江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试数学试题(原卷版)
南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word包含答案)
南京市2016届高三年级第三次模拟考试数 学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)． 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．（第5题图）9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线； （2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*．记直线AP n的斜率为k n．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．····················································7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C ． ·········································································9分 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．······················································11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．·································································14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分 因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC ＝1． ··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1． ··································································2分（2）①解法一 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．······························4分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． ·································6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法二 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．·······························4分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．·····················6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2． 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ·································10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． 因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2． 将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2．·································12分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km 1＋2k2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··································10分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)． 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ················································6分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9． 因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v 都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分 ③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)． 由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )． 由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数； 所以，f (·················································4分．···············································6分·······8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分 将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)． 因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分 整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分 （2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ． 因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1． 又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63． 当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：。
南京市届高三第三次模拟考试数学试题及答案
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的41个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于63．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12的交点的个数是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是 ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时， 三棱锥D －ABC 1的体积为 ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BDACBA B CD A∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；A（2）若表演台每平方米的造价为万元， 求表演台的最低造价．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2． （1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD BC的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，求a1p的取值范围．20．已知λ∈R，函数f (x)＝e x－e x－λ(x ln x－x＋1)的导函数为g(x)．（1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383．54．－15． 6．27．{32} 8．129．8 10．1311．－1＋5212．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD 平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD 平面ABD ，EF 平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ， 所以AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ， 所以CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE 平面AEF ，EF 平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD 平面ACD ， 所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α． 因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝3AC．在△ABC中，S△ABC＝12AB•AC•sinθ＝4003，所以AC2＝800sinθ． (3)分由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－23AC2 cosθ．＝(4－23cosθ) 800sinθ，即BC＝(4－23cosθ)•800sinθ＝402－3cosθsinθ．所以BC＝402－3cosθsinθ，θ∈(0，π)．…………………… 7分（2）设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． (11)分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)． 答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝ca＝32． …………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k1·k2＝12x02y0－2·y0－1x0＝14，即k1·k2为定值14．……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p＝1，所以a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1．①因为a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．…………………………… 3分②因为a2＝1，a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1，所以当n≥2时，a n≥1，从而a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1＝a n－1＋2 a n＋1＝3a n，于是有a n＝3n－2(n≥2) ．…………………………… 5分当n＝1时，S1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32．所以 S n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3n－1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． …………………………8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1． 若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．列．……………………… 12分（ii）当－1＜a1p＜1时，有－p＜a1＜p．此时a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，于是当n≥2时，a n≥a2＞p，从而a n＋1＝|p－a n|＋2 a n＋p＝a n－p＋2 a n＋p＝3a n．所以a n＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)．若{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，于是有2×3s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．因为2≤s≤t－1，所以a1a1＋2 p ＝2×3s－2－3t－2＝29×3s－13×3t－1＜0．因为2×3s－2－3t－2是整数，所以a1a1＋2 p≤－1，于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．列．………………… 14分（iii）当a1p≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有a1，a2，a3成等差数列．综上可知：a1p≤－1．……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f′(x)＝e x－e－λln x，所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x－λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x－λx，则h ′(x )＝e x＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0．…………………… 8分且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因此g (x)在x＝x0处有极小值．所以当函数g(x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x)＝f′(x)＝e x－e－λln x，g′(x)＝e x－λx．若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤x e x恒成立．设φ(x)＝x e x(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1) e x＞0恒成立，所以φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e．于是当λ≤e时，g (x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，从而f (x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0恒成立．…………………………… 13分当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e．…………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． ……………∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分 所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AEAC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 2 ， 所以AB ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －102 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分 设(AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ， 即 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于 2 ＝x2＋y2，cosθ＝x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－8x＋15＝0，即 (x－4)2+y2＝1，所以曲线C是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l的直角坐标方程为y＝x ，即x－y＝0．…………… 6分因为圆心(4，0) 到直线l的距离d＝|4－0|2＝22＞1．…………… 8分所以直线l与圆相离，从而PQ的最小值为d－1＝22－1． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为x＞0，所以x3＋2 ＝x3＋1＋1 ≥ 33x3×1×1 ＝ 3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．…………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ， 当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分 所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3，0)，所以OP→＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ． 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分 （2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0． 所以向量SM→与NQ→共线． …………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2＝C06＋C26＋C46＋C66＝25＝32．……………………… 3分（2）T n＝C03n＋C33n＋C63n＋…＋C3n3n．……………………… 4分当1≤k≤n，k∈N*时，C3k 3n＋3＝C3k3n＋2＋C3k－13n＋2＝C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－13n＋1＋C3k－23n＋1＝2C3k－13n＋1＋C3k 3n＋1＋C3k－23n＋1＝2 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k－13n＋C3k3n＋C3k－33n＋C3k－23n＝ 3 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k3n＋C3k－33n，……………………… 6分于是T n＋1＝C03n＋3＋C33n＋3＋C63n＋3＋…＋C3n＋33n＋3＝C03n＋3＋C3n＋33n＋3＋3(C13n＋C23n＋C43n＋C53n＋…＋C3n－23n＋C3n－13n)＋T n－C03n＋T n－C3n3n＝2 T n＋3(23n－T n)＝3×8n－T n．……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k－T k ＝3×8k－13[8k ＋2(－1)k]＝13[9×8k －8k －2(－1)k]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．。
2019年5月江苏省南京市高2019届高2016级高三年级数学第三次模拟考试南京三模数学试题参考答案含附加题答案
南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{4，5}2．四3．304．345．－56．257．348．69．－110．211．1412．57713．210＋214．(－∞，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A cos C ，得(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin C cos A ，······2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，·······························································4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．·········································6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．·········8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．·························10分所以cos B ＝13．···············································································12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．····································14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．·············································································2分因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60º，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos60º＝3．····4分因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ．······················6分又因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB ．····································8分（2）因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．····································································10分又因为BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．················································································14分17．(本小题满分14分)解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，设l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34，或k ＝0（舍）．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．…………………………………………4分点C (160，75)到l 的距离ABC PQHM Nxy（第17题图）CH ＝|3×160－4×75|32＋(－4)2＝36．········································································6分因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12．················8分又因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3MCN ＝2∠MCH ＝2π3，·········12分所以所用时长为30×2π32π＝10min ．····························································13分答：该游客能看到点B 的时长为10min ．····················································14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．·························································2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．①····································4分因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23．·································································6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263．······························8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，x ＋m ，y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23．…………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝1m ．·······························································14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m ＝1．……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，x －x 0＋y 0，y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．·····································································2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………………………………………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2.设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12)，则m (0)＝－a ＜0，m (12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．·····························································································6分（ii ）若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………………………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．………………………………………………………10分②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．………………………………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………………………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b2＞0，即1b ＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ．由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r ．因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2(*)；由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5(**)；由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1．·······················································2分（2）①（i ）若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1．因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1．······················3分（ii ）当q ≠1，因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r)1－q＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12．························································5分当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132．综上，q ＝－12或q ＝－132．·····························································6分②因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t)1－q＝r ，两式作商，得1－q r1－q t ＝t r，即r (1－q r )＝t (1－q t )．·····································8分（i ）若r 为偶数，t 为奇数，则r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )．因为r ＜t ，0＜1－|q |r ＜1，1＋|q |t ＞1，所以r (1－|q |r )＜t (1＋|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )矛盾，所以假设不成立．·························10分（ii ）若r 为偶数，t 为偶数，则r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )．设函数y ＝x (1－a x )，0＜a ＜1,则y '＝1－a x －xa x ln a ，当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x (1－a x )在(0，＋∞)为增．因为r ＜t ，所以r (1－|q |r )＜t (1－|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立．··························12分(iii)若r 为奇数，t 为奇数，则r (1＋|q |r )＝t (1＋|q |t )．设函数y ＝x (1＋a x )，0＜a ＜1,则y '＝1＋a x ＋xa x ln a ．设g (x )＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g '(x )＝a x ln a (2＋x ln a )，令g '(x )＝0，得x ＝－2ln a．因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g '(x )＞0，则g (x )在区间(－2ln a，＋∞)递增；当0＜x ＜－2ln a ，g '(x )＜0，则g (x )在区间(0，－2ln a)递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a－2ln a．因为－2ln a ＞0，所以a－2ln a＜1，所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．··························14分(iv)若r为奇数，t为偶数．由①知，存在等比数列{a n}为“M(1，2)数列”．综上，r为奇数，t为偶数．·································································16分南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M 2＝21122112＝5445．························································4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝|λ－2－1－1λ－2|＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．·········································6分①当λ＝1时，2112[x y ]＝[x y ]＋y ＝0，＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为[1－1]．··················8分②当λ＝3时，2112[x y ]＝3[x y ]－y ＝0，－y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为[11]．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为[1－1]，[11]．·····10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为：x －3y －2＝0．··················································2分曲线C 的普通方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2．………………………………………4分圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，……………………………6分所以r ＝d 2＋(AB2)2＝3．………………………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z )2．·······················4分因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z )2≤36，·············································6分所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6．当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23，或x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，·································8分所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6．································································10分22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………………………………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2＝2x ，＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．··································································4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k ．···································································6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k(x －2)，＝1k ，＝－1k (x －2)，·········································································8分＝1，＝1k，即P (1，1k )，所以，点P 在定直线x ＝1上．·····························································10分23．（本小题满分10分）解：（1）在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1．···················································································2分在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2．···················································································4分（2）当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*．··············································6分因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3)＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．···················8分因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋5]是3的倍数．由①，②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．·························10分高三数学答案第11页共11页。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。
2016届江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
2016届江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集U ＝{－1，2，3，a}，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ． 【答案】5【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U MC M ==-,所以 5.a =【考点】集合补集2．设复数z 满足z(1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ． 【答案】3－i【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i ++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i【考点】复数概念3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ． 【答案】0.02【解析】试题分析：甲、乙两位选手5轮比赛的成绩的平均数皆为10，方差分别为222221[0.20.10.100.2]0.025S =++++=甲，2222321[0.60.30.80.30.2]0.025S =++++>乙，因此甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手为甲，其方差是0.02 【考点】方差4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ． 【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105= 【考点】古典概型概率5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．【答案】8【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I =【考点】循环结构流程图6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l ； ③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α． 其中正确的命题是 ． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)． 【答案】①④【解析】试题分析：①α∥β，l⊥α⇒ l⊥β⇒ l⊥m，命题正确；②α⊥β，l⊥α⇒ l 、m 可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l⊥α⇒ l⊥m ⇒ l 与β可平行，l 可在β内，l 可与β相交，命题错误；④ l⊥β、l⊥α⇒β∥α⇒m∥α．命题正确. 【考点】线面关系判定7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ． 【答案】4【解析】试题分析：由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 【考点】等比数列定义及性质8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ． 5【解析】试题分析：不妨设22221,(c,0)x y F a b-=，则点P(c,2b)-±，从而有222222415 5.c b c e a b a-=⇒=⇒= 【考点】双曲线离心率9．如图，已知A ，B 分别是函数f(x)3sinωx(ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝2π，则该函数的周期是 ．【答案】4【解析】试题分析：由题意可设3(,3),(,3)22A B ππωω-，又∠AOB ＝2π，所以32+3(3)=04222T ππππωωωω⨯-⇒=⇒== 【考点】三角函数性质10．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x －1)≤2的解集是 ． 【答案】[－1，3]【解析】试题分析：因为当x ≥0时，f(x)＝2x－2，所以当0≤x ≤2时，f(x) ≤f(2)＝2，而f(x)是定义在R 上的偶函数，所以当－2≤x ≤2时，f(x) ≤2，因此不等式f(x －1)≤2等价于－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3，解集是[－1，3] 【考点】利用函数性质解不等式11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ．【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=【考点】向量数量积12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ． 【答案】3【解析】试题分析：由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即12MN ON ON ≤-⇒≥，又1ON OM ≥-，所以3OM ≥22(3)330a a a a +-⇒≥≤或（舍），因此a 的最小值为3【考点】两圆位置关系13．设函数f(x)＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g(x)＝f(x)－b ．若存在实数b ，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(－1－21e ，2) 【解析】试题分析：令1x x y e -=，则2x x y e -'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e-=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e-=∈因此要使函数g(x)恰有3个零点，须2a <且211a e--<，即实数a 的取值范围为(－1－21e，2) 【考点】利用导数研究函数零点14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y--+的最大值为 ．【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t-=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此22222212||152222t x y m m t x xy y m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t -，当且仅当|m 222522x y x xy y --+的最大值为4【考点】基本不等式求最值二、解答题15．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m ⋅n ＝3bcosB ． （1）求cosB 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 【答案】（1）13（2）4【解析】试题分析：（1）先由向量数量积得acosC ＋ccosA ＝3bcosB ，再由正弦定理将边化角，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ，即得cosB ＝13．（2）由等比数列性质得b 2＝ac ，再由正弦定理将边化角，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11tan tanCA+得11tan tanCA+132sin B==试题解析：解：（1）因为m⋅n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝13．（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．由正弦定理，得sin2B＝sinA⋅sinC．因为cosB＝13，B是△ABC的内角，所以sinB＝22．又11cos cos cos sin cos sin sin() tan tanC sin sin sin sin sin sinA C A C C A C AA A C A C A C++ +=+==2sin sin132sin sin sin sin4B BA CB B====【考点】向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若A1B∥平面ADC1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A1C，交AC1于O，则可得A1B∥OD．再结合平面几何性质确定线段比值.试题解析：证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC．因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD．因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1．因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD．因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以BDDC＝1．【考点】面面垂直判定定理，线面平行性质定理17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的离心率为2，点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（263，②详见解析 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由2c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．（2）①直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程y 2 (x 3．再根据弦长公式求底长PQ 662，最后根据面积公式求面积：635②研究直线与椭圆位置关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2而直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.则有x 1＋x 2＝－2412km k +，x 1x 2＝222612m k -+．因221k =+m 2＝2k 2＋2．代入化简得OP OQ ⋅＝0试题解析：解：（1）由题意，得22c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3． 所以椭圆的方程为22163x y +=（2）①解法一 椭圆C 的右焦点30)． 设切线方程为y ＝k(x 3)，即kx －y 3＝0，2|3k |21k -=+k 2，所以切线方程为y 2 (x 3)．由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝或565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝ 所以PQ． 因为O 到直线PQ，所以△OPQ． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x时，△OPQ． 综上所述，△OPQ． ②解法二 消去y 得5x 2－＋6＝0． 设P(x 1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2． 由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2． ② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x或x． 当x时，)，)． 因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ． 当x时，同理可得OP ⊥OQ ．(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P(x 1，y 1) ，Q(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2412km k +，x 1x 2＝222612m k -+．因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×222612m k -+＋km ×(－2412km k+)＋m 2． 将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ．【考点】椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系18．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）646497v≤≤（2）8＜v≤394．【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：12161||64v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．由题可知12161 || 64v-≤解得6464 97v≤≤．（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．①当0＜vt≤5，即0＜t≤5v时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－48vv＋36) t2．因为v2－48vv＋36＞0，所以当t＝5v时，f(t)取最大值，所以(v2－48vv＋36)×(5v)2≤25，解得v≥154．②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2 (13v－16v-)2＋9≤25，解得398≤v≤394．③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6×13v)2＋(16－v×13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以 8＜v≤394．【考点】实际应用题，分段函数求函数最值19．设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，0)和(23，＋∞)（2）y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）(0，83]∪[9＋【解析】试题分析：（1）先求函数导函数f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，再解不等式的单调减区间（2）先研究f(x)变换趋势：f(x)在(0，23m)上为增函数，在(23m，m)上为减函数，f(x)极大值＝f(23m)＝427m3－m．再比较f(23m)与m大小，即得y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）先将两个不同的点，转化为对应方程两个不同的解：t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m．再利用导数研究三次函数：两个不同的解对应两个极值，t＝3m －8，或t＝－127m3＋23m2－m．再由t≤0得m的范围为(0，83]∪[9＋试题解析：解：（1）当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1．f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．由f ′(x)＜0，解得x＜0或x＞23．所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)．（2）依题意m＞0．因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f ′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．由f ′(x)＝0，得x＝23m或x＝0．当0＜x＜23m时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，23m)上为增函数；当23m＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(23m，m)上为减函数；所以，f(x)极大值＝f(23m )＝427m 3－m ． ①当427m 3－m≥m，即y max ＝427m 3－m ．②当427m 3－m ＜m ，即0＜m时，y max ＝m ．综上，y max＝3,0427m m m m m <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）设两切点的横坐标分别是x 1，x 2．则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为y －(－x 13＋mx 12－m)＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． 将(2，t)代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m)＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m)＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)．因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m)＝(－3x 2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．整理得t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m ．设h(x)＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m ，h ′(x)＝6x 2－2(6＋m)x ＋4m ＝2(3x －m)(x －2)．①当m ＝6时，h ′(x)＝6(x －2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立． ②当m≠6时， h ′(x)＝0，解得x ＝2或x ＝3m ． 列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝3m ， h(x)取得极值分别为h(2)＝3m －8，或h(3m )＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m)x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ．因为t≤0，所以3m －8≤0，（），或－127m 3＋23m 2－m≤0．（）解（），得m≤83，解（），得m≤9－m≥9＋因为m ＞0，所以m 的范围为(0，83]∪[9＋【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值，利用导数研究函数零点 20．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n+1≤b n ＜a n+2．（2）设数列{a n }是公比为q(q ＞2)的等比数列，若存在r ，t(r ，t ∈N ，r ＜t)使得22t r b t b r +=+求q 的值．【答案】（1）①34a d =②详见解析（2【解析】试题分析：（1）①由3b 1，2b 2，b 3得4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d2a ＝3(2a ＋d)＋4+6d 3a ，解得，34a d =．②先化简不等式a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n n n a n++＜a ＋(n ＋1)d ，＜n， 再确定所求解仅包含一个正整数，（2）先化简等式22t r b t b r +=+为1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++，转化为研究对应函数11()n(n 2)n q f n +-=+是否单调，若单调则等式必不成立，因此321183q q --=，解得q试题解析：解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3+3d 2a ＝3(2a ＋d)＋4+6d3a ，② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(1)(1)+d 2n nn a n++＜a ＋(n ＋1)d ， 整理得222020a n n da n n d ⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩＜n＝1＞0． 因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2．（2）因为1111(1)2(1)(1)2r(1)t t r r a q b t t q a q b r q ++-+-==-+-，所以1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++．设11()n(n 2)n q f n +-=+，n ≥2，n∈N．则f(n ＋1)－f(n)＝211211[(1)2(q 2)n 3]23(n 1)(n 3)n(n 2)(n 1)(n 3)n(n 2)n n n q q q q n n +++---+--++-=++++++＝因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f(n ＋1)－f(n)＞0，即f(n ＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．所以当r≥2时，t＞r≥2，则f(t)＞f(r)，即1111(2)r(2)t rq qt t r++-->++，这与1111(2)r(2)t rq qt t r++--=++互相矛盾．所以r＝1，即1211 (2)3 tq qt t+--=+若t≥3，则f(t)≥f(3)＝4222111115353q q q q--+-=⋅>，即1211(2)3tq qt t+-->+，与1211(2)3tq qt t+--=+相矛盾．于是t＝2，所以321183q q--=，即3q2－5q－5＝0．又q＞2，所以q＝585+．【考点】等差数列性质，数列单调性，等比数列求和公式21．如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2【解析】试题分析：（1）先利用弦切角定理得∠PAC＝∠ABC．再根据射影定理得∠CAH ＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，AC是∠PAH的平分线．（2）由H是OC的中点，得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝3PC⋅ (PC＋BC)＝3)2＝12，所以PC＝2．试题解析：证明：（1）连接AB．因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC．因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC．又因为AH⊥BC，所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，所以AC是∠PAH的平分线．（2）因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH⋅HC＝3，所以AH3在Rt△AHC中，AH3CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝3．由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC⋅PB，所以PC⋅ (PC＋BC)＝3)2＝12，所以PC＝2．【考点】弦切角定理，切割线定理22．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝2【解析】试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2x y ''-，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2．试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(x ′，y′)．则1210x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2x y ''-． 代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′⋅2x y ''-＋2(2x y ''-)2＝1，即x ′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．【考点】矩阵变换，相关点法求轨迹方程23．设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点M 的极坐标为(1，2π)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【答案】PM P 的坐标是(±3，－13)． 【解析】试题分析：先将M 的极坐标化为直角坐标M(0，1)，再利用椭圆参数方程表示PM 距离：PM =最后根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：解：M 的极坐标为(1，2π)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cosθ，sinθ)，所以PM ，sinθ∈[－1，1]．当sinθ＝－13时，PM max ＝3，此时cosθ＝±3．所以，PM P 13)．【考点】极坐标化为直角坐标，二次函数最值24．求函数f(x)＝【答案】【解析】试题分析：构造柯西不等式：[52＋)2)²²]≥(5⋅＋⋅2，即得函数f(x)＝试题解析：解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．由柯西不等式得[52＋)2)²²]≥(5⋅⋅2，即27×4≥(5⋅⋅2，所以．x ＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝【考点】利用柯西不等式求最值25．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和． （1）求X 是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）712（2）254【解析】试题分析：（1）因为X 是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有11232223(2)28C C A A ⨯+=而能组成的三位数的个数是223424248C A A ⨯+=，因此所求概率为P(A)＝287=4812．（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9．再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论 试题解析：解：（1）记“X 是奇数”为事件A ， 能组成的三位数的个数是48． X 是奇数的个数有28，所以P(A)＝287=4812． 答：X 是奇数的概率为712． （2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X ＝3)＝41=4812；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X ＝4)＝41=4812；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X ＝5)＝81=486 当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X ＝6)＝105=4824； 当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X ＝7)＝105=4824； 当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X ＝8)＝61=488；当X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X ＝9)＝61=488； 所以X 的概率分布列为：E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254． 【考点】概率分布，数学期望26．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，00(x ,y )n nn P ，n∈N．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标；（2）若 k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）(1，1)（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ ，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p(p ∈N)，则x 0＝p 21p -．最后利用二项式展开定理证明k n 为偶数试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==， 解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)．（2）设k 1＝2p(p ∈N)，即20000112y x p x x ++==， 所以20x －2px 0＋1＝0，所以x 0＝p 21p -．因为y 0＝x 02，所以k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ 所以当x 0＝p 21p -k n ＝(p 21p -)n＋21p p +-)n＝(p 21p -)n＋(p 21p -n．同理，当 x 0＝p 21p -时，k n ＝(p 21p -n＋(p 21p -)n．①当n ＝2m(m ∈N)时， k n ＝22220(p 1)mk n kk n k C p -=-∑，所以 k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N)时，k n ＝22220(p 1)mk n k k n k C p -=-∑，所以 k n 为偶数．综上， k n为偶数．【考点】二项式展开定理应用。
2016年高考江苏卷数学试题(解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑． 棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c ==，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y =的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．FC BOyx【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ===． 11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．12.已知实数,x y满足240,220,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y+的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下xyBA–1–2–3–41234–1–2–3–4123422x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d==()22min45x y+=，图中B 点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D 是BC的中点，,E F 是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；【解析】令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，FED CBA由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=． 14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ． 【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A =+==（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴．【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴=sinC sin AB ACB=635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC A C ∴11//DE A C ∴，又11A C ⊂平面11A C F ，且11DE A C F ⊄//DE ∴平面11A C F ；⑵111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C 111AA A C ∴⊥，又1111A C A B ⊥且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B11A C ∴⊥平面11AA B B ，FEDC BAC 1B 1A 1又11//DE A C ，DE ∴⊥平面11AA B B又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥ 又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F A C F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m A O =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<， ()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，1A当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ⑵ 由题意得OA =，2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d 则BC ==BC =，即=，解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-； ⑶ TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =又10PQ ≤, 10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =， 此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x xxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分） 记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=；⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶ 设()C A CD =ð，()D B CD =ð，则AB =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m l A B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C CDD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． EDCBA【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167； 【解析】直线l0y -=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x -=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．Cl yxO【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上 12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时， 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++， 右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以 左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。
专题基本不等式常见题型归纳(教师版)
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题04三角函数与三角形(第03期)(原卷版)
一、填空1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆ 的一个“友好”三角形.若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<），当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ．3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，2||πϕ<)的最小正周期为π，且它的图象过点(,12π-，则φ的值为▲________． 4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】若sin α＋2cosα＝0，则21cos 2cos sin 2ααα++的值为________．5. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且BC 边上的高为a ，则b c c b+的最大值为______． 6. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ab ＝3，sin C ＝2sin A ，则ΔABC 的面积为 ▲ ． 7. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ． 8. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知A ，B 分别是函数f (x )sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝2π，则该函数的周期是 ▲ ．9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． 10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为 . 11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若())cos()()22f x x x ππθθθ=+-+-≤≤是定义在R 上的偶函数，则θ=▲ . 12. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围是 ▲ . 二、解答1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】（本小题满分14分）在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=．（1）求C 的值；（2）若15A =，AB =，求ABC ∆的周长．（第9题图）3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】 (本小题满分14分) 已知α为锐角，cos (α＋4π)． （1）求tan(α＋4π)的值； （2）求sin(2α＋3π)的值． 4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)（ω＞0，0≤φ≤2π）的图象与y 轴交于点(0,，周期是π. （1）求ω、φ的值；（2）已知点A (2π,0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0,y 0)是P A 的中点，当y 0，x 0∈[2π,π]时，求x 0的值．5. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (cos θsin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．（1）当θ＝23π时，求向量AB 的坐标； （2）当θ∈[0，2π]时，求||AB 的最大值． 6. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分) 如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？7. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ．（1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分14分） 在△ABC 中，角ABC ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC 的面积S ，求a b ，的值． 9. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD =，BD =4CAD π∠=，tan 2ADC ∠=-.求：（1）CD 的长；（2）BCD ∆的面积.10. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）已知ABC∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥. （1）求A B -的值；（2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =,4a c +=．（1）当,,a b c 成等差数列时，求ABC ∆的面积；（2）设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值。
2016南京三模数学试卷
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AC是∠PAH的平分线；
（2）求PC的长．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝ 所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．
因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD．··················································12分
因为O为AC1中点，所以D为BC中点，
所以 ＝1．··································································14分
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．
（1）求X是奇数的概率；
（2）求X的概率分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(x ，y )，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．
2016年江苏省南京市高考数学三模试卷
2016年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1. _________________________________________________________________ （3 分）已知集合M={0, 2，4}，N={x|x=，a€ M}，则集合M A N= _____________________ .2. ____________________________________________________________________ （3分）已知0v a v 2,复数z的实部为a,虚部为1，则| z|的取值范围是__________________ .3. （3分）若直线11：x+2y- 4=0与12：mx+ （2 - m）y - 3=0平行，则实数m的值为__4. （3分）某校有A, B两个学生食堂，若a, b, c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为开始5. （3分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是6. （3分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）•为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500, 3000）（元）月收入段应抽出人.f频率组距0.0C050.00040.00030.00020.0C017. （3分）已知I是直线，a B是两个不同的平面，下列命题中的真命题是真命题的序号）①若I //a, l // 3,贝U a// B ②若 a 丄3, l // a,贝U l 丄B③若I //a, a// 3,贝U l/B ④若I丄a , l // 3贝U a丄3& （3分）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为（填所有16m ;当水面升月收入（元）二、解答题(共6小题，满分88分)15. (14分)在平面直角坐标系 xOy 中，点A (cos 0, V2sin 0) , B (sin 0 0),其中0€ R .(I )当0= -------- ，求向量「的坐标； 3(n )当0€ [0,—]时，求|门|的最大值.16. (14分)如图，在四棱锥 E - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O , EC 丄底面ABCD , F 为BE 的中点.(1)求证：DE //平面ACF ;(2 )若AB= . 2CE ,在线段EO 上是否存在点 G ,使得CG 丄平面BDE ?若存在，请证明 你的结论；若不存在，请说明理由.17. (14分)如图，某水域的两直线型岸边 11, 12成定角120°在该水域中位于该角角平分 线上且与顶点 A 相距1公里的D 处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型9. ____________________________________________________________ ( 3分)已知正数a , b , c 满足3a - b+2c=0,则二—的最大值为 ______________________________ .10. (3 分)在厶 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a=_ 二，b=3, sinC=2sinA , 则厶ABC 的面积为 ____ .11. __________________________________________________________________________ (3分)已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 2>4, S 4< 16,则a 5的最大值是 ______________ . 12. (3 分)将函数 f (x ) =sin (2x+ 0)(-今< 单位长度后得到函数 g ( X )的图象，若f (X ),的值为 ____ .13. (3分)如图，在半径为 1的扇形AOB 中, / AOB=60 ° C 为弧上的动点， AB 与OC 3 f (x ) =x +axg (x ) =- lnx , 设函数 h (x ) =min{f (x ), g 是 ・(x ) } (x >0),若 h ( x )有3个零点，则实数a 的取值范围g (X )的图象都经过点 P ( 0, ，则03 已知函数隔离网BC ( B , C 分别在11和|2上)，围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和AC 都不超过5 公里.设AB=x 公里，AC=y 公里.(1 )将y 表示成x 的函数，并求其定义域；P 到直线11: x= - 2的距离为d 1,到点F ( -1,(1) 求椭圆 (2) 如图，直线I 与椭圆C 交于不同的两点 / OFA+Z OFB=180(i) 当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线 I 的方程；(ii) 是否存在一个定点，无论Z OFA 如何变化，直线I 总过该定点？若存在，求出该定点 的坐标；若不存在，请说明理由.<2 P2 19. (16 分)已知函数 g (x ) =2aInx+x - 2x , a € R . (1)若函数g (x )在定义域上为单调增函数，求a 的取值范围； (2)设A , B 是函数g (x )图象上的不同的两点， P (X 0, y 0)为线段AB 的中点.(i) 当a=0时，g (x )在点Q (X 0, g (x 0))处的切线与直线 AB 是否平行？说明理由；(ii) 当0时，是否存在这样的 A , B ,使得g (x )在点Q (x °, g (x 0))处的切线与直 线AB 平行？说明理由.20. (16 分)已知数列｛ a n ｝ , ｛b n ｝满足 b n =a n +1 - a n ,其中 n=1, 2, 3,(I )若a 1=1, b n =n ，求数列｛a n ｝的通项公式； (n )若 b n +1b n - 1=b n (n > 2),且 b 1=1 , b 2=2. ［选修4-1 :几何证明选讲］21. (10分)如图，△ ABC 内接于圆 O , D 为弦BC 上一点，过 D 作直线DP // AC ,交AB 于点E ,交圆O在A 点处的切线于点 P .求证：△ PAEBDE .0)的距离为 52C 的方程;A ,B (A , B 都在x 轴上方)，且(i ) (ii ) 记c n =a 6n -1 (n > 1 ),求证：数列｛ c n ｝为等差数列;若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求 a 1应满足的条件. (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区?18. (14 分) 已知点P 是椭圆C 上的任一点,d 2,且［选修4-2 :矩阵与变换］22. 变换T 1是逆时针旋转 ——角的旋转变换，对应的变换矩阵是 M 1;变换T 2对应的变换矩 阵是M 2= 1 1 .0〔. (1 )点 P (2, 1 )经过变换T 1得到点P ；求P 的坐标；(2)求曲线y=x 2先经过变换T 1，再经过变换 T 2所得曲线的方程［选修4-4 :坐标系与参数方程］23.在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A ，B 分别在曲线C 1： 门(B 为参数)和曲线 C 2： p =1上，求AB 的最大值. ［选修4-5 : 不等式选讲］ a > 2, x € R .求证：|x - 1+a|+| x - a| > 3.225. (10分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =2px ( p >0)的准线I 与x 轴交于 点M ,过M 的直线与抛物线交于 A , B 两点.设A (x i , y i )到准线I 的距离为d ，且d= ?p (入〉0).(1 )若y i =d=i ，求抛物线的标准方程；(2)若」+入卜=I,求证：直线 AB 的斜率为定值.26. (10分)设f (n ) = (a+b ) n ( n € N , n 》2),若f( n )的展开式中，存在某连续 3项, 其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P .(1) 求证：f (7)具有性质P ;(2) 若存在n W 2016,使f ( n )具有性质P ,求n 的最大值. 2016年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1. （3分）（2016?南京三模）已知集合M={0，2, 4}，N={x|x宁，a€ M}，则集合M A N= {0, 2}.【考点】交集及其运算.【专题】集合思想；定义法；集合.【分析】把M中元素代入x=」确定出N,求出两集合的交集即可.【解答】解：把a=0,代入得：x=0 ;把a=2代入得：x=1 ;把a=4代入得：x=2 ,•-N={0, 1 , 2},•- M={0, 2, 4},••• M n N={0, 2},故答案为：{0, 2}2. _______________ （3分）（2016?南京三模）已知0v a v2,复数z的实部为a,虚部为1，则| z|的取值范围是（1, 口.【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】计算题.【分析】由复数z的实部为a,虚部为1,知|z|= 「.-,再由0v a v 2，能求出| z|的取值范围.【解答】解：•••复数z的实部为a,虚部为1,•|z|= 1 ,•/ 0 v a v 2,• 1v|z|= ；I ■ v匚故答案为：（1, .F.3. （3 分）（2016?南京三模）若直线11：x+2y - 4=0 与12：mx+ （2 - m）y - 3=0 平行，则实数m的值为「―色一【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；直线与圆.【分析】直线11 ：x+2y- 4=0与12：mx+ （2 - m）y - 3=0平行，直线11的斜率存在，因此直线12的斜率也存在.化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出.【解答】解：T直线11: x+2y- 4=0与12：mx+ （2- m）y- 3=0平行，直线11的斜率存在，•直线12的斜率也存在.两条直线的方程可以化为：y -二x+2; y=_—x _?—2 m-2 2 _ m1 m,2工32 2 2 _m解得：m==.3故答案为：z.34. （3分）（2016?南京三模）某校有A, B两个学生食堂，若a, b, c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为屯一【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】概率与统计.【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8-2=6;他们不同在一个食堂用餐的概率为十.故答案为：色4S的值是20【考点】程序框图.【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值, 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：模拟执行程序，可得a=5, S=1满足条件a >4,执行循环体，S=5, a=4满足条件a >4,执行循环体，S=20, a=3 不满足条件a >4,退出循环，输出 S 的值为20.故答案为：20.6.（ 3分）（2016?南京三模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根 据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）•为了分析居民的收入与年龄、学历、职业 等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500,3000）（元）月收入段应抽出 25 人. 【考点】分层抽样方法. 【专题】压轴题.【分析】 直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出 ［2500 , 3000）内的频率，再计算所需 抽取人数即可.【解答】 解：由直方图可得［2500, 3000）（元）月收入段共有 10000 X 0.0005 X 500=2500人 按分层抽样应抽出 S ---------- - '、人 10000 如故答案为：257. （ 3分）（2016?南京三模）已知I 是直线，a B 是两个不同的平面，下列命题中的真命题 是 ④.（填所有真命题的序号） ①若 I //a, I // 3,贝 U all 3 ②若 a 丄 3, I // a,贝 U I 丄 B③若 I //a, a// 3,贝 U I /3 ④若 I 丄 a ,I // 3,贝 a 丄 3 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】 综合题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离.【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答.【解答】解：对于①若I // a , I // 3 ,则a 与3可能相交；故 ① 错误； 对于②若a 丄3 , I // a,则I 与3可能平行；故 ②错误； 对于③若I //a , a//3,则I 可能在3内，故③错误；对于④ 若I 丄a , I // 3,由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可 得a 丄3,故④正确； 故选：④& （ 3分）（2016?南京三模）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m 时，测得拱桥内水面宽 为16m ;当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为 8 m .0.00040.0003刖瓯元 100Q 1500 2000 2500 3000 35004000 0.00020.0001频率组距•由余弦定理可得: p +c 2-b 2.=5+20 - g =- 2ac 5 I-—15 ——【考点】抛物线的应用.【专题】应用题.【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上， 确定 方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽.【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系 设其方程为x 2=2py (p z 0) , •/ A ( 8,- 4)为抛物线上的点2 :.64=2p X(- 4)二 2p= - 16「.抛物线的方程为 x =- I6y设当水面上升3米时，点B 的坐标为(a , - 1) (a > 0)2二 a = (- 16)x(- 1)••• a=4故水面宽为8米.故答案为：&基本不等式. 转化思想；综合法；不等式.消去b ，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案.解：根据题意，设t=二，10. (3分)(2016?南京三模)在厶 ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且a< ! ■, b=3, sinC=2sinA ，则△ ABC 的面积为 3. 【考点】正弦定理.【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形.【分析】由已知及正弦定理可求 c 的值，利用余弦定理即可求得cosB 的值，利用同角三角 函数基本关系式可求 sinB 的值，根据三角形面积公式即可计算得解.【解答】 解：在△ ABC 中，T sinC=2sinA , a= 口，b=3,•由正弦定理可得： c=2a=2 一・，9. (3分)(2016 ?南京三模)已知正数a , b, c 满足3a- b+2c=0,则 的最大值为 V s【考点】【专题】 【解答】由 3a - b+2c=0 可得 3a+2c=b ,则 t=-—L 当且仅当则t w J 12 故答案为:，即丄L_的最大值为卜；b12 12 ，可得：sinB= i ,,-3 S A ABC =-!-acs in B=J- 2 -3.11. (3分)(2016?南京三模)已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若s 2>4, s 4< 16,则a 5 的最大值是 9.【考点】等差数列的前n 项和. 【专题】计算题.【分析】 由 S 2》4, s 4< 16,知 2a 1+d >4, 4a 1+6d w 16,所以 16>4a 1+6d=2 (2a 1+d ) +4d > 8+4d ，得到d < 2，由此能求出a 5的最大值. 【解答】解：I s 2>4, s 4W 16, •-a 1+a 2>4，即 2a 1+d >4a 1+a 2+a 3+a 4w 16,即 4a 1+6d w 16 所以 16>4a 1+6d=2 (2a 1+d ) +4d >8+4d , 得到d < 2,所以 4 (a 1+4d ) =4a 1+6d+10d < 16+20, 即 a 5W 9•- a 5的最大值为 9.故答案为：9.'!「：一=3.故答案为: 7T2移0 (0v 0v n)个单位长度后得到函数 g ( x )的图象，若f (x ) , g (x )的图象都经过点 P (0,—-),贝U 0的值为 正弦函数的图象. 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质.12. (3 分)(2016?南京三模)将函数 f (x ) =sin ( 2x+0)(【考点】【分析】的图象也经过点 P (0,0" )的图象向右平v 0-‘_ ---- ，可得，又由g ( x )),可求出满足条件的 0的值【解答】 解：将函数f (x ) =sin(2x+ 0)(-7T~2)的图象向右平移0(。
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南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ▲ ．
2.设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ．
3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：
则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．
4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ▲ ．
5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
6.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．
给出下列命题：
①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．
其中正确的命题是 ▲ ． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．
)． 7.设数列{a n }的前n 项和为
S n ，满足S n ＝2a n －2，则
8
6
a a ＝ ▲ ． 8.设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，
（第5题图）
且∠AOB ＝
2
π
，则该函数的周期是 ▲ ．
10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是 ▲ ． 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD
⋅＝ ▲ ．
12.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆
心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ．
13.设函数f (x )＝1
,1,x x x a e x x a
-⎧≥⎪
⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取
值范围为 ▲ ．
14.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则
22
2522x y
x xy y --+的最大值为 ▲ ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.(本小题满分14分)
在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；
（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11
tan tanC
A +的值． 16.(本小题满分14分)
（第11题图）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．
（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求
BD
DC
的值．
17.(本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)
点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．
①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．
18.(本小题满分16分)
如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是
（第17题图）
（第16题图）
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用
对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．
19.(本小题满分16分)
设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；
（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；
（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切
线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．
20.(本小题满分16分)
已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝
1
n S n
+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求
a
d
的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．
（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得
22
t r b t b r +=+求q 的值． 附加题
21.A 选修4—1：几何证明选讲
如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．
（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线； （2）求PC 的长．
（第18题图）
C
B A
D
21.B 选修4—2：矩阵与变换
已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．
21.C 选修4—4：坐标系与参数方程
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为
2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），点M 的极坐标为(1，2π)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标． 21.D 选修4—5：不等式选讲
求函数f (x )＝
的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和．
（1）求X 是奇数的概率；
（2）求X 的概率分布列及数学期望． 23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，0
0(x ,y )n n n P ，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若 k 1为偶数，求证：k n 为偶数．
：。