初一数学平方根与立方根
初一数学掌握平方根和立方根的概念与计算方法
初一数学掌握平方根和立方根的概念与计算方法数学作为一门基础科学学科，对于初一学生来说，平方根和立方根是重要的数学概念。
掌握这些概念及其计算方法，对于解决各类数学问题和提高计算能力都至关重要。
本文将介绍初一数学中平方根和立方根的概念、计算方法以及应用举例。
一、平方根的概念与计算方法平方根是数学中一个基本的概念，表示一个数的平方根。
简单来说，对于一个正数a，如果存在另一个正数b使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
平方根常用符号√a表示，读作根号a。
要计算一个数的平方根，可以使用一些方法。
最常用的方法是通过近似值进行计算。
可以从一些已知的平方数，如1、4、9、16等出发，不断逼近目标数的平方根，直到逼近的程度符合要求。
例如，我们要计算25的平方根。
首先，我们可以将25与已知平方数16进行比较，发现25大于16。
然后，我们可以将25与更大一点的平方数，如20的平方进行比较，可以发现25仍然大于20的平方。
继续增大逼近值，我们可以采用21的平方进行比较，发现25小于21的平方。
这时候，我们可以更进一步，将逼近值设置为20和21之间的一个数，例如20.5，通过计算得到20.5的平方为420.25。
可以发现，25与420.25相比，还是偏小。
因此，我们可以再次逼近，将逼近值调整为21和21.5之间的一个数，例如21.2，再次进行计算。
通过多次逼近，最终我们可以得到25的平方根约为5。
当然，对于一些特殊的平方数，如完全平方数，其平方根可能是一个整数，这样的计算就更加简单了。
二、立方根的概念与计算方法立方根是一个数学概念，用来表示一个数的立方根。
类似于平方根，如果一个正数a存在另一个正数b，使得b的立方等于a，那么b就是a的立方根。
立方根通常用符号∛a表示。
计算立方根的方法可以和平方根类似，通过逼近值进行计算。
首先，我们可以从一些已知的立方数，如1、8、27、64等出发，不断逼近目标数的立方根，直到逼近的程度满足要求。
初中数学知识归纳平方根与立方根的计算
初中数学知识归纳平方根与立方根的计算初中数学知识归纳：平方根与立方根的计算数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿我们的日常生活。
在初中阶段，我们学习了许多数学知识，其中包括平方根与立方根的计算。
本文将对平方根与立方根的概念、计算方法以及应用进行归纳与总结。
一、平方根的计算与应用平方根，顾名思义，即一个数的平方根是它的二次方的逆运算。
形式上，如果a^2=b，则a称为b的平方根，记作√b。
对于非负数b来说，它的平方根有两个相等的实数解，一个是正数，另一个是负数。
在进行平方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：对于较小的数，我们可以通过手算来计算其平方根。
例如，√16=4，√25=5。
2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用平方根的计算公式来求解。
对于任意非负数a，它的平方根可以通过√a=sqrt(a)计算得到。
在实际生活中，平方根广泛应用于各个领域，如物理、工程等。
例如，在物理学中，速度的大小可以通过平方根计算，加速度等物理量的计算也涉及到平方根。
此外，平方根还可以用于计算三角函数值以及解决几何问题等。
二、立方根的计算与应用立方根与平方根的计算类似，不同之处在于立方根指的是一个数的三次方的逆运算。
对于一个非负数b来说，它的立方根只有一个实数解。
在进行立方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：与平方根类似，对于较小的数可以通过手算来计算立方根。
例如，³√8=2，³√27=3。
2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用立方根的计算公式来求解。
对于任意非负数a，它的立方根可以通过³√a=cbrt(a)计算得到。
与平方根类似，立方根在实际生活中也有广泛的应用。
例如，立方根可以用于计算物体的体积以及计算电力工程中的电流等。
在数学中，立方根还与一些特殊数学问题相关，如立方魔方等。
三、平方根与立方根的特殊计算除了一般的平方根与立方根的计算外，我们还需要了解一些特殊情况下的计算方法。
初中数学平方根和立方根
x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的 平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米， 根据题意列方程得x3＝64， 解得x＝4， 所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x， ．
，
B
FC
所以
(cm)．
初一数学课堂平方根与立方根
初一数学课堂平方根与立方根数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
作为初中一年级的学生，我们在数学课堂上学习了很多重要的概念和方法。
其中，平方根与立方根是我们要重点掌握的内容。
下面，我将详细介绍平方根与立方根的概念、性质以及应用。
一、平方根的概念与性质平方根是指一个数的平方等于它的正平方根的数。
比如，2的平方根是√2，因为√2 × √2 = 2。
平方根在解决问题中起着重要的作用，它帮助我们求解方程、计算面积等。
在数学课堂上，我们通常习惯记作√。
平方根有一些重要的性质，我们来详细了解。
1. 正数的平方根是唯一的：对于任何一个正数a，它的平方根是唯一的。
即如果b是a的平方根，那么b只能等于√a。
2. 非负数的平方根存在性：对于任何一个非负数a，它的平方根一定存在。
即无论a是多少，都存在一个非负数b，使得b的平方等于a。
3. 平方根的运算性质：平方根有一些重要的运算性质，比如√(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a / √b等。
这些性质有助于我们进行求解和简化计算。
二、立方根的概念与性质立方根与平方根类似，但是它是一个数的立方等于它的正立方根的数。
比如，2的立方根是³√2，因为(³√2)³ = 2。
立方根也在解决问题中起着关键的作用，尤其在几何体的计算中。
我们一起来了解立方根的概念与性质。
1. 正数的立方根是唯一的：与平方根类似，对于任何一个正数a，它的立方根是唯一的。
2. 非负数的立方根存在性：与平方根类似，对于任何一个非负数a，它的立方根一定存在。
3. 立方根的运算性质：立方根也有一些重要的运算性质，比如³√(ab) = ³√a × ³√b、³√(a/b) = ³√a / ³√b等。
这些性质与平方根的性质相似，可以帮助我们进行求解和简化计算。
三、平方根与立方根的应用平方根与立方根在我们的生活中有着广泛的应用，包括几何、物理等领域。
七年级数学平方根与立方根
七年级数学平方根与立方根数学中的平方根和立方根是我们在学习数学过程中经常接触到的概念。
它们在解决一些数学问题以及实际生活中的计算中起着重要的作用。
在接下来的文章中，我将向您介绍七年级数学中与平方根和立方根相关的基本概念和应用。
一、平方根的定义与性质首先我们来讨论平方根的概念。
平方根是指一个数的二次方等于它本身的非负实数。
例如，数3的平方根为√3，即√3×√3=3。
在数轴上，平方根的位置是在对应数的左边。
在数学中，平方根具有以下性质：1. 非负数的平方根是唯一的。
例如，数9的平方根是3，数16的平方根是4。
2. 负数没有实数平方根。
例如，数-4没有实数平方根，因为无论取√(-4)还是(-√4)，都无法满足平方根的定义。
3. 非负数的平方根有两个解，一个是正数解，一个是负数解。
例如，数16的平方根既可以是4，也可以是-4。
在实际生活中，平方根可以帮助我们计算一些几何问题，比如计算一个长方形的对角线长、计算一个三角形的斜边长等等。
此外，平方根还可以应用在物理学、工程学等领域的计算中。
二、立方根的定义与性质接下来，让我们来了解立方根的概念。
立方根是指一个数的三次方等于它本身的实数。
例如，数8的立方根为∛8，即∛8×∛8×∛8=8。
在数轴上，立方根的位置是在对应数的左边。
与平方根类似，立方根也有一些性质：1. 所有实数都有一个唯一的实数立方根。
例如，数8的立方根是2。
2. 负数也有立方根。
例如，数-8的立方根是-2。
因为(-2)×(-2)×(-2)=8。
在实际生活中，立方根可以帮助我们计算一些几何问题，比如计算一个长方体的体积、计算一个球体的半径等等。
此外，立方根还可以应用在物理学、工程学等领域的计算中。
三、平方根与立方根的计算在计算平方根和立方根时，我们可以借助计算器来进行精确计算。
但是，在某些情况下，我们需要在没有计算器的情况下进行估算。
下面介绍一些常用的估算方法。
七年级数学下册平方根与立方根【九大题型】(举一反三)(人教版)
专题6.1 平方根与立方根【九大题型】【人教版】【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 (1)【题型2 平方根性质的运用】 (2)【题型3 开平方、开立方的运算】 (4)【题型4 利用开平方、开立方解方程】 (5)【题型5 算术平方根的概念及非负性】 (7)【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 (8)【题型7 平方根与立方根综合】 (10)【题型8 算术平方根、立方根的应用】 (11)【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 (13)【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A．﹣a B．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．故选：D．【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（）A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．【解答】解：∵±1都是1的平方根， ∴选项A 符合题意； ∵-1没有平方根， ∴选项B 符合题意； ∵1的立方根是1， ∴选项C 不符合题意； ∵﹣1的立方根是﹣1， ∴选项D 符合题意， 故选：A ．【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ） A ．−√−9=3B ．√−273=−3C ．√183=±12D ．√83=−2【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：A ．−√−9无意义，故A 不符合题意． B ．√−273=−3，故B 符合题意． C ．√183=12，故C 不符合题意． D ．√83=2，故D 不符合题意． 故选：B ．【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ） A ．0只有一个平方根 B ．若x 2＝3，则x ＝±√3C ．√64的立方根是2D ．512的立方根是±8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：A 、0只有一个平方根，故A 不符合题意． B 、若x 2＝3，则x ＝±√3，故B 不符合题意． C 、√64=8，8的立方根是2，故C 不符合题意． D 、512的立方根是8，故D 符合题意． 故选：D ．【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2a ﹣1与﹣a +2，求a 的值和这个正数x 的值．【分析】正数x 有两个平方根，分别是﹣a +2与2a ﹣11，所以﹣a +2与2a ﹣1互为相反数；即﹣a +2+2a ﹣1＝0解答可求出a ；根据x ＝（﹣a +2）2，代入可求出x 的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，整理得：a+b＝﹣1，则原式＝1．【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是﹣4；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝√2．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=√2．故答案为：（1）﹣4；（2）√2．【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝﹣2020，b＝﹣2020．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足√1+x+√1−y=0，那么x2022﹣y2022＝0．【分析】根据√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．【解答】解：∵√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均≥0，∴1+x＝0，1﹣y＝0，得x＝﹣1，y＝1，x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，故答案为：0．【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是±11000，﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：1106的平方根为±√1106=±1103=±11000；﹣27的立方根为√−273=−3，故答案为：±11000，﹣3．【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．2√2B．2C．√2D．±√2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是√2，即y=√2．故选：C．【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=94，x1=32，x2=−32；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3=1258，x+1=52，x＝1.5．【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±√16，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=√−273，计算即可得出答案．【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，（x﹣3）2＝16，x﹣3=±√16，x﹣3＝±4，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，x＝7或x＝﹣1；（2）（x+1）3+27＝0，（x+1）3＝﹣27，x+1=√−273，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；（2）（x+1）3+3=−38．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，根据平方根的定义得，x＝±5；（2）（x+1）3+3=−38，移项得，（x+1）3=−38−3，合并同类项得，（x+1）3=−278，根据立方根的定义得，x+1=−32，解得x=−52．【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝﹣2或4；若x3−827=0，则x＝23．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，x＝﹣2或4；（2）x3−827=0，x3=8，27x=2．3．故答案为：﹣2或4；23A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．√x2+4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出√(x2+4)2的算术平方根．【解答】解：∵√(x2+4)2=x+4，∴√(x2+4)2的算术平方根是√x2+4．故选：D．【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是x≥5．【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【变式5-2】（2022春•宁县期末）若√7−x为整数，x为正整数，则x的值为3或6或7．【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．∴x≤7．∵x为正整数，∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．∵√7−x为整数，∴x＝3或6或7．故答案为：3或6或7．【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当√−3m=12时，②当√−12m=12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵√(−18)×(−8)=12，√(−18)×(−2)=6，√(−8)×(−2)=4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵√(−3)×(−12)=6，∴分两种情况讨论：①当√−3m=12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当√−12m=12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根√a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为a0.06250.625 6.2562.5625625062500625000√a0.250.791m n2579.1250791（注：表中部分数值为近似值）（）A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，√0.0625=0.25，√0.625≈0.791，√6.25=m，√62.5=n．∵√6.25=√0.0625×100=√0.0625×10=0.25×10＝2.5， √62.5=√0.625×100=√0.625×10≈0.791×10≈7.91， ∴m ＝2.5，n ≈7.91． 故选：B ．【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：a0.000001 0.001 1 1000 1000000 √a 30.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位； （3）根据你发现的规律填空：①已知√33=1.442，则√30003= 14.42 ； ②已知√0.0004563=0.07696，则√4563= 7.696 ． 【分析】（1）开立方运算，然后填表即可； （2）根据表格信息，可得答案； （3）根据（2）的规律求解即可． 【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位； （3）①已知√33=1.442，则√30003=14.42； ②已知√0.0004563=0.07696，则 √4563=7.696；【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知√25.36≈5.03587，√253.6≈15.92482，则√253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【解答】解：√25.36≈5.03587， √253600 =√25.36×104， =√25.36×√104， ＝5.03587×100， ＝503.587． 故答案为：503.587．【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：a… ﹣0.001 0 0.001 1 1000 … √a 3…﹣0.11…（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．（2）已知：√a 3=−50，√0.1253=0.5，你能求出a 的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可； （2）依据规律进行计算即可． 【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位； （2）能求出a 的值； ∵√0.1253=0.5， ∴√−0.1253=−0.5，由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位， ∴a ＝﹣125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m 的两个平方根分别为1﹣3a 和a +5，则这个正数m 的立方根是 4 ．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a ，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m ，最后求m 的立方根． 【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a ）+（a +5）＝0， 1﹣3a +a +5＝0， ﹣3a +a ＝﹣1﹣5， ﹣2a ＝﹣6， a ＝3．∴a +5＝3+5＝8， ∴m ＝82＝64， ∴64的立方根为4． 故答案为：4．【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x +19的立方根是4，则实数3x +9的平方根是 ±6 ．【分析】根据立方根的定义列出方程求出x ，然后求出3x +9的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：∵5x +19的立方根是4， ∴5x +19＝43＝64， ∴x ＝9，∴3x+9＝3×9+9＝36，∴36的平方根为±6，故答案为：±6．m−2是n﹣m+3的算术平方根，B=【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=√n−m+3m−2n+3是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．√m+2n【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，解得：m＝4，n＝2，3=2，则A=√2−4+3=1，B=√4+2×2∴B﹣A＝2﹣1＝1，则B﹣A的平方根为：±1．【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为5或﹣1．【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，当a＝3时，原式＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故答案为：5或﹣1．【题型8 算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），所以正方形地砖的边长为：√0.16=0.4（m）．答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），3=90（cm），所以第二个正方体水箱的棱长为：√729000所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（）A．2.4m B．4.2m C．9.25m D．13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．由题意得，2x2＝11.52．∴x＝2.4．∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．故选：A．【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积．【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x2•2x＝0.25解得：x＝0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全＝2S底+4S侧＝2×0.25+4×0.5＝2.5m2【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x×3x＝588．12x2＝588x2＝49，x＞0，x=√49=7∴4x＝4×7＝28 （cm）3x＝3×7＝21（cm）∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm．【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、√2、√3、√6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是1+√2．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n 个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是√2，×11×（11+1）＝66（个）．∵前11排共有12∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，两数之和是1+√2．故答案为：1+√2．【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：√13+23+33+⋯+263=351．【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出√13+23+33+⋯⋯+n 3=1+2+3+……+n ，据此求解可得．【解答】解：∵①√13=1；②√13+23=3＝1+2；③√13+23+33=6＝1+2+3；④√13+23+33+43=10＝1+2+3+4，……∴√13+23+33+⋯+263=1+2+3+ (26)(1+26)×262=351，故答案为：351．【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√593193是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定√593193个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定√593193十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√219523是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定√219523个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定√219523十位上的数是2，所以√219523=28，故答案为：28．【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数√3，√6，√9，√12，⋯，√180，按下面的方式进行排列：√3，√6，√9，√12，√15，√18√21，√24，√27，√30，√33，√36⋯⋯若√12的位置记为（1，4），√24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6） ．【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是√144=12， 又√144在第八行第六列，∴这组数据中最大的有理数√144的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）．。
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。
本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。
一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。
平方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。
2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。
b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。
c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。
d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。
e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。
二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。
立方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。
2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。
b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。
c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。
d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。
e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。
三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。
初中数学平方根与立方根的求解方法
初中数学平方根与立方根的求解方法一、平方根的求解方法平方根是指一个数的平方等于该数的算术运算，下面介绍几种初中数学常用的平方根求解方法。
1.1 精确求解方法对于完全平方数，可以直接求出其平方根。
例如，对于数3的平方根，很容易得出结果为√3。
1.2 近似求解方法对于非完全平方数，我们往往采用近似求解的方法。
一种常用的方法是试位法。
具体步骤如下：a) 先确定平方根的整数部分，可以通过找一个整数n，使得n^2小于或等于给定的数，但(n+1)^2大于给定的数。
这样，我们就可以确定平方根的整数部分为n。
b) 接下来，确定平方根的小数部分。
假设平方根的小数部分为0.abcd...，我们将要确定的小数部分记为x。
根据平方根的定义，我们可以得到一个不等式：(n+x)^2 < 给定的数 < (n+x+0.1)^2。
利用这个不等式，不断迭代确定小数部分的每一位数字。
二、立方根的求解方法立方根是指一个数的立方等于该数的算术运算，下面介绍几种初中数学常用的立方根求解方法。
2.1 精确求解方法对于完全立方数，可以直接求出其立方根。
例如，对于数8的立方根，很容易得出结果为2。
2.2 近似求解方法对于非完全立方数，我们同样可以采用近似求解的方法。
和平方根的近似求解类似，我们可以利用试位法来求解立方根。
具体步骤如下：a) 先确定立方根的整数部分，可以通过找一个整数n，使得n^3小于或等于给定的数，但(n+1)^3大于给定的数。
这样，我们就可以确定立方根的整数部分为n。
b) 接下来，确定立方根的小数部分。
假设立方根的小数部分为0.abcd...，我们将要确定的小数部分记为x。
根据立方根的定义，我们可以得到一个不等式：(n+x)^3 < 给定的数 < (n+x+0.1)^3。
利用这个不等式，不断迭代确定小数部分的每一位数字。
三、扩展应用以上介绍的平方根和立方根的求解方法，主要适用于正数。
对于负数的平方根和立方根，可以通过引入虚数单位i来进行计算和表示。
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【类比思考】平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？
【探究说明】一个数 的立方根，记作 ，读作：“三次根号 ”，其中 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.例如： 表示27的立方根， ； 表示 的立方根， .
【探究】因为 所以 =
因为 ，所以 =
总结利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即 .
1、判断下列说法是否正确
5是25的算术平方根（）
是 的一个平方根（）
的平方根是－4（）
0的平方根与算术平方根都是0（）
2、
3、若 ，则 ， 的平方根是
4、 的平方根是（பைடு நூலகம்A. B. C. D.
5、给出下列各数： ，其中有平方根的数共有（）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
6、若一个数 的平方根等于它本身，数 的算术平方根也等于它本身，试求 的平方根。
因为任何一个数的平方都不会为负数，所以负数是没有平方根的.
总结归纳：
1、正数有两个平方根，它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根（根号下面的数都是非负数）.
讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？
总结：1、平方根与算术平方根之间的区别
定义不同
如果 ，那么 叫做 的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
用计算器求数的立方根的步骤及方法：
用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同.
步骤：输入 →被开方数→=→根据显示写出立方根
例：求－5的立方根（保留三个有效数字）.
思考：若某一个正方形的面积为2，即 ，则x是2的算术平方根，x如何表示？
【学以致用，牛刀小试】
1、非负数 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
2、
3、 的算术平方根是_____, 的算术平方根____
4、若 是49的算术平方根，则 =（）
A. 7 B.－7 C. 49 D.－49
大多数计算器有 按键，可以利用计算器求有理数的算术平方根.
学以致用，牛刀小试
1、若 是 的整数部分， =
2、一个自然数的算术平方根为 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
3、小妮想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2，请问小妮的想法能否实现？
7、求下列各数中的 值
8、如果一个正数的两个平方根为 和 ，请你求出这个正数
第3课时立方根
（一）创设情景，导入新课
如果这个正方体的体积为216 ，那么它每条棱长是多少？
分析：假设这个正方体的棱长为x ,则有 ，即要求一个数，使它的立方等于216.
因为有 ，那么x=6，就是这个正方体的棱长.
（二）知识新授
5、若 ，则 的算术平方根是（）
A. 49 B.53 C.7 D .
探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形？
把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为 ，则 ，由算术平方根的意义， ，即大正方形的边长为
讨论： 有多大呢？
如果 ，并且 ，那么 叫做 的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
表示方法不同
正数 的平方根表示为 ；正数 的算术平方根为 .
平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1.
2、平方根与算术平方根之间的联系
二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个;
教育学科教师辅导讲义
年级：初一辅导科目：数学课时数：3
课题
平方根与立方根（二）
教学目的
1．了解算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；
2．理解平方与开平方是互逆运算，会使用计算器求正数的算术平方根；
3．了解立方根的概念，并掌握其表示方法，能够比较数的大小.
教学内容
第1课时
（一）创设情景，导入新课
学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 ？
例如，4和-4的平方都是16，所以4与-4是16的平方根，记为 .
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
我们知道 的平方等于9,而9的平方根是 ，所以平方与开平方是互为逆运算.
结论：（1） ；（2） .
【即学即练】
1、求下列数的平方根
（1）100（2） （3）0.25（4）0（5）
思考：负数有没有平方根？
因为 ，所以边长应为5dm.
填表：
正方形的面积
9
49
144
0.81
边长
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）.
（二）新课引入
1．一般地，如果一个正数 的平方为 ，即 ，那么正数 叫做 的算术平方根，记为 ，读作根号 ，其中 叫做被开方数.
如： ，所以11是121的算术平方根，记为 ； ，所以 是 的算术平方根，记为 .
第2课时
（一）创设情景，导入新课
复习提问：1、什么数的平方是49？
2、一对互为相反数的平方有什么关系？
我们知道 ，并且7是叫做49的算术平方根，记为 ，除7以外， ，那么-7可以叫做49的算术平方根吗？若不可以，那有没有其它名称？
一对互为相反数的平方是相等的.
（二）知识新授
如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根.这就是说，如果 ，那么x叫做a的平方根，记为 .
如果一个数的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），即如果 ，那么 叫做 的立方根
探究根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为 ，所以8的立方根是（2）
因为 ，所以0.125的立方根是（ ）
因为 ，所以8的立方根是（0）
因为 ，所以8的立方根是（ ）
因为 ，所以8的立方根是（ ）
存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根;
0的平方根和0的算术平方根都是0.
【牛刀小试】
1、说出下列各数的平方根
64 0
点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根
2、计算
（1） （2） （3）
3、已知 ，求： 的平方根
4、若 ，求 、 的值
【课堂练习】