是X Y 与独立的充分条件,但不是必要条件.因此B 项不正确.从而D 项也不正确. 例3设随机变量X 的概率密度为2330(,)0x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩当其他已知7{1}8P X>=,求θ和EX 的值解由7{1}8P X>=,得71{1}1{1}188P X P X ≤=->=-= 又因为211331{1}(,)8x P Xf x dx dx θθ-∞≤===⎰⎰所以2θ=,3233()82x EXxf x dx dx +∞-∞===⎰⎰例4 设A B 、是两个事件,则随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩当出现当不出现,11B Y B ⎧=⎨-⎩当出现当不出现试证明随机变量X Y 与不相关的充分必要条件是A B 与相互独立. 证设1212(),(),()P A p P B p P AB p ===,由数学期望定义可得11()(1)()()()21EX P A P A P A P A p =⨯+-⨯=-=-同理221EYp =-由于XY 只取两个可能值1和-1,可见{1}()()()()P XY P AB P AB P AB P A B ==+=+()1()P AB P A B =+-()1()()()P AB P A P B P AB =+--+121221p p p =--+1212{1}1{1}2P XY P XY p p p =-=-==+-所以12121{1}(1){1}4221EXYP XY P XY p p p =⨯=+-⨯=-=--+从而1212cov(,)44X Y EXYEX EY p p p =-⋅=-又因为X Y 与不相关的充要条件为cov(,)0X Y =,即12121212440p p p p p p -=⇒=即A B 与相互独立.例5若连续型随机变量X 的密度函数为201()0ax bx c x f x ⎧++<<=⎨⎩当其他 已知12EX=,320DX =,求系数a b c 、、. 解由于()1f x dx +∞-∞=⎰,所以120()1ax bx c dx ++=⎰,即11132a b c ++=(1) 已知12EX =,所以有1201()2x ax bx c dx ++=⎰,即11114322a b c ++=(2) 由22()DX EX EX =-知225EX =,所以12202()5x ax bx c dx ++=⎰,即11125435a b c ++=(3) 联立式(1)(2)(3),解得12,12,3a b c ==-=.例6假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X (单位:t ),已知X 服从[2000,4000]上的均匀分布,设每售出这种商品1t ,可为国家挣得外汇3万元,但若销售不出而囤积于仓库,则每吨需浪费保养费1万元,问应组织多少货源,才能使国家的收益最大?解用y 表示预备某年出口的此种商品量(20004000y ≤≤),Y 表示获得的收益(单位:万元),则3()3()yx y Y H x x y x x y≥⎧==⎨--<⎩当当从而每年平均收益为4000200011()()(4)320002000y X y EY H x f x dx y dx ydx +∞-∞==-+⎰⎰⎰ 26211(7000410)[825000(3500)]10001000y y y =-+-⨯=-- 故当3500yt =时,可使平均收益达到最大.例7 设袋中有k 号的球k 个(1,2,,)k n = ,从中摸出一球,试求所得号码的数学期望.解以X 表示摸出一球的号码数,注意袋中球的总数为12n +++ ,即有2{}12(1)k kP X k n n n ===++++ (1,2,,)k n =从而,X 的数学期望为112{}(1)nni i kEX kP X k kn n =====+∑∑ 2(1)(21)21(1)63n n n n n n +++==+ 例8设X 为n 次独立试验中事件A 出现的次数,在第i 次试验中事件A 出现的概率为i p (1,2,,)i n = ,求DX ,并证明:在11ni i p p n ==∑(常数)的条件下,当且仅当12n p p p p ==== 时,DX 达到最大.[分析]在证明是,将DX 进行正确的合并时解答本题的关键. 解设10ii A X i A ⎧=⎨⎩第次试验中事件出现第次试验中事件不出现则i X 互相独立且具有相同的分布:i X 0 1P 1i p -i p于是i i EX p =,(1)i i i DX p p =-(1,2,,)i n =由于1ni i Xx ==∑,则11(1)n ni i i i i DX DX p p ====-∑∑当11ni i p p n ==∑时,有 22111()nnni i i i i i DX p p np p p p ====-=--+∑∑∑221[()2()]ni i i np p p p p p p ==--+-+∑21(1)2()ni i np p p p p ==---∑所以,当且仅当i p p =时,DX 最大.例9设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3P X <<=,求{0}P X<.[分析]求正态分布的概率时,先将其转化为标准正态分布,在查表,即可求得结果.所用定理为:若2~(,)XN μσ,则~(0,1)X N μσ-.这个定理一定要熟练掌握.解由于22242{24}X P X P σσσ---⎧⎫<<=<<⎨⎬⎩⎭()200.3φφσ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以有()200.30.50.30.8φφσ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭因此2022{0}X P XP φσσσ---⎧⎫⎛⎫<=<=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭2110.80.2φσ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭例10设X 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上服从均匀分布,ln 0()00x x y g x x >⎧==⎨≤⎩当当,求随机变量()Y g X =的数学期望及方差.解X 的概率密度为111()220x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他于是120[()]()()ln EY E g X g x f x dx xdx +∞-∞===⎰⎰11/22011[ln ](1ln 2)2x x x dx x =-=-+⎰112221/2220ln [ln ]2ln EY xdx x x xdx ==-⎰⎰21ln 2ln 212=++ 所以222211()ln 2ln 21(1ln 2)24DY EY EY =-=++-+2113ln 2ln 2424=++ 例11游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的5分钟、15分钟和55分钟从底层起行,假设一游客在早上8点的第X 的分钟到达底层电梯处,且X 在[0,60]上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.解已知X 在[0,60]上服从均匀分布,则其密度函数为1060()60x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 设Y 为游客等候电梯的时间(单位:分),则50525525()5525556055560x x x x Y g x x x x x -<≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-+<≤⎩当当当当因此601[()]()()()60EY E g x g x f x dx g x dx +∞-∞===⎰⎰52555600525551(5)(25)(55)(605)60x dx x dx x dx x dx ⎡⎤=-+-+-+-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 1(12.520045037.5)11.67()60=+++=分 例12 设ξ在(,)ππ-上服从均匀分布,sin Xξ=,cos Y ξ=,求X Y 与的相关系数XY ρ.解根据随机变量函数的数学期望的计算公式,有1sin 02EX d ππθθπ-==⎰,1cos 02EY d ππθθπ-==⎰ 所以2211sin 22DX EX d ππθθπ-===⎰ 2211cos 22DY EY d ππθθπ-===⎰又因为1sin cos 02EXYd ππθθθπ-==⎰从而得cov(,)0X Y EXY EX EY =-⋅=于是XYρ==五、课本习题全解5-1 (1)1111210(1)12666EX=⨯+⨯+⨯+-⨯=,222211117210(1)26663EX=⨯+⨯+⨯+-⨯=,11(21)(221)(211)(201)26E X-+=-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯11(2(1)1)166+-⨯-+⨯=-;(2)224()3DX EX EX=-=,()Xσ==.5-2 (1)00;k kk kqEX kpq pq qp∞∞=='⎛⎫===⎪⎝⎭∑∑(2)22222210000k k k kk k k k EX k pq pq k q pq q pq kq∞∞∞∞--====''⎛⎫===+⎪⎝⎭∑∑∑∑200k kk kpq q pq q∞∞=='''⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑222q qp p=+2222222q q q q qDXp p p p p=+-=+5-3 (1)1()02xEX xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰;(2)2221()2(3)22xDX EX EX x e dx+∞-=-==Γ=⎰.5-4 (1)0(1)1EX p p p =⨯-+⨯=,0(1)1EY p p p =⨯-+⨯=;(2)由于20(1)1EXp p p =⨯-+⨯=,20(1)1EY p p p =⨯-+⨯=;22()(1)DX EX EX p p =-=-,22()(1)DY EY EY p p =-=-;(3)由于00(1)11EXYp p p =⨯⨯-+⨯⨯=,故2cov(,)(1)X Y EXY EX EY p p p p =-⋅=-=-.5-5222()()2g t E X t EX tEX t =-=-+, ()220dg t t EX dt=-=, 因此,t EX =,即t EX =时,()g t 达到最小值为DX .5-6 当2YX =时,022x EY xe dx +∞-==⎰;当3XYe-=时,3014x x EYe e dx +∞--==⎰. 5-7222()/2(ln 2)/2xx u a EY a dx a e μσσ+∞---∞==⎰22()DY EY EY =-222222()/2(ln 2)/222ln 2ln 2()()(1)xx u a u a a a dx a e a e e μσσσσ+∞---∞=-=-⎰5-8 由于12102()23EXx x dx x dx ϕ+∞-∞===⎰⎰,(5)20()y EY y y dy ye dy ϕ+∞+∞---∞==⎰⎰6=,且X Y 与相互独立,所以有2643EXY EX EY =⋅=⨯=,220(+)+633E X Y EX EY ==+=5-9 证明)0EYE EX EX==-= 22221()()1DY EY EY E E X EXDX =-==-=5-10证明0XYρ===()()0E X EX Y EY ⇒--=()0E XY Y EX X EY EX EY ⇒-⋅-⋅+⋅=0EXY EX EY ⇒-⋅=()2cov(,)D X Y DX DY X Y DX DY ⇒+=++=+5-15 (1)由于220(,)sin()x y dxdy A x y dxdy ππϕ+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰20cos cos 2A x x dx ππ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰21A ==,故12A =. (2)22200011sin()cos cos 2224EX x x y dxdy x x x x dx πππππ⎡⎤⎛⎫=+=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰, 由于X Y 与相互对称,故有4EYEX π==;2222222200011sin()[sin cos ]22282EX x x y dxdy x x x x dx πππππ=+=+=+-⎰⎰⎰22222()22824162DX EX EX πππππ⎛⎫=-=+--=+- ⎪⎝⎭由于X Y 与相互对称,故有22162DYππ=+-.(3)222000112sin()sin cos 222EXY xy x y dxdy x x x dx ππππ-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰22π-=2cov(,)1162X Y EXY EX EY ππ=-⋅=-+-2211622162XYππρππ-+-==+-5-12 二维随机变量(,)X Y的联合分布函数为1(,)(,)x y Af x y∈⎧=⎨⎩当其他12(1)12(1)000012,33x xEX xdydx EY ydydx--====⎰⎰⎰⎰12(1)0016xEXY xydydx-==⎰⎰.5-13 设抽到次品所需要次数为X,则X服从下列分布:X 1 2 3 kP2n221nn n-⋅-23212n nn n n--⋅⋅--2(2)(3)()(1)(2)(1)n n n kn n n n k-------即2{}1n kP X kn n-==⋅-,因此11112{}1n nk kn kEX k P X k kn n--==-=⋅==⋅⋅-∑∑1121121(2)3n nk knkn kn n--==+⎛⎫=-=⎪-⎝⎭∑∑122121nkn kEX kn n-=-=⋅⋅-∑11231121(1)(2)6n nk kk n k n nn n--==⎛⎫=-=+⎪-⎝⎭∑∑221()(1)(2)18DX EX EX n n=-=+-5-15 (1)11005(2)12EX x x y dydx=--=⎰⎰,512EY EX==.1122001(2)4EX x x y dydx=--=⎰⎰,2214EY EX==2211()144DX DY EX EX ==-= 11001(2)6EXY xy x y dydx =--=⎰⎰2151cov(,)612144X Y EXY EX EY ⎛⎫=-⋅=-=- ⎪⎝⎭5()2cov(,)36D X Y DX DY X Y +=++=(2)103()(2)2X f x x y dy x =--=-⎰,103()(2)2Y f y x y dx y =--=-⎰可见,()()(,)X Y f x f y f x y ≠,所以两者不独立.111441111144XYρ-===-故两者相关. 5-16(5)5()22y X f x xedy x +∞--==⎰,1(5)(5)0()2y y Y f y xe dx e ----==⎰可见,()()(,)X Y f x f y f x y =,故两者独立.1(5)054y EXY xye dydx +∞--==⎰⎰5-17 两台仪器无故障时间的密度分布为1511150()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他,2522250()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他联合密度函数为125()121212250,0(,)()()0x x e x x f x x f x f x -+⎧>>==⎨⎩当其他 设无故障工作时间为12y x x =+,则联合分布函数为1125()5512210(,)()2551y y x x x y y F x x F y e dx dx ye e --+--===--+⎰⎰5()()25y df y F y e y dy-==所以密度函数为5250()0y e y y f y -⎧>=⎨⎩当其他 2502255y EY y e dy +∞-==⎰,235062525y EY y e dy +∞-==⎰ 262225525DY ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5-18 根据题意有()EXP A =,()EY P B =,()EXY P AB ={1}()P XY P AB ==,{0}1()P XY P AB ==-已知0XYρ=,所以cov(,)0X Y =,即cov(,)()()()0X Y EXY EX EY P AB P A P B =-⋅=-=故()()()P AB P A P B =.事件A B 与相互独立,由事件的独立性定理可得:A ,A ,B ,B 两两相互独立,即{11}{1}{1}P X Y P X P Y =====, {10}{1}{0}P X Y P X P Y =====, {01}{0}{1}P X Y P X P Y =====, {00}{0}{0}P X Y P X P Y =====,因此,X Y 和相互独立. 5-19 已知11~0,,~0,22XN Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正态分布的性质可知:()1D X Y DX DY -=+=,()0E X Y -=故()()~0,1XY N -,令Z X Y=-,则()~0,1ZN.22()z E Z z e dz +∞--∞==22222()()()()1D Z EZ E Z DZ EZ E Z π=-=+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦六、自测题及答案1.设随机变量X 的密度函数为()()0ba x x a f x a x a ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩当当且已知1DX=,则常数a =____________,b =____________.2.设随机变量X 的方差为1DX =,(,)Y X αβαβ=+为非零常数,则DY =__________.3.设X 表示10次独立重复射中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2EX =__________.4.设随机变量123X X X 、、相互独立,其中2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P,记12323YX X X =-+,则DY =_________.5.设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布,且已知[(1)(2)]1E X X --=,则λ=___________.6.设X 是一个随机变量,其概率密度为110()1010x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩当当其他则方差DX =_____________.7.设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当p =_____________时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为____________.8.设随机变量X 的分布函数为300()0111x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩当当当则EX=().(A )40x dx +∞⎰(B )1401x dx xdx +∞+⎰⎰(C )1203x dx ⎰(D )1303x dx ⎰9.设随机变量X Y 与独立,且21ZX Y =-+,则DZ =().(A )4DX DY -(B )4DX DY + (C )21DX DY ++(D )21DX DY -+10.设随机变量X 的密度函数为2(1)/2()xf x--=则以下()成立.(A){1}{1}P X P X<=>(B){0}{2}P X P X≤<≥(C)1EX=(D)1DX=11.如果随机变量X Y与满足D X Y D X Y+-()=(),则必须有()成立.(A)X Y与独立(B)X Y与不相关(C)0DY=(D)0DX DY⋅=12.设随机变量X服从参数为2的指数分布,随机变量22xY x e-=+,则DY=().(A)32(B)5 (C)34(D)4313.设X Y与是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为201()x xf x≤≤⎧=⎨⎩当其他,(5)5()ye yf y--⎧>=⎨⎩当其他则EXY=().(A)2 (B)3 (C)4 (D)514.设随机变量X Y与独立,且21~(,)X Nμσ,22~(,)Y Nμσ,则()D X Y-=().(A)22122()1σσπ⎛⎫+-⎪⎝⎭(B)2212σσ+(C)2212σσ-(D)22122()1σσπ⎛⎫--⎪⎝⎭15.设X是一个随机变量,2,EX DXμσ==,(22,0μσ>是常数),则对任意常数C,有().(A)222()E X C EX C-=-(B)22()()E X C E Xμ-=-(C)22()()E X C E Xμ-<-(D)22()()E X C E Xμ-≥-16.设随机变量12X X、的概率密度分别为2120()00x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当,4240()00x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当 (1)求12()E X X +和212(23)E X X -;(2)假设12X X 、相互独立,求12EX X . 17.一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,其概率密度为410()400xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩当当工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望.18.流水作业线上生产出的每个产品为不合格的概率为p ,当生产出k 个不合格品时,即停工检修一次,求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差.19.五家商店联营,它们每两周售出的某农产品的数量(单位:kg )分别为123X X X 、、、45X X 、,已知1~(200,225)X N ,2~(240,240)X N ,3~(180,225)X N ,4~X (260,265)N ,5~(320,270)X N ,且123X X X 、、、45X X 、相互独立.(1)求五家商店两周的总销售量的均值和方差;(2)商店每隔两周进货一次,为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99,问商店的仓库应至少储存多少千克该产品?20.某人有一串钥匙(钥匙数量为n )其中只有一把能打开自己的家门,若他在下列情况下随意地试用这串钥匙,试求打开门时已被使用过的钥匙数的数学期望与方差:(1)把每把试用过的钥匙分开;(2)把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中.21.设一口袋中装有n 个球,每个球上标有各不相同的数字,不放回地从袋中取球,每次一个球,第k 次取到的球上的数字定义为k X (1,2,,)k n = ,对任意的j k ≠,求j k X X 和的相关系数.【答案】1.因为x a <,说明0a >,所以0()()0a a a EX x a x dx x a x dx b -⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰502220()()6a a a a EX x a x dx x a x dx b b -⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 已知22()1DXEX EX =-=,可得516a b=①又因为00()()()1a a a a f x dx a x dx a x dx b b +∞-∞-⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,可得31a b=②联立①②,得a b ==2.22()DY D X DX αβαα=+==3.18.44.由2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P ,可得21(60)312DX -==,24DX =,33DX =所以123123(23)493449346D X X X DX DX DX -+=++=+⨯+⨯=5.已知X 服从参数为λ的泊松分布,即EX λ=,而22[(1)(2)](32)32E X X E X X EX EX --=-+=-+ 22()3232DX EX EX λλλ=+-+=+-+ 2221λλ=-+=解得1λ=. 6.167.若X 满足二项分布,则(1)DX np p =-,1(1)(12)02dDX n p np n p p dp =--=-=⇒= 221220p d DXn dp ==-<故12p =是方差的最大值点,也是标准差的最大点.方差最大值为 (1)25DX np p =-=从而标准差最大值为25.8.由X 的分布函数可得其密度函数为2301()0x x f x ⎧≤≤=⎨⎩当其他 故1123033EXx x dx x dx =⋅=⎰⎰.因此D 项正确.9.由于X Y 与相互独立,所以(21)(2)4DZ D X Y D X DY DX DY =-+=+=+.因此B 项正确. 10.因为22(1)21()x f x --⨯=,所以~(1,1)XN .其中21,1EX DX μσ====.由于()f x 的曲线关于1x μ==对称,故{1}{1}P X P X >=<.因此,A 、C 、D 三项均正确.11.因为()2cov(,)D XY DX DY X Y +=++()2cov(,)2cov(,)D X Y DX DY X Y DX DY X Y -=++-=+-又因为()()D XY D X Y -=+所以cov(,)0X Y =,即0XY ρ=,故X Y 与不相关.因此B 项正确.12.A 13.C 14.A 15.D 16.(1)2110()2x EX xf x dx xe dx +∞+∞--∞==⎰⎰2201[]2x x xee dx +∞-+∞-=-+=⎰ 4220()4x EX xf x dx xe dx +∞+∞--∞==⎰⎰4401[]4x x xee dx +∞-+∞-=-+=⎰ 2224220()4x EX x f x dx x e dx +∞+∞--∞==⎰⎰24400[]2x x x exe dx +∞-+∞-=-+⎰4400111228x x xe e dx +∞+∞--⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰所以1212113()244E X X EX EX +=+=+= 221212115(23)2323288E X X EX EX -=-=⨯-⨯=(2)若12X X 、相互独立,则有1212111248EX X EX EX =⋅=⨯=17.售出一台设备的盈利函数为20001()1001x g x x -<<⎧=⎨>⎩当当则[()]()()E g x g x f x dx +∞-∞=⎰1401(200)4xe dx -=-⨯⎰ 111444401200[]100[]200200100xxe e e e----+∞=-=-+14300200e -=-18.设第1i -个不合格品出现后到第i 个不合格品出现时的产品数为iX (1,2,i =,)n ,又设两次检修之间产品总数为X ,则1ki i X X ==∑,12,,,,k X X X 独立同分布,且1{}(1)j i P X j p p -==-(1,2,,;1,2,)i k j ==由此得111(1)j i j EX j p p p∞-==-=∑22222211()i i i p pDX EX EX p p p--=-=-= 所以1ki i k EX EX p ===∑,21(1)ki i k p DX DX p =-==∑ 19.(1)设X 表示五家商店的总销售量,则51i i XX ==∑.512002401802603201200i i EX EX ===++++=∑521225240225265270122535i i DX DX ===++++==∑(2)设商店的仓库至少应储存Y kg 该产品,求使得{0}0.99P Y X -≥≥的Y ,又因为2~(1200,35)XN ,故120012001200{}0.99353535X Y Y P X Y P φ---⎧⎫⎛⎫≤=≤=≥⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭查表得12002.3335Y -≥,即120035 2.331281.55Y ≥+⨯=故至少应储存1281.55kg 该产品. 20.设X 为试用过的钥匙数. (1)12111{}121n n n k P Xk n n n k n k n---+==⋅⋅=--+-- (1,2,,)k n = 又因为1112nk n EXk n =+=⋅=∑ 2211(1)(21)6nk n n EX k n =++=⋅=∑ 所以2221()12n DX EX EX -=-=(2)111{}k n P X k n n--⎛⎫==⋅⎪⎝⎭(1,2,)k = 又因为1111k nk n EX k n n n-=-⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭∑ 12221112k nk n EX k n n n n-=-⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎝⎭∑ 所以22()(1)DXEX EX n n =-=-21.设这n 个各不相同的数为12,,,n a a a ,则有1{}j i P X a n==(1,2,,)i n = 故11nj i i EX a n ==∑22112()nni i i i j n a a DX n==⋅-=∑∑(1,2,,)j n =()k j X X j k ≠和的联合分布律为1{,}(1)j i k l P X a X a n n ===-(,1,2,,)i l n =故cov(,)k j k jk j X X EX X EX EX =-⋅21121(1)i jn i j ni i a a a n n n ≤<≤=⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑∑2221112()()(1)n nni ii i i i a a a n n n ===-=--∑∑∑22112()(1)nni i i i a n a n n ==-=-∑∑因此cov(,)11k jX X X X nρ==-。

概率论与数理统计重点总结及例题解析

概率论与数理统计重点总结及例题解析

概率论与数理统计重点总结及例题解析(总15页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--概率论与数理统计重点总结及例题解析一:全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%, 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。

(同步45页三、1)解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格,则A1,A2,A3为一个完备事件组。

P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)=,P(B| A2)=,P(B| A3)=。

由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式:P(A1| B)=P(A1B)/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等,而且第一、二、三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少(同步49页三、1)【】练习:设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:(同步29页三、5)(1)取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。

解:设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B ={第i 次取的零件是一等品}(1)P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )=52301821501021=+ (2)P(1B 2B )=194.02121230218250210=+C C C C ,则P(2B |1B )=)()(121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=othersx x x f 020)(λ求:(1)常数λ;(2)EX ;(3)P{1<X<3};(4)X 的分布函数F(x)(同步47页三、2)解:(1)由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ=1/2 (2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P(4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)( 当0≤x<2时,⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()( 当x ≥2时,F (x )=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习:已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)( 且E(X)=7/12。

概率论重点及课后题答案1

概率论重点及课后题答案1

第1章随机事件与概率一、大纲要求(1)理解随机事件的概率,了解样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算.(2)了解概率的统计定义和公理化定义,掌握概率的基本性质.(3)会计算古典概型的概率和几何概型的概率.二、重点知识结构图三、基础知识1.随机试验的特征(1)试验可以在相同的条件下重复地进行.(2)试验的可能结果不止一个,但明确知道其所有可能会出现的结果.(3)在每次试验前,不能确知这次试验的结果,但可以肯定,试验的结果必是所有可能结果中的某一个.2.样本空间在讨论一个随机试验时,试验的所有可能结果的集合是明确知道的,称这个集合为该实验的样本空间,常用()S Ω或表示,其元素称为样本点,常用ω记之,它是试验的一个可能结果.3.随机事件在实际问题中,面对一个随机试验,人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如,投资者关心明日收市股价是否上涨,即明日股价>今日收市价,它是样本空间的一部分.因此,称样本空间的一些子集为随机事件,简称事件,通常用大写英文字母A B C 、、记之.4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件,通过种种关系,可使其与一些较为简单的事件联系起来,这时,我们就可设法利用这种联系,通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件,用已知的事件去表示未知的事件.5.事件的蕴含与包含若当事件A 发生时B 必发生,则称A 蕴含B ,或者说B 包含A ,记作A B ⊂.6.事件的相等若A 与B 互相蕴含,即A B ⊂且B A ⊂,则称事件A 与B 相等,记为A B =.7.事件的互斥(或称互不相容)若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生),则称它们是互不相容的或互斥的.若一些事件中的任意两个事件都互不相容,则称这些事件是两两互不相容的,或简称互不相容的.8.事件的对立(或称逆)互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件,常记作A .9.事件的并(或称和)对给定的事件A 、B ,定义一个称为并或和的事件,以A B 记之.A B ={A 发生或B 发生}={A 、B 至少有一个发生}10.事件的交(或称积)对给定的事件A 、B ,定义一个称为交或积的事件,以AB 记之.AB ={A 发生且B 发生}={A 、B 同时发生}11.事件的差两个事件A 、B 之差,记为A B -.其定义是:A B -={A 发生但B 不发生}={A 发生且B 发生}从定义可看出:A B -=AB .12.事件域定义称样本空间Ω的一些子集所组成的集合F 为事件域.如果满足以下3个条件:①Ω∈F ;②若A ∈F ,则A ∈F ③若i A ∈F (1,2,i = ),则1nii A =∈ F ;称F a 中的元素为事件. 13.概率的统计定义定义若事件A 在n 次试验中出现了r 次,则称比值/r n 为事件A 在n 次试验中出现的频率记作()n f A ,即()n r f A n= 式中r 称为事件A 在n 次试验中出现的频数.概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中,事件A 出现的频率总是在区间(0,1)上的一个确定的常数p 附近波动,并且稳定于p ,则称p 为事件A 的概率,记为()P A .即()P A p =14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中,如果基本事件的总数为n (n 为有限数),事件A 所包含的样本点个数为r (r n ≤),则定义事件A 的概率()P A 为/r n .即()r A P A n ==中包含的样本点个数基本事件总数15.概率的公理化定义 定义设Ω是样本空间,A 是随机事件,即A 是Ω上事件域F a 中的一个元素,()P A 是A 的实值函数,且满足下列3条公理,则称函数()P A 为事件A 的概率. 公理1对于任意事件A ,有0()1P A ≤≤.公理2()1P Ω=.公理3若12,,,,n A A A 两两互斥,则11()()i i i i P A P A ∞∞===∑∑(可列可加性).四、典型例题例1设A 、B 是两个随机事件,若()0P AB =,则下列命题中正确的是().(A )A 和B 互不相容(互斥)(B )AB 是不可能事件(C )AB 不一定是不可能事件(D )()0()0P A P B ==或解一个事件的概率为0,这个事件未必是不可能事件;因此C 项正确.反例如下:随机地向[0,1]区间内投点,令x 表示点的坐标,设{01/2},{1/21}A x B x =≤≤=≤≤,则{1/2}A B x ==,由几何概率可知,()0P AB =,由此例子还可得出A 项和B 项是不对的.D 项也是错误的,反例如下:掷一枚均匀的硬币,设A 表示出现正面,B 表示出现反面,则()()1/2P A P B ==,但AB φ=,从而()0P AB =.例2 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 比发生,则下列式子正确的是().(A )()()()1P C P A P B ≤+-(B )()()()1P C P A P B ≥+-(C )()()P C P AB =(C )()()P C P A B =解已知AB C ⊂,则()()P C P AB ≥,又因为()()()()()()1P AB P A P B P A B P A P B =+-≥+-所有B 项正确,而A 项、C 项和D 项显然是错误的.例3 袋子里有5个白球,3个黑球,从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率.解样本空间所包含的样本点总数为28n C =.设事件{}A =取出的两个球都是白球,则事件A 包含的样本点总数为25k C =,故2528()0.357k C P A n C ==≈ 例4 一批产品工200个,其中有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有1个废品的概率;(3)任取3个全是废品的概率.解样本空间所包含的样本点的总数为3200n C =. 设事件{3}1,3i A i i ==取出的个产品中有个废品();{}B =事件这批产品的废品率.若取出的3个产品中有i 个废品,则这i 个废品必是从6个废品中获得的,而另3i -个合格品必是从194个合格品中获得的,从而事件i A 所包含的样本点数为36194(1,3)i i i k C C i -==,故6()0.03200P B == 121619413200()0.086k C C P A n C ==≈ 33613200()0.00002k C P A n C ==≈ 例5 袋子里装有6个球,其中4个白球,2个红球.从袋中取球两次,每次任取一个,试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况,求:(1)取到的两个球都是白球的概率;(2)取到的两个球颜色相同的概率;(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解设事件{}A =两个球都是白球;事件{}B =两个球都是红球;事件{}C =两个球中至少有一个是白球.第一种情况:不放回抽样样本空间的基本事件总数为116530n C C ==.事件A 的基本事件数为11434312A k C C ==⨯=.事件B 基本事件数为1121212B k C C ==⨯=.(1)122()305A k P A n === (2)由于21()3015B k P B n ===,且AB =∅,因此 217()()()51515P A B P A P B =+=+= (3)114()1()11515P C P B =-=-= 第二种情况:放回抽样第一次从袋中取球有6个球可供抽取,第二次也有6个球可供抽取,由乘法原理,共有66⨯种取法,即样本空间的基本事件总数为66⨯.对事件A 而言,第一次有4个白球可供抽取,第二次也有4个球可供抽取,由乘法原理,共有44⨯种取法,即A 中包含44⨯个基本事件.同理,B 中包含22⨯个基本事件.(1)444()669P A ⨯==⨯ (2)由于221()669P B ⨯==⨯,且AB =∅,因此 415()()()999P A B P A P B =+=+= (3)18()()1()199P C P B P B ==-=-= 例6 从n 双不同型号的鞋子中任取2(2)k k n <只,试求下列事件的概率:(1)A ={没有成对的鞋子};(2)B ={恰有一对鞋子} .解样本空间包含22k n C 个样本点.(1)为使事件A 发生,先将鞋子成对地放在一起,然后从n 双鞋子中取出2k 双,最后再从这2k 双鞋子中每双取出1只,故事件A 的概率为2122222222()2()k k k k n n k k n nC C C P A C C == (2)为使事件B 发生,先从n 双鞋子中取出1双,再从剩下的1n -双鞋子中任取22k -双,最后再从这22k -双鞋子中每双取出1只,故事件B 的概率为12212222221212222()2()k k k k n n n k k n nC C C n C P B C C ------== 例7随机地向半圆0y <<a 为正常数)内掷一点,点数在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解这是一个几何概型的概率计算问题.设{(,):02}S x y y x a =≤≤≤≤,在极坐标下可写为{(,):2cos ,0/2}S r r a θθθπ=≤≤≤设事件{(,):2cos ,0/4}A r r a θθθπ=≤≤<,故2221124()22a a A P A a B πππ+===+的面积的面积 例8 将50个铆钉随地取来用在10个部件上,其中3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉,若将3个强度太弱的铆钉都装在同一个部件上,则这个部件的强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?解设事件A ={发生一个部件强度太弱},则A 所含的样本点数为1271047927!(3!)C C .将50个铆钉装在10个部件上的所有装法的全体看作样本空间,则所包含的样本点数为30501030!(3!)C ,故 1271047930501027!1(3!)()30!1960(3!)C C P A C ==例9 设A B 、为随机事件,()0.5,()0.2P A P A B =-=,求()P AB .解因为A B A AB -=-,且AB A ⊆,所以()()()P A B P A P AB -=-于是()()()0.50.20.3P AB P A P A B =--=-= 因此()1()0.7P AB P AB =-=例10 在(0,1)内任取三个数,求以为长度的三条线段围成一个三角形的概率.解设样本空间{(,,):0,,1}S a b c a b c =<<;所求事件{(,,):,,}A a b c a b c a c b b c a =+>+>+> 因此23111311132()112A OABCD P A S -⨯⨯⨯⨯====的面积六面体的体积的面积边长为的正方体体积 五、课本习题全解1-1(1)Ω={1,2,3,4,5,6};(2)Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4)(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)};(3)Ω={3,4,5,6,7,8,9,10};(4)用数字1代表正品,数字0代表次品,则Ω={(0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,1,1,1)}.1-2 (1)A 为随机事件;B 为不可能事件;C 为随机事件;D 为必然事件;(2)、(3)、(4)、(5)均为随机事件.1-3 (1)A ;(2)ABC ;(3)A B C ;(4)ABC ;(5)ABC ABC ABC . 1-4 (1)ABC ;(2)ABC ABC ABC ;(3)ABC ;(4)ABC A B C 或;(5)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ;(6)A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或或ABC . 1-5 (1)买的是1985年以后出版的英文版物理书;(2)在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下,ABC A = .1-6 (1)、(4)、(5)、(6)、(7)正确,其余均不正确.1-7 若需要测试7次,即前6次恰好取出2个次品,还有一个次品在第7次取出,故有246376C C A 次.而在10个中取出7个共有710A 种取法.设A={测试7次},故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设A ={能开门},从6把钥匙中任取2把共有26C 种取法,故2611()15P A C == . 1-9 设A ={拨号不超过3次就能接通电话},则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设B ={若记得最后一位是奇数时,拨号不超过3次就能接通电话},则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设A ={恰有2人的生日在同一个月份},则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取,出现的结果有35125=种. 三个数字不同的取法有335360C A =种,故60()0.48125P A ==; 三个数字不含1或5,即每次只能在2、3、4中进行抽取,共有3327= 种取法,故27()0.216125P A ==; 三个数字5出现两次,即有213412C C =种取法,故12()0.096125P C == . 1-12 设A ={指定的3本书恰好放在一起},10本书的排列方法共有10!种,而指定的3本书的排列方法有3!种,剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8!种,故3!8!1()10!15P A == 1-13 (1)21134339()416C C C P A ==;(2)341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.(1)设A ={最小号码是5},当最小号码是5时,在610 之间还有地两个号码,即有25C 种方法,故253101()12C P A C == (2)设B ={最大号码是5},当最大号码是5时,在14 之间还有两个号码,即有24C 种方法,故243101()20C P B C == 1-15 (1)112211661()9C C P A C C ==;(2)1111244211664()9C C C C P B C C +== .1-16 (1)22261()15C P A C ==;(2)1124268()15C C P A C == . 1-17 (1)设A ={样品中有一套优质品、一套次品},则11844210056()825C C P A C ==; (2)设B ={样品中有一套等级品、一套次品},则1112421008()825C C P B C ==; (3)设C ={退货},则2112496412210076()825C C C C P C C ++==; (4)设D ={该批货被接受},则2118484122100749()825C C C PD C +==; (5)设E ={样品中有一套优质品},则1184162100224()825C C P E C == . 1-18 (1)设A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==.六、自测题及答案1.事件A 与B 互不相容,且()0.8P A =,则()P AB =2. ()0.5,()0.2P A P B A =-=则()P AB =3.事件A 与B 互不相容,且A B =,则()P A =4.()()()1/4P A P B P C ===,()0P AB =,()()1/16P AC P BC ==,则事件A 、B 、C 全不发生的概率为5. 设A B 、是任意两事件,则()P A B -=()(A) ()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-6. 设甲乙两人进行象棋比赛,设事件A ={甲胜乙负},则A 为().(A){甲胜乙负} (B){甲乙平局}(C){甲负} (D) {甲负和平局}7.某单位招工需经过四项考核,设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别是0.6,0.8,0.91,0.95,且各项考核都是独立的,每个应招者都要经过四项考核,只要有一项不通过即被淘汰,试求:(1)这项招工的淘汰率;(2)虽通过第一和第三项考核,但仍被淘汰的概率;(3)设考核按顺序进行,应试者一旦某项不合格即被淘汰,不参加后面项目的考核,求这种情况下的淘汰率.8.从1~9这九个数字中,又放回地抽取三次,每次任取一个,求所取的三个数之积能被10整除的概率.9. 在某城市中发行三种报纸A B C 、、,订阅A 报的有45%,订阅B 报的有35%,订阅C 报的有30%,同时订阅A 报及B 报的有10%,同时订阅A 报及C 报的有8%,同时订阅B 报及C 报的有5%,同时订阅A B C 、、报的有3%,试求下列事件的概率:(1)只订A 报的;(2)只订A 报及B 报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的.【答案】1.由()0,P AB =且()1()10.80.2P A P A =-=-=,得()()()0.200.2P AB P A P AB =-=-=2.由()()()0.2P B A P B P AB -=-=()0.5P A =得()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-+=--+=1()[()()]P A P B P AB ---=1-0.5-0.2=0.33.由于A B =,于是有AB A B ==,又由于A 与B 互不相容,所以有AB =∅,即A B =∅=,因此()0P A = .4事件A B C 、、全不发生表示为ABC 。

概率论课后习题答案

概率论课后习题答案

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω:(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数;(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.(2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=,或写成{10,11,12,}.Ω=(3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的是正品,样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.(3)取直角坐标系,则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生; (2)A 、B 、C 中恰好发生一个; (3)A 、B 、C 中至少有一个发生; (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5)A 、B 、C 中至少有两个发生; (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解:(1)ABC 或A B C --或()A B C -;(2)ABC ABC ABC ;(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ;(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ;(6)ABCABCABCABC .3.设样本空间{|02}x x Ω=≤≤,事件{|0.51}A x x =≤≤,{|0.8 1.6}B x x =<≤,具体写出下列事件:(1)AB ;(2)A B -;(3)A B -;(4)A B .解:(1){|0.81}AB x x =<≤; (2){|0.50.8}A B x x -=≤≤;(3){|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或; (4){|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点, 其对应的概率分别为22,,41p p p -, 求p 的值. 解:由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件,所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-,又因为一个事件的概率总是大于0,所以3p =- 5. 已知()P A =0.3,()P B =0.5,()P A B =0.8,求(1)()P AB ;(2)()P A B -;(3)()P AB .解:(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ,且()P A p =,求()P B . 解:由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=,从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ,()0.4P A =,()0.5P B =,()0.6P C =,()0.2P AC =,()P BC =0.4且AB =Φ,求()P A B C .解:()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:依题意可知,基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”,则1A 表示每个杯子最多放一个球,共有34A 种方法,故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中,其余一个放入其余3个杯子中,放法总数为211343C C C 种,故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中,共有14C 种放法,故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个,能排成一个四位偶数的概率是多少?解:从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7-4×8×7+9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集,按任意次序放到书架上去,试求下列事件的概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中.解:(1)第一卷出现在旁边,可能出现在左边或右边,剩下四卷可在剩下四个位置上任意排,所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边,或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边,剩下三卷可在中间三人上位置上任意排,所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件,所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中,其余四卷在剩下四个位置上可任意排,所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2,3,4,5诸数各写在一X 小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率.解:末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时,前两位数字从剩下三个数字中选排,所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解:每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点,于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

概率论第三章课后习题答案_课后习题答案

概率论第三章课后习题答案_课后习题答案

第三章 离散型随机变量率分布。

,试写出命中次数的概标的命中率为目;设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间;试在样作为试验,试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击,现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以,,则简记为将,,则代表击中目标的次数,令则次射中”,“第解:设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。

出的废品数的概率分布前已取个,求在取得合格品之不再放回而再取来使用,若取得废品就个这批零件中任取个废品,安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ,,,可能取值为:代表废品数,则解:令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以,ξ废品数的概率分布。

概率论第7~10章课后习题集答案解析

概率论第7~10章课后习题集答案解析

习题七1.设总体X 服从二项分布b (n ,p ),n 已知,X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本,求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f (x ,θ)=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为其样本,试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f (x ,θ),X 1,X 2,…,X n 为其样本,求θ的极大似然估计.(1) f (x ,θ)=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩(2) f (x ,θ)=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】(1) 似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n. 1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据,结果如下:1-求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =0.094.EX x ==-由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有ˆσ=于是ˆ0.101890.0966σ===所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布,今得X的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计.【解】(1) ()2E Xθ=,令()E X X=,则ˆ2Xθ=且ˆ()2()2()E E X E Xθθ===,所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2xθ==⨯=且ˆ2Xθ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)iiL f xθθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i=1,2, (8)显然L=L(θ)↓(θ>0),那么18max{}iixθ≤≤=时,L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E(18max{}iix≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}iix≤≤不是θ的无偏计.6.设X1,X2,…,X n是取自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,2ˆσ=k1211()ni iiX X-+=-∑,问k为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计.【解】令1,i i iY X X+=-i=1,2,…,n-1,则21()()()0,()2,i i i iE Y E X E X D Yμμσ+=-=-==于是1222211ˆ[()](1)2(1),niiE E k Y k n EY n kσσ-===-=-∑那么当22ˆ()Eσσ=,即222(1)n kσσ-=时,有 1.2(1)k n =-7.设X 1,X 2是从正态总体N (μ,σ2)中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差. 【证明】(1)11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉,其直径X ~N (μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm )如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2),σ2已知,问需抽取容量n 多大的样本,才能使μ的置信概率为1-α,且置信区间的长度不大于L ?【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N (μ,σ2),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg ·cm -2):64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 (1) 求μ的置信概率为0.95的置信区间. (2) 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19) 2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫±-=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=-所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0nn ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本(1) 求θ的矩估计量ˆθ; (2) 求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===, 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数,又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤= 14. 设总体X 的概率分布为其中θ(0<θ<2)是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== (2) 似然函数86241(,)4(1)(12).i i L P x θθθθ===--∏ 2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,2θ=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为 7ˆ2θ-=15.设总体X 的分布函数为F (x ,β)=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0,设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本 (1) 当α=1时,求β的矩估计量; (2) 当α=1时,求β的极大似然估计量; (3) 当β=2时,求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时,11,1;(,)(,1,)0, 1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i n i i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏其他显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N (3.4,62)中抽取容量为n 的样本,如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)的概率不小于0.95,问n 至少应取多大?2/2()d zt z t ϕ-=⎰z【解】26~ 3.4,X N n⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N = {1.4 5.4}33210.95333Z P X PP Z ΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛⎫⎛⎛⎫=-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是0.975Φ≥则 1.963≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ,θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数(0<θ<1),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求:(1) θ的矩估计; (2) θ的最大似然估计. 解 (1) 由于 121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=,解得32X θ=-, 所以参数θ的矩估计为32X θ=-.似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏,取对数,得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导,得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=, 所以θ的最大似然估计为Nnθ=.18.19.习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变,总体平均值有无显著性变化(α=0.05)?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0,认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为:3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布,问在α=0.01下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H 0,认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下,某种牌子的香烟一支平均1.1克,若从这种香烟堆中任取36支作为样本;测得样本均值为1.008(克),样本方差s 2=0.1(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟(支)的重量(克)近似服从正态分布(取α=0.05).【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35) 2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0,认为这堆香烟(支)的重要(克)正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时,标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池,得到它们的寿命(以小时计)为19,18,20,22,16,25,问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短?设电池寿命近似地服从正态分布(取α=0.05).【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H H n z x x z z z μμμασ≥<======-===->-=- 所以接受H 0,认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分,从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测定值总体为正态,μ为总体均值,σ为总体标准差,试在水平α=0.05下检验.(1) H 0:μ=0.5(%);H 1:μ<0.5(%).(2)0:H σ' =0.04(%);1:H σ'<0.04(%).00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0,接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0,拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N(μ,20.005).今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s=0.008欧.对于α=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0,不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本:n1=200,x=0.532kg, s1=0.218kg;第二批棉纱样本:n2=200,y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布,方差未知但相等,两批强度均值有无显著差异?(α=0.05)01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0,认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ,B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析,得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ,B 所得的测定值的总体都是正态分布,其方差分别为σA 2,σB 2,试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F << 所以接受H 0,拒绝H 1. 9. 10. 11. 12.1灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝,检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布,不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同,试根据表中试验结果记录,在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异?试验批号1 2 3 4 5 678灯丝材料水平A1A2A3A416001580146015101610 1640 1550 15201650 1640 1600 15301680 1700 1620 15701700 1750 1640 16001720 1660 16801800 17401820【解】14,26;====∑ri i r n n2442..11===-∑∑T iji j T S x n =69895900-69700188.46=195711.54, 242...11==-∑A i i iT S T n n =69744549.2-69700188.46=44360.7,=-E T A S S S =151350.8,0.05/(1)44360.7/32.15/()151350.8/22(3,22) 3.05.-===-=>A E S r F S n r F F ,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响. 表9-1-1方差分析表2. 一个年级有三个小班,他们进行了一次数学考试,现从各个班级随机地抽取了一些学生,记录其成绩如下:试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布,且方差相等.【解】13,40,====∑ri i r n n232..11in T iji j T S x n ===-∑∑=199462-185776.9=13685.1, 232...11==-∑A i i iT S T n n =186112.25-185776.9=335.35, =-E T A S S S =13349.65,0.05/(1)167.70.465/()360.8(2,37) 3.23.-===-=>A E S r F S n r F F故各班平均分数无显著差异. 表9-2-1方差分析表3. 下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量.取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间,机器之间以及两者交互作用有无显著差异?【解】由已知r =4,s =3,t =3........,,,ij i j T T T T 的计算如表9-3-1.表9-3-122 (111)22 (12)2.....122....111106510920.25144.75,11092310920.25 2.75,110947.4210920.2527.17,173.50=====⨯===-=-==-=-==-=-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑rstT ijki j k r A i i s B j j r s ij A B A B i j T S x rst T S T st rst T S T rt rst T T S S S t rst ,41.33.⨯=---=E T A B A B S S S S S表9-3-2得方差分析表0.050.050.05(3,24) 3.01,(2,24) 3.40,(6,24) 2.51.===F F F接受假设01H ,拒绝假设0203,H H .即机器之间无显著差异,操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4. 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异,对3种不同品种的猪各选3头进行试验,分别测得其3个月间体重增加量如下表所示,取显著性水平α=0.05,试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响?假定其体重增长量服从正态分布,且各种配比的方差相等.【解】由已知r =s =3,经计算x =52, 1.x =50.66, 2.x =533.x =52.34, .1x =52, .2x =57, .3x =47,2112.12.1()162;()8.73,()150,3.27.r sT ij i j rA i i rB j j E T A B S x x S s x x S r x x S S S S =====-==-==-==--=∑∑∑∑表9-4-1得方差分析表由于0.050.05(2,4) 6.94,(2,4).A B F F F F =>< 因而接受假设01H ,拒绝假设02H .即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响. 5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能(油体膨胀绝对值越小越好)需要考察补强剂(A )、防老剂(B )、硫化系统(C )3个因素(各取3个水平),根据专业理论经验,交互作用全忽略,根据选用L 9(34)表作9次试验及试验结果见下表:试作最优生产条件的直观分析,并对3因素排出主次关系. 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.【解】(1) 对试验结果进行极差计算,得表9-5-1.表9-5-1由于要求油体膨胀越小越好,所以从表9-5-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次顺序为:主→次B ,A ,C最优工艺条件为:223A B C .(2) 利用表9-5-1的结果及公式2211==-∑r j ij i T S T r P,得表9-5-2.表9-5-2表9-5-2中第4列为空列,因此40.256==e S S ,其中2=e f ,所以eeS f =0.128方差分析表如表9-5-3.表9-5-3由于0.05(2,2)19.00F,故因素C作用较显著,A次之,B较次,但由于要求油体膨胀越小越好,所以主次顺序为:BAC,这与前面极差分析的结果是一致的.6. 某农科站进行早稻品种试验(产量越高越好),需考察品种(A),施氮肥量(B),氮、磷、钾肥比例(C),插植规格(D)4个因素,根据专业理论和经验,交互作用全忽略,早稻试验方案及结果分析见下表:(1) 试作出最优生产条件的直观分析,并对4因素排出主次关系.(2) 给定α=0.05,作方差分析,与(1)比较.【解】被考察因素有4个:A,B,C,D每个因素有两个水平,所以选用正交表L8(27),进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为:,,,→主次B C A D 最优方案为:1222A B C D(2) 利用表9-6-1的结果及公式2211n j ij i T s T r P==-∑得表9-6-2.表9-6-2表9-6-2中第1,3,7列为空列,因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以ees f =6.110.而在上表中其他列中j ejes s f f <.故将所有次均并入误差,可得 ΔΔ18.895,7.===e T e s s f整理得方差分析表为表9-6-3. 表9-6-3由于0.05(1.7) 5.59=F ,故4因素的影响均不显著,但依顺序为:,,,→主次B C A D 与(1)中极差分析结果一致.习题十1. 在硝酸钠(NaNO 3)的溶解度试验中,测得在不同温度x (℃)下,溶解于100份水中的硝酸钠份数y 的数据如下,试求y 关于x 的线性回归方程.【解】经计算得,9999211112234,811.3,10144,24628.6,110144(234)4060,9124628.6234811.33534.8.9ii ii i i i i i xx xy xy x x y S S =========-==-⨯⨯=∑∑∑∑故^^^811.32340.8706,67.5078,99xyxx S b a b S ===-⨯=从而回归方程:^67.50780.8706.y x =+2. 测量了9对父子的身高,所得数据如下(单位:英寸).求(1) 儿子身高y 关于父亲身高x 的回归方程.(2) 取α=0.05,检验儿子的身高y 与父亲身高x 之间的线性相关关系是否显著. (3) 若父亲身高70英寸,求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间. 【解】经计算得,9999922111112291603,604.6,40569,40584.9,40651.68140569(603)168,9140584.9603604.676.7,9140651.68(604.6)35.9956.9ˆˆˆ(1)0.4565,/9/ii ii i i i i i i i xx xy yy xyi i i xx xy x x y y S S S S b a x b x S ============-==-⨯⨯==-====-⨯∑∑∑∑∑∑91936.5891,i ==∑故回归方程:ˆ36.58910.4565.yx =+20.05(2) 35.0172,35.995635.01720.9784,250.5439(1,7) 5.59./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0,即两变量的线性相关关系是显著的.00.025/2ˆ(3)36.58910.45657068.5474,ˆ0.05,(7) 2.3646,0.3739,1.0792, (2) 2.36460.3739 1.079yt t n αασσ=+⨯========-=⨯⨯给定故20.9540.=从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为 (68.5474±0.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了10个家庭,调查了他们的家庭月收入x (单位:百元)和月支出y (单位:百元),记录于下表:求:(1) 在直角坐标系下作x 与y 的散点图,判断y 与x 是否存在线性关系. (2) 求y 与x 的一元线性回归方程.(3) 对所得的回归方程作显著性检验.(α=0.025)【解】(1) 散点图如右,从图看出,y 与x 之间具有线性相关关系. (2) 经计算可得10101010102211111191,170,3731,3310,2948,82.9,63,58.170191ˆˆ0.7600,0.76 2.4849,1010ii ii i i i i i i i xx xy yy xy xx xy x x y y S S S S b a S ================-⨯=∑∑∑∑∑故从而回归方程:ˆ 2.48490.76.yx =+题3图20.05(3) 47.8770,5847.87710.1230,37.8360(1,8)7.57./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0,即两变量的线性相关关系是显著的.4.设y 为树干的体积,x 1为离地面一定高度的树干直径,x 2为树干高度,一共测量了31棵树,数据列于下表,作出y 对x 1,x 2的二元线性回归方程,以便能用简单分法从x 1和x 2估计一棵树的体积,进而估计一片森林的木材储量.x 1(直径) x 2(高)y (体积)x 1(直径) x 2(高)y (体积)8.3 7010.312.9 8533.88.6 6510.313.3 8627.48.8 6310.213.7 7125.710.5 7210.413.8 6424.9【解】根据表中数据,得正规方程组01201201231411.72356923.9,411.75766.5531598.713798.85,235631598.718027472035.6.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得,b 0=-54.5041,b 1=4.8424,b 2=0.2631. 故回归方程:^y =-54.5041+4.8424x 1+0.2631x 2.5.一家从事市场研究的公司,希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区的周末发行量,两个独立变量,即总零售额和人口密度被选作自变量.由n =25个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下,求日报周末发行量y 关于总零售额x 1和人口密度x 2的线性回归方程.8 4.3 31.6 66.8 9 4.7 35.5 76.4 10 3.5 25.1 53.0 11 4.0 30.8 66.9 12 3.5 25.8 55.9 13 4.0 30.3 66.5 14 3.0 22.2 45.3 15 4.5 35.7 73.6 16 4.1 30.9 65.1 17 4.8 35.5 75.2 18 3.4 24.2 54.6 19 4.3 33.4 68.7 20 4.0 30.0 64.8 21 4.6 35.1 74.7 22 3.9 29.4 62.7 23 4.3 32.5 67.6 24 3.1 24.0 51.3 254.433.970.8【解】类似于习题4,可得正规方程组01201201225 739.5 1576.6 98.2,739.5 22429.15 47709.1 2968.58,1576.6 47709.1 101568 6317.95.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得,b 0=0.3822,b 1=0.0678,b 2=0.0244.故回归方程:ˆy=0.3822+0.0678x 1+0.0244x 2. 6.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下,各做3次试验,得数据如下: 浓度x10.0 15.0 20.0 25.030.0抗压强度y25.2 29.8 31.2 31.7 29.427.3 31.1 32.6 30.130.828.7 27.8 29.7 32.332.8(1) 作散点图.(2) 以模型y =b 0+b 1x 1+b 2x 2+ε,ε~N (0,σ2)拟合数据,其中b 0,b 1,b 2,σ2与x 无关,求回归方程ˆy =0ˆb +1ˆb x +2ˆb x 2. 【解】 散点图如下图.题6图(2) 令x 1=x ,x 2=x 2,根据表中数据可得下表根据上表中数据可得正规方程组01201201215 300 6750 450.5,300 6750 165000 9155,6750 165000 4263750 207990.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得:b 0=19.0333,b 1=1.0086,b 2=-0.0204.故y 关于x 1与x 2的回归方程:=19.0333+1.0086x 1-0.0204x 2,从而抗压强度y 关于浓度x 的回归方程: ˆy=19.0333+1.0086x -0.0204x 2.。

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第1章随机事件与概率一、大纲要求(1)理解随机事件的概率,了解样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算.(2)了解概率的统计定义和公理化定义,掌握概率的基本性质.(3)会计算古典概型的概率和几何概型的概率.二、重点知识结构图三、基础知识1.随机试验的特征(1)试验可以在相同的条件下重复地进行.(2)试验的可能结果不止一个,但明确知道其所有可能会出现的结果.(3)在每次试验前,不能确知这次试验的结果,但可以肯定,试验的结果必是所有可能结果中的某一个.2.样本空间在讨论一个随机试验时,试验的所有可能结果的集合是明确知道的,称这个集合为该实验的样本空间,常用()S Ω或表示,其元素称为样本点,常用ω记之,它是试验的一个可能结果.3.随机事件在实际问题中,面对一个随机试验,人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如,投资者关心明日收市股价是否上涨,即明日股价>今日收市价,它是样本空间的一部分.因此,称样本空间的一些子集为随机事件,简称事件,通常用大写英文字母A B C 、、记之.4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件,通过种种关系,可使其与一些较为简单的事件联系起来,这时,我们就可设法利用这种联系,通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件,用已知的事件去表示未知的事件.5.事件的蕴含与包含若当事件A 发生时B 必发生,则称A 蕴含B ,或者说B 包含A ,记作A B ⊂.6.事件的相等若A 与B 互相蕴含,即A B ⊂且B A ⊂,则称事件A 与B 相等,记为A B =.7.事件的互斥(或称互不相容)若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生),则称它们是互不相容的或互斥的.若一些事件中的任意两个事件都互不相容,则称这些事件是两两互不相容的,或简称互不相容的.8.事件的对立(或称逆)互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件,常记作A .9.事件的并(或称和)对给定的事件A 、B ,定义一个称为并或和的事件,以A B 记之.A B ={A 发生或B 发生}={A 、B 至少有一个发生}10.事件的交(或称积)对给定的事件A 、B ,定义一个称为交或积的事件,以AB 记之.AB ={A 发生且B 发生}={A 、B 同时发生}11.事件的差两个事件A 、B 之差,记为A B -.其定义是:A B -={A 发生但B 不发生}={A 发生且B 发生}从定义可看出:A B -=AB .12.事件域定义称样本空间Ω的一些子集所组成的集合F 为事件域.如果满足以下3个条件:①Ω∈F ;②若A ∈F ,则A ∈F ③若i A ∈F (1,2,i = ),则1nii A =∈ F ;称F a 中的元素为事件. 13.概率的统计定义定义若事件A 在n 次试验中出现了r 次,则称比值/r n 为事件A 在n 次试验中出现的频率记作()n f A ,即()n r f A n= 式中r 称为事件A 在n 次试验中出现的频数.概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中,事件A 出现的频率总是在区间(0,1)上的一个确定的常数p 附近波动,并且稳定于p ,则称p 为事件A 的概率,记为()P A .即()P A p =14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中,如果基本事件的总数为n (n 为有限数),事件A 所包含的样本点个数为r (r n ≤),则定义事件A 的概率()P A 为/r n .即()r A P A n ==中包含的样本点个数基本事件总数15.概率的公理化定义 定义设Ω是样本空间,A 是随机事件,即A 是Ω上事件域F a 中的一个元素,()P A 是A 的实值函数,且满足下列3条公理,则称函数()P A 为事件A 的概率. 公理1对于任意事件A ,有0()1P A ≤≤.公理2()1P Ω=.公理3若12,,,,n A A A 两两互斥,则11()()i i i i P A P A ∞∞===∑∑(可列可加性).四、典型例题例1设A 、B 是两个随机事件,若()0P AB =,则下列命题中正确的是().(A )A 和B 互不相容(互斥)(B )AB 是不可能事件(C )AB 不一定是不可能事件(D )()0()0P A P B ==或解一个事件的概率为0,这个事件未必是不可能事件;因此C 项正确.反例如下:随机地向[0,1]区间内投点,令x 表示点的坐标,设{01/2},{1/21}A x B x =≤≤=≤≤,则{1/2}A B x ==,由几何概率可知,()0P AB =,由此例子还可得出A 项和B 项是不对的.D 项也是错误的,反例如下:掷一枚均匀的硬币,设A 表示出现正面,B 表示出现反面,则()()1/2P A P B ==,但AB φ=,从而()0P AB =.例2 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 比发生,则下列式子正确的是().(A )()()()1P C P A P B ≤+-(B )()()()1P C P A P B ≥+-(C )()()P C P AB =(C )()()P C P A B =解已知AB C ⊂,则()()P C P AB ≥,又因为()()()()()()1P AB P A P B P A B P A P B =+-≥+-所有B 项正确,而A 项、C 项和D 项显然是错误的.例3 袋子里有5个白球,3个黑球,从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率.解样本空间所包含的样本点总数为28n C =.设事件{}A =取出的两个球都是白球,则事件A 包含的样本点总数为25k C =,故2528()0.357k C P A n C ==≈ 例4 一批产品工200个,其中有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有1个废品的概率;(3)任取3个全是废品的概率.解样本空间所包含的样本点的总数为3200n C =. 设事件{3}1,3i A i i ==取出的个产品中有个废品();{}B =事件这批产品的废品率.若取出的3个产品中有i 个废品,则这i 个废品必是从6个废品中获得的,而另3i -个合格品必是从194个合格品中获得的,从而事件i A 所包含的样本点数为36194(1,3)i i i k C C i -==,故6()0.03200P B == 121619413200()0.086k C C P A n C ==≈ 33613200()0.00002k C P A n C ==≈ 例5 袋子里装有6个球,其中4个白球,2个红球.从袋中取球两次,每次任取一个,试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况,求:(1)取到的两个球都是白球的概率;(2)取到的两个球颜色相同的概率;(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解设事件{}A =两个球都是白球;事件{}B =两个球都是红球;事件{}C =两个球中至少有一个是白球.第一种情况:不放回抽样样本空间的基本事件总数为116530n C C ==.事件A 的基本事件数为11434312A k C C ==⨯=.事件B 基本事件数为1121212B k C C ==⨯=.(1)122()305A k P A n === (2)由于21()3015B k P B n ===,且AB =∅,因此 217()()()51515P A B P A P B =+=+= (3)114()1()11515P C P B =-=-= 第二种情况:放回抽样第一次从袋中取球有6个球可供抽取,第二次也有6个球可供抽取,由乘法原理,共有66⨯种取法,即样本空间的基本事件总数为66⨯.对事件A 而言,第一次有4个白球可供抽取,第二次也有4个球可供抽取,由乘法原理,共有44⨯种取法,即A 中包含44⨯个基本事件.同理,B 中包含22⨯个基本事件.(1)444()669P A ⨯==⨯ (2)由于221()669P B ⨯==⨯,且AB =∅,因此 415()()()999P A B P A P B =+=+= (3)18()()1()199P C P B P B ==-=-= 例6 从n 双不同型号的鞋子中任取2(2)k k n <只,试求下列事件的概率:(1)A ={没有成对的鞋子};(2)B ={恰有一对鞋子} .解样本空间包含22k n C 个样本点.(1)为使事件A 发生,先将鞋子成对地放在一起,然后从n 双鞋子中取出2k 双,最后再从这2k 双鞋子中每双取出1只,故事件A 的概率为2122222222()2()k k k k n n k k n nC C C P A C C == (2)为使事件B 发生,先从n 双鞋子中取出1双,再从剩下的1n -双鞋子中任取22k -双,最后再从这22k -双鞋子中每双取出1只,故事件B 的概率为12212222221212222()2()k k k k n n n k k n nC C C n C P B C C ------== 例7随机地向半圆0y <<a 为正常数)内掷一点,点数在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解这是一个几何概型的概率计算问题.设{(,):02}S x y y x a =≤≤≤≤,在极坐标下可写为{(,):2cos ,0/2}S r r a θθθπ=≤≤≤设事件{(,):2cos ,0/4}A r r a θθθπ=≤≤<,故2221124()22a a A P A a B πππ+===+的面积的面积 例8 将50个铆钉随地取来用在10个部件上,其中3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉,若将3个强度太弱的铆钉都装在同一个部件上,则这个部件的强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?解设事件A ={发生一个部件强度太弱},则A 所含的样本点数为1271047927!(3!)C C .将50个铆钉装在10个部件上的所有装法的全体看作样本空间,则所包含的样本点数为30501030!(3!)C ,故 1271047930501027!1(3!)()30!1960(3!)C C P A C ==例9 设A B 、为随机事件,()0.5,()0.2P A P A B =-=,求()P AB .解因为A B A AB -=-,且AB A ⊆,所以()()()P A B P A P AB -=-于是()()()0.50.20.3P AB P A P A B =--=-= 因此()1()0.7P AB P AB =-=例10 在(0,1)内任取三个数,求以为长度的三条线段围成一个三角形的概率.解设样本空间{(,,):0,,1}S a b c a b c =<<;所求事件{(,,):,,}A a b c a b c a c b b c a =+>+>+> 因此23111311132()112A OABCD P A S -⨯⨯⨯⨯====的面积六面体的体积的面积边长为的正方体体积 五、课本习题全解1-1(1)Ω={1,2,3,4,5,6};(2)Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4)(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)};(3)Ω={3,4,5,6,7,8,9,10};(4)用数字1代表正品,数字0代表次品,则Ω={(0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,1,1,1)}.1-2 (1)A 为随机事件;B 为不可能事件;C 为随机事件;D 为必然事件;(2)、(3)、(4)、(5)均为随机事件.1-3 (1)A ;(2)ABC ;(3)A B C ;(4)ABC ;(5)ABC ABC ABC . 1-4 (1)ABC ;(2)ABC ABC ABC ;(3)ABC ;(4)ABC A B C 或;(5)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ;(6)A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或或ABC . 1-5 (1)买的是1985年以后出版的英文版物理书;(2)在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下,ABC A = .1-6 (1)、(4)、(5)、(6)、(7)正确,其余均不正确.1-7 若需要测试7次,即前6次恰好取出2个次品,还有一个次品在第7次取出,故有246376C C A 次.而在10个中取出7个共有710A 种取法.设A={测试7次},故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设A ={能开门},从6把钥匙中任取2把共有26C 种取法,故2611()15P A C == . 1-9 设A ={拨号不超过3次就能接通电话},则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设B ={若记得最后一位是奇数时,拨号不超过3次就能接通电话},则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设A ={恰有2人的生日在同一个月份},则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取,出现的结果有35125=种. 三个数字不同的取法有335360C A =种,故60()0.48125P A ==; 三个数字不含1或5,即每次只能在2、3、4中进行抽取,共有3327= 种取法,故27()0.216125P A ==; 三个数字5出现两次,即有213412C C =种取法,故12()0.096125P C == . 1-12 设A ={指定的3本书恰好放在一起},10本书的排列方法共有10!种,而指定的3本书的排列方法有3!种,剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8!种,故3!8!1()10!15P A == 1-13 (1)21134339()416C C C P A ==;(2)341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.(1)设A ={最小号码是5},当最小号码是5时,在610 之间还有地两个号码,即有25C 种方法,故253101()12C P A C == (2)设B ={最大号码是5},当最大号码是5时,在14 之间还有两个号码,即有24C 种方法,故243101()20C P B C == 1-15 (1)112211661()9C C P A C C ==;(2)1111244211664()9C C C C P B C C +== .1-16 (1)22261()15C P A C ==;(2)1124268()15C C P A C == . 1-17 (1)设A ={样品中有一套优质品、一套次品},则11844210056()825C C P A C ==; (2)设B ={样品中有一套等级品、一套次品},则1112421008()825C C P B C ==; (3)设C ={退货},则2112496412210076()825C C C C P C C ++==; (4)设D ={该批货被接受},则2118484122100749()825C C C PD C +==; (5)设E ={样品中有一套优质品},则1184162100224()825C C P E C == . 1-18 (1)设A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==.六、自测题及答案1.事件A 与B 互不相容,且()0.8P A =,则()P AB =2. ()0.5,()0.2P A P B A =-=则()P AB =3.事件A 与B 互不相容,且A B =,则()P A =4.()()()1/4P A P B P C ===,()0P AB =,()()1/16P AC P BC ==,则事件A 、B 、C 全不发生的概率为5. 设A B 、是任意两事件,则()P A B -=()(A) ()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-6. 设甲乙两人进行象棋比赛,设事件A ={甲胜乙负},则A 为().(A){甲胜乙负} (B){甲乙平局}(C){甲负} (D) {甲负和平局}7.某单位招工需经过四项考核,设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别是0.6,0.8,0.91,0.95,且各项考核都是独立的,每个应招者都要经过四项考核,只要有一项不通过即被淘汰,试求:(1)这项招工的淘汰率;(2)虽通过第一和第三项考核,但仍被淘汰的概率;(3)设考核按顺序进行,应试者一旦某项不合格即被淘汰,不参加后面项目的考核,求这种情况下的淘汰率.8.从1~9这九个数字中,又放回地抽取三次,每次任取一个,求所取的三个数之积能被10整除的概率.9. 在某城市中发行三种报纸A B C 、、,订阅A 报的有45%,订阅B 报的有35%,订阅C 报的有30%,同时订阅A 报及B 报的有10%,同时订阅A 报及C 报的有8%,同时订阅B 报及C 报的有5%,同时订阅A B C 、、报的有3%,试求下列事件的概率:(1)只订A 报的;(2)只订A 报及B 报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的.【答案】1.由()0,P AB =且()1()10.80.2P A P A =-=-=,得()()()0.200.2P AB P A P AB =-=-=2.由()()()0.2P B A P B P AB -=-=()0.5P A =得()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-+=--+=1()[()()]P A P B P AB ---=1-0.5-0.2=0.33.由于A B =,于是有AB A B ==,又由于A 与B 互不相容,所以有AB =∅,即A B =∅=,因此()0P A = .4事件A B C 、、全不发生表示为ABC 。

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