中考专题 二次函数图象的几何变换 考点分析 例题 变式 解析
二次函数图象的几何变换(图文运用)
二次函数图象的几何变换知识点拨一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称例题精讲【例12】 如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．DCBAO【例13】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例14】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例15】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例16】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++【例17】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例18】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例19】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例20】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．yxO A B My x O A B MMNBAO x y⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例21】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．Oyxh(x)=(x -2)2。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
中考数学专题知识点题型复习训练及答案解析(经典珍藏版)：10二次函数的图象及其性质
③ ．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（ 0， c）． ④ 抛物线与 x 轴交点个数． △＝ b2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △＝ b2﹣4ac＝ 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △＝ b2﹣ 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
二次函数 y＝ ax2+bx+c（a≠ 0）
① 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．
当 a＞ 0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口； |a|还可以决定开口大小， |a|越大开口就越小．
② 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置． 当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右．（简称： 左同右异）
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数 y＝ ax2+bx+c（a≠ 0）的图象是抛物线，顶点坐标是（
-
2????，
4????-?2? ）．
4??
① 抛物线是关于对称轴 x= - 2????成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称， 且都满足函数函数关系式． 顶 点是抛物线的最高点或最低点．
② 抛物线与 y 轴交点的纵坐标是函数解析中的 c 值．
的一元二次方程即可求得交点横坐标． （ 1）二次函数 y＝ ax2+bx+c（ a，b， c 是常数， a≠ 0）的交点与一元二次方程 ax 2+bx+c＝ 0 根之间的关系． △＝ b2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数． △＝ b2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △＝ b2﹣ 4ac＝ 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △＝ b2﹣ 4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
2019备战中考数学专题-二次函数图像的几何变换(含解析)
2019备战中考数学专题-二次函数图像的几何变换（含解析）一、单选题1.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. y=3（x+2）2+3B. y=3（x﹣2）2+3C. y=3（x+2）2﹣3D. y=3（x﹣2）2﹣32.如图，将函数y= （x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A. B. C.D.3.将抛物线y=3x2先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）A. y=3（x+1）2+1B. y=3（x+1）2﹣1C. y=3（x﹣1）2+1D. y=3（x﹣1）2﹣14.抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（）A. ±1B. 0C. 1D. -15.将抛物线y=3x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A. y=3(x-2)2+1B. y=3(x-2)2-1C. y=3(x+2)2+1D. y=3(x+2)2-16.将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得函数表达式为（）A. y=（x+1）2+2B. y=（x﹣1）2+2C. y=（x﹣1）2﹣2D. y=（x+1）2﹣27.抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A. y=3（x﹣1）2﹣2B. y=3（x+1）2﹣2C. y=3（x+1）2+2D. y=3（x﹣1）2+28.抛物线y=3x2﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）A. y=3x2﹣5B. y=3x2﹣4C. y=3x2+3D. y=3x2+49.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-210.将抛物线y=2x2向右平移2个单位，能得到的抛物线是（）A. y=2x2+2B. y=2x2﹣2C. y=2（x+2）2D. y=2（x﹣2）211.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A. B. C.D.二、填空题12.已知二次函数y=2x2向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为________．13.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（35，m）在此“波浪线”上，则m的值为________．14.把抛物线y=﹣x2向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是________．15.抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为________16.如图，将二次函数y=（x﹣）2﹣2的图象向上平移m个单位得到二次函数y2的图象，且与二次函数y1=（x+2）2﹣4的图象相交于A，过A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B，C，当AC= BA时，m的值是________．17.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为________三、解答题18.已知点（3，0）在抛物线y=﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．四、综合题19.已知二次函数y= x2，根据下列平移条件求平移后的函数关系式．（1）向右平移，使图象过点（1，3）；（2）上下平移，使图象过直线y= x+2与x轴的交点．20.已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）在给出的直角坐标系中画出它的示意图；（2）观察图象填空：①当x________时，y随x的增大而减小；②使x2﹣4x+3＜0的x的取值范围是________；③将图象向左平移1个单位再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为________．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．（1）若函数y=x2+m的图象过点C，求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过A点．（2）若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．2.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】∵函数y= （x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m= （1-2）2+1=1 ，n= （4-2）2+1=3，∴A（1，），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），∴AC=4-1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y= （x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y= （x-2）2+4．故答案为：D．【分析】阴影部分为不规则图形，但是可通过割补法将图形割补成一个平行四边形，从而根据面积得到平移的距离，从而写出平移后的函数解析式。
中考数学复习----《二次函数之函数变换》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之函数变换》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.二次函数的平移：①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。
左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式整体后面进行加减。
上加下减。
2.一次函数的对称变换：①若二次函数关于x轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
②若二次函数关于y轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
练习题1、（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【分析】根据图像的平移规律，可得答案．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故选：D．2、（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图像平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解．【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y ＝（x ﹣2）2，当x ＝2时，y ＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣1，当x ＝2时，y ＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y ＝x 2﹣4，当x ＝2时，y ＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y ＝﹣x 2+4，当x ＝2时，y ＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；故选：D ．3、（2022•泸州）抛物线y ＝﹣21x 2+x +1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A ．y ＝﹣21x 2+x B ．y ＝﹣21x 2﹣4 C ．y ＝﹣21x 2+2021x ﹣2022 D ．y ＝﹣x 2+x +1【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．【解答】解：∵将抛物线y ＝﹣x 2+x +1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变， ∴抛物线y ＝﹣x 2+x +1经过平移后不可能得到的抛物线是y ＝﹣x 2+x +1．故选：D ．4、（2022•湖州）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．5、（2022•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是．【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．6、（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．7、（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．8、（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图像关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图像关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图像与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图像与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图像与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．。
中考二次函数复习(图像位置变换)全解
∵ 抛物线 m：y = ax 2 − 2ax − 3a = a x − 1
2
− 4a ， ∴ 顶点 D 的坐标为
1, −4a .
∵ 抛物线 m 与抛物线 n 关于原点中心对称，
∴ C −1,4a .
又 ∵ 4a = 4 ， ∴ a = 1 .
∴ 抛物线 m 的解析式为 y = x 2 − 2x − 3 .
解：令 y = 0 ，则有 ax 2 − 2ax − 3a = 0 ，
解得 x1 = −1 , x2 = 3 .
∵ 点 A 在点 B 的左侧， ∴ A −1,0 ， B 3,0 .
∴ 抛物线 m 的对称轴为直线 x = 1 .
第13讲 二次函数图象的位置变换
（2）若将抛物线 m 绕着点 0,0 旋转 180∘ 后得到抛物线 n ，顶点为 C ，且点 C 的
3.二次函数图象的平移，实质是图象上点的整体平移，主要研究点坐标的平移
（如顶点坐标）.平移过程中 a 的值不变，因此可先求出平移后的抛物线的顶点坐标，
再根据顶点式求得函数解析式.
第13讲 二次函数图象的位置变换
拓展延伸：抛物线 y = a x − h
2
+ k a ≠ 0 的翻折、旋转变换规律：
（1）沿 x 轴翻折， a 变成原来的相反数，变换后的顶点坐标为 h, −k ，变换
y= x+1
2
+ 3 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的
回归教材：
1.（北师大九下P53习题2.10第3题改编）若抛物线 y = ax 2 + bx + c a > 0 经过点
1, −1 ，则关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的情况是(
2020年中考数学专题复习：图形中的二次函数解析式与复杂图象变换
1二次函数的三种解析式示例剖析 一般式 ()20y ax bx c a =++≠223y x x =-- 顶点式 ()2y a x h k =-+或()224024b ac b y a x a a a -⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭()2214y x =-+交点式()()12y a x x x x =--()0a ≠其中12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根．()()323y x x =--【引例】 如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若3OB OC OA ==,则抛物线的解析式为 .例题精讲思路导航知识互联网题型一：二次函数的解析式yxOC B A图形中的二次函数解析式与复杂图象变换2【解析】 当0x =时，3y =-，∴23y ax bx =+-与y 轴交于()03C -，，∵3OB OC OA ==，∴点A 的坐标为()10-，，点B 的坐标为()30， 把点()10-，和()30，代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--.【例1】 根据给定条件求出下列二次函数解析式．⑴ 抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负；⑵ 抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点恰好是点M ；⑶ 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 在x 轴上，点A ，E 在y 轴上，OB ︰OC =1︰3，AE =7，且tan ∠OCE =3，tan ∠ABO =2，抛物线经过A ，B ，C .【解析】 ⑴265y x x =-+-．⑵ 抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M ()3 0-m ，．抛物线与x 轴的交点为()0 1，和()0 3，-m ，它们关于直线y x =-的对称点分别为()1 0-，和()m -3 0，.由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3.⑶224233y x x =-++．【例2】 ⑴ 抛物线()()224323m m x m x m y -+-+-=的最低点A 的纵坐标是3；则抛物线的解析式为 .(2013房山二模)⑵如图，抛物线223y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．则抛物线的解析式为 .⑶设抛物线2(4)4y x m x m =-++-，其中04m <<，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的 左侧），若点D 的坐标为()02-，，且10AD BD ⋅=，求抛物线的解析式.典题精练MOCBAxy O CEA Bxy3【解析】 ⑴ 224y x x =-+.⑵由题意可知：C 点坐标()03，，抛物线对称轴212ax a-=-=， ∵BC x ∥轴，∴B 点坐标()23，，∴2BC =，则2AC =． 在Rt AOC △中，90AOC ∠=︒，23AC OC ==，， ∴221OA AC OC =-=，∴A 点坐标为()10-，， 代入抛物线解析式得230a a ++=，解得33a =-． ∴抛物线解析式为2323333y x x =-++． ⑶ 当0y =时，得2(4)40x m x m -++=，222[(4)]4(4)816(4)0m m m m m ∆=-+-⨯=-+=->∵04m <<,∴(4)(4)2m m x +±-=．∴x m =或4x =．抛物线2(4)4y x m x m =-++-与x 轴的交点分别为()0m ，、()40，， ∵A 在B 的左侧，04m <<．∴()0A m ，，()40B ，． 则22222224AD OA OD m m =+=+=+，222224220BD OB OD =+=+=．∵10AD BD ⋅=， ∴22100AD BD ⋅=． ∴220(4)100m +=． 解得1m =±． ∵04m <<， ∴1m =．∴抛物线的解析式为254y x x =-+-．平移“左加右减，上加下减”．对称关于x 轴对称2y ax bx c =++的图象关于x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---． 关于y 轴对称 2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+． 关于原点对称2y ax bx c =++的图象关于原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-．思路导航题型二：二次函数的图象变换4旋转主要旋转180︒和90︒.【引例】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．⑴求该二次函数的解析式；⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．【解析】 ⑴ 设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，∵二次函数图象过点(30)B ，， ∴044a =-，得1a =．∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．⑵ 令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，．【例3】 ⑴ 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值． ⑵ 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，向下平移2个单位后，所得抛物线为2y ax =，其图象经过点112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，求原解析式．【解析】 ⑴ 把22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，得到的抛物线为()22y x p q =++．于是，由题设得()()22321924p q p q ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，，解得21p q =-⎧⎨=⎩，， 即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．⑵ 首先，抛物线2y ax =经过点112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求得12a =-，设原来的二次函数为()212y x h k =--+，可得3020h k -+=⎧⎨-=⎩，，解得32h k =⎧⎨=⎩，，所以原二次函数为()21322y x =--+， 即215322y x x =-+-．典题精练例题精讲5说明：将抛物线2y ax bx c =++向右平移p 个单位，得到的抛物线是()()2y a x p b x p c =-+-+；向左平移p 个单位得到()()2y a x p b x p c =++++；向上平移q 个单位，得到2y ax bx c q =+++；向下平移q 个单位得到2y ax bx c q =++-．【例4】 ⑴在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）A ．22(1)1y x =+-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．2112y x =- ⑵将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180︒，所得抛物线的解析式是（ ） A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-⑶已知抛物线2y x mx n =-+-的对称轴为2x =-，且与x 轴只有一个交点. ①求m n ，的值；②把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求新抛物线C 的解析式.【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ①∵抛物线的对称轴为2x =-， ∴4m =-．∵抛物线与x 轴只有一个交点 ， ∴240m n ∆=-= ． ∴4n =．②∵4m =- ，4n =， ∴244y x x =---．∴2(2)y x =-+．沿x 轴翻折后得到2(2)y x =+，向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线C 的解析式为()222211y x x =+--=-．【引例】 已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，若DPQ △是等边三角形，求DPQ △的边长．【分析】 要注意等边三角形和抛物线具有轴对称这一特性．【解析】 点D 的坐标为()14-，，不妨设点Q 在对称轴的右侧， 设抛物线的对称轴为1x =与PQ 交于点H 在Rt DHQ △中，设HQ t =，3DH t =∴()143Q t t +-+，把()143Q t t +-+，代入223y xx =--例题精讲题型三：二次函数中的特殊三角形HQPDO yx6()()2431213t t t -+=+-+-10t =（舍），23t = ∴23PQ =.【点评】 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为23a．【例5】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数()220my ax a a=+≠的图象经过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则m 的值为 ．【解析】 连接BC 交OA 于点D ，（图略）首先由22(0)m y ax a a =+≠可得点20m A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又根据正方形的性质可得2mBC OA a ==，所以有m DC OD a==， ∴点m m C a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入抛物线解析式可得：22()m m ma a a a=+， 解得1m =-．【例6】 已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，点C 为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ 是正方形，求正方形DPCQ 的面积．【分析】 要注意正方形DPCQ 和抛物线具有轴对称这一特性． 【解析】 点D 的坐标为()14-，，不妨设点Q 在对称轴的右侧， 设抛物线的对称轴1x =交PQ 于点H在 Rt DHQ △中，设HQ t =，则DH t = ∴()14Q t t +-+，把()14Q t t +-+，代入223y x x =--得 ()()241213t t t -+=+-+-解得10t =（舍），21t =∴22PQ QH ==∴正方形DPCQ 的面积为122PQ CD ⋅=典题精练CxyOD PQHOCBAyx7【点评】 其实抛物线定了，相对应的正方形DPCQ 就定了．任意抛物线都可以通过平移为2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得正方形DPCQ 的对角线为2a ．【例7】 若如图，抛物线m ：()k h x y ++-=241与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为M （3，425），将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为D ； ⑴ 求抛物线n 的解析式；⑵ 设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重 合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．如果P 点的坐标为（x ，y ），△PEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值．【解析】⑴ ∵抛物线m 的顶点为)425,3(M ， ∴m 的解析式为425)3(412+--=x y =)2)(8(41+--x x ，∴)0,8(),0,2(B A -.∵抛物线n 是由抛物线m 绕点B 旋转ο180得到， ∴D 的坐标为)425,13(-， ∴抛物线n 的解析式为：425)13(412--=x y ，即36213412+-=x x y .⑵ ∵点E 与点A 关于点B 中心对称，∴E )0,18(.设直线ED 的解析式为b kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+42513018b k b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==49045b k∴49045-=x y .又点P 坐标为),(y x ，∴S xy y x FP OF 212121-=⋅=⋅= =)49045(21--x x =)1813(890852<<+-x x x ，∴当9)85(2890=-⨯-=x 时，S 有最大值，8但1318x <<,所以PEF ∆的面积S 没有最大值．精讲：抛物线的内接特殊三角形探究【探究对象】抛物线的内接特殊三角形【探究过程】【探究1】以抛物线顶点为顶点的对称图形变式1．已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，若DPQ △是等边三角形，求DPQ △的边长． 变式2．变式1中，如果把223y x x =--换成c bx ax y ++=2，若DPQ △是等边三角形时，则DPQ △的边长会发生怎样的变化？ 变式2．前面的问题的ABM ∆换成等腰直角三角形或正方形时，它们的边长又会发生怎样的变化？总结：(1) 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到2y ax =(2) 其实抛物线定了，相对应的正方形DPCQ 就定了．任意抛物线都可以通过平移为2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得正方形DPCQ 的对角线为2a ．【探究2】抛物线与x 轴两个交点和顶点确定的三角形变式1．已知，二次函数12++=kx x y 与x 轴的两个交点A 、B 都在原点右侧，顶点为M 。
【中考数学压轴题专题突破04】二次函数中的几何变换问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象经过点A（3，6），并与x轴相交于B、C两点（点B在点C右侧），且S△ABC＝12，∠ACB＝45°．（1）求二次函数的解析式；（2）若D是线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）设直线y＝1为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．（1）求A、B两点的坐标；（2）若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，Q（m，0）是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC 交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象是经过y轴上点C（0，2）的一条抛物线，顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A 下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．（1）求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；（2）当∠ACB＝45°时，求点P的坐标；（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．4．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y＝﹣x2+3x﹣2可知，a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据：a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2、b2、c2，就能确定这函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018；（3）已知函数y＝﹣的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝﹣互为“旋转函数”．5．如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和x轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）求直线BD的表达式．（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．6．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移3个单位长度，再沿x轴向左平移1个单位长度后，得抛物线M，其顶点恰好落在y轴上点（0，﹣1）．【解决问题】请直接写出抛物线M的函数表达式，并求b、c的值．【探索研究】小明在抛物线M上任意找了一个点P（m，n），以点P为圆心，OP长为半径画圆，他观察发现所画出的圆与过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线相切，请判断他的发现是否正确？并说明理由．【理解应用】将抛物线M的图象绕原点O顺时针旋转90°得抛物线N，C为抛物线N上一动点，点Q 的坐标为（1，﹣1）、直接写出△OCQ周长的最小值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题参考答案与试题解析1．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E．∵A（3.6），S△ABC＝12，∴×BC×6＝12，∴BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴CE＝AE＝6，∴BE＝2，∴B（1，0），C（﹣3，0），∵二次函数经过A、B、C三点，∴解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．（2）如图2中，由（1）可知B（1，0），C（﹣3，0），A（3，6）∴BC＝4，AC＝6，①当△DOC∽△ABC时，有＝，即＝，∴DC＝，过D作DM⊥x轴于M，则△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE＝，OE＝，∴D（，）．②当△ODC∽△ABC时，有＝，即＝，∴CD＝，同理可得D（﹣2，1），综上所述点D坐标为（﹣2，1）或（，）．（3）如图3中，∵直线AC的解析式为y＝x+3，设所求直线的解析式为y＝x+m，①设直线l：y＝1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不同公共点，令y＝1，则x2+x﹣＝1，交点x＝﹣1，∴P（﹣1﹣，1），代入y＝x+m得m＝2+，∴y＝x+2+．②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，∵L的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，∴由消去y得x2+4x+2m﹣7＝0，由题意△＝0，∴16﹣4（2m﹣7）＝0，∴m＝，∴直线为y＝x+，综上所述返回条件的直线的解析式为y＝x+2+或y＝x+．2．解：（1）由题意画出草图，如图1，在二次函数y＝ax2﹣2ax+c中，对称轴为直线x＝﹣＝1，则OH＝1，∵FH∥OC，∴＝＝，∴HB＝3，∴B（4，0），由抛物线的对称性知A（﹣2，0），∴A（﹣2，0），B（4，0）；（2）如图2，△COB的内心I在对称轴上，∵对称轴为x＝1，∴I（1，1），过点I作IM⊥OC于M，作IN⊥BC于N，则∠IMC＝∠INC＝90°，IM＝IN，∵IC＝IC，∴△CMI≌△CNI（HL），∴CN＝CM＝c﹣1，同理，△BIH≌△BIN（HL），∴BN＝BH＝3，∴BC＝CN+BN＝c+2，在Rt△OCB中，OC2+OB2＝BC2，即c2+42＝（c+2）2，解得，c＝3，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得，16a﹣8a+3＝0，解得，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+3；（3）如图3，点M'落在y轴上时，过点M作MH⊥y轴于H，则HM∥OB，∴△CHM∽△COB，∴＝＝，由翻折可知，MC＝M'C，∠M'CN＝∠MCN，∵MN∥y轴，∴∠M'CN＝∠MNC，∴∠MCN＝∠MNC，∴MC＝MN，将B（4，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣，∴yBC＝﹣x+3，∵Q（m，0），∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），①当点N在点M上方时，CM＝NM＝﹣m2+m，HM＝m，∵＝，∴＝，解得，m1＝0（舍去），m2＝，∴Q（，0）；②当点N在点M下方时，CM＝NM＝﹣（﹣m2+m），HM＝m，∵＝，∴﹣＝，解得，m1＝0（舍去），m2＝，∴Q（，0）；综上所述，Q的坐标为（，0）或（，0）．3．解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（0，2）和点（4，2），则，解得，∴y＝﹣x2+4x+2，∴当x＝2时，y＝6，∴点A的坐标是（2，6）；（2）如图1，过点C作CE⊥AH，过点P作PF⊥AC于F，则CE＝2，AE＝4，AC＝，∵∠AFP＝∠AEC＝90°，∠F AP＝∠EAC，∴△AFP∽△AEC，∴，∵∠FCP＝45°，∴CF＝PF．设CF＝PF＝m，则AF＝2m，∴m+2m＝2，m＝．∴，∴PH＝，∴P（2，）；（3）①当点D落在x轴的正半轴上时，如图2，CD＝AC＝，又∵OC＝2，∴OD＝4，由对称性可知AP＝PD，设PH＝m，则AP＝PD＝6﹣m，在Rt△DPH中，有PH2+HD2＝PD2，即m2+22＝（6﹣m）2，解得，∴；②当点D落在y轴的负半轴上时，如图3，CD＝AC＝，由对称性可知∠DCP＝∠ACP，又∵AH∥OC，∴∠DCP＝∠APC，∴∠APC＝∠ACP，∴，∴，∴；③当点D落在x轴的负半轴上时，如图4，CD＝AC＝，又∵OC＝2，∴OD＝4，∴DH＝AP＝6，连接AD，∴直线CH是线段AD的中垂线，又点P在直线AH上，∴点P与点H重合，∴P3（2，0）．综上所述，点P的坐标为：、、P3（2，0）．4．解：（1）由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2．由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得a2＝1，b2＝3，c2＝2．函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y＝x2+3x+2；（2）由y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数“，得﹣2n＝m，﹣2+n＝0．解得n＝2，m＝﹣3．当m＝2，n＝﹣3时，（m+n）2018＝（2﹣3）2018＝（﹣1）2018＝1；（3）∵当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x＝0时，y＝﹣×（﹣4）＝2，即C（0，2）．由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）．设过点A1，B1，C1的二次函数y＝ax2+bx+c，将A1，B1，C1代入，得，解得，过点A1，B1，C1的二次函数y＝x2+x﹣2．y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2函数可知a1＝﹣，b1＝，c1＝2．由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得a2＝，b2＝，c2＝﹣2．y＝﹣（x+1）（x﹣4）的“旋转函数”为y＝x2+x﹣2．∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．5．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点x＝﹣＝2，y＝＝3，∴点A的坐标为（2，3），当x＝0时，y＝﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）；（2）直线AC的解析式是y＝2x﹣1，过点A并与AC垂直的直线记为BD，k，∴直线BD的表达式为：；（3）存在．菱形DERP时，P1（8﹣，0），Q1（0，），R1（4﹣，﹣1）；菱形DREP时，P2（，0），Q2（0，），R2（，，﹣1）．6．解：【解决问题】∵平移后的抛物线M，顶点为（0，﹣1），a＝∴抛物线M的函数表达式为：y＝x2﹣1根据平移规则，抛物线M向上平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得原抛物线∴原抛物线函数表达式为：y＝（x﹣1）2﹣1+3＝x2﹣x+∴b＝﹣，c＝．【探索研究】小明的判断正确，理由如下：∵过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线即直线y＝﹣2∴过点P作P A⊥直线y＝﹣2于点A，如图1∵点P（m，n）在抛物线M上∴n＝m2﹣1∴OP2＝m2+n2＝m2+（m2﹣1）2＝m2+m4﹣m2+1＝m4+m2+1＝（m2+1）2∵P A＝n﹣（﹣2）＝m2﹣1+2＝m2+1∴OP＝P A∴直线y＝﹣2与⊙P相切【理解应用】如图2，抛物线M旋转后得到的抛物线N开口向右，顶点为（﹣1，0）作直线x＝﹣2，过点C作CD⊥直线x＝﹣2于点D，过点Q作QE⊥直线x＝﹣2于点E 由【探索研究】可知，CD＝CO∴CO+CQ＝CD+CQ∴当D、C、Q在同一直线上时，CO+CQ＝CD+CQ＝EQ最小∵Q（1，﹣1）∴OQ＝，EQ＝1﹣（﹣2）＝3∴C△OCQ＝CO+CQ+OQ，最小值为EQ+OQ＝3+故答案为：3+。
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内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题1． 理解各个解析式图象之间的联系及性质； 2． 掌握二次函数平移的性质；3． 理解平移前后的解析式与平移变换之间的关系； 4． 掌握二次函数的对称变换的性质； 5． 会写出二次函数关于直线对称后的解析式； 6． 会写出二次函数关于点成中心对称后的解析式； 7． 掌握函数图象旋转前后的性质。
你知道“函数”的来历吗？现行数学教科书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成函数的．课前预习重难点中考要求二次函数图象的几何变换中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．模块一二次函数的平移1.几种二次函数解析式之间的平移关系：①函数2y ax k=+的图象可以看做是由函数2axy=的图象向上或向下平移||k个单位得到的；k>时，向上平移；0k<时，向下平移。
②函数()2y a x h=-的图象可以看做是由函数2axy=的图象向左或向右平移||h个单位得到的；h>时，向右平移；0h<时，向左平移。
③函数()2y a x h k=-+的图象可以看做是由函数2axy=的图象先向左或向右平移||h个单位，再向上或向下平移||k个单位得到的；当0h>时，向右平移，当0h<时，向左平移；0k>时，向上平移，0k<时，向下平移。
2.将二次函数2y ax bx c=++，向左平移m个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c=++++；向右平移m个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c=-+-+。
3.将二次函数2y ax bx c=++，向上平移n个单位，函数解析式变为2y ax bx c n=+++；向下平移n个单位，函数解析式变为2y ax bx c n=++-。
4.通常，将平移前的函数2y ax bx c=++化成()2y a x h k=-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式。
5.平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即a不变。
例题精讲【例1】 将二次函数2y x =的图象平移后，可得到二次函数()21y x =+的图象，平移的方法是（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【难度】1星【解析】考查函数2y ax =与函数()2y a x h =-之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。
【答案】C【巩固】（2021·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．【巩固】把二次函数2y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式是（ ） A ．()213y x =-- B ．()213y x =+- C ．()213y x =-+ D ．()213y x =++【难度】1星【解析】考查函数2y ax =与函数()2y a x h k =-+之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。
【答案】C【例2】 将二次函数22810y x x =-+的图象沿x 轴向左平移3个单位，沿y 轴向上平移4个单位后可得到函数 的图象。
【难度】1星【解析】考查函数2y ax bx c =++的平移的性质。
【答案】方法一：将函数化为顶点式 ()222810222y x x x =-+=-+所以平移后的解析式为()22216248y x x x =++=++ 方法二：直接变换函数解析式()()222383104248y x x x x =+-+++=++【巩固】把二次函数221y x =-+的图象沿x 轴向右平移3个单位，沿y 轴向下平移2个单位，则平移后的图象所表示的函数解析式是【难度】1星【解析】考查函数2y ax bx c =++的平移的性质。
【答案】()2223121218y x x x =---=-+-【例3】 已知二次函数的图象的顶点坐标为()1,4A -，且经过点()2,3-．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式。
【难度】2星【解析】本题先要确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。
【答案】（1）设该二次函数的解析式为()214y a x =--∵经过点()2,3-，则()23214a -=--， ∴1a =∴二次函数的解析式为()221423y x x x =--=-- （2）令0y =，则2230x x --= 解得：121,3x x =-=∴该二次函数的图象向左平移3个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点． 此时，图象顶点为()2,4--∴平移后图象对应的二次函数的解析式为()22244y x x x =+-=+【巩固】若二次函数212y x bx c =-++的图象与x 轴相交于()5,0A -，()1,0B -（1）求这个二次函数的关系式；（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？【难度】3星【解析】先用待定系数法确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。
【答案】（1）∵212y x bx c =-++，把()5,0A -，()1,0B -代入上式，得∴ ()()()()221255012110b c b c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨-⨯-+⨯-+=⎪⎩ 解得：352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴这个二次函数的解析式为215322y x x =---（2）∵二次函数的解析式为()22151332222y x x x =---=-++∴顶点坐标为()3,2-∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点，应向下平移2个单位模块二 二次函数的轴对称1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；【例4】 如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ） A ．22y x x =-+ B ．22y x x =+ C ．22y x x =-- D ．212y x x=-【难度】2星【解析】考查二次函数关于y 轴对称的解析式，可以将x 变为x -考虑。
【答案】B【巩固】二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值（ ）．A ．0B ．3C ．1D ．0或3【难度】2星【解析】本题考查的是图象自身关于y 轴对称，也就是说图象的对称轴是y 轴。
要区别轴对称图形和图形成轴对称两个概念。
图象的对称轴为y 轴，即令230m m -=，同时又要保证0m ≠。
【答案】B【例5】 将二次函数()21y x =-的图象进行适当的平移或轴对称变换后所得图象的函数表达式为()212y x =---，请写出一种符合条件的变换【难度】2星【解析】本题考查同时考查平移和对称变换两种，由于抛物线的开口方向改变，可知函数关于x 轴对称变换。
【答案】作x 轴的轴对称变换，向下平移2个单位（答案不唯一）【巩固】已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点()1,4A（1）求b 的值；（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【难度】2星【解析】先确定待定的系数，再求抛物线对称的解析式。
【答案】（1）把点()1,4A 代入23y x bx =-++得：134b -++=∴2b =∴此抛物线的解析式为223y x x =-++ （2）∵关于x 轴对称∴抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式为23y x x =--【例6】 二次函数()()2213y x x =--与()()22y x a x b =++的图象关于y 轴对称，则()()2211a b +++的值为（ ）A ．9B ．10C ．20D ．25【难度】3星【解析】考查两个函数关于y 轴对称的性质，本题需要先将两个二次函数进行整理，将解析式整理成一般式，再根据两个函数关于y 轴对称的特性来解题。
【答案】C(2021·泰安)若二次函数y ＝x2+bx －5的对称轴为直线x ＝2,则关于x 的方程x2+bx －5＝2x －13的解为________.【答案】x 1＝2,x 2＝4【解析】∵二次函数y ＝x 2+bx －5的对称轴为直线x ＝2,∴22b-=,∴b ＝－4,∴原方程化为x 2－4x －5＝2x－13,解之,得x 1＝2,x 2＝4.模块三 二次函数的中心对称1. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 2. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．3. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-【例7】 （黔东南州）二次函数223y x x =--的图象关于原点()0,0O 对称的图象的解析式是？ 【难度】1星【解析】求函数2y ax bx c =++关于原点对称的解析式。