第七讲 微分方程模型(Ⅱ)
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
微分方程模型02
微分方程模型在实际问题中，我们很难直接得出变量之间的数量关系，但是有时却很容易写出包括变量的导函数在内的一个方程，这就是微分方程，我们在一般的建模中常涉及常微分方程。
微分方程一般形式为：0),...,'',',,()(=n yy y y x F 或),...,'',',,()1()(-=n n yy y y x f y。
若在某个范围内存在具有n 阶导数的函数)(x y ψ=使得))(,...,')'(,)'(),(,()(=x x x x x F n ψψψψ，则称)(x y ψ=是微分方程的解。
微分方程所解决的问题通常可以分为两类：一类是用微分方程列出变量之间的关系式，求出位置函数的表达式，有时要借助软件进行数值分析；另一类是要了解未知变量或函数的某些性质即可，常需要根据微分方程的定性理论来研究，这两类建模问题我们将在后面进行讨论。
1. 微分方程简介1.1. 简单的微分方程模型一种比较简单的微分方程模型是变量的变化率与函数的即时值成正比，即kyy ='，它的解就是kt e y t y 0)(=，这里0y 是初值，k 是待定常量。
通常情况下，如果0>k 称)(t y 指数递增；如果0<k ，称)(t y 指数递减，我们通过几个例子来说明这种事实。
1.1.1. 放射性元素的自然衰变放射性元素的自然衰变是化学上的一个基本事实，它常用于定碳测量，在考古学学上利用该方法测定古生物生存年代。
存活于生物组织中占有确定比例的碳原子是放射性同位素14C ，一旦生物组织死亡，这种14C 不会增加，而会将一定比例的14C 衰变为12C ,并保持一定的速率（14C 的半衰期为5568年）按指数规律下降。
测定它现存的比例并与活的样品比较，就可以求得比例下降了多少，也就得到了被测样品的实际年代。
建立模型：假定)(t y 为t 时刻生物体内14C 原子的个数，经过相同的时间T ,y的值减少为原值的1/2 (指数衰减)。
第七章 常微分方程模型的数值解法
第七章 常微分方程数值解法简介微分方程在科学和工程技术中有很广泛的应用。
许多实际问题的数学模型都可以用微分方程来描述，归结为常微分方程的定解问题；很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解，但是求出所需的解绝非易事。
实际上，除了极特殊情形外，人们不可能求出微分方程的解析解，只能用各种近似方法得到满足一定精度的近似解。
在常微分方程中已经熟悉了级数解法和Picard 逐步逼近法，这些方法可以给出解的近似表达式，称为近似解析方法。
另一类方法只给出解在一些离散点上的值，称为数值方法。
后一类方法应用范围更广，特别适合用计算机计算，本章主要介绍常用的常微分方程数值解法。
7.1实际问题的微分方程模型函数是事物的内部联系在数量方面的反映,如何寻找变量之间的函数关系,在实际应用中具有重要意义。
在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系,但是有时却容易找出变量的改变量之间的关系，从而建立描述问题的微分方程模型。
例7.1.1 将初始温度00150u C =的一碗汤放置于环境温度a u 保持为024C 的桌上，10分钟后测得汤的温度为0100C 。
如果汤的温度低于055C 才可以喝，试问再过20分钟后这碗汤能喝了吗？解：为了解决这一问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成正比。
设物体在t 时刻的温度为()u u t =，从t t t →+∆温度从()()u t u t t →+∆，注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而0a u u >，所以温度差a u u -恒正，又因物体将随时间而逐渐冷却；则温度的改变量为:()()(())a u u t t u t k u t t u t∆=+∆-=-+∆-∆两边除以t ∆，并令0t ∆→得温度变化速度为：()a du k u u dt=--这里0k >是比例常数。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
微分方程模型——数学建模真题解析 ppt课件
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
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7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1
x1
Df Dx
D( f1, f2 ,L D(x1, x2 ,L
, fn) , xn )
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请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
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25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会 发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
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11
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
微分方程模型2
§3.5传染病模型传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。
在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。
即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。
如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
设某地区共有n +1人，最初时刻共有i 人得病，t 时刻已感染（infective ）的病人数为i (t )，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k 个人（k 称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型1此模型即Malthus 模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。
()odi ki dt i o i ⎧=⎪⎨⎪=⎩则可导出：故可得：()kto i t i e =（3.15）模型2记t 时刻的病人数与易感染人数（susceptible ）分别为i (t )与s (t )，初始时刻的病人数为i 。
根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，1o o o i c n i =+-其中：(1)(1)(1)()1k n t o k n to c n e i t c e +++=+解得：（3.17）()()1()o di kis dt i t s t n i o i ⎧=⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩可得：（3.16）统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更接近实际情况。
医学上称曲线为传染病曲线，并称最大值时刻t 1为此传染病的流行高峰。
微分方程模型
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
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0
x(t)
( y0 / x0 )2 100
乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜.
美国曾用这个模型分析越南战争．美国正规部队 （乙方）要取胜越南游击部队（甲方），至少要投入8 倍于游击部队一方的兵力，而美国最多只能派出6倍于 越南的兵力，美国得出不可取胜的结论，最终撤出了
越南．
正规战模 Engel J.H. 利用二次大战末期美日硫黄岛
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
结果 分析
y 0
d
rs s x rx x
线性律
x0 c ry sry s y 模型
乙方胜
即初始兵力之比y0/x0以线性关系影响战争结局，并 且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面
积Sx与增加初始兵力y0起着同样的作用．
Байду номын сангаас
3.4.4混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
3.4.3 游击战争模型 双方都用游击部队作战
•甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
g(x, y) dxy, d rx px rxsrx / sy
在式（14）中令t=36，得
36
u A36
a 1 36
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
x -ay -x u(t) y -bx - y v(t) (2)
g bx, b rx px
•忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
y
bx
(3)
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型
x ay
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
3.4.1一般战争模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
1）每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，
模 型
f(x,y)~甲方战斗减员率，g(x,y)~乙方战斗减员率
假 2）每方非战斗减员率与本方兵力成正比，比
设 例系数分别为 ,
x cxy
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
n 0,乙方胜
n 0,平局
cy 2 2bx n
n cy 2 2bx
0
0
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y 0
x0
2r p s x xx
ry sry x0
n 0,甲方胜 设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
A0 0, J 0 21500
(13)
由u(t)及每天的伤亡 人数可算出A(t)， t=1,2, …,36（见图 3.4.4 中虚线）
图3.4.4
对式（13）用求和代替积 分得
dA aJ (t) ut
dt dJ bA(t) dt
A0 0, J 0 21500
(13)
t
t
At A0 a J u (14)
•忽略非战斗减员 •假设没有增援
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
游击战争模型
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
第三章 微分方程建模（Ⅱ）
§3.4 战争模型 §3.5 饿狼追兔问题 §3.6 放射性废物的处理问题
§3.4 战争模型
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
y(t)
g(x,
y)
y
v(t),
0
（1）
在模型（1）中取 α = β = 0（忽略非战斗减员）,
且 vt 0, f x, y a J (t), gx, y bA(t),
54000 0 t 1
ut
6000 13000
2t3 5t 6
0
其它
于是有
dA aJ (t) ut
dt dJ bA(t) dt
3）甲乙双方的增援率分别为u(t), v(t)
模型 x(t) f (x, y) x u(t), 0
建立
y(t)
g(
x,
y)
y
v(t),
0
（1）
f, g 取决于战争类型
3.4.2 正规战争模型 双方均以正规部队作战
甲(乙)方战斗减员率只取决于乙(甲)方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
ay2 bx2 k
k ay02 bx02
y(t)
k 0
k 0 x 0时y 0 乙方胜
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
结果 分析
2
y0 x
0
b rx px a rp
yy
平方律 乙方胜 模型
上式说明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响 着战争的结局，如乙方兵力增加到原来的2倍（甲 方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或 者若甲方的战斗力如射击率ry增加到原来的4倍（px, rx, py不变），乙方只要将初始兵力y0增加到原来的2 倍就可抗衡．
型检验
战役时美军的战地记录验证了正规战争模 型．
美军1945年2月19日开始进攻硫黄岛，战斗36 天，日军21500人全部阵亡或被俘，战地记录全部 遗失，美军投入兵力73000人，伤亡20265人．
美军有增援，日军没有增援.
用A(t)和J(t)表示美军和日军第t天的人数，
x(t) f (x, y) x u(t), 0
1
1
t
J t J 0 b A
(15)
1
由A(t)的实际数据可得
36
A 2037000
1
因J(36)=0, J(0)=21500, 式（15）中令t=36求得
b 21500 0.0106, 2037000
再将b=0.0106代入(15)式，又可算出J(t), t=1,2, …,36