17.3.3.一次函数的性质
一次函数的图像和性质的知识点
一次函数的图像和性质的知识点
一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k，即：y=kx+b（k为任意不为零的实数，b取任何实数）；2.当x=0时，b为函数在y 轴上的截距。
一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
一次函数所有知识点
一次函数所有知识点
一次函数是数学中一个重要的函数类型，它只包含一个自变量，并且函数值只与自变量的取值有关。
在一次函数中，函数值与自变量的取值之间是线性关系。
以下是一次函数的所有知识点:
1. 一次函数的定义：一次函数是一次方程的特解，它表示一个
自变量只对应一个函数值。
2. 一次函数的符号特征：一次函数的导数为零，即
$frac{d}{dx}(f(x))=0$,同时自变量的取值范围是使得函数值不为
零的取值。
3. 一次函数的性质：一次函数是线性函数，因此它具有以下几
个性质:
- 一次函数的斜率为零，即 $frac{dy}{dx}=0$。
- 一次函数的截距为零，即 $y=x$ 是一个一次函数的特解。
- 一次函数的图像是一条直线。
- 一次函数的导数为零，即 $frac{d}{dx}(f(x))=0$。
4. 一次函数的求解：一次函数可以通过求解一次方程来求解。
一次方程的特解是 $x=0$ 或 $x=infty$。
5. 一次函数的应用：一次函数在数学中有许多应用，例如在几
何中可以用来求解三角形的面积，在代数中可以用来求解方程的解等。
6. 一次函数的拓展：一次函数是数学中一个重要的函数类型，
它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，一次函数可以用来描述物理量之间的关系，例如在电路中可以用来描述电
流和电压之间的关系。
在工程中，一次函数可以用来描述材料的应力和应变之间的关系。
在经济中，一次函数可以用来描述商品价格和需求量之间的关系。
一次函数的基本性质
什么是一次函数一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
其中x是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。
其图象为一条直线。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数(direct proportion function)，其函数图象为一条通过原点的直线。
所以说正比例函数是特殊的一次函数。
一次函数表示方法一。
一次函数是一条直线y=kx (o，0)(1，k)y=kx+b(0，b)与y轴的交点1、解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法。
2、列表法把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
3、图像法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
一次函数解析式一次函数的解析式为：其中k是比例系数，不能为0;x表示自变量。
且k和b均为常数。
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法，叫做待定系数法。
一次函数基本性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b为常数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b).当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,θ≠90°)形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;当k互为负倒数时，两直线垂直;6.平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间图像性质1.作法与图形：通过如下3个步骤：(1)列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，(2)描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;(3)连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。
一次函数揭秘一次函数的定义和性质
一次函数揭秘一次函数的定义和性质一次函数揭秘：一次函数的定义和性质一次函数，也称为线性函数，是数学中最简单、最重要的函数之一。
它的函数表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。
本文将深入探讨一次函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数的定义一次函数是指其函数图像为一条直线的函数。
在一次函数的函数表达式中，x 是自变量，y 是因变量。
其中，a 代表斜率，决定了函数图像的斜率和方向；b 代表截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当a > 0 时，函数图像呈现正斜率，向上倾斜；当 a < 0 时，函数图像呈现负斜率，向下倾斜。
二、一次函数的性质1. 变化率恒定：一次函数的斜率 a 表示了函数图像的变化率。
具体来说，a 的绝对值越大，函数图像变化的速率就越快；a 的绝对值越小，函数图像变化的速率就越慢。
当 a = 0 时，函数图像为一条水平直线，不变化。
2. 函数图像经过定点：一次函数的截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b = 0 时，函数图像经过原点；当b ≠ 0 时，函数图像与y 轴有一个截距点。
这个截距点的纵坐标为 b，横坐标为 0。
3. 一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，具有直线的一些特点。
例如，两点确定一条直线，可以利用函数图像上的两个点得到函数的具体表达式；一次函数的图像关于 y 轴对称，可以通过将 x 取负得到关于 y 轴对称的点，并连接这两个点得到函数图像。
三、一次函数的应用1. 行程与距离关系：一次函数可以应用于行程与距离之间的关系。
例如，当一个物体以一定速度匀速运动时，其行进的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量关系：一次函数也可以应用于企业的成本与产量之间的关系。
例如，当产量固定的情况下，成本可以通过一次函数来表示，这样就可以帮助企业进行成本控制和预测。
3. 温度变化关系：一次函数还可以应用于温度变化之间的关系。
一次函数的图像和性质
一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。
它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。
斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。
当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。
斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。
即斜率a=Δy/Δx。
斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。
当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。
图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。
5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。
如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。
如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。
数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。
华东师大版八年级数学下册《一次函数的性质》课件
我们知道，函数反映了现实世界中量的变化规律，那么一次 函数有什么性质呢？
新知学习
在同一平面直角坐标系中画出下 列函数的图像: y＝3x－2，y 2 x 1
3
x
01
y=3x－2 -2 1
x
0 -3
y 2 x1 3
1
-1
y
6
y＝3x-2
5
4
2
3
y x1
2
3
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x -1
A.y1＞y2
C.当x1＜x2时，y1＜y2
B. y1＜y2
D.当x1＜x2时，y1＞y2
方法总结： 要确定两点的纵坐标的大小关系，可先确定一次函数中k的正负，
再根据其确定函数的增减性，进而求解．
5.已知一次函数y=(2m-1)x+m+5，当m是何数时，函数值y随x的增大而减 小？当m是何数时, y随x的增大而增大？
17.3.3 一次函数的性质
八下 数学
华师版
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
学习目标
1.探索、归纳一次函数中函数值随自变量变化的规律(增减性). 重点 2.根据k、b的几何意义，归纳总结一次函数所经过的象限. 重点 3.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题． 难点
新课引入 复习回顾
m-1＜0
解得
m＞0.5 m＜1
∴0.5＜m＜1.
7.已知一次函数y=(2m-5)x+1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大
而减小，其中m为整数.
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
2m-5＜0
一次函数与二次函数的基本性质总结
一次函数与二次函数的基本性质总结一次函数与二次函数在数学中是非常重要的函数类型，它们在各个领域的应用非常广泛。
以下是一次函数和二次函数的基本性质总结。
一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降，斜率为零表示函数水平。
3. 截距：一次函数的截距表示了函数图像与y轴的交点位置，当x 为0时，函数的值为截距b。
4. 图像：一次函数的图像为一条直线，且直线方向与斜率相关。
5. 平行和垂直：一次函数的图像平行于x轴时，斜率为0；平行于y轴时，没有斜率；斜率相等的一次函数平行。
二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c 为常数，其中a≠0。
2. 平移和翻折：二次函数可以通过平移和翻折来改变其图像的位置和形状。
平移可以由a、b和c的值来控制；翻折可以通过改变a的正负来实现。
3. 顶点坐标：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和x轴垂直的线，其方程为x = -b/2a。
5. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
6. 最值：二次函数的最值即抛物线的最高点或最低点，当a>0时存在最小值，当a<0时存在最大值。
综上所述，一次函数和二次函数有着不同的性质和表现形式。
一次函数是一条直线，其关键在于斜率和截距的确定；二次函数是一个抛物线，其关键在于顶点、对称轴、开口方向和最值的确定。
这些性质和特点是我们研究和应用一次函数和二次函数的基础，对于理解和解决具体问题非常有帮助。
在实际应用中，我们可以利用这些性质来分析和解决与一次函数和二次函数相关的问题，如物理运动、经济模型等等。
17.3 一次函数 课件-华师版数学八年级下册
感悟新知
知识点 4 一次函数的性质
知4－讲
一次函数 y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0)的性质和 k， b 的 符号间的关系:
感悟新知
一次函数
k， b
的符号
b>0
y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0)
k>0
k<0
b<0
b=0
b>0
b<0
知4－讲
b=0
图象的 位置
增减性
与 y 轴交 点的位置
l2，则直线 l2 的表达式为(
)
A.y= － 3x － 9
B.y= － 3x － 1
C.y= － 3x ＋ 1
D.y= － 3x ＋ 9
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右 减”进行求解 .
感悟新知
知3－练
解： 将直线 y=－3x－2 向左平移 1 个单位长度得直线 y=－3( x+1) －2，即 y=－3x－5，再向上平移 4 个单位 长度，即将直线 y=－3x－5 向上平移 4个单位长度，得 直线 y=－3x－5+4， 即 y=－3x－1. 左加右减 (只改变x).
画出函数图象并求 S △ AOB.
解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答．
感悟新知
解： 当 x=0 时， y= － 3，
知2－练
∴点 B 的坐标为( 0， － 3)；
当 y=0 时， x= － 6，∴点 A 的坐标为(－ 6， 0) .
画出函数图象如图 17.3-2.
由图象可知， OA=| － 6|=6，
第十七章 函数及其图象
17.3 一次函数
高一年级数学知识点：一次函数的性质-
高一年级数学知识点：一次函数的性质进入到高中阶段，大家的学习压力都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，高一年级数学知识点为大家总结了高一年级各版本及各单元的素有知识点内容，希望大家能谨记呦！！高一年级数学知识点：一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
注意事项1、注意化归转化思想学习。
人们学习过程就是用掌握的知识去理解、解决未知知识。
数学学习过程都是用旧知识引出和解决新问题，当新的知识掌握后再利用它去解决更新知识。
初中知识是基础，如果能把新知识用旧知识解答，你就有了化归转化思想了。
可见，学习就是不断地化归转化，不断地继承和发展更新旧知识。
2、学会数学教材的数学思想方法。
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。
概括数学思想一般可分为两步进行：一是揭示数学思想内容规律，即将数学对象其具有的属性或关系抽取出来，二是明确数学思想方法知识的联系，抽取解决全体的框架。
实施这两步的措施可在课堂的听讲和课外的自学中进行。
课堂学习是数学学习的主战场。
课堂中教师通过讲解、分解教材中的数学思想和进行数学技能地训练，使高中学生学习所得到丰富的数学知识，教师组织的科研活动，使教材中的数学概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。
如初中学习的相反数概念教学中，教师的课堂教学往往有以下理解：①从定义角度求 3、-5的相反数，相反数是的数是_____.②从数轴角度理解：什么样的两点表示数是互为相反数的。
(关于原点对称的点)③从绝对值角度理解：绝对值_______的两个数是互为相反数的。
④相加为零的两个数互为相反数吗?这些不同角度的教学会开阔学生思维，提高思维品质。
望同学们把握好课堂这个学习的主战场。
知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径，高一年级数学知识点为大家巩固相关重点，让我们一起学习，一起进步吧!。
一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一次函数，也叫一元一次方程，是由一项常数和一项一次项组成的形如y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 分别代表斜率和截距。
它是代数学中最简单的一种函数类型，同时也是现实生活中最常用的一种函数类型。
在数学和物理等重要领域中，一次函数和它的图象和性质可以发挥重要作用。
一次函数的图象一个一次函数可以通过以下两种方法绘制其图象：1.通过表格计算和绘制：选择一些x 和y 值，将它们代入y = ax + b 中计算y 值，然后将这些值绘制为一个点的图象并连起来。
2.通过斜率和截距：通过y = ax + b，我们可以看出当x增加 1 时，y 增加 a 单位。
所以，在y 轴上，当x = 0 时，y 的值就是截距b，也就是函数图象在y 轴上的截距。
而当x 轴上的a 和b 分别表示函数图象在y 轴和x 轴上的斜率和截距。
一次函数的性质1.斜率（a）：一次函数的斜率代表着函数图象在同一个单位x 范围内，y 增量的数量。
斜率越大，函数图象就越陡峭，因此斜率可以帮助我们确定函数图象的变化趋势。
2.截距（b）：一次函数的截距是函数图象在y 轴上的截距位置。
截距表示的是当x = 0 时，函数图象所在的位置。
如果一个一次函数的截距非常接近于原点，那么这个函数会变得非常陡峭，因为它的斜率会非常大。
3.定义域和值域：一个一次函数的定义域是所有可能的x 值的集合，而它的值域是所有可能的y 值的集合。
因为一次函数的定义依赖于斜率的值，而斜率零表示函数图象是水平的，值域也是有限的。
4.最大值与最小值：一个一次函数的最大值或最小值会发生在其斜率从正数到负数的转变点，也就是当斜率从正数变为负数时，函数图象达到其峰值。
因此，对于一个一次函数来说，它可能会存在最大值或最小值，但是它们一定属于图象的端点，不会出现在中间部分。
总之，一次函数作为数学和现实生活中最常见和最基础的函数类型，在多个领域中发挥着重要作用。
对于初学者来说，学习它的图象和性质是非常重要的，因为这可以帮助他们更好地理解一些其他更加复杂的函数类型，如二次函数、指数函数等等，并且也有助于理解数学和物理等领域中的问题。
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函数及其图象
17.3一次函数 3.一次函数的性质
华东师大版 八年级下册
新课导入
说一说：
1、一次函数的一般式。
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2、一次函数的图象是什么？
一条直线。
新课推进
2 y x 1 3
x y
0
3 2
1
0
y 3x 2
2 y x 1 3
y增大 x增大
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y x 2
y x 2
（2） 当k＜0时，y随x的 减小 ，这时函数 增大而_____ 下降 的图象从左到右 _____．
y减少
x增大
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
（1） 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函 数的图象从左到右上升；
上，试比较 m和n的大小。你能想出几种判
断的方法？
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式
1 当 x= -3 时, n= 2
4 当 x=2 时, m= 3
所以 m > n。
1 方法二因为 K= >0， 6
所以函数y随x增大而增大。 从而直接得到 m > n。
课后小结
经过本节课的学习，你有哪些收获？
y 2 x 2
（1） 这个函数中,随 着x的增大,y将增大 还是减小?它的图象 从左到右怎样变化?
（2） 当k＜0时，y随x的 减小，这时函数 增大而_____ 的图象从左到右下降 _____．
做一做
画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答 下列问题： （2）当x取何值时,y=0? （3）当x取何值时,y＞0? 解： (2)因为 y=0 所以 -2x+2=0 ，x=1 （3）因为 y＞0 所以 -2x+2 ＞ 0 ，x < 1
（2） 当k＜0时，y随x的增大而减小 _____，这时函 数的图象从左到右下降 _____．
试一试
(1) y 2 x 1
运用新知
1、下列一次函数中，y的值随x的增大而减小 (1)、(3) 的有________
(2) y 3x 2
(3) y 4 x
(4) y 5x 1
பைடு நூலகம்
所以 当 x=1时 y=0 , 当 x＜1 时 y＞ 0；
典例分析
例1、已知函数y=(m+1)x-3 (1)当m取何值时，y随x的增大而增大？ (2)当 m取何值时，y随x的增大而减小？
解（ ： 1）当m+1>0即m>-1时y随x的增大而增大; (2)当m+1<0即m<-1时y随x的增大而减小。
1 例2、已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线 y 6 x 1