2016 进才中学自招数学试卷(答案)
进才中学自主招生试题二
进才中学自主招生试题二第一部分：数学1. 已知数列 $a_n$ 的通项公式为 $a_n = 2^n$，求 $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{10}$ 的值。
2. 一块长方形的田地，长为 $8$ 米，宽为 $6$ 米。
现要用木桩将田地分成多个正方形小块，并且每个小块的边长相等，且尽可能大。
求每个小块的边长。
3. 某店刚购进一批商品，进价为 $400$ 元，现在要在每个商品的进价之上加价，然后出售。
如果加价率为 $20\%$，则每个商品的出售价是多少？第二部分：语文阅读下面的短文，然后回答问题。
某天，小明路过一家甜品店时，闻到了阵阵的甜香。
他走进店里，看到了一种新上市的甜品——巧克力蛋糕。
“这个蛋糕看起来真好吃！我可以尝尝吗？”小明问店员。
“当然可以！每个人都可以尝试我们的甜品。
”店员回答道。
小明高高兴兴地点了一块蛋糕，然后找了个座位坐下来。
小明小心翼翼地将蛋糕切了一小块，然后细细品味。
身旁的人看到小明吃得津津有味，也纷纷点了一块。
蛋糕质地酥软，巧克力味浓郁，甜而不腻，引来了更多人驻足品尝这款美味的甜品。
在经过一个月的时间，这款巧克力蛋糕已经成为该店最受欢迎的甜品之一。
1. 小明为什么进店尝试巧克力蛋糕？2. 小明如何评价巧克力蛋糕的品质？3. 这段短文主要讲述了什么故事？第三部分：英语将下列句子翻译成英语：1. 你们昨天在电影院看了什么电影？2. 我和我的朋友们正在计划去旅行。
3. 她是一个非常有才华的音乐家。
第四部分：写作请用不少于150字介绍一位你最喜欢的作家，包括他/她的作品特点和为什么你喜欢他/她。
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【最新文档】2016年上海市浦东新区进才中学高一上学期期中数学试卷
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的 x 取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（ 3 分）设关于 x 的不等式 | f（x）|+| g（ x）| ＜a 的解集为 A，关于 x 的不等
式 | f（x）+g（x）| ＜a 的解集为 B，则集合 A，B 满足（ ）
C．“ a≠b 0”是“≠ａ0 或 b≠0”的充要条件
D．若集合 A 是全集 U 的子集，则命题 “?ｘ?UA”与“∈ｘA”是等价命题
17．（ 3 分）若函数
的定义域为 R，则 k 的取值范围是（
）
A．（﹣∞， 0] ∪ [ 12，+∞） B．（﹣∞， 0）∪（ 12，+∞） C ．（ 0 ， 12 ） D． [ 0，12]
7．（ 3 分）已知命题 “任意 x∈R，x2+2ax+a＞0”是真命题，那么实数 a 的取值范围 是 0＜a＜ 1 ． 【解答】 解：命题 “任意 x∈R，x2+2ax+a＞0”是真命题， 则△＜ 0，
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即 4a2﹣4a＜ 0， 解得 0＜a＜1； 所以实数 a 的取值范围是 0＜a＜1． 故答案为： 0＜a＜ 1．
11．（ 3 分）对函数
（其中 a 为实数， x≠1），给出下列命题；
①当 a=1 时， f （x）在定义域上为单调递减函数； ②对任意 a∈R， f（ x）都不是奇函数； ③当 a=1 时， f （x）为偶函数； ④关于 x 的方程 f（x）=0 最多有一个实数根， 其中正确命题的序号为 ②④ ，（把所有正确的命题序号写入横线） 【解答】 解：对于①，当 a=1 时， f（x）=1+ ，是由 y= 向右，向上平移一个
-2016自主招生必做数学试卷
2015-2016自主招生必做数学试卷（含答案）（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误．．的是（ ） A ．a c < B ．b c < C ．2224a b c += D ．222a b c += 2．下列计算：①42=±；②632632a a a =⨯；③20111||2sin 45(1)012-+-=-；④b c ba c a+=+．其中正确的个数有（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元） 5 10 20 50人数（人）1 2 3 2设这8人捐款数的众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则下列各式正确的是（ ） A ．a b c =< B ．a b c << C ．a b c => D ．a b c ==4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C 、、，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）A ．(2,0)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．无法确定5．如右图，在ABC ∆中，5,4,3AB AC BC ===，经过点C 且与边AB 相切的动圆 与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．2B ．125C ．52D ．226．定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 7．化简22221621()393x x x x x x x x --+++÷+-+的结果为 。
最新进才自招数学试题含答案
进才中学自招数学试卷a 0a 18031．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进 米，然后原地逆时针旋转 ，1a 被称为一次操作，若5 次操作后，发现赛车回到出发点，则 为 A. 72B . 108C . 144D . 以上选项均不对32 ．已知△ABC 的两条中线的长分别为5，10。
若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为 A. 7B. 8C .D . 151433 ．如图，小明想用如图所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5c m ，弧长是6 cm ，那么围成的圆锥的高度是 A. 3cmB. 4 c mC . 5 c mD . 6 c mO5cmAB第33题图34 ．冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就m a b 均能受到阳光照射，此时整一根 米长的竹竿，其阴影长为 米，某单位计划想建 米高的南北两幢宿舍楼（如图所示），当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？A m 米m 米BC 第34题图bm aam bab mA.B.C.D . abm 米米米米35 a b 2 n （其中 为正．如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如a b ab ， a b a 2ab b ， 整数）展开式的系数，例如： 22 2a b6展开式中按上述形式降幂排列时前四项系a b a 3a b 3ab b ， 3 3 2 2 2 那么数分别为 A. 1，5，6，8B. 1，5，6，10C . 1，6，1 5，18D . 1，6 ，15，201 1 1 213311 1 36 ．三种图书的单价分别为10元，15元和 20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有A. 9 种B. 10种 C . D . 11 种 12 种 37 ．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 A. 167334B. 168602C . 169260D . 16926238 ．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
2016进才自招试题答案
HG F E DO C B A2016年进才中学数学自招题答案31．5次操作回到出发点，则路径构成一个正六边形，所以内角120a =︒，选D 。
32．如图，O 是ABC △的重心，510AE CD ==，，作CH AD ∥且CH AD =，所以有四边形ADCH 为平行四边形。
因为点F 是AC 中点，所以21AG OC AO GH DO OE===，所以OG EH ∥且32EH EA OG OA ==，即32EH OG =，又因为2BO OF OG ==，32BF OG =，所以BF EH =，即三条中线可以构成一个三角形，所以第三条中线满足515CD AE BF CD AE -=<<+=， 整数最大值取14。
选C 。
33．扇形半径是5cm ，即5OA cm =，弧长AB 是6cm π，所以圆锥底面圆形半径32AB AC cm π==，所以4OC cm =。
选B 。
34．易知楼高与楼间距构成的三角形和竹竿及其影子构成的三角形相似。
所以有AB DE BC EF =，即m a BC b =，所以bm BC a=米，选A 。
35．如图，选D 。
36．分别设10元，15元，20元的图书分别买了a 本，b 本，c 本，所以有30a b c ++=，101520500a b c ++=，两式消去a ，有240b c +=，这里a b c ，，均为大于零的整数，所以c最大可以取20（此时0b =10a =，），最小可以取10（此时200b a ==，。
c 取9时22b =，3130b c +=>，）。
所以一共有11种。
选C 。
F 1166155201551011111037．设这个六位数前三位数是a ，后三位数是b ，所以有10003a b ab +=，两边同乘3后因式分解有()()10003131000a b =--，因为a b ，均为大于100的正整数，所以31299a ->，又因为31a -是1000的因数，所以31a -可取500或1000，311000a -=时，a 取不到整数，舍去，31500a -=时，167a =，此时310002b -=，334b =。
上海进才中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种2．7⎫⎝展开式中含32x -的项是（ ） A ．第8项B ．第7项C ．第6项D ．第5项3．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．180-D ．90-4．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A ．252B ．216C ．162D ．2285．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10 6．1180被9除的余数为（ ）A ．1-B ．1C ．8D ．8-7．影片《红海行动》里的“蛟龙突击队”在奉命执行撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（ ） A ．18种B ．36种C ．144种D ．216种8．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ） A ．47B ．37C ．27D ．8219．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24010．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有( ) A ．264种B ．224种C ．250种D ．236种11．用6个字母,,,,,A B C a b c 编拟某种信号程序（大小写有区别），把这6个字母全部排列如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”的总数为( )A ．144B ．288C ．432D ．576 12．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ）A ．720B ．360C ．240D ．120二、填空题13．在二项式251x )x-（的展开式中，含4x 的项的系数是________． 14．北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法. 16．高三(3)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同排法的种数是________．17．若,m n 是不大于6的正整数，则22661m nC x C y +=表示不同的椭圆个数为__________18．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）. 19．若()626012612x a a x a x a x -=++++，则126a a a +++的值为__________.20．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学、物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为______.三、解答题21．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.22．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？23．从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒.24．毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A 、B 两人不排在一起，有几种排法？ （2）A 、B 两人必须排在一起，有几种排法？ （3）A 不在排头，B 不在排尾，有几种排法？25．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数． 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 26．已知*(12),n x n +∈N ．（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可. 【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有2215312215C C C A =种，再将三组分配到3个服务小组，共有221353132290C C C A A ⋅=种， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22A ，故有2215312215C C C A =种，再分配进而解决，是中档题.2．C解析：C 【分析】根据二项展开式的通项公式，求得含32x -项对应的r 即可得到结论.【详解】解：7⎫⎝展开式的通项公式为：()21172722217713133rr r r r rr T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令73522r r -=-⇒=； 故展开式中含32x -的项是第6项. 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.3．A解析：A 【分析】利用二项式系数的对称性求得10n =，然后写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n ∴=，故22nx ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()5105211010222rrr r rr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎭⋅⋅⎝， 令5502r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为22102180C ⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个， 这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.5．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 6．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯-121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，先得到任务E 、F 相邻的位置的种数，再考虑E 、F 的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解. 【详解】因为A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起， 则任务E 、F 相邻的位置有3种， 考虑E 、F 的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有336A =种， 所以这6项任务的不同安排方案共有32636⨯⨯=种， 故选：B 【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果.【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.10．A解析：A 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.11．B解析：B 【分析】根据题意，分三步进行分析：（1）先确定排到同一列的上下各位置的一对字母，由分步计数原理可得其放法数目；（2）确定好第一组数据，剩下两组数据对应四个表格，分析方法（1），则可确定第二组字母的放法数目；（3）剩最后一组字母放入最后两个位置，由排列公式即可得其放法数目.最后由分步计数原理计算即可得出答案. 【详解】根据题意分析，分三步进行：（1）先选定排列到同一列上下格位置的一对字母，有3种情况，再将其放入表格中，有3种情况，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序； （2）再分析第二对字母，假设（1）中选定的为,A a ，则剩下的两组字母中选一组有2种情况，再将其放入表格中有2种不同结果，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序；（3）最后一对字母放入最后两个位置有2种不同的排法. 所以共有3322222288⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个“微错号”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查计数原理，解题的关键是弄清题目中排列的方法.12．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列， 而甲和乙之间还有一个排列， 共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.二、填空题13．10【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数再确定对应项系数详解：所以令得即含的项的系数是点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特解析：10 【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求含4x 的项的项数，再确定对应项系数. 详解：251031551()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=- ， 所以令1034r -=得2r，即含4x 的项的系数是225(1)=10.C -点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．2940【分析】根据题意有两类分配方案第一类：224三组第二类：233三组分别求得排班种数再利用分类计数原理求解【详解】由8名志愿者根据早中晚三班且每班至少2人分为3组第一类：224三组共有种第二类解析：2940根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680C C CAA⋅=种，第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C CAA⋅=种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=.故答案为：2940【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A种分法，分成2、2、1时，有22353322C CAA种分法，所以共有223335353322150C CC A AA+=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．288【分析】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目有种排法这样共有5个节目其中2个音乐节目不连排2个舞蹈节目不连排然后分成三类进行求解【详解】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目有种解析：288【分析】先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有23A种排法，这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排，然后分成三类进行求解.先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目，有23A 种排法 这样共有5个节目，其中2个音乐节目不连排，2个舞蹈节目不连排如图，若曲艺节目排在1号（或5号）位置，则有22416A A =种排法 若曲艺节目排在2号（或4号）位置，则有2222416A A =种排法 若曲艺节目排在3号位置，则有22222216A A ⨯⨯=种排法 所以共有()23161616288A ⨯++=排法故答案为：288 【点睛】本题主要考查的是排列和简单的计数问题，解题的关键是对问题进行合适的分步和分类.17．12【分析】根据已知可得由组合数的性质确定出可能取到的数再由即可求出结论【详解】表示不同的椭圆可能取到的数为且所以表示不同的椭圆个数为故答案为：12【点睛】本题考查组合数的性质排列的应用属于中档题解析：12 【分析】根据已知可得16,16m n ≤≤≤≤，由组合数的性质，确定出6mC ，6nC 可能取到的数，再由66mnC C ≠，即可求出结论. 【详解】16,16m n ≤≤≤≤，15246666,C C C C ==， 22661m n C x C y +=表示不同的椭圆，66,m n C C 可能取到的数为12366666,,,C C C C ，且66m n C C ≠，所以表示不同的椭圆个数为2412A =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查组合数的性质、排列的应用，属于中档题.18．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列， 有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况， 则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．19．0【分析】在所给的等式中分别令令从而求得的值【详解】解：令可得再令可得故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用二项展开式的通项公式二项式系数的性质利用赋值法是解题的关键解析：0 【分析】在所给的等式中，分别令0x =，令1x =，从而求得126a a a ++⋯+的值． 【详解】解：6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =，可得01a =，再令1x =，可得12611a a a +++⋯+=， 1260a a a ∴++⋯+=，故答案为：0． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，利用赋值法是解题的关键．20．【分析】分两类：①一天科另一天科第一步安排数学物理两科作业第二步安排另科一组科一组科第三步完成各科作业②两天各科数学物理两科各一组另科每组分科第一步安排数学物理两科作业第二步安排另科每组科第三步完成 解析：1200【分析】分两类：①一天2科，另一天4科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，第三步，完成各科作业.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科每组2科，第三步，完成各科作业. 【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科. ①第一步，安排数学、物理两科作业，有22A 种方法；第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有132432C C A种方法；第三步，完成各科作业，有4242A A种方法.所以共有213242243242768A C C A A A=种.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，第一步，安排数学、物理两科作业，有22A种方法；第二步，安排另4科每组2科，有22242222C CAA⨯种方法；第三步，完成各科作业，有3333A A种方法.所以共有22223342223322432C CA A A AA⨯=种.综上，共有7684321200+=种.故答案为：1200【点睛】本题主要考查排列组合在实际问题中的应用，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）24，（2）252.【分析】（1）分两步，第一步，排甲乙两人，有222A=种排法，第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A=种排法，即可得出答案（2）以乙跑不跑第一棒分成两类，第一类，乙跑第一棒，有131560A A=种排法，第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A=种排法，即可得出答案.【详解】（1）因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒所以可分两步，第一步，排甲乙两人，有222A=种排法第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A=种排法所以共有21224⨯=种排法（2）以乙跑不跑第一棒分成两类第一类，乙跑第一棒，有131560A A=种排法第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A=种排法所以共有60192252+=种排法【点睛】本题考查的是分步和分类计数原理、排列，属于基础题. 22．①100800；②14400；③5760；④28800【分析】①分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；②由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有33A 种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；③由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有33A 种情况，4个奇数也排在一起有44A 种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；④由①的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有4454C A 种情况，再将3个偶数分别插入5个空档，有3345C A 种情况，进而由乘法原理，计算可得答案． 【详解】解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有34C 种情况； 第二步在5个奇数中取4个，可有45C 种情况； 第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77A 种情况， 所以符合题意的七位数有347457100800C C A =个.②上述七位数中，三个偶数排在一起的有3453455314400C C A A =个.③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有34342453425760C C A A A =个. ④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有4454C A 334528800C A =个. 【点睛】对于有限制条件的排列问题，常见方法是分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．23．（1）144（2）336 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论． （2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解； 【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种. 【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形．24．（1）480；（2）240；（3）504. 【分析】（1）利用插空法可求出排法种数； （2）利用捆绑法可求出排法种数；（3）分两种情况讨论：①若A 在排尾；②若A 不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案. 【详解】（1）将A 、B 插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为42452420480A A =⨯=；（2）将A 、B 两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为25252120240A A =⨯=； （3）分以下两种情况讨论：①若A 在排尾，则剩下的5人全排列，故有55120A =种排法；②若A 不在排尾，则A 有4个位置可选，B 有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有114444384C C A =种排法. 综上所述，共有120384504+=种不同的排法种数. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）576；（2）576；（3）144 【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决. 【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有23413442C C A A ＝576个．（2）五位数中，偶数排在一起的有23423442C C A A ＝576个．（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有23233423C C A A ＝144．【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题． 26．（1）1120；（2）561792,1792x x 【分析】（1）由奇数项的二项式系数和为128求得8n =，再利用二项式系数的性质求解即可； （2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得8n =，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可. 【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为0241...2128n n n n C C C -+++==,可得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为44821120C ⨯=；（2）由展开式前三项的二项式系数和012(1)1372n n n n n C C C n -++=++=， 化为2720n n +-=，解得8n =，或9n =-（舍去）， 设展开式中系数最大的项为第1k +项，则11881188225622k k k k kk k k C C k C C --++⎧⨯≥⨯⇒≤≤⎨⨯≥⨯⎩， 所以展开式中系数最大的项为第6或第7项， 即5556666878(2)1792,(2)1792T C x x T C x x =⋅==⋅=【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.。
进才中学自招数学真题(含答案)
进才自招试题1、220162017a a +=，220162017b b +=，求()()11a b --．【答案】0或4072324．【解析】由题意，,a b 都是方程220162017x x +=的根，所以,1a b =或2017-． 若1a =或1b =，则()()110a b --=；若2017a b ==-，则()()21120184072324a b --==． 因此()()110a b --=或4072324．2、已知0,0x y >>，y xy x =，2y x x y =，求x y +． 【答案】2或9724． 【解析】由题意()2x xy y=，所以3x y -=．于是23y y y --=． 若1y =则1x =，经检验符合条件，此时2x y +=；若1y ≠，则23y -=-，此时23y =，而3278x y -==，经检验也符合条件， 此时9724x y +=． 因此2x y +=或9724．3、已知()()(),b c,,a d ac bd ad bc =++且()()(),,,v u v x y u =，求x y +．【答案】当0u v +≠时1x y +=，当0u v +=时x y +可为任意实数．【解析】由题意()()(),,,u v x y ux vy uy vx =++，所以()(),,ux vy uy vx u v ++=． 将两者相加可知ux vy uy vx u v +++=+，所以()()10u v x y ++-=．若0u v +≠，则1x y +=；若0u v +=，则()(),,ux vy uy vx u v ++=当且仅当1x y -=，所以x y +可以为任意实数．4、21x m x -=-有三个不等的实数解，求m ．【答案】1或54． 【解析】由题意，函数2|1|y x =-与y m x =-的图像恰有三个不同交点．其中，2|1|y x =-为抛物线21y x =- 在()1,1-区间上的部分关于x 轴翻折得到的， 而y m x =-的图像是由y x =-图像上下平移得到的．分析两者的图像可知，当且仅当y m x =-与()2|1|11y x x =--<<相切或y m x =-过()1,0时两者恰有三个交点． 若y m x =- 与()2|1|11y x x =--<<相切，则方程21x m x -=-判别式为零， 即()2514104m m --=⇒=．经检验此时两图像相切于13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合条件． 若y m x =-过()1,0，则1m =，经检验也符合条件．因此1m =或54．5、0a >，210a a --=，求43a a -．【答案】32+．【解析】由题意4321a a a a -==+．由于21102a a a --=⇒=，而0a >，所以12a +=，故43312a a a +-=+=．6、甲、乙相距60km ，公交车速度为60km /h ，6点发第一班车，每15分钟一班，问从乙站9点发的一班车可在途中遇到几辆车？【答案】9．【解析】当这班车从乙地出发时，恰有一班从甲地出发的车到达乙地， 此车的出发时间为60160=小时前（即8点发车）． 此车到达甲地的时间为10点， 所以途中会遇到所有8点到10点之间从甲地出发的车，共2601519⨯÷+=（辆），且不会遇到别的车．7、1:10'≥2:10'> 3:x x '> 224:2230a b a b '++-+> 中正确的有（）个．【答案】3． 【解析】10≥正确，10>正确，||x x >错误，比如0x ≥时||x x =，()()22222231110a b a b a b ++-+=++-+>正确，因此共3个正确选项．8、230x ax b ---=有两个不等实根，2330x ax a b -+--=有两个相等实根， 2210x ax a b -+-+=无实根，求a 、b 范围．【答案】04,35a b <<-<<．【解析】由题意得()()()22243043304210a b a a b a a b ⎧++>⎪⎪---=⎨⎪--+<⎪⎩ ．由中间式可知212124a a b -+=-， 代入其余两式得1204160a a >⎧⎨-<⎩，所以04a <<，对应b 的范围为35b -<<． 9、42a a -+=，求[]a （[]a 为不超过a 的最大整数）． 【答案】2或1-．【解析】去分母可得2240a a --+=，故)410-=．0≥10=， 得2210a a --=，即1a =±． 经检验都是原方程的解．因此[]12a ⎡=+=⎣或[]11a ⎡==-⎣．10、矩形ABCD ，2AB =，BC a =，E 为BC 边上一点，且AE ED ⊥，求a 的取值范围．【答案】4a ≥．【解析】设,BE x CE y ==，则由于AE ED ⊥可得ABEECD ∆∆，所以AB EC BE CD =，由于2AB CD ==，所以4xy =．于是4a x y =+≥=，且没有上界（只要4a ≥，,x y 就有解）．因此a 的取值范围是4a ≥．11、四个圆环由大到小排列，将四个圆环转移到C ，可借助B ，转移过程中只能大环在小环下A B C面，至少需要几次？【答案】15．【解析】此题为著名的“汉诺塔”问题．可以通过归纳证明移动n 个圆环至少需要21n -次移动．当1n =时结论显然成立．为完成归纳过渡，设结论在n k =时已成立，假设1n k =+． 此时考虑移动最大的一个圆环的操作． 设第一次移动最大的圆环的操作是i ，最后一次移动这个圆环的操作是j （i j ≤），我们证明：i 之前至少有21k -次操作，j 之后至少有21k -此操作，从而整套操作至少12112121k k k +-++-=-次．由于操作i 进行时，最大圆环进出的两根柱子都不能有其他圆环，所以其余k 个圆环此时都在第三根柱子上，即操作i 之前须将前k 个圆环从A 移至另一根柱子，且保持上小下大的顺序，而最大的圆环不动．由归纳假设至少需要21k -次操作．另一方面，操作j 进行时同样其余k 个圆环都在第三根柱子上，上小下大，且j 之后最大圆环不再移动，所以须将其余k 个圆环从另一根柱子上移到C 上，根据归纳假设至少需要21k -次操作．因此归纳过渡成立．从而转移四个圆环至少需要42115-=次． 例子的构造只需根据归纳中取到等号的条件来进行即可（即先将上面的1k -个圆环移动到B 然后将最大的圆环移动到C ，最后将B 上的圆环移动到C ）．。
进才中学自主招生试题五
A B CD M NEF 进才中学新生入学数学测试卷 (五)班级_____________学号_______姓名______________成绩_____________一.选择题:1.关于x 的方程02)3(2=+-++m x m x 的两实根互为相反数,则m 的值为 ( )(A)3±； (B)3； (C)3-； (D)不存在.2.计算:ba b b a b a b a b a ++÷-+)(的值为 ( ) (A)0； (B)1； (C)1-； (D)2.3.1021,,,x x x 的平均数为a ,501211,,,x x x 的平均数为b ,则5021,,,x x x 的平均数为( )(A)b a +； (B)2b a +； (C)605010b a +； (D)504010b a +.4.在函数1322+-=x x y 上有三个点),4(,),5.3(,),3(321y C y B y A ,则321,,y y y 的大小关系为( )(A)321y y y <<； (B)231y y y <<； (C)312y y y <<； (D)123y y y <<.5.反比例函数)0(>=k xk y 在第一象限内的图象如图,P 为该 图象上任意一点,PQ 垂直于x 轴,垂足为Q ,设POQ ∆的面积 为S ,则S 的值与k 之间的关系是 ( )(A)4k S =； (B)2k S =； (C)k S =； (D)k S >.6.如果不论k 取何值，1-=x 总是关于x 的方程1322=--+k b x a x k 的解，则（ ） (A)32,23==b a ； (B) 23,32==b a ； (C) 0,94==b a ； (D) 94,0==b a .7.从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为531、、，则这个等边三角形的面积是 （ ） (A)327； (B)39； (C)2327； (D)239.8.已知点P 到圆O 上各点的距离的最大值为8，最小值为2，则此圆的半径为（ ）(A)3； (B)5； (C)4； (D)3或5.9.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 30=∠B ， 60=∠C ， 、、M E N F 、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，7=BC ， 3=MN ，则EF 的值为 （ ）(A)4； (B)29； (C)5； (D)6. 10.已知ABC ∆中，中线CE BD 、相交于G ，若1=∆DEG S ，则ABC ∆的面积为（ ）(A)7； (B)10； (C)12； (D)14.11.若角βα、为锐角，且βαcos cos <，则下列各式正确的是 （ ）(A)βα<； (B)βαctg ctg <； (C)βαtg tg <； (D)βαsin sin <.12.若两圆半径分别为R 和r )(r R ≠，圆心距为d ，且d R r d R 2222=-+，则两圆的位置关系是 （ ）(A)内切； (B 内切或外切； (C)外切； (D)相交.13.内接于半圆的正方形面积与内接于这个圆的正方形的面积之比为 （ ）(A)2:1； (B)3:2； (C)5:2； (D)4:3.14.甲、乙两车从B A 、两地同时相向匀速行进，相遇后，甲车4小时到达B 地，乙车9小时到达A 地，则甲、乙两车走完全程各用了多长时间？ （ ）(A)甲用5小时，乙用10小时； (B)甲用10小时，乙用20小时；(C)甲用10小时，乙用5小时； (D)甲用10小时，乙用15小时.15.已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-+-+m x m x m 的两个实根之积的10倍与两实根平方和的差小于8，则m 的取值范围是 （ ）(A)11≤<-m ； (B)11<≤-m ； (C)11≤<-m 且0≠m ；(D)11≤≤-m .二.填空题：16.已知01242=++++b b a ，当方程02=++b x a x k 有两个不相等的实根时，k的取值范围是______________.17.若直线b x y +-=5与双曲线xy 2-=相交于点),2(m P -，则=b ___________.18.方程6252522=+---x x x x 的根为______________.19.某种储蓄的月利率是8.0%，存入100元本金后，本息之和与所存月数x 之间的函数关系式是______________.20.在锐角ABC ∆中，已知 60=∠A ，ctgB ctgA 、是方程0)33(32=++-m x x 的两 根，则=∠B ___________，=m ____________.21.若一圆锥的侧面展开图的半径为6，圆心角为 120，则这个圆锥的底面半径为__________，高为__________.22.ABC ∆中， 44=∠A ， 56=∠B ，则C ∠的平分线与AB 边上的高的夹角=________.进才中学新生入学数学测试卷 （五）答案一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．D9．A 10．C 11．B 12．B 13．C 14．D 15．C二．填空题：16．4->k 且0≠k 17．9-=b 18．7,221=-=x x 19．x y 8.0100+= 20．33,45 21．24,2 22． 6。
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H
G F E D
O C B A
2016年进才中学数学自招题答案
31．5次操作回到出发点，则路径构成一个正六边形，所以内角120a =︒，选D 。
32．如图，O 是ABC △的重心，510AE CD ==，，作CH AD ∥且CH AD =，所以有四边
形ADCH 为平行四边形。
因为点F 是AC 中点，所以21AG OC AO GH DO OE
===，所以OG EH ∥且32EH EA OG OA ==，即32EH OG =，又因为2BO OF OG ==，32
BF OG =，所以BF EH =，即三条中线可以构成一个三角形，所以第三条中线满足515CD AE BF CD AE -=<<+=， 整数最大值取14。
选C 。
33．扇形半径是5cm ，即5OA cm =，弧长AB 是6cm π，所以圆锥底面圆形半径
32AB AC cm π
==，所以4OC cm =。
选B 。
34．易知楼高与楼间距构成的三角形和竹竿及其影子构成的三角形相似。
所以有
AB DE BC EF =，即m a BC b =，所以bm BC a
=米，选A 。
35．如图，选D 。
36．分别设10元，15元，20元的图书分别买了a 本，b 本，c 本，所以有30a b c ++=，101520500a b c ++=，两式消去a ，有240b c +=，这里a b c ，，均为大于零的整数，所以c
最大可以取20（此时0b =10a =，），最小可以取10（此时200b a ==，。
c 取9时22b =，
3130b c +=>，）。
所以一共有11种。
选C 。
F 1166155
20155101111
10
37．设这个六位数前三位数是a ，后三位数是b ，所以有10003a b ab +=，两边同乘3后因式分解有()()10003131000a b =--，因为a b ，均为大于100的正整数，所以31299a ->，又因为31a -是1000的因数，所以31a -可取500或1000，311000a -=时，a 取不到整数，舍去，31500a -=时，167a =，此时310002b -=，334b =。
选A 。
38．“和谐数”设为m ，它一定可以表示为()332m n n =--，其中n 为正整数。
题目要求
2016m ≤，大致计算可得n 最大为19，于是有
()3
3211=-- 332631=-
3319461917=-
等式右边两两相消于是有
“和谐数”总和()331916860=--=。
选B 。
39．n x 要求互不相同的正整数，求n 最大值，故将111
112
222332
333
从最小的正整数1开始逐个1+排
列，又因为122017n x x x +=+，所以有()120172n n
+⨯≤，n 最大取到63，此时
()6316264n x n n x ==≤≤，。
选A 。
40．欲求一列和M 的最小值，故先考虑数字1的摆放，因为同列任何两数之差不大于2，所
以1不能与45，
同列，所以1最多放3列，此时3列剩余10个数填入5个2，5个3，使得max 351525330M =⨯+⨯+⨯=，即max 10M =，排列如下。
111
112
222332
333
1放入两列时，此时2列剩余5个数填入5个3，使得max 2515320M =⨯+⨯=，即
max 10M =，但现实无法实现，只能如下排列使得M 尽量大，此时=9M 。
=5M
1全部放入一列时，显然=5M 。
综上max 10M =。