师大附中入学数学真卷计算31题
长春市东北师大附中八年级（下）开学数学试卷含答案
开学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）题号一二三四总分得分4.1.y_^a —b x(x 4-3) 仕2 ' x 5 + x a + 11'n * 9 a-b' 9是分式的有（ ）A. 1个B.2个C. 3个D. 4个2.分式上有意义的条件是（)A.导0B.身1C. x>0D. x>\3.下列分式中，最简分式是（)A X+1A・X B.二X +1「/一36• 2x4-12d . y x-y如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BQ 的长分别为6cm 、8cm, AE1BC 于点E,则AE 的长是（ ）A. 5^3B. 2苫则分式的值（如果把分式务中的X 和y 都扩大2倍,A,扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍5.4 Y若方程r-号。
有增根，则增根是（x —2x x —z )6.7. A. 0 或 2 B. 0如图，M 是平行四边形A8CD 的一边AO 上的任意一点, 若ACMB 的面积为S, 的面积为Si,的面积为S2,则下列大小关系正确的为（A. S>S+S2B. S<Si+S2 如图，已知矩形ABCD,将△BCZ ）沿对角线BQ 折叠，记点C 的对应 点为 C'，若"DC' =20°,贝ikBDC的度数为（ ）A. 55°C. 2B)C. S=S1+S2B.45°C. 60°D. 65°8.9.如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2,正方形AECF 的面积为50成？，则菱形的边长为（）A.10cmB.13cmC.15cmD.24cm10.点F是正方形ABCD边AB上一点（不与A、3重合）,连接PD并将线段FQ绕点F顺时针旋转90。
，得线段FE,连接BE,贝UCBE等于（）A.75°B.60°C.45°D.30°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.当户时，分式祟的值为零.12「】6苴_1乙•4---------------•20xy413.寡，白，丹的最简公分母为______•zxy3%6xy14（。
东北师大附中初中入学考试数学试题
东北师大附中2006年初一新生入学摸底考试 数学试卷(Ⅰ)（满分100分 时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1．一个数加上6，减去2，然后除以5得7，则这个数是 （ ） A ．35 B ．31 C ．20D ．282．你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（ ）A ．100000B ．499000C ．499500D ．5000003．按下列数的排列规律，排在161后面的数是 （ ）1619141 ……A ．321B ．361C ．281D ．2514．如图是一座房子的平面图，组成这幅图的图形有 （ ） A ．三角形、长方形B ．三角形、正方形、长方形C ．三角形、正方形、长方形、梯形D ．正方形、长方形、梯形5．左图中的三个数存在某种关系，要让下面的右图中的三个数也满足这种关系，那么空白处的数应是 ．6 ．836321333=++ ……那么，3333312345++++的值为 （ ）A ．225B ．625C ．115D ．100 7．如图，在一块木版上钉十六个钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个正方形，这样的正方形一共有 （ ）A ．9个B ．13个C ．14个D ．15个8．用一个6，一个8，两个9，可以组成许多不同的四位数，这些四位数一共有 （ ） A ．12个 B ．10个 C ．9个 D ．8个 9．已知等式ab+a=2006，ab+b=2005，若a 和b 分别代表一个整数，则a －b 的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．2004 D ．010．一个正方形的对称轴有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．甲、乙两数之比是5:2，两数的差是24，这两个数的和是 ． 12．在比例尺是1:50000的图纸上，量得两点间的距离是12cm ，这两点间的实际距离是 km ．13． “春节”期间各大商场开始了打折促销活动，有同样一种服装，甲商场原标价为200元/件，现打8折出售；乙商场原标价为300元/件，现打6折出售．你认为应到 商场去买划算． 14．从和式24118112181614121++++++中去掉两个分数，使余下的数的和为1，则去掉的两个分数为 ．15．一个圆柱体展开后是正方形，这个圆柱体的高于底的直径之比是 （请你用含π的式子表示）．三、计算题（写出简要过程，16～19每小题3分，20～21每小题4分，共20分） 16．206×18+292； 17．14.4÷0.2×3；18．11312511275436⨯+-）（； 19．316.13225.1÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛+；20．2005×× 21．2006－2005+2004－2003+2002－2001+…+4－3+2－1． 四、解答题（每小题5分，共35分） 22．求下图中阴影部分的面积(图中单位：厘米) 23．如图是某市20003~2006年春节黄金周旅游接待人数的条形统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）2003年春节旅游接待人数为 万人次；（2）2005年春节旅游接待人数为 万人次；（3）2006年比2004年春节旅游接待人数多了 万人次．24．小明春游时，看到一农民在田边发愁，原来他想把一块地的面积用直线平均分成两部分，此时农民只带了一把锄头和足够长的细线．小明一看，这是一块梯形的土地，两底分别为AB 、CD ，于是，小明利用对折细线的方法，找到四条边的中点，并按照如图1所示的方法将土地分成了面积相等的两部分你能否再帮助小明设计出两种不同的方法也将这块土地分成面积相等的两部分呢？图 1图2 图3 25．一个编织厂上次用30人10天编织了1500只花篮；这次增加到80人，按上次的工作效率，编6000只花篮需要多少天？ 26．某市一周的温度如下表：度？27．某书城开展优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律9折优惠；超过200元的部分按8折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元钱，那么该学生第二次购书实际付款多少元？28．小明家装修厨房需要用480块某品牌的同一规格的瓷砖，“东方家园”出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元．若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？。
北京师大附中2018-2019学年九年级(下)开学考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京师大附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞b B．|b|＜a C．a+b＞0D．﹣a＜b3．如图，两个等直径圆柱构成的T形管道，则其俯视图正确的是（）A．B．C．D．4．中国结是一种我国特有的手工编织工艺品，它的造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富，是我国传统吉祥装饰物品．下列中国结图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．将一把直尺与一块含45度的三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．115°B．125°C．130°D．135°6．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：落在“一袋苹果”区域的频率下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70C．如果转动转盘2 000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次D．转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”7．如果a﹣3b＝0，那么代数式（a﹣）÷的值是（）A．B．C．D．18．下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况，根据统计图提供的信息，下列判断合理的是（）A．2011年我国的核电发电量占总发电量的比值约为1.5%B．2006年我国的总发电量约为25000亿千瓦时C．2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的2倍D．我国的核电发电量从2008年开始突破1000亿千瓦时二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．10．分解因式：a3﹣ab2＝．11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为．12．完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是．13．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD的过程：．15．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则甲建筑物的高度为m，乙建筑物的高度为m．16．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角三角形ABC．作法：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．请回答：在上面的作图过程中，①△ABC是直角三角形的依据是；②△ABC是等腰三角形的依据是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）计算：6cos60°﹣+（π﹣2）0﹣|﹣2|．18．（5分）解不等式组：19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．20．（5分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值．21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE ＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝2，tan∠ACD＝，求DE的长．22．（5分）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG．（1）求证：AB⊥CD；（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点B（0，1），与反比例函数y＝的图象交于点A（3，﹣2）．（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；（2）若点C是y轴上一点，且BC＝BA，直接写出点C的坐标．24．（6分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下，请补充完整．整理、描述数据分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：得出结论（1）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额应定为万元．（2）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月万元，理由为．25．（6分）阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工．处理这种材料时，材料温度y（℃）是时间x（min）的函数．下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：（1）在这个函数关系中，自变量x的取值范围是．（2）如表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况：上表中m的值为．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点．根据描出的点，画出该函数的图象．（4）根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0≤x≤5时，y与x之间的函数表达式为，当x＞5时，y与x之间的函数表达式为．（5）根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为min．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB＝2．（1）求抛物线的对称轴及m的值（用含字母a的代数式表示）；（2）当＞0时，抛物线＝B2﹣4B+的顶点为C，若△ABC为等边三角形，则求抛物线的解析式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，过点B作直线l∥AC，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，直线CA'，CB'分别交直线l于点D，E．（1）当点A'，D首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形；②直接写出∠A'CB的度数；（2）如图2，若CD⊥AB，求线段DE的长；（3）求线段DE长度的最小值．28．（7分）对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心，1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”．（1）下列各点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，0），D（1，﹣1）中，可以作为x轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是；（2）若⊙P为y轴和直线l：y＝x所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标．（3）若⊙Q为x轴和直线＝﹣+2所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径1≤r≤2，直接写出点Q横坐标x Q的取值范围．2018-2019学年北京师大附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．2．【解答】解：由数轴知：a＝﹣2，1＜b＜2，a＜0＜b因为|a|＝2，所以|a|＞b，故选项A正确；因为|b|＝b＞a，故选项B错误；因为|a|＞|b|，a+b取a的符号，即a+b＜0，故选项C错误；因为﹣a＝2＞b，故选项D错误．故选：A．3．【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，故选：B．4．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．5．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得：∠3＝90°+∠1＝90°+35°＝125°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝125°．故选：B．6．【解答】解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“一盒樱桃”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有2000×0.3＝600次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选：D．7．【解答】解：当a﹣3b＝0时，即a＝3b∴原式＝•＝•＝＝＝故选：A．8．【解答】解：A、2011年我国的核电发电量占总发电量的比值大于1.5%、小于2%，此选项错误；B、2006年我国的总发电量约为500÷2.0%＝25000亿千瓦时，此选项正确；C、2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的显然不到2倍，此选项错误；D、我国的核电发电量从2012年开始突破1000亿千瓦时，此选项错误；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：由题意得，x+4≥0，解得，x≥﹣4，故答案为：x≥﹣4．10．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）．11．【解答】解：依题意得：．故答案是：．12．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为＝，故答案为：．13．【解答】解：连接OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．故答案为π．14．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．15．【解答】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，∵tan∠DBC＝，∴CD＝BC•tan60°＝30m，∴甲建筑物的高度为30m；在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，∴DF＝AF＝BC＝30m，∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．故答案为：30、30﹣30．16．【解答】解：根据作图可知：OC＝OA＝OB，∴△ABC是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵PQ垂直平分线段AB，∴CA＝CB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．【解答】解：原式＝6×﹣3+1﹣（2﹣），＝3﹣3+1﹣2+，＝．18．【解答】解：由①得：x≥﹣3，由②得：x＞2，所以不等式组的解集为：x＞2．19．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．20．【解答】解：（1）由题意得，△＝16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．（2）∵k为正整数，∴k＝1，2，3．当k＝1时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有一个根为零；当k＝2时，方程2x2+4x+k﹣1＝0无整数根；当k＝3时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有两个非零的整数根．综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．21．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，∴∠CDA＝∠DBE＝90°．∴CD∥BE，又∵BE＝CD，∴四边形CDBE为平行四边形，又∵∠DBE＝90°，∴四边形CDBE为矩形；（2）∵四边形CDBE为矩形，∴DE＝BC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，可得∠ACD＝∠ABC．∵，∴．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，，∴．∴DE＝BC＝4．22．【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵HF是⊙O的切线，∴∠OFH＝90°．即∠1+∠2＝90°．∵HF＝HG，∴∠1＝∠HGF．∵∠HGF＝∠3，∴∠3＝∠1．∵OF＝OB，∴∠B＝∠2．∴∠B+∠3＝90°．∴∠BEG＝90°．∴AB⊥CD．（2）解：如图，连接AF，∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，∴∠AFB＝90°．即∠2+∠4＝90°．∴∠HGF＝∠1＝∠4＝∠A．在Rt△AFB中，AB＝＝＝4．∴⊙O的半径长为2．23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝过A（3，﹣2），将A（3，﹣2）代入y＝，解得：m＝﹣6．∴所求反比例函数表达式为：y＝﹣．∵点A（3，﹣2），点B（0，1）在直线y＝kx+b上，∴﹣2＝3k+b，b＝1，∴k＝﹣1，∴所求一次函数表达式为y＝﹣x+1．（2）由A（3，﹣2），B（0，1）可得，AB＝＝3，∴BC＝3，又∵BO＝1，∴CO＝3+1或3﹣1，∴C（0，3+1 ）或C（0，1﹣3）．24．【解答】解：（1）∵15出现了5次，出现的次数最多，∴众数是15，如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额可定为18 万元；故答案为：15；18；（2）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元，理由为：从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定位每月20万元是一个较高的目标，大约会有的营业员获得奖励．故答案为：20，从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定位每月20万元是一个较高的目标，大约会有的营业员获得奖励．25．【解答】解：（1）根据题意知x≥0，故答案为：x≥0；（2）x＞5时，时间与温度乘积不变，故15m＝300，m＝20，故答案为：20；（3）（4）当x＜5时，设，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0，15）、（1，24）代入得解得k＝9，b＝15，∴y＝9x+15；当≥5时，设，y与x之间的函数表达式为y＝，把（15，20）代入得k＝300，∴，故答案为：y＝9x+15，y＝；（5）当y＝30时，30＝9x+15，30＝，解得x＝，x＝10，10﹣，故答案为：．26．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）得，抛物线的对称轴为直线：x＝2∵抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB ＝2有对称性可得：A（1，0）B（3，0）把点A代入抛物线解析式可得：a﹣4a+m＝0解得：m＝3a（2）当＞0时，抛物线＝B2﹣4B+的顶点为C∴当x＝2时，y＝4a﹣8a+3a＝﹣a∴C（2，﹣a）△ABC为等边三角形，且AB＝2∴|﹣a|＝2sin60°＝∴C（2，﹣）即：a＝抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3（3）由（2）知，抛物线顶点C（2，﹣a）要使抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点则这五个整点分别是（1，0），（2，0），（3，0）（2，﹣1），（2，﹣2）∴﹣3＜﹣a≤﹣2解得：2≤a＜327．【解答】解：（1）①补全图形如图所示：②∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，∴AC＝A'C＝2，∵cos∠A'CB＝∴∠A'CB的度数为30°；（2）∵CD⊥AB，A'C⊥B'C∴CE∥AB，且BE∥CA，∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE＝AC＝2，∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°．∴∠A＝∠BCD∵AC∥BE∴∠CBD+∠ACB＝180°∴∠CBD＝90°∵tan∠BCD＝tan∠A＝＝∴BD＝∴DE＝BE+BD＝2+＝（3）如图，取DE中点F，连接CF，∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点，∴CF＝DE，即CF的值最小时，DE有最小值，∴当点F与点B重合时，CF的值最小，∴DE的最小值为2．28．【解答】解：（1）∵2＝2，1＝|﹣1|，∴可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是A，D．故答案为：A，D．（2）当点P在第一象限时，过点P作P A⊥y轴于点A，PB⊥直线l于点B，如图1所示．∵点B为直线y＝x上一点，∴设点B的坐标为（x，x）．设直线y＝x与x轴夹角为α，∵tanα＝，∴直线l与x轴的夹角为30°，∴∠AOB＝60°．又∵⊙P与y轴及直线OB均相切，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP＝30°．又∵AP＝1，∴OA＝，∴点P的坐标为（1，）．同理，当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣1，﹣）．（3）设直线＝﹣+2与x轴交于点M，与y轴交于点N，过点Q作QR⊥x轴于点R，则点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（0，2），如图2所示．∵tan∠OMN＝＝，∴∠OMN＝60°，∴∠RMQ＝30°．当QR＝1时，MR＝＝；当QR＝2时，MR＝＝2．∴点Q横坐标x Q的取值范围为2﹣2≤x Q≤2﹣或2+≤x Q≤2+2．。
湖南师大附中2018-2019学年高一(下)入学数学试卷Word版含解析.pdf
a，代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 ，
x 的值．
再由 lgx=a= ，
得 x= ．
故答案为：
．
点评： 本 题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上． 若球的体积为
，则正方体的棱长为
．
考点： 球 内接多面体；球的体积和表面积． 专题： 空 间位置关系与距离；立体几何． 分析： 设 出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方 体的棱长． 解答： 解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为 a，所以正方体的体对角线长为：
a，正方体的外接球的半径为：
，
球的体积为：
，
解得 a= ． 故答案为： ． 点评： 本 题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关 键，考查空间想象能力与计算能力．
11．已知函数 y=
的图象与函数 y=kx ﹣ 2 的图象恰有两个交点， 则实数 k 的取值范围
是减函数，所以
，
幂函数 y= 是增函数，所以
，
∴ a＜ b＜c． 故选： C． 点评： 本 题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调 性．
5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为
24，则正视图中 a 的值为（
）
A．
8 B．
考点： 由 三视图求面积、体积．
6 C．
4 D． 2
专题： 计 算题．
分析： 几 何体是一个四棱锥， 底面是一个边长分别是 a 和 3 的矩形， 一条侧棱与底面垂直， 且
这条侧棱的长是 4，根据该几何体的体积是 24，列出关于 a 的方程，解方程即可．
云南师大附中2021年高一入学考试数学试卷(含答案)
师大附中2021-2022学年度高一第一学期入学考试数学一．选择题（共12小题）1．下列实数中，为无理数的是（）A ．0.010010001B ．9.3 C.22D ．-32.下列运算中，正确的是（）A ．65xx x =÷B ．()532x x=C ．532=+D ．532xx x =∙3．今年新增就业人数为289000000人，用科学记数法表示为（）A ．0.289×108B ．2.89×108C ．2.89×107D ．2.8×1074．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知不等式组⎩⎨⎧≥-->+02123x x ，则该不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中，为真命题的是（）A ．八边形的内角和为720°B ．三角形的内心到各顶点的距离相等C ．菱形的对角线互相垂直D ．有理数与数轴上的点一一对应7．一次函数y ＝﹣x +2的图象不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三边长可能是（）A ．7B ．4C ．3D ．149．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO ＝40°，则∠ACB 的大小为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°10．化简，其结果是（）A ．B ．C ．D ．11．如图所示，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进8m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度为（）A ．4（）mB ．4（）mC ．8（）mD ．8（）m12．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG ＝2；③tan ∠E ＝；④S △DEF ＝4其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共6小题）13．分解因式：a 3﹣4a ＝．14．函数123-+=x x y 的自变量x 的取值范围是．15．如图所示，直线a ∥b ，l 与a 、b 交于E 、F 点，PF 平分∠EFD 交a 于P 点，若∠1＝70°，则∠2＝．16．在综合实践课上，五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x，6；若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是件．17．已知关于x的一元二次方程2x2-kx﹣2＝0有一个根为2，则它的另一个根是．18．如图所示，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是___________．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣1﹣3tan30°+（π﹣1）0+|1﹣|；20．如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B点，此时测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B点是否在暗礁区域；（2）若继续向正东航行，有无触礁危险？请说明理由．21．为了提高科技创新意识，某中学在“2020年科技节”活动中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）全体参赛的学生共有人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是°；（2）将条形统计图补充完整；（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．23．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？24．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果∠A＝60°，则DE与DF有何数量关系？请说明理由；（3）如果AB＝5，BC＝6，求DF的值．25．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m ≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y＝kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．如图1，直线l：y＝﹣x﹣4是函数y＝（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．（1）在直线y1＝﹣2x，y2＝3x+1，y3＝﹣x+3中，是图1函数y＝（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y＝2x+b是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请求出t的取值范围．26．如图所示，抛物线y＝﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B 两点（A在B的右侧），与y轴交于点c．（1）求△AOC的周长，（用含m的代数式表示）（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO 的值及用含m的代数式表示点P的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范围．师大附中2021-2022学年度高一第一学期入学考试数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）123456C D B B D C 789101112CACDAC二．填空题（共6小题）13．分解因式：a 3﹣4a ＝a （a +2）（a ﹣2）．【解答】解：原式＝a （a 2﹣4）＝a （a +2）（a ﹣2）．故答案为：a （a +2）（a ﹣2）14．函数123-+=x x y 的自变量x 的取值范围是x ≥﹣3且x ≠．【解答】解：根据题意得：x +3≥0且2x ﹣1≠0，解得：x ≥﹣3且x ≠．故答案为x ≥﹣3且x ≠．15．如图所示，直线a ∥b ，l 与a 、b 交于E 、F 点，PF 平分∠EFD 交a 于P 点，若∠1＝70°，则∠2＝35°．【解答】解：∵a ∥b ，∴∠1＝∠EFD ．又∵PF 平分∠EFD ，∴∠EFP ＝EFD ＝∠1．∵∠1是△EFP 的外角，∴∠1＝∠2+∠EFP ，即∠2＝∠1﹣∠EFP＝∠1﹣∠1＝∠1＝×70°＝35°．16．在综合实践课上，五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x，6；若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是5件．【解答】解：由平均数的定义知56375++++x=5，解得x＝4，将这组数据按从小到大排列为3，4，5，6，7，由于是有奇数个数，最中间的数就是中位数，即中位数为5．故答案为：5．17．已知关于x的一元二次方程2x2-kx﹣2＝0有一个根为2，则它的另一个根是﹣12．【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，m×2＝﹣1，∴m＝﹣12，故答案为﹣12.18．如图所示，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__﹣3＜m＜﹣___．【解答】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣3×+1+﹣1=—2；20．【解答】解：（1）作CD⊥AB于D点，设BC为x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∴点B是在暗礁区域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．21．【解答】解：（1）全体参赛的学生有：15÷25%＝60（人），“建模”在扇形统计图中的圆心角是（1﹣25%﹣30%﹣25%）×360°＝72°；故答案为：（1）60，72．（2）“环保”类人数为：60×25%＝15（人），“建模”类人数为：60﹣15﹣18﹣15＝12（人），补全条形图如图：（3）画树状图如图：∵共有6种等可能结果，其中两人中恰为1男生1女生的有3种结果，∴选取的两人中恰为1男生1女生的概率是：＝．22．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．23．【解答】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，＝．解得x＝1500．经检验x＝1500是方程的解，且符合题意．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m台，由题意得，17600≤1000m+800（20﹣m）≤18400，8≤m≤12．因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，则W＝（1500﹣1000）m+（1400﹣800﹣a）（20﹣m），W＝（a﹣100）m+12000﹣20a．所以当a＝100时，（2）中所有的方案获利相同．24．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠2＝∠C，∵OD＝OB，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）解：DE与DF的数量关系是DF＝2DE．连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠3＝∠4＝∠BAC＝×60°＝30°，∵∠F＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠3＝∠F，∴AD＝DF，∵∠4＝30°，EF⊥AC，∴DE＝AD，∴DF＝2DE；（3）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD＝BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，＝AC•ED＝AD•CD，又S△ACD即×5×ED＝×4×3，∴ED＝，∴AE＝＝；∵OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴＝，∴OD＝AB＝AC＝，∴＝，解得：DF＝25．【解答】解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1＝﹣2x，是图1函数y＝（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，故答案为y1＝﹣2x．（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．在Rt△DGO中，OD＝＝2，sin∠1＝＝，∴∠1＝30°，∠2＝60°，∵⊙O的半径为2，∴点D在⊙O上．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．在Rt△ODH中，OH＝＝4，∴点H的坐标是（0，4），∴直线DH的表达式为y＝﹣x+4，即所求“隔离直线”的表达式为y＝﹣x+4．（3）如图，由题意F（4，5），当直线y＝2x+b经过点F时，5＝8+b，∴b＝﹣3，∴直线y＝2x﹣3，即图中直线EF，∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），易知正方形A1B1C1D1的边长为2，当x＝2时，y＝1，∴C1（2，1），直线EF是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t＝2，当直线y＝2x+b与y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，消去y得到x2﹣4x﹣3﹣b＝0，由Δ＝0，可得16﹣4（﹣3﹣b）＝0，解得b＝﹣7，此时易知M（1，﹣8），t＝﹣8，根据图象可知，当t≥2或t≤﹣8时，直线y＝2x+b是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．26．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣××（﹣3m）＝m，∴C（0，m），∴OC＝m，当y＝0时，﹣＝0，解得：x1＝﹣，x2＝3m，∵A在B的右侧，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC＝＝＝2m，∴△AOC的周长＝OA+OC+AC＝3m+m+2m＝3m+3m；（2）Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝＝，∴∠CAO＝30°，∵OP2＝PC•PA，∴，∵∠OPC＝∠OPC，∴△OPA∽△CPO，∴∠POC＝∠OAC＝30°，∵∠ACO＝∠POC+∠APO，∴∠APO＝60°﹣30°＝30°，∴tan∠APO＝，过P作PE⊥x轴于E，∵∠APO＝∠OAC＝30°，∴PO＝OA＝3m，∠POE＝60°，Rt△PEO中，∠EPO＝30°，∴OE＝OP＝，PE＝，∵点P在第二象限，∴P（﹣，）；（3）由（2）知：P（﹣，），∵点Q恰好为OP的中点，∴Q（﹣，），∵Q在抛物线上，则＝﹣，解得：m＝，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+）（x﹣3）＝+x+3，对称轴是：x＝﹣＝，作抛物线的对称轴交抛物线于点F，∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），∴0≤x0≤，n≤，设w1＝，∵1＞0，∴w1随x0的增大而增大，∴当x0＝时，w1有最大值，即有最小值为2，∴n≤2，对于不等式2n﹣，n≥﹣2，n≥﹣2（x0﹣）2+，设w2＝﹣2（x0﹣）2+，∵﹣2＜0，∴w2有最大值，∵0＜＜，∴当x0＝时，w2有最大值为，∴n≥，综上，n的取值范围是≤n≤2．。
湖南省师大附中高一数学下学期入学试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为上是减函数，则实数b的取值X围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值X围即可选出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数，∴函数f（x）=x2﹣bx在上是减函数，∴，解得b≥4故选D点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解答：解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9．已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值X围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分45分）12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）（1）求m的值；（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．考点：圆的标准方程；待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB 的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．解答：解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，∴k l=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），∴k PQ=﹣1，即=﹣1，解得m=1；（2）∵m=1，∴直线l方程为：x﹣y+1=0，∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，记线段AB的中点为C（x，y），则，∴C点坐标为：C（，﹣），∵k AB==﹣3，∴直线AB的中垂线的斜率为，又直线AB的中垂线过C（，﹣），∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），整理得：x﹣3y﹣3=0，联立，解得，即圆心为E（﹣3，﹣2），半径为|EB|=2+3=5，∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．点评：本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值．解答：解：（1）如图所示，Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴CO⊥AO，BO⊥AO；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，即∠BOC=90°，∴CO⊥BO；又AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB；又∵CO⊂面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，∴DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；在Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，∴CE==；又DE=AO=，∴tan∠CDE==，即异面直线AO与CD所成角的正切值是．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点（1）若△ABC为正三角形，求m的值；（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．解答：解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），半径为r=，由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，即为=•，解得m=；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），即有=，解得m=﹣．则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R（1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值X围（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值X围，并证明2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由3∉{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值X围；（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值X围，得出所求证明．解答：解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，又3∉{y|y=f（x），x∈R}，∴a＞0时，＞3，解得a＜﹣，不合题意，舍去；a=0时，也不合题意，应舍去；a＜0时，＜3，解得a＜﹣，∴a的取值X围是{a|a＜﹣}；（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；因为g（x）在（0，1]上是单调函数，所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，则x1x2=﹣，这与题设矛盾；因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；又x2∈（1，2），得2＜+＜4．点评：本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．。
东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期月考(三)数学试题(解析版)
2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）月考数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合(){},|0,R,R Mx y xy x y =<∈∈表示平面直角坐标系中（ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集【答案】D 【解析】【分析】根据集合M 的条件，确定x ，y 的正负，从而确定正确答案. 【详解】由0xy <，可得0x <，0y >或者0x >，0y <， 所以M 是第二、四象限内的点集． 故选：D2. 代数式22568x xy y +−=（ ） A. ()()254+−x y x y B. ()()254x y x y −+ C. ()()524x y x y +− D. ()()524x y x y −+【答案】A 【解析】【分析】利用“十字相乘法”因式分解可得答案． 【详解】()()22568254x xy y x y x y +−=+−故选：A.3. 下列表示同一个集合的是（ ） A. (){}1,2M =，(){}2,1N =B. {}1,2M =，{}2,1N =C. {|Mx y ==，{|Ny y ==【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可．【详解】对A ：()1,2与()2,1不同，M ，N 不是同一个集合，故A 错误； 对B ：根据集合元素的无序性知{}{}1,22,1=，故B 正确；对C ：{}|1M x x =≥，{}|0N y y =≥，M ，N 不是同一个集合，故C 错误； 对D ：(){,|M x y y x ==且}0x ≠，(){},|N x y y x ==， 故M ，N 不是同一个集合，故D 错误． 故选：B.4. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,8【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ，根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ， ∵{}4,6,7,8U A = ，∴(){}{}{}4,6,7,82,4,64,6U A B==． 故选：B ．5. 学校举办运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有4人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加球类一项比赛的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 2的【分析】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，然后画出韦恩图，根据图建立方程求出x 的值，进而可以求解．【详解】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，如图所示， 所以94351230x x x +++−++−=，解得3x =， 则只参加球类比赛的人数有1239−=人．故选：B.6. 设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =−∈∈中元素的个数是 A. 1 B. 3C. 5D. 9【答案】C 【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．7. 若x ∈A ，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M=−的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 31【分析】根据题中所给的定义，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可知：当1B −∈，要想具有伙伴关系，则必满足11B ∈−，所以集合{}1B =−符合题意；当12C ∈，要想具有伙伴关系，则必满足112C ∈，即2C ，所以集合1,22C =符合题意； 显然集合11,,22D =−也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系.故选：B【点睛】本题考查了新定义理解的问题，考查了数学阅读能力，考查了子集的应用，属于基础题.8. 已知集合{}220|A x mxx m =−+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A. {}1,1−B. {}1,0,1−C. {}0,1D. ∅【答案】B 【解析】【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值. 【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m −+=有两个相等实数根,则()22240m ∆=−−=,解得1m =或1m =−,代入可解得集合{}1A =或{}1A =−.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1− 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{},,A x x m m n N ∗=+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法的【分析】先由题意设出111x m =+，222x m =+，然后分别计算12x x +，12x x −，21x x ，12x x ，即可得解.【详解】由题意可设111x m =，222x m =，其中1m ，2m ，1n ，2n N ∗∈， 则()1212x x m m +=+)12n n +，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；())121212x x m m n n −−+−，当12n n =时，12x x A −∉，所以减法不满足条件，B 错误；)12121212213x x m m n n m n m n =++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C正确；12x x =()11220m n m n λλ==>时，12xA x ∉，所以除法不满足条件，D 错误. 故选：AC .10. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A. ()()A C B CB. ()()A B A CC. ()()A B B CD. ()A B C 【答案】AD 【解析】【分析】根据Venn 图观察阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩，再分析选项得到答案. 【详解】由已知的Venn 图可得：阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩， 故阴影部分表示的集合为()()()A B C A C B C ∩∪=∪∩∪，11. 给定数集A ，对于任意,a b A ∈，有a b A +∈且a b A −∈，则称集合A 为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ）A. 集合{}4,2,0,2,4A =−−为闭集合B. 集合{}|3,A n n k k ==∈Z 为闭集合C. 若集合12,A A 为闭集合，则12A A ∪为闭集合D. 若集合12,A A 为闭集合，且1A ⊆R ，2A ⊆R ，则存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据定义，A 选项，可以验证当2a =，4b =时，6a b A +=∉，故A 错误；B 选项，整数加减结果还是整数，由闭集合定义可得B 正确；CD 选项，举两个集合特例验证即可得． 【详解】A 选项，{}4,2,0,2,4A =−−， 当2a =，4b =时，a A b A ∈∈,，但6a b A +=∉，不满足闭集合的定义，故A 错误；B 选项，{}|3,A n n k k ==∈Z ，任意a A b A ∈∈,，可设3a m =，3b n =，,m n ∈Z ，则()3a bm n +=+，()3a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以a b A +∈，且a b A −∈，故集合A 为闭集合．故B 正确；C 选项，设{}1|2,A n n k k ==∈Z ，任意11,a A b A ∈∈，可设2a m =，2b n =，,m n ∈Z ，则()2a bm n +=+，()2a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以1a b A +∈，且1a b A −∈，则集合1A 为闭集合．由B 选项分析可知{}2|3,A n n k k ==∈Z 也为闭集合．{}12,6,4,3,2,0,2,3,4,6A A ∪=−−−− ，当2a =，3b =时，()(),a A A b A A ∈∪∈∪，D 选项，设12A A ==R ，若,a b ∈R ，则a b +∈R ，a b −∈R ， 则12,A A 都为闭集合，又12A A ==⊆R R ，且12A A ∪=R ， 不存在c ∈R ，使得c ∉R ，即不存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪，故D 错误； 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 定义集合运算：{*|AB x x A =∈且}x B ∉，若集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =，则集合*A B 的子集个数为______． 【答案】4 【解析】【分析】根据定义先求出集合*A B ，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =， 由*A B 的定义可得，{}*1,3A B =， 所以子集有∅，{}1，{}3，{}1,3，共4个． 故答案：4．13 设全集{},9U x x x ∗=∈≤N ，(){}1,3U A B ∪=，(){}2,4U A B = ，则B =________. 【答案】{}5,6,7,8,9 【解析】【分析】根据集合间的运算逐步分析即可得所求结果． 【详解】{}{},91,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x ∗=∈≤=N ，(){}1,3UA B ∪=， {}2,4,5,6,7,8,9A B ∴= ，又(){}2,4U A B = ，2A ∴∈，4A ∈，2∉B ，4B ∉，{}5,6,7,8,9B ∴=. 故答案为：{}5,6,7,8,9.14. 设集合{}1,2A=−，{}|10,B x ax a =−=∈R ，若B A ⊆，则a 的值为______．【答案】0或1或12− 为.【详解】由{}|10,Bx ax a =−=∈R ，方程10ax −=至多1个解，故{}1,2B ≠−.B A ⊆ ，B ∴=∅或{}2−或{}1，①若B =∅，则0a =； ②若{}1B =，则1a =； ③若{}2B =−，则210a −−=，解得12a =−； 综上可得，0a =或1或12−. 故答案为：0或1或12−. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，若A B φ= ，求a 的取值范围． 【答案】1232[,](,)−∪+∞ 【解析】【分析】根据题意，可分A φ=和A φ≠两种情况，结合集合交集的概念及运算，列出不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，且A B φ= ， 当A φ=时，可得23a a >+，解得3a >，此时满足A B φ= ；当A φ≠时，则满足232135a a a a ≤+≥− +≤，解得122a −≤≤，综上可得，实数a 的取值范围是1232[,](,)−∪+∞. 16. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－5x ＋q ＝0}．若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，试求： （1）p ＋q 的值；（2）满足S ⊆(A ∪B )的集合S 的个数．【分析】（1）利用已知(){2}U A B = ，得到2B ∈，进而求出q ，再由(){4}U A B = ，得到4A ∈，进而求出p ，从而求出p q +的值；（2）利用（1）可得集合,A B ，进而写出A B ，从而求得集合S 的个数. 【详解】（1）依题意，知2∈B ，所以22－5×2＋q ＝0，所以q ＝6. 又由4∈A ，所以42＋4p ＋12＝0，所以p ＝－7， 所以p ＋q ＝－7＋6＝－1.（2）由（1）知A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3，4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，所以A ∪B ＝{2，3，4}．因为S ⊆(A ∪B )，所以S 的个数为23＝8.17. 设实数集R 为全集，{}|0215A x x =≤−≤，{}2|0B x x a =+< （1）当4a =−时，求A B ∩及A B ；（2）若()B A B ∩=R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1|22∩=≤<A B x x ，{}|23A B x x =−<≤（2）1,4−+∞【解析】【分析】（1）当4a =−时，根据集合的基本运算即可求A B ∩及A B ；（2）根据条件()B A B ∩=R ，得到B A ⊆R ，然后建立条件方程即可求实数a 的取值范围． 【小问1详解】由条件知1|32A x x=≤≤， 当4a =−时，{}{}2|40|22Bx xx x =−<=−<<，1|22A B x x∴∩=≤<，{}|23A B x x ∪=−<≤；【小问2详解】由()B A B ∩=R ，即B A ⊆R ， 当B =∅时，即0a ≥时成立， 当B ≠∅，即0a <时，则{|Bx x =<<12≤， 解得104a >≥−， 综上a 的取值范围是：1,4∞−+. 18. 已知集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围； （2）若A C ∩≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）5|4m m>（2）51,4−【解析】【分析】（1）若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解，结合二次方程根的存在条件即可求解；（2）若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解，分离参数后结合二次函数性质即可求解．【小问1详解】 因为集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解， 即210x x m ++−=没有实数解，5第11页/共11页 故m 范围为�mm |mm >54�； 【小问2详解】 (){}2,2,A x y y x x m x ==++∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤， 若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解， 即21m x x =−++在[0,2]上有解， 结合二次函数的性质可知，当02x ≤≤时，2511,4x x−++∈−， 故m 的范围为51,4 −. 的。
2023年陕西西安某师大附中小升初入学数学真卷word版附详细答案
2023年陕西西安SDFZ 小升初入学数学真卷(时间：70分钟 满分：100分)一、计算题(每小题5分，共20分)1.1417÷(223−0.75)+423÷17122.3.75−2.75÷[20%×(5.75+414)]3.99989+9989+989+134.解方程：2x−14+1=10x−112二、填空题(每小题3分，共30分)5.一个立方体图形从上面和左面看都如图所示，要搭成这样的立方体图形，至少要用a 个小正方体，最多可以用b 个小正方体，则b −a=________。
6.一项工作，甲单独做需15天完成，乙单独做需12天完成。
这项工作由甲、乙两人合作，并且施工期间乙休息6天，则共________天完成。
7.一块长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这时表面积增加了24平方厘米，这块长方体木料原来的表面积是________平方厘米。
8.某小学六年级(1)班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生的平均成绩为82分，第5题图女生的平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为________。
9.把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，若长方形长为4，宽为3，则绕它的一条边所在的直线旋转一周后所得圆柱体的体积为________。
(答案保留π)10.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是________。
11.某车间有28名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求两个螺栓配三个螺母，则生产螺栓的人数是________。
12.某人以4干米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么该人往返一次的平均速度是________干米/时。
13.将14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是________。
14.已知n是正整数，a n=1×2×3×4×…×n，则a1a3+a2a4+…+a2010a2012+a2011a2013=________。
2019年西安市陕西师范大学附属中学小升初招考试数学试卷(含解析)印刷版
2019年西安市陕西师范大学附属中学小升初招生数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）在一幅比例尺是的学校平面图上，量得校门口到高年级教学楼的距离是2.5厘米，校门口到高年级教学楼的实际距离是米．2．（3分）某日从中午到傍晚温度下降了5℃，记作﹣5℃，从傍晚到深夜又下降了4℃，记作﹣4℃，这一日从下午到深夜一共下降了9℃，可以这样运算：（﹣5）+（﹣4）＝﹣9请你根据温度的变化情况，计算：（﹣4）+（﹣7）＝；（﹣4）+（+7）＝．3．（3分）五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个如图的大长方形，那么小长方形的长与宽的比是，大长方形的长与宽的比是．4．（3分）一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少18.84平方厘米．这个圆柱的体积减少立方厘米．5．（3分）1月1日下午4时30分学校举行了庆祝活动，那时钟面上的时针与分针组成的角是度．6．（3分）小敏和王刚都是集邮爱好者．小敏和王钢现在两人邮票枚数的比是3：4，如果王刚给小敏9枚邮票，那么他们的邮票张数就相等．两人共有邮票枚．7．（3分）一个长方体木料，横截面是边长10厘米的正方形．从这根木料上截下6厘米长的一段，切削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是立方厘米，削去部分体积是立方厘米．8．（3分）甲瓶盐水浓度为8%，乙瓶盐水浓度为5%，混合后浓度为6.2%，若从甲瓶取盐水，从乙瓶取盐水，则混合后的浓度为．9．（3分）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取根才能保证达到要求．10．（3分）观察下列各算是：1+3＝4＝2的平方，1+3+5＝9＝3的平方，1+3+5+7＝16＝4的平方…按此规律：（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007＝；（2）推广：1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝．二、选择题（每题3分，共24分）11．（3分）在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（）A．8B．12C．24D．3612．（3分）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数．6＝1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（）A．12B．28C．3613．（3分）某校女教师的人数占教师总人数的60%，调走了3名女教师，调进了3名男教师，这时男教师占教师总数的44%，原来女教师比男教师多（）A．10人B．15人C．30人D．45人14．（3分）小明将一个正方形纸对折两次，如图所示：并在中央点打孔再将它展开，展开后的图形是（）A．B．C．D．15．（3分）有一根长58米的电线，现在要把它分割成每根长9米和4米的两种规格，恰好没有剩余，所有的分割方法有（）种．A．1B．2C．3D．416．（3分）有大、小两枚骰子，每枚骰子上的六个面分别画着1﹣6点，同时抛这两枚骰子，两枚骰子的总数之和为7点的可能性为（）A．B．C．D．17．（3分）小明从A地到B地的平均速度为3米/秒，然后又从B地按原路以7米/秒速度返回A地，那么小明在A地与B地之间行一个来回的平均速度应为（）米/秒．A．5B．5.4C．4.2D．4.818．（3分）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（）人已经就座．A．26B．30C．40D．46三、计算题（共24分）19．（12分）计算下列各题（+）÷+×+×+25%×（1﹣+）×÷[1﹣（+）]．20．（8分）求未知数x（1）3x+2（100﹣x）＝300 （2）x﹣1＝（2x﹣1）21．（4分）在如图所示的数表中，第100行左边的第一个数是．四、解答题（共42分）22．（6分）甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？23．（6分）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？24．（6分）甲乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路．某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回．去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分．已知自行车的上坡速度是每小时10千米，求自行车下坡的速度？25．（6分）某年级有890人外出学习，大巴车可载70人，中巴车可载40人，大巴车需要费用1400元/台，中巴车需要费用900元/台，大巴车和中巴车正好都座位坐满，你如何安排才能费用最少呢？26．（8分）爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？27．（10分）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？2019年西安市陕西师范大学附属中学小升初招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）在一幅比例尺是的学校平面图上，量得校门口到高年级教学楼的距离是2.5厘米，校门口到高年级教学楼的实际距离是125米．【解答】解：2.5÷＝12500（厘米）＝125（米）；答：校门口到高年级教学楼的实际距离是125米．故答案为：125．2．（3分）某日从中午到傍晚温度下降了5℃，记作﹣5℃，从傍晚到深夜又下降了4℃，记作﹣4℃，这一日从下午到深夜一共下降了9℃，可以这样运算：（﹣5）+（﹣4）＝﹣9请你根据温度的变化情况，计算：（﹣4）+（﹣7）＝﹣11；（﹣4）+（+7）＝3．【解答】解：根据分析，可得（﹣4）+（﹣7）＝﹣11；（﹣4）+（+7）＝3．故答案为：﹣11、3．3．（3分）五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个如图的大长方形，那么小长方形的长与宽的比是3：2，大长方形的长与宽的比是6：5．【解答】解：设小长方形长为x，宽为y，则3y＝2x，则小长方形长与宽的比为：x：y＝3：2；大长方形长与宽的比为：2x：（x+y）＝2x：（x+）＝6：5．故答案为：3：2，6：5．4．（3分）一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少18.84平方厘米．这个圆柱的体积减少9.42立方厘米．【解答】解：18.84÷3＝6.28（厘米）；6.28÷3.14÷2＝1（厘米）；3.14×12×3＝9.42（立方厘米）；答：这个圆柱体积减少9.42立方厘米．故答案为：9.42．5．（3分）1月1日下午4时30分学校举行了庆祝活动，那时钟面上的时针与分针组成的角是45度．【解答】解：因为时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，所以钟表上下午4点30分时，时针与分针的夹角可以看成时针转过4时0.5°×30＝15°，分针在数字6上．因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，所以下午4点30分时分针与时针的夹角2×30°﹣15°＝45°．故答案为：45°．6．（3分）小敏和王刚都是集邮爱好者．小敏和王钢现在两人邮票枚数的比是3：4，如果王刚给小敏9枚邮票，那么他们的邮票张数就相等．两人共有邮票126枚．【解答】解：9÷（），＝126（个）；答：两人共有邮票126枚．故答案为：126．7．（3分）一个长方体木料，横截面是边长10厘米的正方形．从这根木料上截下6厘米长的一段，切削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是157立方厘米，削去部分体积是443立方厘米．【解答】解：由圆锥的体积公式可得V＝Sh＝×3.14×（10÷2）2×6＝×3.14×25×6＝157立方厘米，高为6厘米的长方体木料的体积为：10×10×6＝600立方厘米，600﹣157＝443立方厘米，答：这个最大的圆锥的体积是157立方厘米，削去部分体积是443立方厘米．故答案为：157，443．8．（3分）甲瓶盐水浓度为8%，乙瓶盐水浓度为5%，混合后浓度为6.2%，若从甲瓶取盐水，从乙瓶取盐水，则混合后的浓度为 6.5%．【解答】解：设甲瓶盐水质量为a，乙瓶盐水的质量是b．（8%a+5%b）÷（a+b）＝6.2%，解得：a＝b，（a×8%+×5%）÷（a+b）＝6.5%，答：混合后的浓度为6.5%，故答案为：6.5%．9．（3分）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取11根才能保证达到要求．【解答】解：根据分析可得，8+2+1＝11（根）；答：至少要取11根才能保证达到要求．故答案为：11．10．（3分）观察下列各算是：1+3＝4＝2的平方，1+3+5＝9＝3的平方，1+3+5+7＝16＝4的平方…按此规律：（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007＝10042；（2）推广：1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2．【解答】解：根据分析：（1）（1+2007）÷2＝1004所以：1+3+5+7+…+2005+2007＝10042（2）（1+2n+1）÷2＝n+11+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2故答案为：10042，（n+1）2二、选择题（每题3分，共24分）11．（3分）在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（）A．8B．12C．24D．36【解答】解：比例3：4＝9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，则两内项的积：12×9＝108，两外项的积也得是108，第二个比的后项应是：108÷3＝36，第二个比的后项应加上：36﹣12＝24；故选：C．12．（3分）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数．6＝1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（）A．12B．28C．36【解答】解：A、12的因数有：1、2、3、4、6、12，所以1+2+3+4+6＝16；B、28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以1+2+4+7+14＝28；C、36的因数有：1、2、3、4、9、12、18、36，所以1+2+3+4+9+12+18＝49；因此只有B项符合题意．故选：B．13．（3分）某校女教师的人数占教师总人数的60%，调走了3名女教师，调进了3名男教师，这时男教师占教师总数的44%，原来女教师比男教师多（）A．10人B．15人C．30人D．45人【解答】B解：44%﹣（1﹣60%）＝4% 3÷4%＝75（人）75×（60%﹣40%）＝15（人）答：原来女教师比男教师多15人．故选：B．14．（3分）小明将一个正方形纸对折两次，如图所示：并在中央点打孔再将它展开，展开后的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据操作得出正确图形是：．故选：B．15．（3分）有一根长58米的电线，现在要把它分割成每根长9米和4米的两种规格，恰好没有剩余，所有的分割方法有（）种．A．1B．2C．3D．4【解答】解：58＝9×2+4×10 58＝9×6+4×1答：把58米分割成2根9米和10根4米或者分割成6根9米和1根4米只有2种方法．故选：B．16．（3分）有大、小两枚骰子，每枚骰子上的六个面分别画着1﹣6点，同时抛这两枚骰子，两枚骰子的总数之和为7点的可能性为（）A．B．C．D．【解答】解：朝上的两个数字相加，和的情况会有36种，朝上的两个数字之和是7的会有6种，所以朝上的两个数字之和是7的可能性是6÷36＝．答：朝上的两个数字之和是7的可能性是．故选：A．17．（3分）小明从A地到B地的平均速度为3米/秒，然后又从B地按原路以7米/秒速度返回A地，那么小明在A地与B地之间行一个来回的平均速度应为（）米/秒．A．5B．5.4C．4.2D．4.8【解答】解：（1+1）÷（1÷3+1÷7），＝4.2（米/秒）；答：小明在A地与B地之间行一个来回的平均速度应为4.2米/秒．故选：C．18．（3分）一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了．这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻．原来至少有（）人已经就座．A．26B．30C．40D．46【解答】解：由题意可知，当这90个座位的第2，5，8，11，…，86，89上有人已经就座时，满足题意．则原来就座的人数至少有：（89﹣2）÷3+1＝30（人）．答：原来至少有30人已经就座．故选：B．三、计算题（共24分）19．（12分）计算下列各题（+）÷+×+×+25%×（1﹣+）×÷[1﹣（+）]．【解答】解：（1）（+）÷+＝；（2）×+×+25%×＝；（3）（1﹣+）×＝；（4）÷[1﹣（+）]＝5．20．（8分）求未知数x（1）3x+2（100﹣x）＝300 （2）x﹣1＝（2x﹣1）【解答】解：（1）3x+2（100﹣x）＝300 x＝100（2）x﹣1＝（2x﹣1）x＝1.521．（4分）在如图所示的数表中，第100行左边的第一个数是398．【解答】解：99×4＝396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：396+1+1＝398．答：第100行左边的第一个数是398．故答案为：398．四、解答题（共42分）22．（6分）甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？【解答】解：甲分得的钱为：18000×{[1﹣﹣（1﹣）×]÷5﹣（1﹣）×÷2}×（6+5），＝3300（元）；丙分得的钱为：18000×{[1﹣﹣（1﹣）×]÷5÷6}×（2+5），＝5600（元）；乙分得的钱为：18000﹣3300﹣5600＝9100（元）．答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．23．（6分）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？【解答】解：100条直线互相平行时没有交点，所以这些直线最少有0个交点；n条直线最多有n（n﹣1）个交点，所以100条直线最多有×100×（100﹣1）＝4950个交点，答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．24．（6分）甲乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路．某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回．去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分．已知自行车的上坡速度是每小时10千米，求自行车下坡的速度？【解答】解：4小时12分+3小时48分＝8小时8﹣48÷10＝3.2（小时），48÷3.2＝15（千米），答：自行车下坡的速度为15千米/小时．25．（6分）某年级有890人外出学习，大巴车可载70人，中巴车可载40人，大巴车需要费用1400元/台，中巴车需要费用900元/台，大巴车和中巴车正好都座位坐满，你如何安排才能费用最少呢？【解答】解：大巴车平均每人花费1400÷70＝20（元），中巴车每人花费900÷40＝22.5（元）所以尽量坐大巴车；设大巴车x辆，中巴车y辆，根据题意得出70x+40y＝890，所以7x+4y＝89因为4y是偶数，所以7x必须是奇数，即x必须是奇数，因为89÷7＝12…5，所以x取最大为11，当x＝11时；y＝＝3；即大巴车11辆，小巴车3辆．答：大巴车11辆，小巴车3辆租车费用最小．26．（8分）爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？【解答】解：设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）：（3×5）＝6：5，设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，追及时间为10÷（6﹣5）＝10，所以爸爸追上儿子至少要跑10×6＝60（米）．答：爸爸至少60米才能追上儿子．27．（10分）钟面上的指针指在9点的哪一时刻时，时针和分针的位置与7点的距离相等？【解答】解：（1）9×30÷（6﹣0.5）＝49（分钟）当时针和分针重合时，这时时针与分针的位置与7点的距离相等，这时的时刻是9点49分．（2）设经过x分钟，两针与7点的距离相等60+0.5x＝210﹣6x x＝23当时针和分针在7点的两侧时针与分针的位置与7点的距离相等时的时刻是9时23分．答：9点49分、9时23分的时候，时针和分针的位置与7点的距离相等。
湖南师大附中2019-2020年八年级(上)开学数学试卷 含解析
师大附中2019-2020学年八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．9 D．±32．下列各数是无理数的是（）A．0 B．πC．D．﹣3．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形5．以下问题，不适合用全面调查的是（）A．旅客上飞机前的安检B．学校招聘教师，对应聘人员的面试C．了解全校学生的课外读书时间D．了解一批灯泡的使用寿命6．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+3＞b+3 B．2 a＞2 b C．﹣a＜﹣b D．a﹣b＜0 7．已知，则2x+y的值是（）A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣28．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，已知∠ADB＝∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠ABD＝∠CDB D．AB＝CD 10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．若是方程kx+3y＝1的解，则k等于（）A．B．﹣4 C．D．12．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F（点E不与A，B重合），给出以下五个结论中正确的有（）①△PFA≌△PEB；②EF＝AP；③△PEF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF＝S△ABC⑤BE+CF＝EF；A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．比较大小：（填入“＞”或“＜”号）．14．如果2x﹣7y＝5，那么用含x的代数式表示y，则y＝．15．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2＝35°，则∠1＝°．16．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为．17．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4cm，则点P到边BC的距离为cm．18．若代数式﹣1的值为非负数，则x的取值范围应是．三.解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写处必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：×（﹣）+|﹣2|+（﹣1）201620．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．“无论多么大的困难除以13亿，都捋是一个很小的困难”，在6月23日，江苏埠宁县发生龙卷风冰雹自然灾害后，我市某中学全体学生积极参加了“同心协力，抗震救灾”活动，七年级某班两位同学对本班捐款情况作了统计：全班50人共捐款900元（每个捐款金额在10～30元），两位同学分别绘制了两幅不完整的统计图（注：每组含最小值，不含最大值．）请你根据图中信息，解答下列问题（1）从图1中可以看出捐款金额在15﹣20元的人数有人．（2）在扇形统计图中，a＝，b＝．（3）补全条形统计图．（4）全校共有3000人，请你估计全校学生捐款的总金额大约是多少元？22．如图，△ABC在直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（3，1），C（0，2）．（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到△A′B′C′，在图中画出平移后图形．（2）请求出△ABC的面积．（3）若△ABC中有一点P（m，n）按（1）平移后对应点为P，写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）．23．某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F，点B在CF上，点D 在CE上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）若∠FAD＝120°，求∠ADC的度数．25．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作＜x＞，即：当x为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+如＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，……试解决下列问题（1）填空：①＜π＞＝，②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为；（2）求满足＜x＞＝x的所有非负实数x的值；（3）若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．26．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．9 D．±3【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，即可求出结果．【解答】解：9的算术平方根是3；故选：A．2．下列各数是无理数的是（）A．0 B．πC．D．﹣【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：，，∴0，，是有理数，π是无理数．故选：B．3．在平面直角坐标系中，点A（4，﹣1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．【解答】解：∵4＞0，﹣1＜0，∴点A（4，﹣1）在第四象限．故选：D．4．若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出方程x+2x+3x ＝180，求出x即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，∵∠A+∠B+∠C＝180，∴x+2x+3x＝180°，∴x＝30，∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，即△ABC是直角三角形，故选：C．5．以下问题，不适合用全面调查的是（）A．旅客上飞机前的安检B．学校招聘教师，对应聘人员的面试C．了解全校学生的课外读书时间D．了解一批灯泡的使用寿命【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故A选项错误；B、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故B选项错误；C、了解全校同学课外读书时间，数量不大，宜用全面调查，故C选项错误；D、了解一批灯泡的使用寿，具有破坏性，工作量大，不适合全面调查，故D选项正确．故选：D．6．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+3＞b+3 B．2 a＞2 b C．﹣a＜﹣b D．a﹣b＜0【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；C、两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故C不符合题意；D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；故选：D．7．已知，则2x+y的值是（）A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2【分析】首先应用加减消元法，求出二元一次方程组的解是多少；然后把它代入2x+y，求出算式的值是多少即可．【解答】解：③﹣①，可得：3y＝3，解得y＝1，把y＝1代入①，解得x＝1，∴原方程组的解是，∴2x+y＝2+1＝3．故选：B．8．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案．【解答】解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：C．9．如图，已知∠ADB＝∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠ABD＝∠CDB D．AB＝CD【分析】由全等三角形的判定方法AAS、SAS、ASA得出选项A、B、C能证明，D不能证明；即可得出结论．【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．故选：B．11．若是方程kx+3y＝1的解，则k等于（）A．B．﹣4 C．D．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把代入方程得：3k+6＝1，解得：k＝﹣，故选：A．12．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F（点E不与A，B重合），给出以下五个结论中正确的有（）①△PFA≌△PEB；②EF＝AP；③△PEF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF＝S△ABC⑤BE+CF＝EF；A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP＝BC＝PB，∠B＝∠CAP＝45°，∵∠APF+∠FPA＝90°，∠APF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠APF，在△BPE和△APF中，，∴△PFA≌△PEB（ASA），即结论①正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP＝BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE＝PF，又∵∠EPF＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA＝S△PEB，∴S四边形AEPF＝S△APE+S△APF＝S△APE+S△BPE＝S△APB＝S△ABC，故结论④正确；又在Rt△PEF和Rt△AEF中，EF2＝PE2+PF2＝AE2+AF2，∴PF2﹣AF2＝AE2﹣PE2，∴故⑤错误；故选：C．二．填空题（共6小题）13．比较大小：＞（填入“＞”或“＜”号）．【分析】根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．【解答】解：5＞2，，故答案为：＞．14．如果2x﹣7y＝5，那么用含x的代数式表示y，则y＝．【分析】把x看做已知数求出y即可．【解答】解：方程2x﹣7y＝5，解得：y＝，故答案为：15．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2＝35°，则∠1＝55 °．【分析】如图，由平行线的性质可求得∠3，再由垂直和平角的定义可求得∠1．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝35°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故答案为：55．16．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．【解答】解：点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．17．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4cm，则点P到边BC的距离为 4 cm．【分析】BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，∴点P到BC的距离＝PE＝4cm．故答案为4．18．若代数式﹣1的值为非负数，则x的取值范围应是x≥7 ．【分析】根据题意得出关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：根据题意得﹣1≥0，解得：x≥7．故答案为：x≥7．三．解答题（共8小题）19．计算：×（﹣）+|﹣2|+（﹣1）2016【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×（﹣）+2﹣+1＝﹣1+2﹣+1＝2﹣．20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答此不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集．【解答】解：，由不等式①，得x＞﹣1，由不等式②，得x≤3，故原不等式组的解集是﹣1＜x≤3，在数轴上表示如下图所示，．21．“无论多么大的困难除以13亿，都捋是一个很小的困难”，在6月23日，江苏埠宁县发生龙卷风冰雹自然灾害后，我市某中学全体学生积极参加了“同心协力，抗震救灾”活动，七年级某班两位同学对本班捐款情况作了统计：全班50人共捐款900元（每个捐款金额在10～30元），两位同学分别绘制了两幅不完整的统计图（注：每组含最小值，不含最大值．）请你根据图中信息，解答下列问题（1）从图1中可以看出捐款金额在15﹣20元的人数有15 人．（2）在扇形统计图中，a＝20 ，b＝30 ．（3）补全条形统计图．（4）全校共有3000人，请你估计全校学生捐款的总金额大约是多少元？【分析】（1）由条形统计图直接得到答案，（2）求出捐款为10﹣15元的人数，20﹣25元的人数，进而求出所占的百分比，确定a、b的值，（3）求出各个捐款段的人数，捐款补全条形统计图，（4）求出样本平均数，估计总体的平均数，从而求出捐款总额．【解答】解：（1）从条形统计图中直接可以看出在15﹣20元的人数有15人，（2）5÷10%═50人，50×40%＝20人，50﹣20﹣15﹣5＝10人，15÷50＝30%，10÷50＝20%，故答案为：a＝20，b＝30，（3）补全条形统计图如图所示：（4）900÷50×3000＝54000元，答：估计全校学生捐款的总金额大约是54000元．22．如图，△ABC在直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（3，1），C（0，2）．（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到△A′B′C′，在图中画出平移后图形．（2）请求出△ABC的面积．（3）若△ABC中有一点P（m，n）按（1）平移后对应点为P，写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）．【分析】（1）直接利用平移规律得出对应点位置进而得出答案；（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（3）利用平移规律进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）△ABC的面积为：4×6﹣×1×3﹣×3×4﹣×3×6＝7.5；（3）∵△ABC中有一点P（m，n）按（1）平移后对应点为P，∴点P的坐标为：（m+1，n+2）．23．某学校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元，列方程组求解；（2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球，根据总费用不超过5720，列不等式求出最大整数解．【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得：，解得：，答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；（2）设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球，根据题意得：80a+50（96﹣a）≤5720，解得：a≤，∵a是整数，∴a≤30，答：最多可以购买30个篮球．24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F，点B在CF上，点D 在CE上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）若∠FAD＝120°，求∠ADC的度数．【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE；（2）推出四边形ABCD的面积＝△ACE的面积，即可得出答案；（3）过点A作AG⊥CG，垂足为点G，证出四边形AFCG是矩形，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝×102＝50；（3）解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE＝45°，∴∠GCF＝90°，过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：∵AF⊥BC，∴四边形AFCG是矩形，∴∠FAG＝90°，∵∠FAD＝120°，∴∠DAG＝30°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°．25．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作＜x＞，即：当x为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+如＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，……试解决下列问题（1）填空：①＜π＞＝ 3 ，②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为 1.75≤x＜2.25 ；（2）求满足＜x＞＝x的所有非负实数x的值；（3）若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（2）利用＜x＞＝x设x＝k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可；（3）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞＝3；故答案为：3，②∵＜2x﹣1＞＝3，∴2.5≤2x﹣1＜3.5∴1.75≤x＜2.25；故答案为：1.75≤x＜2.25；（2）∵x≥0，x为整数，设x＝k，k为整数，则x＝k，∴＜k＞＝k，∴k﹣≤k＜k+，k≥o，∴0≤k≤2，∴k＝0，1，2，则x＝0，，．（3）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5．26．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）作CH⊥y轴于D，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD，得到OB＝CD，OA＝BD，易得OA＝CD+OD；（3）如图3，CF和AB的延长线相交于点D，先证明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，再利用对称性质得CF＝DF，所以CF＝AE．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于D，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．。