氢原子与类氢原子的波函数与能级

LxLy LyLx =iLz
[Ly, Lz]=iLx
[Lx, Ly]=iLz
LzLx LxLz =iLy
∧ ∧
[Lz, Lx]=iLy
∧
L L =i L ×
该式给出角动量算符的一般定义. 该式给出角动量算符的一般定义.
2)
[ L2 , Lx ] = 0 [ L2 , Ly ] = 0 [ L2 , Lz ] = 0
2 Zr n l +1 [( n + l )!]2 (2 Zr na )ν ν +1 2 l +1 Ln +1 = ∑ (1) (n l 1 ν )!(2l + 1 +ν )!ν na ν =0
----缔合拉盖尔多项式 ----缔合拉盖尔多项式
波函数的归一化: 波函数的归一化:
∫ Ψ (r )
Ψ n,l , m (r ,θ ,φ ) = Rn,l (r )Yl , m (θ ,φ )
n = 1,2,3 l = 0,1,2,3 (n 1) m = 0,±1,±2,±3 ± l
称为主量子数. n --- 称为主量子数. l ---- 称为角量子数. 称为角量子数. m ---- 称为磁量子数. 称为磁量子数.
即角动量平方算符的本征值为: 即角动量平方算符的本征值为:
L2 = l (l + 1) 2
l = 0,1,2,3,
称为角量子数. 称为角量子数.
角动量平方算符的本征函数为= Nl ,m Plm (cosθ )eim
Plm (cosθ )
----缔合勒让德多项式 ----缔合勒让德多项式
2 r
2 2 2 2 R + r + U (r ) Ψ ( R , r ) = E0 Ψ ( R , r ) 2m 2M
设: Ψ ( R , r )
2
= ( R )ψ ( r )
并代入原方程可得: 并代入原方程可得:
2 2 1 1 2 R ( R) + r + U (r )ψ (r ) = E0 ψ ( r ) 2m 2M ( R) 2 2 ⑴ R ( R) = ( E0 E ) ( R) 2M
2、分离变量: 分离变量:
Ψ (r , θ , ) = R (r )Y (θ , ) 将其代入原方程, 2 将其代入原方程,并用 R (r )Y (θ , ) 2 2mr
设: 去除方程两边,移项以后可得: 去除方程两边,移项以后可得:
1 d 2 dR(r ) 2mr 2 Ze 2 r + 2 E + R (r ) dr dr 4πε 0 r 1 1 Y (θ , ) 1 2Y (θ , ) = sin θ + 2 Y (θ , ) sin θ θ θ sin θ 2
角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的, 角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具 有共同的本征函数系. 有共同的本征函数系. 6.球坐标系中角动量算符的表示: 球坐标系中角动量算符的表示 6.球坐标系中角动量算符的表示:
L = i (sin φ ) + ctgθ cos φ x θ φ L = i ( cos φ + ctgθ sin φ ) y θ φ = i L z φ
2
d r = ∫ Ψ (r ,θ , )Ψ (r ,θ , )r sin θ drd θ d =1
* 2
2
∫
∞
r =0
R (r )r dr∫
2 n,l
π
θ =0
∫
2π =0
Y (θ , )Yl ,m (θ , ) sinθdθd = 1
* l ,m
注意到球谐函数是已经归一化的,所以有: 注意到球谐函数是已经归一化的,所以有:
2 2 2
L2Yl , m (θ ,φ ) = l (l + 1) 2Yl , m (θ ,φ )
λ = l (l +1)
l = 0,1,2,3
2、方程①的解: 、方程①的解: 代入方程①可得: 把λ=l( l +1 )代入方程①可得: (
1 2 dR (r ) 2m Ze 2 l (l + 1) (r ) + 2 (E + ) R(r ) = 0 2 2 r r dr 4πε 0 r r
Z 2me4 1 En = 2 2 (4πε 0)2 n2
(n =1,2,3,) ----- 系统的能量
具有分立谱. 具有分立谱.
②径向本征波函数: 径向本征波函数: 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态. 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态.
Zr na e l
Rn , l ( r ) = N n , l
2 Zr 2l +1 2 Zr Ln +1 na na
4πε 0 2 a= ----称为玻尔半径 ----称为玻尔半径 2 ne 3 2 Z ( n l 1) ! 归一化系数: 归一化系数: N nl = na 2 n[( n + l ) ! ]3
(nn称为主量子数.且有 l ≤(n-1). 称为主量子数.
1 1 2 2 2 2 = = L (sin θ )+ 2 θ ,φ sin θ θ θ sin θ φ 2
2
二.角动量平方算符的本征值与本征函数: 角动量平方算符的本征值与本征函数:
1.角动量平方算符的本征值方程: 1.角动量平方算符的本征值方程: 角动量平方算符的本征值方程
§3 量子力学中的氢原子解法简介
一、二体问题的简化: 二体问题的简化:
氢原子的 能量
2 p12 p2 E= + + U (r1 r2 ) 2m1 2m2
z m 1 r1 R
r c r2
m2
引入质心坐标和相对坐标: 引入质心坐标和相对坐标:
o x
y 定义: 定义:总质 量M与折合质 量m:
m1r1 + m2 r2 R= m1 + m2
该方程左边只与r有关,而右边只与θ 该方程左边只与r有关,而右边只与θ,φ有关.所以, 有关.所以, 如果两边能相等,那么只有他们同等于一个常数.并以λ 如果两边能相等,那么只有他们同等于一个常数.并以λ来表 示该常数,则有: 示该常数,则有:
和 1 Y (θ , ) 1 2Y (θ , ) = λY (θ , ) ② sin θ + 2 2 sin θ θ θ sin θ 二、方程的解: 方程的解:
1、方程②就是角动量平方算符的本征值方程. 、方程②就是角动量平方算符的本征值方程.
1 2 dR (r ) 2m Ze 2 λ (r ) + 2 (E + ) 2 R (r ) = 0 ① 2 r r dr 4πε 0 r r
2 = L sin θ 2 sin θ θ θ sin θ 2
j y py
k z pz
L=i Lx + jLy +kLz
= yp zp =i(y z ) Lx z y z y = zp xp =i(z x ) Ly x z x z = xp yp =i(x y ) Lz y x y x
4.角动量平方算符: 4.角动量平方算符: 角动量平方算符
m2 r r1 = R + m1 + m2
m1r r = r1 r2 r2 = R m1 + m2 2 2 pm pM + + U (r ) E= 2 M 2m
M = m1 + m2 m1m2 m= m1 + m2
定态薛定格方程为: 定态薛定格方程为:
p
2 M 2
2 R
p
2 m 2
( R ) = ce
i P R ( E0 E ) t
[
]
即质心按能量为( 即质心按能量为(E0-E)的自由粒子的方式运动. )的自由粒子的方式运动.
L2 = 2[( y z ) 2 + ( z x ) 2 + ( x y ) 2 ] z y x z y x
5.与角动量算符有关的对易关系: 5.与角动量算符有关的对易关系: 与角动量算符有关的对易关系 1)
LL = L =L2 +L2 +L2 x y z
∧ ∧
∧ 2
LyLz LzLy =iLx
即:
2 2 r + U (r )ψ (r ) = Eψ (r ) 2m
⑵
方程( 方程(1)是一个描写质心运动情况的定态薛定格方程. 是一个描写质心运动情况的定态薛定格方程. 它说明:质心的状态与自由粒子的状态是相同的. 因此有: 它说明:质心的状态与自由粒子的状态是相同的. 因此有:
∫θ ∫
=0
π
2π =0
Yl*m (θ , )Yl ,m (θ , ) sin θdθd = 1 ,
∞
故径向本征波函数的归一化的表达式应写为: 故径向本征波函数的归一化的表达式应写为:
∫
r =0
R n2,l ( r ) r 2 dr = 1
E<0时库仑场中电子状态的定态波函数为: < 时库仑场中电子状态的定态波函数为 电子状态的定态波函数为:
2 L2Ylm (θ ,φ ) = L2Ylm (θ ,φ ) = 2 θ , Ylm (θ , )
利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数Y(θ 利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数Y(θ,φ)为 Y( 有限的条件下可求得: 有限的条件下可求得:
2Y (θ , φ ) = l ( l + 1) 2Y (θ , φ ) L l ,m l ,m
§2,电子在库仑场中的运动 一、定态薛定格方程: 定态薛定格方程:
1、定态薛定格方程: 定态薛定格方程:
2 2 [ + U ( r )]Ψ = EΨ 2m