《综合法和分析法》课件 (2)

不同
间接证明法——反 证 法
【探究1】将9个球分别染成红色或白 色无论怎样染色，至少有5个球同色的。 正确吗？
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。 常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要 分析法和综合法结合起来交替使用。 间接证明不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反 面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。 反证法就是一种常用的间接证明方法。
证明: 左边cos4 sin 4 (cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
1. 已知a、b、c、d都是正数，求证 (ab cd )(ac bd) 4abcd
证明 : a、b、c、d 都是正数 ab cd 2 abcd 同理ac bd 2 abcd (ab cd )(ac bd ) 4abcd
常用的直接证明方法有综合法与分 析法。
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a ) ? 4abc
其左右两边的结构有什么特点？
右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
2
2
2
2
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
a+b 所以 2
ab成立
直接证明法2、——分析法
定义：从证明的结论出发，逐步寻找使它 成立的充分条件，直到最后，把要证明 的结论归结为只需判定一个明显成立的 条件（已知条件，定义、定理、公理） 为止。
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证： 只要证： 只需证：
补充练习
等式成立
cos2 sin 2 cos2 右边
2.ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求 证：B＜90
2.ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求 证：B＜90 2 1 1 解：依题意知： b(a c) 2ac 2 b a c a 2 c 2 b 2 2ac b 2 b2 b2 b cos B 1 1 1 2ac 2ac 2ac b( a c ) ac b b a c＞b ＜1 1 >0 cos B 0 ac ac
反证法：
假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立.
思考1：用反证法证题的核心问题是什么？ 在正确的推理下得出矛盾. 思考2：在反证法应用中，矛盾的构设有 哪几种情形？ （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾.
例：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、 b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证 △ＡＢＣ为等边三角形． 证明： A、B、C成等差数列 2B A C
A B C
3 a、b、c成等比数列 b2 ac
由余弦定理得 b2 a 2 c 2 2ac cos B a 2 c 2 ac
例4
求证：
3+
7<2 5
.
【例5】 如图：SA 平面 ABC , AB BC
过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
的垂线，垂足为F。
AF SC 求证：
S F
E A
C
B
例6 已知sinθ ＋cosθ ＝2sinα ， sinθ ·cosθ ＝sin2β ， p (k ? Z ) ，求证： 其中 a , b ? k p 2
证明: 因为;( a b ) 0
2
a+b ab 证明:要证; 2 只需证;a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证;a + b 2 ab 0
2 ( a b ) 0 只需证;
因为;( a b )2 0 成立
例1、ABC在平面 外,AB P, BC Q, AC R.求证:P、Q、R三点共线
例2、在ABC中，设AB=a,CA=b, 1 2 2 2 求证:S ABC | a | | b | a b) 2
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、 Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且 Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三 角形．
显然成立
要证：
格 式

上述各步均可逆

所以 结论成立
所以 结论成立
分析法，又叫“逆推证法”或“执果索 因法”，其基本思想是：由未知探需知， 逐步推向已知. 若用Q表示所要证明的结 论，则分析法的推理过程用流程框图可 怎样表示？
Q Ü P1
P1 Ü P2 P2 Ü P3 …
显然成立的条件
1 - t an a 1 - t an b = 2 2 1 + t an a 2(1 + t an b )
2
2
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同
都是直接证明 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的 条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法
B

a 2 c 2 ac ac 即(a c)2 0 ABC是等边三角形 a c
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言 转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通 过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
练习：P42 1 求证：对任意锐角 ， cos4 sin 4 cos2
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是中学数学证明中最常用的方 法。 综合法一种由因索果的证明方法。 综合法是从已知到未知，从题设条件 到结论的逻辑推理方法。
例:已知a、b、c是不全相等的正数, 求证a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc 证明:因为a、b、c是不全为相等的正数 所以a(b2+c2)≥2abc. ① 同理b(c2+a2)≥2abc. ② 同理c(a2+b2)≥2abc. ③ ∵a、b、c是不全相等的正数 ∴①②③三式不能全取“=” ∴①②③三式相加得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc
基本不等式
a + b 2 ab
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明 2 2 + 2 2 a(b + + c ) + b(c + + a ) ? 4abc
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
数学结论、证明思路的发现,主 要靠合情推理. 数学结论的证明主要靠演绎推理
2.2
直接证明与间接证明
综合法和分析法
直接证明是从命题的条件或结论出 发，根据已知的定义、公理、定理， 直接推理证明结论的真实性。
0o B 180o cos B 0 B 90
o
小结
一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
a+b 引例：基本不等式： 2
ab
(a>,b>0)的证明.
例7， 已知 a ≠0 ,证明关于 x 的方程 a x = b 有且只有一个根。
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的 结论成立,这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为: