残差非等间距GM(1,1)模型及应用

１４ｌ
用【Ｊ】新技术新工艺，２００２，１２（６）：１１－１９． 【４】罗佑新．非等间距ＧＭ（１，１）模型及其在疲劳试验数据处理中和疲
３
结
论
劳在线监测中的应用【Ｊ】．机械强度，１９９６（３）：３８－４１． 【５】Ｃｈｉｎｇ—Ｃｈａｎｇ
Ｗｏｎｇ，ｃｈｉａ・Ｃｈｏｎｇ
Ｃｈｅｎ．Ａｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ
ＧＭ（１．１）累加生成建模的思想与方法 设序列
Ｅ‘ｏ’＝［Ｐ‘ｏ’（七１），Ｐ‘ｏ’（七２），…Ｐ‘ｏ’（｜ｉ｝。）】
间距触ｉ＝ｋｉ一岛一１≠ｃｏｎｓｔ。
对ｇ（ｏ’（七）进行一次累加
ｆ
ｘ∞’＝讧∞’（尼１），ｘ∞’（尼２），．．．．，ｘ∞’（七。）Ｊ，
若间距Ａｋｉ＝岛一砖一１≠ｃｏｎｓｔ，则称ｘ（ｏ’为非等
１．１
∥，ｋｉ＋ｍ）：丛≮！堕
￡垅“１
（６）
１．２残差非等间距ＧＭ（１，１）累加生成建模的思想 与方法 按灰色ＧＭ（１，１）模型建模后得到一组预测数列
为Ｘ‘ｏ’＝［量‘ｏ’（七１），曼‘ｏ’（七２），．．．，曼‘ｏ’（尼。）】，原始数列 与预测数列之差为色∞＝妒＠一犁∞∞，非等间距的
残差数列为
残差ＧＭ（１，１）模型建模机理
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇｒｅｙ
ｓｙｓｔｅｍ；ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ；ｕｎｅｑａｌ ｉｎｔｅｒｖａｌ；ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ
ｖａｌｕｅｓ；ｒｅｓｉｄｕａｌ
ａｎａｌｙｓｉｓ
引
言
而是用数据处理的方法找数据间的规律。它将试验 数据看成时灰色量，试验数据进行一次累加生成处 理后，所得到的数据序列将呈现指数规律变化，采 用灰色预测ＧＭ（１，１）模型拟合和预测试验数据。 文献［２】采用等时距模型ｊ对疲劳试验数据进行 了处理，建模条件苛刻。文献【３．６】建立了非等间距 模型，可使建模条件放松，但是预测的精度普遍偏 低。文献［７．１０］对ＧＭ（１，１）模型的背景值进行了积
其中，∥。（¨２蔷∥∞（尼，）龇∥－１，２，…玑使用
Ｅ（１’建立ＧＭ（１，１）模型，其时间响应函数的离散形 式为
＿ ＾
舍１’（岛＋１）＝∥ｎ（ｋｉ）－－－ｕ）ｅｘｐ［－－ａ（ｋｉ＋ｌ一毛）】＋＝（７）
该模型可得到序列豆（１）
掣．ＦａｘＯ）∽：＂∈【０，。）（１）
（Ｖ
ｔ“ｌ
豆‘１’＝［∥（七１），∥（七２），．．叠‘１’（七。）】
ａｎｄ
ｄｅｐｔｈ．Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｏｆ ｇｒｅａｔ ｖａｌｕｅ ｆｏｒ
ａｌｌ
ａｎｄ
ｇｕｉｄａｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ
ｄａｔａ
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｔ ｐｒｏｖｉｄｅｓ
ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｗａｙ ｔｏ
ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｇｒｅｙ ｍｏｄｅｌ．
曾斌１，一，曾武军１，罗佑新１
（１．湖南文理学院机械工程学院，湖南常德４１５０００；２．湖南大学材料科学与工程学院，湖南长沙４１ｌＯＯＯ） 摘要：为了提高灰色系统的预测精度，人们从理论与实践中不断探索新的建模方法，从模型自身特性出发改进灰 色模型。通过对传统的ＧＭ（Ｉ，１）模型进行差分运算，推导出非等间距ＧＭ（Ｉ，１）模型，扩展了模型的应用范围；从背 景值的几何意义出发，指出背景值的积分构造形式比均值生成的形式更加合理，并给出了积分背景值的数学表达式； 在一次拟合结果的基础上，为了进一步提高模型的精度，对一次拟合的结果进行了残差分析，并建立了灰色残差模 型，通过把灰色残差模型得到的数据依次补偿到一次拟合结果上，得到了残差修正的灰色ＧＭ（Ｉ，１）模型。通过对热 处理实验中渗碳浓度的数据处理结果显示，残差ＧＭ（１，１）模型较好的描叙了渗碳浓度和深度的关系。该模型对工程 数据的处理具有一定的参考价值和指导意义，为灰色模型的应用提供了一个有效的方法。 关键词：灰色系统；ＧＭ（１，Ｉ）模型；非等间距；背景值；残差分析 中图分类号：ＴＰ ２７４ 文献标识码：Ａ
（１）背景值是导致模型产生误差的一个很重
ａｐｐｒｏａｃｈ
ｔｏ
ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｇｒｅｙ
ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ
ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ ｄｅｓｉｇｎ
要的参数，通过积分方法构造出来的背景值，相对 传统ＧＭ（１，１）模型中的背景值，可以有效地提高拟 合和预测的精度： （２）对拟合数据的残差建立非等间距ＧＭ（Ｉ，１） 模型，并且在残差处理过程中，若残差数列中的数 均为正，可以直接建立非等间距ＧＭ（１，１）模型，若 残差数列中有正有负时，要先做非负处理，然后再 建立非等间距ＧＭ（１，１）模型。 （３）通过对模型在热处理实验中数据的拟合 分析表明，该模型具有高的拟合和预测精度，值得 在其它工程领域中推广。 参考文献：
还原到原始数据为
（８）
在区间【ｋｉ ｋｉ＋。】上积分
七ｆ＋１
ｆ：Ｊ＋ｌｄｘ（１）（ｆ）＋口Ｊｘｏ’（ｔ）ｄｔ＝ｂ，ｄｔ（２）
ｋｌ
七ｆ
铲诹州）＝盟东塑
型的拟合值爱‘ｏ’（七十１）
（９）
得到灰色微分方程
把占‘ｏ’（七＋１）补偿到殳‘ｏ’（七十１）中最后得到灰色模
（３）
ｘ‘ｏ’（后ｆ＋１）△后“ｌ＋ａｚ（Ｉ）（尼“１）＝ｂＡｋ件ｌ
Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ
Ｖａｌｕｅ ｓｉ・ｆｅｎｇ．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ
ｉｎ
ＧＭ（Ｉ，１）
Ｍｏｄｅｌ．
Ｓｙｓｔｅｍｓ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ—Ｔｈｅｏｒｙ
ａｎｄ
Ｐｒａｃｔｉｃｅ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ—Ｔｈｅｏｒｙ
其中ｚ‘１’（足¨）为灰色微分方程的背景值；由于 ＸＯ）（ｆ）满足指数形式ｘ‘１’（ｆ）＝ｃｅ出，可以构造出
背景值为
詹‘ｏ’（‰）＝曼‘ｏ’（‰）＋∥（‰）００）
由表２知，本文提出的残差非等间距ＧＭ（１，１）模型 的建模方法具有较高的模型精度。需要注意的是， 当残差序列不全为非负数时，在累加操作前需对残 差序列作平移操作，还原残差序列后再把数据移到 原来的位置。
【１】邓聚龙．灰色系统理论教程【Ｍ】．武汉：华中科技大学出版社，１９９０． 【２】罗佑新．试验数据处理与试验在线监测的灰色模型与方法【Ｊ】．机 械设计。１９９３。１２（６）：３８－４１． 【３】庞学悲．灰色预测及其在金属切削理论研究中的应
【Ｊ】．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｙｓｔｅｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９９，２４（４）：３４１－３５１． 【６】张睿．高焕文．基于灰色ＧＭ（１，１）的农业机械化水平预测模型 ［Ｊ】．农业机械学报，２００９，２：９１－９５． 【７】戴文战，李俊峰．非等间距ＧＭ（１，１）模型建模研究【Ｊ】．系统工程理 论与实践，２００５（９）：８９－９３． 【８】ＷＡＮＧ Ｚｈｅｎｇ－ｘｉｎ，ＤＡＮＧ Ｙａｏ・ｇｕｏ，ＬＩＵ
万方数据
第５期
曾
斌，等：残差非等间距ＧＭ（１，１）模型及应用
９３５
分，通过对背景值的积分，大大降低了误差项。本 文在研究非等时距序列的基础上，采用了积分重构 的方法获取ＯＭ（１，１）模型中的背景值，并且对一次 拟合的数据进行了残差分析，建立了残差序列，使 用残差序列对预测值进行修正，该方法可以提高 ＧＭ（１，１）模型的拟合精度和预测精度。并且与文献［６】 提出的方法相比较，表明本文提出方法的有效性。 １
ｄａｔａ
ｏｆ ｃａｒｂｏｎ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｈｅａｔ ｐｒｏｃｅｓｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｉｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ
ＧＭ（Ｉ，１）ｍｏｄｅｌ
ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ
ｃａｎ
ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃａａｏｎ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ
还原到原始数据为
万方数据
９３６
辽宁工程技术大学学报（自然科学版）
表１
Ｔａｂ．１
第２９卷
渗碳过程中的含碳量与深度关系
ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃａｒｂｏｎ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｐｔｈ
表２本文方法与文献［４］方法的比较
Ｔａｂ．２ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ａｎｄ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ
ｅ０）（七ｆ）＝∑Ｐ‘。’（七，）龇／，ｉ＝ｌ…２埘，
户１
得到一次累加序列
间距序列。磐序列
、
Ｘ‘１’＝ｋｏ’（后１），ｘ‘Ｄ（后２），．．．．，ｘｏ’（后。）Ｊ，
Ｅ‘１’＝【Ｐ‘１’（七１），ｅ０）（七２），…ｅ‘１’（七。）］，
ｆ
其中，∥ｂ，）：∑ｉ∥№，）龇∥：１，２，…玎，则
称Ｘ（１’为非等间距序列Ｘ（ｏ’的一次累加生成 （１－ＡＧＯ）序列。 对一次累加生成序列Ｘ¨’建立白化微分方程
ｏｎ ｏｎ
ｔｈｅ ｆｉｔｔｉｎｇ ｄａｔａ
ａｎｄ
ｃａｎ
ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｇｒｅｙ ｇｅｔ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ
ｒｅｓｉｄｕａｌ ＧＭ（１，１）
ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｉｔｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｉｔ ｍｏｄｅｌ．Ｂｙ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｔｈｅ
ｚ㈣（ｔ＋。）＝ｅ”ｘⅢ（ｆ）出＝ｅ”１ ｃ矿出
：！ｆＰｄｋｉ“一Ｐ搬）
ｄ
（４）
ｘ‘ｏ’（ｔ＋１）（她＋１）２
ＩｎＸ（１）（ｋｉ＋１）－－ｌｆｌＸ（Ｉ）（ｋｉ） 方程（３）的离散解为
２实例分析
采用文献［４】与本文的方法，对原始数据建模。
ｘ‘１’（‰）＝（ｚ‘１’（七１）一ｂ／ａ）ｅ一４‘ｋｌ一毛’＋ｂ／ａ（５）
Ｃｈｉｎａ．２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ ｍａｔｅｒｉａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ
４１００００，Ｃｈｉｎａ）