广义长方形Sierpinski地毯的Hausdorff测度

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2类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数

2类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数单家俊;龙伦海;杨成;王司晨【摘要】构造了圆心角小于180°的扇环与正方形之间的某种双Lipschitz映射,首先证明了若将经典Sierpinski地毯的初始图形正方形换成此类扇环,则得到的变形Sierpinski地毯与经典的Sierpinski地毯具有相同的Hausdorff维数;其次证明了若将初始图形换成圆心角小于180°的扇形,则其生成的变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数也有同样的结果.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)001【总页数】5页(P7-11)【关键词】分形;变形Sierpinski地毯;Hausdorff维数;双Lipschitz映射【作者】单家俊;龙伦海;杨成;王司晨【作者单位】海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228【正文语种】中文【中图分类】O174.12给定一个圆心角小于180°的扇环E0(如图1a所示)，将其2条边和2条弧分别三等分，用与圆心角相同的弧连接2条边上对应的等分点，用线段连接2条弧上对应的等分点，将E0分成9个小的扇环，删除中间的扇环，把剩下8个扇环记为E1，然后对E1的8个小的扇环进行同样的操作，无限重复下去，得到一列紧集E0⊃E1⊃…⊃Ek⊃…记得到的极限集为E；如果将初始图形由扇环变成圆心角小于180°的扇形(如图1b所示)，则第一次分割把分割成3个小的扇形和6个小的扇环，删除中间阴影所示的扇环，然后对剩下的3个小的扇形进行同样的操作，对剩下的5个小的扇环按照上述的方法对扇环操作，无限重复此过程，也能得到一个极限集，记为E′. 称上述2个极限集E，E′为变形Sierpinski地毯. 关于变形Sierpinski地毯的研究近年已有一些成果，奚李峰[3]通过构造凸四边形与正方形之间的双Lipschitz映射，证明了由凸四边形分割得到的变形Sierpinski地毯与经典Sierpinski地毯有相同的Hausdorff维数(log8/log3)；朱志勇和文志雄[4]在其结论的基础上，证明了由三角形分割得到的变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数也相同.定理1 设E和E′分别为上述生成的变形Sierpinski地毯，则dimH(E)=dimH(E′)=log8/log3.定义1 设Rn中的任意非空子集E，{Ui}为E的一个有限或可数个直径不超过δ的覆盖，E⊆∪Ui，则称{Ui}为E的一个δ覆盖. 设s≥0，称定义2 设(X1,d)和(X2,D)为2个度量空间，如果存在双射f:X1→X2，以及常数C1，C2>0，对于任意的x1，x2X1使得引理1[1] 如果f为双Lipschitz映射，则dimHE=dimHf(E).定义3 设AB和分别为以A为起点、B为终点的有向线段和有向弧，若线段AB上一点P，满足长度之比|AP|/|AB|=λ，则称点P为线段AB的λ分点；若上一点P，满足弧长之比||/||=λ，则称点P为的λ分点. 不妨假设线段和弧均为有向线段和有向弧.平面上扇环和扇形中，利用定比分点计算容易得到以下性质.性质1 如图2a所示，扇环ABCD为一个圆环被扇形所截得的一部分，其弧所对的圆心角小于180°.点E，F分别是的λ1分点，点G，H分别是线段AD，BC的λ2分点，用与所对圆心角相同的一条弧连接点G，H，再连接线段EF，交于点I，则点I分别是的λ1分点和线段EF的λ2分点.性质2 如图2b所示，扇形ABC，其圆心角小于180°. 点D是的λ1分点，点E，F分别是边AC，BC的λ2分点，用与所对圆心角相同的弧连接点E，F，再连接线段DC，交于点G，则点G分别是的λ1分点和线段DC的λ2分点.对于平面上的三角形，有以下性质成立.性质3[3-4] 如图2c所示，给定△ABC，三边长度|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，φ为边AC与BC的夹角.取0<φ0<π，使得φ0≤φ<π，则存在常数，使得成立.为了证明本文的结论，还需要用到以下不等式.性质4 0≤λ≤1，0≤θ≤π，不等式1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)≥0成立.证明令f(θ)=1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)，则因为函数y=cosx在[0,π]上是单调递减，0≤λ≤1，所以cos(λθ)-cosθ≥0,故f″(θ)≥0. 从而有f′(θ)在[0,π]上是单调递增，于是得到f′(θ)≥f′(0)=0，所以函数f(θ)在[0,π]上也单调递增，故f(θ)≥f(0)=0，不等式成立.2.1 E的Hausdorff维数根据引理1，如果能够构造一个双Lipschitz映射f，将正方形映射成扇环，且将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环分割生成的极限集，则二者的Hausdorff维数相等. 下面构造双Lipschitz映射f.如图3a所示，在正方形ABCD中，将线段AB的λ1分点E与线段DC的λ1分点F相连，再将线段AD的λ2分点G与线段BC的λ2分点H相连，2条线段交于一点，记为(λ1，λ2).在扇环ABCD中，将的λ1分点E与的λ1分点F用线段相连，再将线段AD的λ2分点G与线段BC的λ2分点H用一条与所对圆心角相同的弧相连，线段EF与交于一点，记为[λ1，λ2].定义映射f：f((λ1，λ2))=[λ1，λ2]. 显然映射f是双射，且对所有的0≤λ1，λ2≤1，f将正方形映射为扇环.现在需要证明：1)映射f为双Lipschitz映射；2)映射f将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环生成的极限集E.根据性质1，图3a扇环中的点[λ1，λ2]分别为和线段EF的λ1，λ2分点，根据极限集生成的构造，注意每一步分割的过程和每个点的比例下标，易知2)是成立的. 关于1)，只要证明对于正方形中任意的2点(λ1，λ2)和)，存在常数C1，C2>0，使得成立不等式).下面证明a≥L(λ2)·||.由扇形的性质可知，∀0≤x≤1，圆心O到点[x,λ2]的距离为定值，记为. 在由点O，[0,λ2],[1,λ2]构成的三角形和点构成的三角形中，分别利用余弦定理，得到另L(λ2)和L′(λ2)都是[0，1]上关于λ2的连续函数，令v1=|DC|，|AB|，v2=||，||，则，结合式(2)，得到再设φ为点[λ1,λ2]和,λ2]的连线与点和的连线之间的夹角，则φ为紧集[0,1]×[0,1]上关于的连续函数，记为，则存在φ0>0，使得对所有的，有，其中φ0为弦AB与BC边的夹角.再根据性质3，存在常数(φ0)>0，使得不等式成立. 结合式(4)，取，则有2.2 E′的Hausdorff维数类似上节的证明，构建一个映射g，将正方形中的点(λ1，λ2)映射为圆心角小于180°的扇形中的点{λ1，λ2}，如图4a所示. 扇形ABC 中的D点为的λ1分点，E,F分别为边AC,BC的λ2分点，用与扇形圆心角相同的弧连接，再连接线段DC，交点记为{λ1，λ2}. 则根据性质2，点{λ1，λ2}既是的λ1分点，又是线段DC的λ2分点. 容易看出映射g将正方形分割得到的极限集映射为扇形分割得到的极限集.现在证明E′的Hausdorff维数也为log 8/log 3.如图4b所示，圆心角θ[0，π]、半径为r的扇形ABC，∀，扇形中4个点{λ1，λ2}，{}，{}和{}按上述方法定义.记L′(λ2)为连接AC边λ2分点与BC边λ2分点的弧的长度，类似上节的讨论，有0≤L′(λ2)≤||，且存在仅依赖于扇形的常数D0=max{r,||}>0，使得根据E′的构造，∀k≥0，易知由3k个小的扇形和8k-3k个小的扇环构成，称中每个小的扇形为k级扇形基块，记为Pk；称中每个小的扇环为k级扇环基块，记为Qk. 由式(7)，对于Pk和Qk的直径，有另一方面，记Q=Q1∩E′，则由上节的讨论可知dimH(Q)=log 8/log 3，而Q⊂E′，再由Hausdorff维数的单调性，故有log 8/log 3=dimH(Q)≤dimH(E′)成立.综合上述，dimH(E′)=log 8/log 3，定理1得证.Abstravct：Inthereport,abiLipschitzmapbetweensquareandsectorringwhosecentralangl ewaslessth an180°wasconstructed.Firstly,itwasprovedthatifwechangetheiniti alsetofSierpinskicarpetfromsquaretosectorring,theHausdorffdimensionaree qual.Secondly,itwasalsoshowedthattheHausdorffdimensionoftheModifiedSi erpinskicarpetremainthesameeventheinitialsetisreplacedintothesectorwhos ecentralangleislessthan180°.。

关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值

Ｉ引言与预备知识
分形集的Ｈａｓｏｆ测度是非线性科学的一个理论课题，今结果不多，ｕｄｒｆ至特别是Ｈｕｄｒａｓｏｆｆ维数大于１的分形，即使是具有严格自相似性的经典自相似集，例如Ｋｃ曲线心和Ｓｅｐｎｋ片口等也是如此．ｏｈｉｉｓｉ垫ｒ最近，［］出了Ｓｅｐｎｋ文９给ｉｒｉｓｉ垫片的Ｈｕｄｒ测度的较好上限估值。本文同样研究Ｓｅｉｓｉ垫片，ａｓｏｆｉｐｎｋｒ首先
图１
圆ｎ盂覆
定理２１设ｓｌｇ，。＝ｏ２则３
（）：Ｓ盟
证明
＿．３６１０８Ｏ５１５
。
在图１中，等边三角形ＡＣ上取点００，，ＰＰ使得在Ｂ，ＥＥ，，
ｌＣＯｌ：ＩＣＯ，ｌ：ＩＡＥＩ：ｌＡＥ，Ｉ：ｌＢＰＩ：ｌＢＰ，Ｉ：，
通过［】２中著名的关于自相似集的部分估计原理，得到了一个计算Ｓｒｎｋｉｐｓｉ垫片的ｔｕｄｒ测度上方估ｅｉｔｓｏｆａｆ值的一般方法，在文［】再９的基础上，过作圆弧将多边形进一步凸化，通同样利用部分估计原理，手工计算用得到了Ｓｒｎｋｉｐｓｉ垫片的Ｈｕｄｒ测度的更好上限估值．ｅｉａｓｏｆｆ
收稿日期：０８— ４—０２００９Βιβλιοθήκη ３）不同的一Ｓ之个
基金项目：安徽省高等学校自然科学研究计划项目（Ｊ０８０８Ｋ２０Ａ２）作者简介：许绍元（９４一）男，北武汉人，授，士，要从事分形几何与非线性泛函分析的研究１６，湖教博主

一种广义Sirpinski垫片的Hausdorff测度

一种广义Sirpinski垫片的Hausdorff测度作者：许荣飞来源：《价值工程》2013年第26期摘要： Sirpinski垫片具有严格的的自相似性，本文给出了一种广义Sirpinski垫片的构造，并得到了它的Hausdorff测度准确值。

Abstract： Sirpinski gasket is the classic fractals with strick self-similar property. In this paper，we will give the construction of a class of Generalized Sirpinski Gasket and the exact value of its Hausdorff measure.关键词： Hausdorff维数；Hausdorff测度；Sirpinski垫片Key words： Hausdorff demention；Hausdorff measure；Sirpinski gasket中图分类号：O189.12 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0261-020 引言对于一般分形，计算其Hausdorff测度是相当困难的，甚至一些典型的分形也是如此，至今没有通用的方法。

近来，不少数学家在这方面做了很多工作，文献[1]给出经典Sirpinski垫片的Hausdorff测度的一个上界，文献[2，3]分别进行了改进，并且文献[3]得出其猜想值为0.817900，文献[4]给出经典Sirpinski垫片的Hausdorff测度的一个下界为3■/9（a=log■■），本文给出由正方形生成的广义Sirpinski垫片的Hausdorff测度的准确值。

关于Hausdorff维数与Hausdorff测度的定义还有其它一些标注参看[5]。

用Rn表示n维欧式空间，？坌x，y∈Rn，x与y的距离用x-y表示，对Rn的子集E，用E表示E的直径，E=sup{x-y：x，y∈E}，若？坌x，y∈E，？埚c∈R，01 广义Sirpinski垫片的构造定义1：在单位正方形S0中保留n个边长为1/n的小正方形，n？叟4，而挖去其余部分，得到的集合记为S1，S1中n个小正方形的排列满足4个顶角各有一个小正方形，且两两距离大于0，每个小正方形的边平行于S0的边，对S1中每个小正方形重复上述过程，得到集合S2，无限重复上述过程，得到S0？劢S1？劢…Sk？劢…，Sk是由nk个边长为1/nk的小正方形组成，非空集合S=■Sk称作n-Sirpinski地毯。

广义长方形Sierpinski地毯的Hausdorff测度

３ＳｈｏｆＣｏ．ｃｏｌｏｍｐｕｅｃｅｃｓｔｒＳｉｎｅ，ＮａｊｎｒｉｅｓｔｎｉｇＮｏｍａｌＵｎｖｒｉｙ，Ｎａｊｎ１０６ｈｎ）ｎｉｇ２０４，Ｃｉａ
Ａｓｒｃ：Ａｎｗｍｓｉｒｕｉｎｉｄｆｅｎｔｅａｉｏｅｒｎｅ［］ＷＡｉｎＨＡＮＧＱｉ．Ｔｅｂｔａｔｅａｓｄｓｉｔｅｉｄｏｓｆｆｅｃ１（ＮＧＨａａｄＺｔｂｏｓｎｈｂｓｒｅｎｈ
文章编号：１０ — ３３２１）１０２ — ５０４４５（０００ —０９０
广义长方形Ｓｅｐｎｋ地毯的ｉｒｉｓｉＨａｓｏｆ测度ｕｄｒｆ
袁珍王海，
（１河海大学理学院，苏南京４０２；２新乡学院数学系，南新乡４３０；．江３０９．河５０３３南京师范大学计算机学院，苏南京２０４．江１０６）
关键词：Ｓｅｐｎｋ地毯；ｕｄｒＩ度；自相似集；质量分布ｉｉｓｉｒＨａｓｏｆ测
中图分类号：７Ｏ１５文献标识码：Ａ
ＨａｓｏｆｅｓｒｆＧｅｒｌＳｅｐｎｋｉＣａｐｅｎＲｅｔｎｇｅｕｄｒｆＭａｕｅｏｎｅａｉｒｉｓｒｔｏｃａｌ
赵燕芬等进一步给出了长方形Ｓｅｐｎｋ地毯当压缩比为１４时的Ｈａｓｏｆ测度；献Ｅ］论了。ｉｉｓｉｒ／ｕｄｒｆ文１讨

一类特殊广义Sierpinski垫片的Hausdorff维数

似映射Ｓ：
Ｊ；
使得ｓ（）＝，约定＝
吴军首次提出了齐次Ｃｎｒ的维数，ａｔ集ｏ并研究了
（）２任意ｋ０，任意１Ｅ∑ Ｊ．．．．，及７＂，１２ …
＋，
齐次Ｍｒｏｎ集的一般性质Ｈ饶辉，志英和吴ａ们，文
ａｄｐｏｅａｔＨａｓｏｆｉｎｉｎｅｕｌ２ｎｒｖｄｔｔｉｕｄｒｄｍｅｓｏｑａｓ．ｈｓ
Ｋｅｒｓ：ｉｒｉｓｉｇｋｔｙｗｏｄＳｅｐｎｋａｅ；Ｈａｓｏｆｄｍｅｓｏ；Ｍｏａｅｓｕｄｒｉｎｉｎｒｎｓｔ
设
为一正整数序列，ｃ）为一正实（
｝是长为ｋ的词集，乏
设．为具有齐次Ｍｏｎ结构的，的紧子集族，，ｒａ
数序列，足，２，满ｌ０＜Ｃ＜１．对任意ｋ≥ １，记乏＝｛１１，１ｉ…ｉ： ≤，，ｎ
确定了逐阶压缩比的下确界大于０时的Ｈｕｄｒａｓｏｆ
的非空紧集．Ｆ称＝｛ｌｒ｝ ∈ ｏ
为具有齐次Ｍｏａｒｎ结构 … ，如果它满足（）１对任意１ ∈ ∑ ，与＿相似，即存在自相７＂Ｊ，
维数与Ｐｃｉｇ维数；Ｍａｉｎ用另外的技巧得到ａｋｎｒｏ了自相似莫朗集的Ｈａｓｏ维数；ｕｄｒｆ丰德军，饶辉和
收稿日期：０ｌ＿３２１５２．作者简介：刘春苔（９６）女，１７．，讲师， — ｉ：ｔ８＠１３ｃ／Ｅｍａｌ９４６．ｏｌｌｃ／

关于自相似集的Hausdorff测度的一个判据及其应用

＝１＝ｌ
下证ＨＦ＝ｈ首先，对于Ｆ的任一开覆盖｛）１由Ｈｕｄｒ测度的半可加性以（）．，ａｓｏｆ及３中命题２有
Ｈ（）Ｈ（ｎｕＢ）Ｈ（（ｎｋ ∑ Ｈ（ｎｋ ∑ ｌｌ＝（ＦＦ１＝Ｆ口））ｕ）Ｂ）Ｆ
于是由（）即知丑Ｆ）ｈ５（．
其次，由Ｈｕｄｒ测度的定义易知日Ｆ兰日ａｓｏｆ（）
日ｃ＝ｉｆＦｎ
以及一个Ｓｅｐｎｋ地毯的Ｈａｓｏｆ测度．ｉｒｉｓｉｕｄｒ
些基本概念，符号和已知的结果见文献【１】设Ｄｃ为闭集，ｎ≥ １用Ｉ，ｚ—Ｙ表示ｚＹ∈ Ｉ，的Ｅｍｄ距离，Ｉ表示ＥｃｌｈＥＩ的直径．设ｓ：ＤＤ是相似压缩，相似比是Ｃ，：１２ｉｉ，，，ｍ ≥ １设Ｆ是由｛）确ｍ，＆定的自相似集，称Ｆ满足开集条件，如果｛ｓ）满足开集条件，此时有
一
许绍元
（淮北煤炭师范学院数学系，淮北，安徽，２５０，３００中国）
摘要讨论了满足开集条件的自相似集．于此类分形，自然覆盖类估计它的Ｈａｓｏｆ对用ｕｄｆ测度只能得到一个上限因而如何判断某一个上限就是它的Ｈａｓｏｆ测度的准确值是一个重ｕｄｒ要的问题．本文给出了一个判据．作为应用，统一处理了一类自相似集，得到了平面上的一个Ｃｎｏａｔｒ集－Ｃａｔｒ尘的Ｈ＆ｓｏｆ测度的准确值，并重新计算了直线上的Ｃａｔｒ集以及ｎｏｕｄｒｎｏ个Ｓｅｐｎｋ地毯的Ｈａｓｏｆ测魔ｉｉｓｉｒｕｄｒ关键词自相似熟Ｈａｓｏｆ测度和维觌Ｃｎｏｕｄｒａｔｒ尘；Ｓｅｐｎｋ地毯ｉｉｓｉｒＭＲ（９１１９）主题分类２Ａ８８０

以正2m边形为基本集的一类Sierpinski地毯的Hausdorff测度

形为基本集，１ｋ为压缩比的广义Ｓｅｐｎｋ地毯以／ｉｒｉｓｉ
Ｓｅｐｎｋ地毯Ｐ，算出它的Ｈａｓｏｆ测度．体ｉｉｓｉｒ计ｕｄｒｆ具
地，可以如此构造：Ｐ先在Ｐ。２的ｍ个内角上各作一个其外接圆的半
件［，而，的Ｈａｓｏｆ维数等于它的自相似维１从］Ｐｕｄｒｆ数，由方程２１ｋ一１定，Ｓ— ｌｇ２ｍ（／）决即ｏｍ．类似于文献［］本文采用初等方法证明如下主６，
要结论：
定理在平面上以外接圆半径为１的正２边ｍ
为基本集的情形．本文发展文献Ｉ］的结果，－７以外接
圆的半径为１的正２ｍ边形（ ≥ ４Ｐ。）为基本集，构造压缩比为１：（ｋｋ为不小于２的实数）的广义ｍ
Ｐ的Ｓ一维Ｈａｓｏｆ测度ＨＰ）一２，其中Ｓ— ｕｄｒ（
ｌＩｍ．ｏｇ２
注实际上，们还可以证明，一般的其直我对径为ｄ的正ｍ边形Ｐ。为基本集（ ≥ ３，造压缩）构比为１：矗为不小于ｍ的实数）的广义Ｓｅｐｎｋｋ（ｉｒｉｓｉ
地毯，的Ｈａｓｏｆ它ｕｄｒｆ测度仍然为ｄ，这里Ｓ—
ｌｇｍ（另文）ｏ见．
Ｓｅｐｎｋ地毯．那么，容易验证，满足开集条ｉｒｉｓｉＰ

Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计

研究分形集 … 的中心任务是计算或估计分形集的Ｈａｓｏｆ数与Ｈｕｄｒ测度，论是Ｈｕ．ｕｄｆ维ａｓｏｆｆ不ａｓ
形，作Ａｎ非空集合Ｓ＝ＡＳ记２。称为由Ｓ还是Ｈｕｄｒ测度的计算或估计都十分ｏｆｆａｓｏｆ
Ｓｅｐｎｋ垫片的Ｈｕｄｒ测度的上界估计ｉｉｓｉｒａｓｏｆ
程值军
（延安大学西安仓新学院理工系，ｎ陕西西安７００１１０）
摘
要：究分形集的中心任务是计算或估计分形集的Ｈａｓｏｆ维数与Ｈｕｄｆ测度。本文研研ｕｄｒａｓｏｆ
究Ｓｅｐｎｋ垫片的Ｈｕｄｆ测度的上界估计，用部分估计的方法，纳出了关于Ｓｅｉｓｉ片ｉｒｉｓｉａｓｏｆ利归ｉｐｎｋ垫ｒ
的某种部分覆盖所包含的小三角形的个数以及这种覆盖的直径的规律，到了Ｓｅｉｓｉ片的得ｉｐｎｋ垫ｒ
得到Ｓ（图１，：如）如此继续下去可得Ｓ３．］．３。ｓｓ：
１
…
定２（≤ ×４／理ｓ（７）２１３２０］３
０８０８．７０３１５３。
证明（）图２，１如取为以Ａ，Ａ，Ａ，Ａ，３Ａ，５Ａ顶点的六边形，中Ａ在三角形的边界上为其
近两点：
①ｄ＝时，
５２同上可得８，

一种广义Sirpinski垫片的Hausdorff测度

关键词：Ｈａｕｓｄｏｒｆ维数；Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度；Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉ垫片
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈａｕｓｄｏｆｆｄｅｍｅｎｔｉｏｎ；Ｈａｕｓｄｏｒｆｍｅａｓｕｒｅ；Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉｇａｓｋｅｔ
来，不少数学家在这方面做了很多工作，文献【１】给出经典外ｎ一２个的边与Ｆｎ的
Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉ垫片的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的一个上界，文献［２，３］分边平行，且ｎ个小正方
别进行了改进，并且文献【３］得出其猜想值为０．８１７９００，文形在对角线ＡＣ上的投
摘要：Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉ垫片具有严格的的自相似性，本文给出了一种广义Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉ垫片的构造，并得到了它的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度准确值。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｉｒｐｉｎｓｋｉｇａｓｋｅｔｉｓｔｈｅｃｌａｓｓｉｃｆｒａｃｔａｌｓｗｉｔｈｓｔｒｉｃｋｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｗｉｌｌｇｉｖｅｈｅｔｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＳｉｒｐｉｎｓｋｉＧａｓｋｅｔａｎｄｔｈｅｅｘａｃｔｖｌｕａｅｏｆｉｔｓＨａｕｓｄｏｆｆｍｅａｓｕｒｅ．

一类广义Cantor集的Hausdorff维数与测度

１
Ｈｕｄｒ维数为１ａｓｏｆｏ — ｇ
厶
及Ｈｕｄｒ测度为１ａｓｏｆｆ．
关于自相似映射、开集条件和Ｈｕｄｒ维数和测度的定义，ａｓｏｆｆ见文献【】３．
本文的证明利用了以下引理：引理１设｛ｔ是上的满足开集条件的自相似压缩映射族，有Ｉ ‘ ５｝ｏ则
各去掉中间的开区间，Ｆ＝［，】ｓ】１，一十】１，］如此无限重复上述记２０Ｕ［一占，Ｕ［一１Ｕ【一１．过程，得到Ｆ３３… ３］…，Ｆ１ｌ则Ｆ称为广义的三分Ｃｎｏ集．，记ｉＦ，ｍａｔｒ
（ｉ）存在唯一的Ｒ的紧集Ｅ称为不变集）使得Ｅ＝Ｕ，（）（，ＳＥ成立；
（）Ｅ的Ｈｕｄｒ维数ｓ是一个实数）由指数方程ｉｉａｓｏｆｆ（，
ｐｉ＋＋ … ＋ｐ＝１
唯一决定，中Ｐ是Ｓ（＝１２ …，的压缩比．其ｉ，，ｍ）
收稿日期：０９—１２２００— １
作者简介：王
艳（９３一）女，１８，安徽宿州人，究方向：波与分形的理论与应用研小
第１期
王艳等：类广义Ｃｎｏ集的Ｈｕｄｒ维数与测度一ａｔｒａｓｏｆｆ
如下构造广义的三分Ｃｎｒ：ａｔ集ｏ
／１－Ｅ－
设＝［，】第一步将区间［，】成三份，０Ｉ；０１分令其第一个区间的长度为ｅ０ｅ＿（＜＜上

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ＴｈｅＨａｓｏｆｅｓｒｆＳｅｐｉｓｒｔｏｃａｌｕｄｒｆＭａｕｅｏｉｒｎｋｉＣａｐｅｎＲｅｔｎｇｅ
ＷＡＮＧＨａ，ｉＺＨＡＮＧｎＱｉ
（ｔｓｏｐｒｍｅｔＸｉｘａｇＵｎｖｒｉＸｉｘａｇ４３０，ｉａＭａｈｆＤｅａｔｎｎｉｎｉｅｓｔｙ，ｎｉｎ５０３Ｃｈｎ）ＡｂｔａｔＴｈｓｐｐｒｔｋｓｕｅｏｅｆｓｍｉｒｙｃｎｔｕｔｎｏｉｒｉｓｉａｐｔｈｕｐｒｂｕｄｒｆｔｅＨａｓｓｒｃ：ｉａｅａｅｓｆｓｌｉｌｉｏｓｒｃｉｆＳｅｐｎｋｒｅ，ｔｅｓｐｅｏｎａｙｏｈｕ — — ａｔｏｃｄｒｆｍｅｓｒｓｏｔｉｅ．Ｂｅｉｉｇｍａｓｄｓｒｕｉｎｏｉｒｉｓｉａｐｔｈｎｅｉｒｂｕｄｒｓｇｖｎａｃｒ — ｏｆａｕｅｉｂａｒｄｔｙｄｆｎｎｓｉｔｉｔｎＳｅｐｎｋｒｅ，ｔｅｉｆｒｏｏｎａｙｉｉｅｃｏｄｂｏｃｉｇｔｈｒｎｉｌｆｍａｓｄｓｒｂｔｎＴｈｒｆｒｈｘｃａｕｆｔｅＨａｓｏｆａｕｅｉｄｔｒｎｄｎＯｔｅｐｉｃｐｅｏｓｉｔｉｕｉ．ｏｅｅｏｅｔｅｅａｔｖｌｅｏｈｕｄｒｆｍｅｓｒｓｅｅｍｉｅ．Ｋｅｏｄ：ｒｃａ；ｓｌｓｍｉｒｔｅ；ｈｕｄｒｆｍｅｓｒ；ｓｅｐｎｋａｐｔｙｗｒｓｆａｔｌｅｆｉｌｉｙｓｔａｓｏｆａｕｅｉｒｉｓｉｒｅ；ｍａｓｄｓｒｂｔｎ－ａｃｓｉｔｉｕｉｏ
１ｂａ；一［口１／，１ｆ＝［口１／，ａ１）／￣（一）ａ０；４（一）ａ（一）
ｂａ口４。／；， ≥
其中ＨＥ）表示Ｅ的ｒ维Ｈａｓｏｆ测度。在（ｕｄｒｆ
上定义分布函数，得当、１口 ≤ ，２（－２使／／ ≤ｂ／／口）
第２５卷第ｌ期
Ｖ０｜５Ｎｏ１ｌ２．
新乡学院学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｏｎｉｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｒａｆＸｉｘａｇＵｎｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＥｉｏ）ｏＳｉ
ＨＥ（）＝ｉｆ ∑ Ｉ ‘ ）ｎ｛Ｖ１：ＵＶ＝Ｅ），＝（）１
１宽为ｂ、。如图１所示，长方形上定义压缩映射。在设Ｔ：。ｉ１２３４分别由Ｔ（，Ｒ一Ｒ（：，，，）ｚ）＝ｎ（，）ｉ出，中Ｃ＝（，）Ｃ一Ｅ，ｎｚ３＋Ｃ给，其１Ｏ０；２ｏ（ —
时，满足
２００８年３月
Ｍａ．０ｒ２０８
广义长方形Ｓｅｐｎｋ地毯的Ｈａｓｏｆ测度ｉｒｉｓｉｕｄｒｆ
王海，张秦
（乡学院
要：用Ｓｅｐｓｉ利ｉｉｋ地毯的自相似结构。到Ｈｕｄｒ测度的上界，ｒｎ得ａｓｏｆｆ通过在Ｓｅｐｎｋ地毯上定义一个质量分ｉｉｓｉｒ
布．用质量分布原理得到测度的下界，而得到了所定义的长方形Ｓｅｐｎｋ地毯的Ｈａｓｏｆ测度的准确值。利从ｉｉｓｉｒｕｄｒｆ关键词：分形；自相似集；ｕｄｒ测度；ｉｐｎｋ地毯；量分布ＨａｓｏｆｆＳｅｉｓｉｒ质中图分类号：７．１Ｏ１７９文献标志码：Ａ文章编号：６４３２（０８０～０６０１７ — ３６２０）１００ — ３
由文献［］２中的定理９１得唯一非空不变紧子．
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（）Ｎ。显然｛４满足开集条件，＝Ｔ｝由文献［］２中的定理９３知ｄｍＨＥ）ｌｇ４１记５．ｉ（：ｏ ≤ ，：ｄｉＥ（ｍ（）于是口一４，）又根据文献［］３的命题１知
０引言
ｐｎｋ地毯。ｉｓｉ
文献Ｅｉ出了Ｓｅｐｎｋ地毯在压缩比为１４ｌ给ｉｉｓｉｒ／时的Ｈａｓｏｆ测度，文将这一结果局部推广到ｕｄｒｆ本
了压缩比小于１４时的情况。／１记号说明与定义记Ｅ是Ｒ。。中的长方形，失一般性，长为不设