矩阵对角化的可逆矩阵顺序
第六章矩阵的对角化
2
2
2
4
2 4
2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
命题得证.
推 论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等 （即用特征方程算出的特征值都是单重根），
则 A与对角阵相似（A可对角化）．
Hale Waihona Puke 明 如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
α11，α12，，α1s1α, 21 ,α22 ,,α2s2 ,,αm1 , αm2 ,,αmsm
是线性无关的。
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1
(1)由 A E 2
可逆矩阵 P就是以这 n个线性无关的特征向量 作为列向量而成的。
定理 3、设 0是 n阶方阵 A的一个 k重 特征值，则 A的属于特征值 0的特征向量
中，极大线性无关组包 含的向量个数不
多于 k个。即齐次线性方程组
（0 E A）x 0
的基础解系包含的向量 个数最多有 k个。
定理2、设λ1，λ2，λm 是方阵A的m个互不相 同的特征值，αi1,αi2 ,,αisi 是A的属于特征值λi (i 1,2,,m)的线性无关的特征向量，则有所有 这些特征向量组成的向 量组
第二十讲 矩阵的对角化
20.1 矩阵可对角化的条件设矩阵有个线性无关的特征向量令则是一个对角矩阵其对角元素是的特征值：20.1 矩阵可对角化的条件事实上，于是因可逆，故20.1 矩阵可对角化的条件若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角化的(diagonalized).由上面的分析知，反之也成立. 故有定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.20.1 矩阵可对角化的条件例：的特征值为故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.20.1 矩阵可对角化的条件定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.证明：设两边左乘得再左乘得不断左乘直到得故有20.1 矩阵可对角化的条件左边第二个矩阵的行列式行列式因此该矩阵可逆，故由于特征向量均为非零向量，故所以线性无关.20.1 矩阵可对角化的条件推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.例：有重特征值任何可逆矩阵都使是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.20.2 特征值的代数重数和几何重数定义：设其中称为特征值的代数重数(algebraicmultiplicity)，记作称为特征值的几何重数(geometric multiplicity)，记作例：20.2 特征值的代数重数和几何重数例：例：20.2 特征值的代数重数和几何重数一般地，命题：引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.事实上，设可逆，则我们有20.2 特征值的代数重数和几何重数引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量则可将其扩充得的一组基有记则有20.2 特征值的代数重数和几何重数对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得为上三角阵.令为上三角阵.则结论第一部分得证.由引理1知上三角阵的对角元为的特征值.20.2 特征值的代数重数和几何重数命题的证明：由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任意特征值因此，不妨设是上三角阵，即于是故20.2 特征值的代数重数和几何重数定理：复方阵可对角化对任意特征值事实上，若则故有个线性无关的特征向量.从而可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：判断是否可对角化，若可以求使为对角阵.解：于是又因此，可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数对的基础解系为对的基础解系为20.2 特征值的代数重数和几何重数令则20.2 特征值的代数重数和几何重数注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的两个线性无关的向量都可充当的前两列.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：设其中为矩阵.的秩为的秩为故可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用若矩阵可对角化，则可快速计算例：设求解：的特征值可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用对的基础解系为对的基础解系为20.3 矩阵可对角化的应用令 则故20.3 矩阵可对角化的应用例（Markov过程）：每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：设最初外部人口为内部人口为则一年以后外部人口内部人口即20.3 矩阵可对角化的应用这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.20.3 矩阵可对角化的应用记取则20.3 矩阵可对角化的应用于是我们可求和年之后的人口分布：20.3 矩阵可对角化的应用可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布怎样总成立.20.3 矩阵可对角化的应用注意到即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.20.3 矩阵可对角化的应用例（Fibonacci数列）：数列满足规律这是一个差分方程.怎样由出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？20.3 矩阵可对角化的应用令则即于是只需求20.3 矩阵可对角化的应用故20.3 矩阵可对角化的应用初始值给出于是Fibonacci数是这个乘积的第二个分量20.3 矩阵可对角化的应用我们希望研究由差分方程描述的离散动力系统的长期行为，即时解的性质.设可对角化，即存在可逆矩阵其中使为对角阵.则其中即可以看出，的增长由因子支配. 因此系统的稳定性依赖于的特征值.20.3 矩阵可对角化的应用对由一个差分方程定义的离散动力系统，当的所有特征值时，它是稳定的(stable)，且；当所有时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且有界；而当至少有一个特征值时，它是不稳定的(unstable)，且是无界的.Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.20.3 矩阵可对角化的应用例：考虑差分方程其中的特征值为其对角元和故该系统是稳定的.由任何一个初始向量出发，的解必定最终趋向于如：20.3 矩阵可对角化的应用可以看到从开始，而的实际作用是，若把分解成的两个特征向量的和：则把属于的特征向量化为零，而把属于的特征向量乘以20.4 同时对角化问题：给定两个阶矩阵是否存在可逆矩阵使得同时为对角阵，也即同时对角化？命题：若有相同特征向量矩阵使得为对角阵，则事实上，20.4 同时对角化重要的是，“逆”命题也成立. 我们不加证明地给出：定理：若均可对角化，且则可同时对角化.注意到，若则故和是的属于同一特征值的特征向量. 看简单的情况.假设的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的. 于是必是的倍数，也即是的特征向量. 从而有公共特征向量矩阵，可同时对角化.20.4 同时对角化定理：对阶复矩阵若矩阵的特征值两两互异，则可同时对角化.20.4 同时对角化小结：1. 矩阵可对角化，指存在可逆矩阵使为对角阵.2. 矩阵可对角化有个线性无关的特征向量.3. 若复矩阵有个互异特征值，则可对角化.4. 复矩阵可对角化任意特征值的几何重数等于代数重数.5. 设可对角化, 即存在可逆阵使则6. 差分方程的解为其中。
矩阵的对角化
Λ
0
1
0
，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An
(PΛP 1)n
PΛn P 1
2
2
0
4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)
Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
*
2
L
M M L
*
*L
n
则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
矩阵可对角化的总结
矩阵可对角化的总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。
［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n 级方阵，都认为是复数域上的。
当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。
只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。
复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。
引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。
本文主要是讨论矩阵可对角化。
定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。
矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。
[]1[]2[]3[]423定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。
[]1[]2[]3[]4定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。
[]2定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。
[]1[]2[]3一、 首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。
定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。
矩阵对角化问题总结
矩阵对角化问题总结矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它在很多数学和工程领域中都有广泛应用。
对角化可以把一个矩阵转化为对角矩阵的形式，简化了计算和分析的过程。
本文将对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行总结。
首先，矩阵对角化的定义如下：对于一个n × n的矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得我们可以得到对角矩阵D，则称矩阵A是可对角化的。
其中，对角矩阵D的非零元素是A的特征值，且按照相应的特征值的重数排列。
为了判断一个矩阵是否可对角化，我们需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵（即行数等于列数）。
2. 矩阵A必须具有n个线性无关的特征向量，对应于n个不同的特征值。
当满足上述条件时，我们可以通过以下步骤进行矩阵对角化：1. 求出矩阵A的特征值，即解A的特征方程det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
2. 对每个特征值λ，解方程组(A-λI)X = 0，求得对应的特征向量X。
3. 将特征向量按列组成矩阵P。
4. 求出特征值构成的对角矩阵D。
需要注意的是，在实际求解矩阵对角化问题时，可能会遇到以下情况：1. 矩阵A的特征值重数大于1。
在这种情况下，我们需要确保对应于相同特征值的特征向量线性无关。
2. 矩阵A不可对角化。
这意味着矩阵A无法被相似变换为对角矩阵。
这可能发生在矩阵A的特征向量不足以构成一组基的情况下。
矩阵对角化在很多应用中具有重要意义，它简化了矩阵的计算和分析过程。
对角矩阵具有很好的性质，例如幂运算和指数函数的计算变得更加简单。
此外，在线性系统的稳定性和动态响应的分析中，矩阵对角化也起到了关键的作用。
总之，矩阵对角化是一个重要而又广泛应用的概念。
本文对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行了总结，并提到了在实际问题中可能会遇到的情况。
了解矩阵对角化的概念和方法，对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
矩阵的对角化
P 1 AP
0
1
0
0 0 1
小结：将一个方阵对角化，可按如下步骤进行：
第一步 令|λE-A|=0,求出A的全部特征值
1, 2 , , r
第二步 解 (iE A)x 0(i 1, 2, , r) ，求出每个 特征值对应的齐次方程组的基础解系。
第三步 如果按上述方法可求出A有n个线性无关
对于 λ 2 =λ 3 = 1，解方程组 (E – A )χ = 0
对系数矩阵作初等变换
2
4
1 2
0
1
0
0
0 1
1 2
1 0 1
0 0 0
解方程组
x1
x2
x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解
x2
2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
(k 为任意常数）
因为 λ 2 =λ 3 = 1 是二重根，而对应于λ 2 =λ 3 = 1无两 个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
对于2 3 1 可求得线性无关的特征向量
2 (2,1, 0), 3 (0, 0,1)
这三个特 征向量线 性无关
1 2 0
1 2 0
P 1
2
3
1
1
1 0
0
1
P1
1
1
1 2
0
1
2 0 0
（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。
将矩阵对角化的过程
将矩阵对角化的过程矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，其可以将一个矩阵变换为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。
本文将介绍矩阵对角化的过程及其应用。
一、矩阵对角化的定义矩阵对角化是指将一个$n\times n$矩阵$A$与一个可逆矩阵$P$相似，即$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个对角矩阵。
对角矩阵是指只有对角线上有非零元素的矩阵，即$D=\begin{bmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\cdots&0\\\v dots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_n\end{bmatrix }$，其中$d_1,d_2,\cdots,d_n$是对角线上的元素。
二、矩阵对角化的步骤对于一个给定的矩阵$A$，我们可以按照以下步骤对其进行对角化：1. 求出矩阵$A$的特征值和特征向量：设$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，$v$是对应的特征向量，满足$Av=\lambda v$，则特征值和特征向量可以通过解方程$(A-\lambda I)v=0$得到。
2. 构造矩阵$P$：将所有的特征向量按列组成一个矩阵$P$，即$P=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$。
3. 求出矩阵$P^{-1}$：由于$P$是由特征向量组成的矩阵，因此其列向量线性无关，即$P$可逆，因此可以求出$P$的逆矩阵$P^{-1}$。
4. 求出对角矩阵$D$：由于$AP=PD$，因此$D=P^{-1}AP$，即$D$是$A$相似的对角矩阵。
至此，我们就完成了矩阵对角化的过程。
三、矩阵对角化的应用矩阵对角化在线性代数和其它学科中都有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 求矩阵的幂：对于一个已经对角化的矩阵$A$，其幂可以通过对角矩阵的幂来计算，即$A^k=PD^kP^{-1}$。
可逆矩阵
A I 行初等变换 I
A
1
11（24）
例3 设
1 A 2 3
2 2 4
2 2 4 3 1 3
3 1 1 , 求 A . 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
矩阵的对角化
解
1 A E 2 3
1 0 0 2 2 0 1 0 0
1 r2 ( 2 ) 0 r3 ( 1 ) 0
3 5 1
1 2 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 2 3 3 2 0 3 6 5 2 0 1 1 Nhomakorabea1 1
6（24）
矩阵的对角化
1 0 这组数字构成的矩阵为： Y 0 2 1
汉字 十 七 时 进 攻
编码 1200 0210 0112 2101 1021
2 2 1 1 0
0 1 1 0 2
0 0 2 1 1
7（24）
矩阵的对角化
借助于一个加密矩阵 A，用 A 右乘 Y 得矩阵
1 0 0 1 2 3 r2 2 r1 r3 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3 r1 0 2 6 3 0 1
1 0 0
2 2
3 5
1 2
0 1 1
0 1 0 1 1 0
12（24）
矩阵的对角化
1 0 YA 0 2 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 0 2 A 1 4 1 2 5 4 2 4 1 2 4 3 1 4 0 1 5 T 2 4
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矩阵对角化的可逆矩阵顺序
矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它能帮助我们简化矩阵运算并更好地理解矩阵的特性。
然而，在进行矩阵对角化过程中，可逆矩阵的顺序是一个关键问题。
本文将一步一步地回答“矩阵对角化的可逆矩阵顺序”的问题，帮助读者更好地理解矩阵对角化的过程和原理。
首先，我们需要明确矩阵对角化的定义。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得等式A=PDP^(-1)成立，那么我们称矩阵A可对角化，矩阵P为可逆矩阵，矩阵D为对角矩阵。
对角矩阵D的特点是除了对角线上的元素外，其他元素全都为零。
现在让我们来看一下矩阵对角化的步骤。
第一步：找到矩阵A的特征值和特征向量。
特征值是一个标量，特征向量是与之对应的非零向量，满足
A*v=lambda*v，其中lambda是特征值，v是特征向量。
我们可以通过求解方程det(A-lambda*I)=0来找到特征值lambda，然后将其带入(A-lambda*I)x=0来求解特征向量。
第二步：将特征向量构成一个矩阵P。
将n个线性无关的特征向量按列排列成一个矩阵P。
第三步：构建对角矩阵D。
对角矩阵D的对角线上的元素是特征值lambda1, lambda2, ..., lambdan。
第四步：计算可逆矩阵P^(-1)。
可逆矩阵P的逆矩阵P^(-1)等于其转置矩阵PT的每一列所构成的矩阵。
第五步：计算矩阵PDP^(-1)。
将矩阵P、对角矩阵D和矩阵P^(-1)相乘得到矩阵A的对角化形式。
通过以上步骤，我们便完成了矩阵A的对角化过程。
在这个过程中，我们可以看到，可逆矩阵的顺序是非常关键的。
具体而言，矩阵A=PDP^(-1)中的可逆矩阵P是由特征向量组成的，而矩阵P^(-1)则是P的转置矩阵。
因此，特征向量的顺序将直接影响到可逆矩阵P和P^(-1)的顺序。
我们知道，特征向量是与特征值对应的，一个特征值可以对应多个特征向量。
因此，在选择特征向量构成矩阵P时，我们可以根据自己的需要选择合适的特征向量。
但需要注意的是，特征向量的数量应该等于矩阵A的维数n，否则矩阵P将不是一个n×n的矩阵。
当特征值有重复时，我们可以选择不同的特征向量来构成矩阵P，但需要注意的是，这些特征向量必须线性无关。
如果选择的特征向量线性相关，那么矩阵P就不是可逆矩阵，矩阵对角化将无法进行。
特征向量的顺序决定了矩阵P和P^(-1)的顺序，也影响到对角矩阵D中特征值的排列顺序。
在实际计算中，我们可以自由选择特征向量的顺序，但需要确保特征向量之间线性无关。
总结起来，矩阵对角化的可逆矩阵顺序是由特征向量的顺序决定的。
选择特征向量构成矩阵P时，我们可以根据需要自由选择特征向量的顺序，但需要注意特征向量之间的线性无关性，以确保矩阵P的可逆性。
特征向量的顺序还将影响到对角矩阵D中特征值的排列顺序。
通过这篇文章的介绍，相信读者已经对矩阵对角化的可逆矩阵顺序有了更清晰的理解。