【精品课件】期权定价模型
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《期权定价模型》课件
置比例。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
22
ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
2022/3/23
21
风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
13
愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
3
如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
18
我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
V0
e10%
e10% 1.25
0.75 0.75
25
0
16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
莫顿期权定价模型PPT课件
x
t
• 在随机微分中我们得到：
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
(x)2
• 因为最后一项的阶数为Dt
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen
12
Rong, 2008
将Dx代入
将x=a t+b t代入最后一项，
并忽略比 t高阶的项,则
Sdz
S
t 2 S 2
S
在一个小的时间间隔中，f的变化值 为f ：
f
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )t f
Sz
S
t 2 S 2
S
可编辑
25
为了消除风险源 ，z可以构建一个包括一单位衍生证券 空头和 单f位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则：
,
G t
0
代入式dG 所
( G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
)dt
G x
bdz
我们就可G得 l到n S
dG d ln S ( 2 )dt dz
遵循的随机过程为
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
( 2 )dt
表示： dS Sdt Sdz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
可编辑
17
期权定价理论课件
引入非金融资产
除了金融资产，现实中还存在许多非金融资产，如房地产、艺术品等。将这些资产的价格和风险特性纳入期权定 价模型中，可以更好地服务于实物期权定价和风险管理。
运用计算机技术提高模型计算效率
采用更高效的算法
随着计算机技术的发展，可以采用更高效的算法来计算期 权价格，如蒙特卡洛模拟算法、有限元方法等。这些算法 可以更快地得到期权价格估计值。
、城市规划、自然资源开发等多个领域。
06
期权定价理论的发展趋势与展望
改进现有模型的局限性
01
引入更复杂的因素
随着金融市场的变化和经济的发展，期权定价理论需要引入更多的影响
因素，如宏观经济因素、市场情绪因素等，以更准确地预测期权价格。
02 03
完善假设条件
现有的期权定价模型通常基于一些假设条件，如无摩擦市场、完全竞争 等。为了更真实地反映市场情况，需要进一步放宽或修改这些假设条件 。
期权类型
按行权时间可分为欧式期 权和美式期权；按交易场 所可分为场内期权和场外 期权。
期权持有者权利
期权持有者具有在到期日 之前按照行权价买入或卖 出标的资产的权利。
期权定价模型的起源与发展
起源
期权定价模型最初由BlackScholes模型和二叉树模型两
种主要方法所主导。
发展历程
随着金融市场的不断发展和完善， 各种新型期权定价模型如随机波动 率模型、跳跃扩散模型等逐渐被引 入。
：P = (1 - e^(-rT)) / (1 + d) - K / (1 + d)^T, 其中P表示期权价格，r表示无风险利率，T表示时间步长，d表 示上涨与下跌的比率。 • 模型应用：基于二叉树模型的数字期权定价方法适用于美式期权和欧式期权的定价，具有较高的计算效率和适 用性。
除了金融资产，现实中还存在许多非金融资产，如房地产、艺术品等。将这些资产的价格和风险特性纳入期权定 价模型中，可以更好地服务于实物期权定价和风险管理。
运用计算机技术提高模型计算效率
采用更高效的算法
随着计算机技术的发展，可以采用更高效的算法来计算期 权价格，如蒙特卡洛模拟算法、有限元方法等。这些算法 可以更快地得到期权价格估计值。
、城市规划、自然资源开发等多个领域。
06
期权定价理论的发展趋势与展望
改进现有模型的局限性
01
引入更复杂的因素
随着金融市场的变化和经济的发展，期权定价理论需要引入更多的影响
因素，如宏观经济因素、市场情绪因素等，以更准确地预测期权价格。
02 03
完善假设条件
现有的期权定价模型通常基于一些假设条件，如无摩擦市场、完全竞争 等。为了更真实地反映市场情况，需要进一步放宽或修改这些假设条件 。
期权类型
按行权时间可分为欧式期 权和美式期权；按交易场 所可分为场内期权和场外 期权。
期权持有者权利
期权持有者具有在到期日 之前按照行权价买入或卖 出标的资产的权利。
期权定价模型的起源与发展
起源
期权定价模型最初由BlackScholes模型和二叉树模型两
种主要方法所主导。
发展历程
随着金融市场的不断发展和完善， 各种新型期权定价模型如随机波动 率模型、跳跃扩散模型等逐渐被引 入。
：P = (1 - e^(-rT)) / (1 + d) - K / (1 + d)^T, 其中P表示期权价格，r表示无风险利率，T表示时间步长，d表 示上涨与下跌的比率。 • 模型应用：基于二叉树模型的数字期权定价方法适用于美式期权和欧式期权的定价，具有较高的计算效率和适 用性。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
f f 1 2 f 2 2 f df ( S ) dt Sdz S S t 2 S 2 S
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
8
根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
5
第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
8
根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
5
第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
§ 例6.3
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
第八课期权定价模型
•E
PPT文档演模板
•V •D
第八课期权定价模型
公司负债与股东权益
• 公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
•V
D
PPT文档演模板
•V •D
第八课期权定价模型
实物期权
• 投资： 有权选择投资时机，获得投资回报，但是没 有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资 在未来产生的现金流就是资产价格
• 这个组合称为合成的衍生证券
• 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格
• 组合的合成等同于对冲
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第八课期权定价模型
无套利原则与 对衍生证券的定价
•今日
•到期日
•交易的 衍生证券
•合成的 衍生证券
•收益相 同
•交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
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第八课期权定价模型
Black-Scholes模型的假设
• 完美的资本市场，没有套利机会 • 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动 • 短期利率已知，并且不随时间发生变化 • 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
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第八课期权定价模型
股票价格的动态过程
• 连续时间模型 假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）
其中： ：期望收益率
：波动率 (假设为常数) ：标准Wiener过程
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第八课期权定价模型
• 离散时间近似
• Z为Wiener过程，则 －
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独 立
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•V •D
第八课期权定价模型
公司负债与股东权益
• 公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
•V
D
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•V •D
第八课期权定价模型
实物期权
• 投资： 有权选择投资时机，获得投资回报，但是没 有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资 在未来产生的现金流就是资产价格
• 这个组合称为合成的衍生证券
• 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格
• 组合的合成等同于对冲
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第八课期权定价模型
无套利原则与 对衍生证券的定价
•今日
•到期日
•交易的 衍生证券
•合成的 衍生证券
•收益相 同
•交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
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第八课期权定价模型
Black-Scholes模型的假设
• 完美的资本市场，没有套利机会 • 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动 • 短期利率已知，并且不随时间发生变化 • 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
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第八课期权定价模型
股票价格的动态过程
• 连续时间模型 假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）
其中： ：期望收益率
：波动率 (假设为常数) ：标准Wiener过程
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第八课期权定价模型
• 离散时间近似
• Z为Wiener过程，则 －
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独 立
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8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
dz dt
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25，以 年为单位计时。
那么，则有： 在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态 分布； 在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为 2 或1.414的 正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为 2 ，是因为变量值在未 来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示）是随着时间长 度的平方根而增加的。
描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的， 因此布朗运动又称维纳过程，布朗运动是马尔科夫随机过程的 一种特殊形式 。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
（一）马尔科夫过程（Markov Stochastic process) 1、无记忆性：只有变量的当前值才与未来预测有关，变
其中：D表示期权有效期内红利的现值
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
Return
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该 变量遵循某种随机过程(stochastic process)。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
4、期权价格的上限： （1）股票价格是期权价格的上限：S>C, S>c。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25，以 年为单位计时。
那么，则有： 在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态 分布； 在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为 2 或1.414的 正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为 2 ，是因为变量值在未 来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示）是随着时间长 度的平方根而增加的。
描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的， 因此布朗运动又称维纳过程，布朗运动是马尔科夫随机过程的 一种特殊形式 。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
（一）马尔科夫过程（Markov Stochastic process) 1、无记忆性：只有变量的当前值才与未来预测有关，变
其中：D表示期权有效期内红利的现值
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
Return
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该 变量遵循某种随机过程(stochastic process)。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
4、期权价格的上限： （1）股票价格是期权价格的上限：S>C, S>c。
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期权有效期内保持不变，不存在信违约风险。
第一节 二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定
p
S0u
S0
1 p
S0d
图13-1 △t时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动
二、看涨期权单步二叉树模型
（一）资产组合复制定价法
V umS a0ux K (,0)
V dmS a0d x K (,0)
V0 hS0 k hS 0ukert Vu
3 p * ( 1 p * ) 2 m S 0 u a 2 d K x , 0 ) ( 1 ( p * ) 3 m S 0 d 3 a K , 0 x ) (
将上述结论推广到n期二叉树模型，有
V n ,i m S 0 u a n id x i K ( ,0 ) i 0 ,1 ,2 ,3 n
S0
uS 0
udS 0
dS 0
duS 0
uduS0
uddS0
duuS0
dudS0
d 2S0
dduS0
dddS0
V 3 ,i m S 0 u a 3 id x i K ( ,0 ) i 0 ,1 ,2 ,3
V 0 e 3 r tp * 3 m S 0 u 3 a K , 0 x ) 3 p ( * 2 ( 1 p * ) m S 0 u 2 a d K x , 0 )(
V0e10%1 e.12 0% 5 0 0..7 75 525016.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
二、看涨期权单步二叉树模型
（二）风险中性定价机制 在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论： 1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
第四节 维纳过程与证券价格变化过程 一、弱式效率市场假说 二、维纳过程 三、维纳过程与股票价格的变化过程
第一节 二叉树期权定价模型的推导
一、基本假定
关于期权定价的模型主要有两种： 二叉树模型（The Binominal Option Pricing Model, BOPM）； 布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes）；
h Vu Vd S0u S0d
hS 0dkret Vd
kVu
Vu Vd ud
uert
V 0 e r tp * V u ( 1 p * ) V d
p* ert d ud
二、看涨期权单步二叉树模型
例13-1:设以A股目前价格为100元，假设一个月后标的资产价格可能是125元， 也可能是75元，当期市场的无风险收益率为10%，求以A股为标的资产，执行 价格为100元，一个月后到期的该欧式看涨期权的价格。
S 0 u m id i
i 0 ,1 ,2 ,3 m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S 0 ( 1 ) u m id i i 0 ,1 ,2 ,3 m
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V 0 e 3 r ti n 0 i ! ( n n ! i )p * ! n i( 1 p * ) im S 0 u n a id i x K ,0 ) (
p* ert d ud
如果是离散的情况，有，
V 0 ( 1 1 r ) n i n 0 i ! ( n n !i )p * ! n i( 1 p * ) im S 0 u n a id i x K ,0 ) (
解：根据题意， K 100 S 0 u =125 S 0 d =75
t 1 r 10%
u 1 2 5 /1 0 0 1 .2 5d 7 5 /1 0 0 0 .7 5
V u m S 0 u a K ,0 x ) m (1 a 1 2 ,x 0 ) 0 5 2 (0 5
V d m S 0 d a K ,x 0 ) m ( 7 a 1 5 ,x 0 ) 0 0 (0
Ser t p*Su(1p*)Sd
ert p*u(1p*)d
p* ert d ud
V 0 e r tp * V u ( 1 p * ) V d
例13-2: 按照风险中性定价机制，我们重新计算例13-1中的看涨和看跌期 权现在的价格。
三、n期的二叉树模型
uuuS0
u2S0
uudS0
第十三章 期权定价模型
【本章学习要点】本章涉及的重要概念有：期权定价的二 叉树模型、资产组合复制定价、风险中性定价、n期二叉 树模型、美式期权的定价、布莱克-斯科尔斯微分方程、布 莱克-斯科尔斯期权定价公式、维纳过程等。要求理解二叉 树模型期权定价的原理；掌握二叉树期权定价公式的推动 过程；了解布莱克-斯科尔斯微分方程的总结过程；并能够 根据实际条件进行欧式期权的价格计算。
二叉树模型的主要假定有： 1. 最基本的模型为不支持股利的欧式股票看涨期权定价模型； 2. 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是高效率的，如没有卖空限
制，无套利的； 3. 股票现货交易与期权合约的交易无交易成本，同时也没有税收； 4. 市场参与者可以按照已知的无风险利率无限制地借入和贷出资金，利率在
第一节 二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定 二、看涨期权单步二叉树模型 三、n期的二叉树模型
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用 一、标的资产价格按比例支付股息 二、美式期权的二叉树定价模型
第三节 布莱克——斯科尔斯期权定价模型 一、布莱克——斯科尔斯模型的假设条件 二、布莱克——斯科尔斯微分方程 三、布莱克——斯科尔斯期权定价公式 四、布莱克——斯科尔斯期权定价公式的应用举例
p* 1r d ud
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
一、标的资产价格按比例支付股息
分红派息的方式主要有两种： 一种是按照股票市场价格的固定比例派发一定股息，在财务上称为“股息实得率”， 另一种是每股股票派发一定固定数额的股息。
若标的股票在未来某一确定时间将支付已知股息率δ（股息与标的资产价格之比）， 我们只要调整在各个结点上的标的资产价格，就可算出期权价格。调整方法如下： 如果时刻m△t在除权日之前，则结点处标的资产价格仍为：
第一节 二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定
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图13-1 △t时间内基础资产价格和对应的期权价格的变动
二、看涨期权单步二叉树模型
（一）资产组合复制定价法
V umS a0ux K (,0)
V dmS a0d x K (,0)
V0 hS0 k hS 0ukert Vu
3 p * ( 1 p * ) 2 m S 0 u a 2 d K x , 0 ) ( 1 ( p * ) 3 m S 0 d 3 a K , 0 x ) (
将上述结论推广到n期二叉树模型，有
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则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
二、看涨期权单步二叉树模型
（二）风险中性定价机制 在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论： 1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
第四节 维纳过程与证券价格变化过程 一、弱式效率市场假说 二、维纳过程 三、维纳过程与股票价格的变化过程
第一节 二叉树期权定价模型的推导
一、基本假定
关于期权定价的模型主要有两种： 二叉树模型（The Binominal Option Pricing Model, BOPM）； 布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes）；
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二、看涨期权单步二叉树模型
例13-1:设以A股目前价格为100元，假设一个月后标的资产价格可能是125元， 也可能是75元，当期市场的无风险收益率为10%，求以A股为标的资产，执行 价格为100元，一个月后到期的该欧式看涨期权的价格。
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第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V 0 e 3 r ti n 0 i ! ( n n ! i )p * ! n i( 1 p * ) im S 0 u n a id i x K ,0 ) (
p* ert d ud
如果是离散的情况，有，
V 0 ( 1 1 r ) n i n 0 i ! ( n n !i )p * ! n i( 1 p * ) im S 0 u n a id i x K ,0 ) (
解：根据题意， K 100 S 0 u =125 S 0 d =75
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例13-2: 按照风险中性定价机制，我们重新计算例13-1中的看涨和看跌期 权现在的价格。
三、n期的二叉树模型
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第十三章 期权定价模型
【本章学习要点】本章涉及的重要概念有：期权定价的二 叉树模型、资产组合复制定价、风险中性定价、n期二叉 树模型、美式期权的定价、布莱克-斯科尔斯微分方程、布 莱克-斯科尔斯期权定价公式、维纳过程等。要求理解二叉 树模型期权定价的原理；掌握二叉树期权定价公式的推动 过程；了解布莱克-斯科尔斯微分方程的总结过程；并能够 根据实际条件进行欧式期权的价格计算。
二叉树模型的主要假定有： 1. 最基本的模型为不支持股利的欧式股票看涨期权定价模型； 2. 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是高效率的，如没有卖空限
制，无套利的； 3. 股票现货交易与期权合约的交易无交易成本，同时也没有税收； 4. 市场参与者可以按照已知的无风险利率无限制地借入和贷出资金，利率在
第一节 二叉树期权定价模型的推导 一、基本假定 二、看涨期权单步二叉树模型 三、n期的二叉树模型
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用 一、标的资产价格按比例支付股息 二、美式期权的二叉树定价模型
第三节 布莱克——斯科尔斯期权定价模型 一、布莱克——斯科尔斯模型的假设条件 二、布莱克——斯科尔斯微分方程 三、布莱克——斯科尔斯期权定价公式 四、布莱克——斯科尔斯期权定价公式的应用举例
p* 1r d ud
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
一、标的资产价格按比例支付股息
分红派息的方式主要有两种： 一种是按照股票市场价格的固定比例派发一定股息，在财务上称为“股息实得率”， 另一种是每股股票派发一定固定数额的股息。
若标的股票在未来某一确定时间将支付已知股息率δ（股息与标的资产价格之比）， 我们只要调整在各个结点上的标的资产价格，就可算出期权价格。调整方法如下： 如果时刻m△t在除权日之前，则结点处标的资产价格仍为：