重庆市八中2020-2021高一上期末数学试卷和解析
2020-2021学年重庆市第八中学校高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市第八中学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{0M =，2}，{1N =，2}，则M N ⋃为（ ） A ．{}0,1 B ．{}2 C ．{}0,1,2 D ．{}0【答案】C【分析】根据并集运算的法则，即可求得答案 【详解】因为集合{0M =，2}，{1N =，2}， 所以={0,1,2}M N ⋃. 故选：C2．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．2,210x R x x ∃∈-+≤ B ．2,210x R x x ≥∃∈-+ C ．2,210x R x x ∃∈-+< D ．2,210x R x x ∀∈-+<【答案】C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为x R ∀∈的否定为x R ∃∈，2210x x -+≥的否定为2210x x -+<， 所以原命题的否定为：2,210x R x x ∃∈-+<. 故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.3．已知:23p x <≤，:14q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由已知写出p 、q 的集合，根据集合的包含关系即可判断它们之间的充分、必要性，进而确定正确选项.【详解】由{|23}p x x =<≤，{|14}q x x =<<，即p q ≠⊂， ∴p 是q 的充分不必要条件. 故选：B4．已知函数()243,03,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，则()()5=f f （ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．1【答案】C【分析】利用解析式先求()5f ，再求()()5f f ，得出答案．【详解】()()()()()()25352,5224231f f f f =-=-∴=-=-+⨯-+=-故选：C【点睛】本题考查函数求值问题，考查分段函数的应用，属于基础题． 5．已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ） A ．22()()a b c d +>+ B ．()()0a c d b --< C ．11a c< D ．a b c d ->-【答案】B【分析】由已知条件，结合特殊值法及不等式性质，即可判断各项的正误.【详解】A ：当1,2a b c d ====-时，有22()(416)a b c d +<+==，错误；B ：由题设知：0,0a c d b ->-<，即()()0a c d b --<，正确；C ：当1,2a c ==-时，11a c>，错误； D ：当1,2a b c d ====-时，有a b c d -=-，错误. 故选：B6．函数1y ax =-+与2y ax =在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】讨论0a >、0a <时，1y ax =-+、2y ax =的图象性质，应用排除法即可确定正确选项.【详解】当0a >时，1y ax =-+在x ，y 轴上截距分别是10,1a>，而2y ax =开口向上，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除B ； 当0a <时，1y ax =-+在x ，y 轴上截距分别是10,1a<，而2y ax =开口向下，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除C 、D ； 故选：A7．已知函数228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，()f x 在定义域上单调递减，则实数a 的范围为（ ） A ．7(1,)2B ．(1,)+∞C ．712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．7(,]2-∞【答案】C【分析】先利用二次函数得出a 的范围，再利用分段函数的单调性求解即可.【详解】228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，()f x 在定义域上单调递减，当1x ≤时，()228f x x ax =-+，对称轴为x a =，开口向上， 则17112822a a a ≥⎧⇒≤≤⎨-+≥⎩，则实数a 的范围为：712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.8．已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）A ．32+ B ．5+C ．52+D ．3【答案】C【分析】由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a bab+=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.二、多选题9．(多选)下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．()221f x x x =--与()221g s s s =--B ．()f x =()g x =C ．()x f x x =与()01f x x=D ．()f x x =与()g x =【答案】AC【分析】利用同一函数的概念判断即可.【详解】对于A 选项，解析式可以看作相同，且定义域相同，是同一函数；对于B 选项，()0f x =≥，()g x 的定义域为(],0-∞，()0g x =≤，故不是同一函数；对于C 选项，解析式可化为相同，且定义域都为{}|0x x ≠相同，是同一函数；对于D 选项，()g x x ==，解析式不同，故不是同一函数；故选：AC.【点睛】本题考查同意以函数的概念，属于基础题，解答时只需保证所给函数的定义域相同，解析式相同或可化为相同即可. 10．下列函数中值域为R 的有（ ）A ．()31f x x =-B ．()f x =C ．2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩D ．3()1f x x =-【答案】AD【分析】根据函数解析式，逐项判断函数值域，即可得出结果. 【详解】A 选项，()31f x x =-的值域显然为R ，即A 正确；B 选项，()0f x =，即()f x =[)0,+∞，故B 错；C 选项，当02x ≤≤时，2()f x x =单调递增，所以[]20(,)4f x x ∈=；当2x >时，()2f x x =单调递增，所以()2(,)4x f x ∈=+∞；综上，2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩的值域为[)0,+∞，故C 错；D 选项，因为3y x R =∈，所以3()1f x x R =-∈，即3()1f x x =-的值域为R ，即D 正确； 故选：AD.11．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（ ） A ．(0)0f =B ．()y f x =是增函数C ．()f x 在[m ，]n 上有最大值()f nD ．(1)0f x ->的解集为(,1)-∞【答案】AD【分析】用赋值法，令0x y ==，可判断A 正确；根据函数奇偶性与单调性的定义，判断函数奇偶性和单调性，可判断B ，C 错误；结合单调性解不等式，可得出D 正确. 【详解】令0x y ==，则()()020f f =，故()00f =.选项A 正确；令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，则()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，故函数()f x 为奇函数，选项B 正确；设12x x <，则120x x -<，由题意可得，()120f x x ->，即()()()()12120f x f x f x f x +-=->，即()()12f x f x >，故函数()f x 为R 上的减函数，()f x ∴在[],m n 上的最大值为()f m ，选项B ，C 错误；()10f x ->等价于()()10f x f ->，又()f x 为R 上的减函数，故10x -<，解得1x <，选项D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系，因此有令y x =-这个操作．三、填空题13．函数1()21f x x =-的定义域为_________ 【答案】11[1,)(,1]22- 【分析】根据根式、分式的性质：被开方数非负、分母不为0，即可求函数定义域.【详解】由函数解析式知：210210x x ⎧-≥⎨-≠⎩，即2112x x ⎧≤⎪⎨≠⎪⎩，解得11[1,)(,1]22x ∈-⋃. 故答案为：11[1,)(,1]22-. 14．函数()f x =________．【答案】[)3,+∞【分析】求出函数()y fx =的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()f x =.【详解】令2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 函数()f x =(][),13,-∞-+∞.内层函数223u x x =--的减区间为(],1-∞-，增区间为[)3,+∞. 外层函数y =[)0,+∞上为增函数，由复合函数法可知，函数()f x =[)3,+∞.故答案为[)3,+∞.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．已知定义域为R 的()f x 为减函数，若不等式2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______________ 【答案】(2,2)-【分析】由()f x 单调减，不等式在x ∈R 恒成立，知：210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，根据判别式即可求a 的取值范围.【详解】由()f x 在R 上为减函数，且2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立， ∴212ax x -<+对任意的x ∈R 恒成立，整理可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，∴240a ∆=-<，即22a -<<. 故答案为：(2,2)-.16．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品___________件. 【答案】80【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式，然后基本不等式求得最小值，得出结论，【详解】设每批生产x 件，由题意平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为8008xy x =+，800208x y x =+≥=，当且仅当8008x x =，即80x =时等号成立． 故答案为：80．【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是列出函数关系式，然后由基本不等式求得最小值．四、解答题17．已知集合{}2|20A x x x =+-<，集合{}12B x x =-<．求：（1）A B ；（2）()RAB ．【答案】（1）{}23x x -<<；（2）{}21x x -<≤-．【分析】（1）先解不等式，化简集合A ，B ，再由并集的概念，即可得出结果； （2）根据交集和补集的概念，由（1）的结果，即可得出结果. 【详解】（1）由题意得：{}{}|(2)(1)021A x x x x x =+-<=-<<，{}{}1213B x x x x =-<=-<<， {}23A B x x ∴⋃=-<<；（2）由（1）可得：{1RB x x =≤-或}3x ≥，{}()21R A B x x ∴⋂=-<≤-.18．已知关于x 的不等式230x mx ++<的解集为{}3x n x << （1）求,m n 的值； （2）解关于x 的不等式2nx mx x -≤-． 【答案】（1）4,1m n =-=；（2）[1,2)[4,)∞-⋃+．【分析】（1）由一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系，知3，n 是方程230x mx +=+的两根，即可求参数；（2）由（1）并整理得23402x x x -++≤-，根据分式不等式的解法，即可求解集.【详解】（1）由题意得：13x =，2x n =是方程230x mx +=+的两根， 将13x =代入方程得9330m ++=，即4m =-，将2x n =代入方程得2430n n -+=，即1n =或3n =(舍去)， 综上：4,1m n =-=（2）由（1）知：42x x x +≤-，即23402x x x -++≤-， ∴(1)(2)(4)020x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得：[)[)1,24,x ∈-+∞.19．已知命题[]:1,1p x ∀∈-，20x x m -+<是真命题．（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设(2)(1)0x a x a ---<的解集为B ，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|2}m m <-；（2）3a ≤-或1a =．【分析】（1）由命题为真命题知在[1,1]x ∈-上2m x x <-恒成立，即min ()m g x <即可，进而求实数m 的范围；（2）由题意得B A ≠⊂，讨论1a =、1a >、1a <分别求集合B ，根据集合包含关系列不等式求参数范围，最后整合即可.【详解】（1）由题意得：[1,1]x ∀∈-，2m x x <-恒成立，令2(),g x x x =-∴问题转化为在[1,1]x ∈-上min ()m g x <即可，又()g x 在1[1,]2-单调递增，在1[,1]2单调递减，∴min ()(1)2g x g =-=-，故2m <-，即{|2}A m m =<-（2）由题意得：B A ≠⊂， 由（1）知：(,2)A =-∞-，而B 为(2)(1)0x a x a ---<的解集， ∴①1a =时，B =∅成立；②1a >时，则21a a >+，即(1,2)B a a =+，所以22a ≤-，即1a ≤-，无解； ③1a <时，则21a a <+，即(2,1)B a a =+，所以12a +≤-，即3a ≤-； 综上，3a ≤-或1a =．【点睛】结论点睛：不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： （1）[],x a b ∀∈，()m f x <，则min ()m f x <即可； （2）[],x a b ∀∈，()m f x >，则max ()m f x >即可.集合包含关系求参数范围时，如B A ≠⊂或B A ⊆，注意B =∅的情况. 20．今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库．已知建造隔离病房的所有费用w （万元）和病房与药物仓库的距离x （千米）的关系为：()0835kw x x =<≤+．若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元．为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造病房与修路费用之和．（1）求()f x 的表达式；（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用()f x 最小？并求出最小值．【答案】（1）()()800650835f x x x x =++<≤+；（2）当5x =时，总费用最小为75万元．【分析】（1）将1x =代入35k w x =+，求出w 的值，结合题意可求得()f x 的表达式； （2）利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值，即可得出结论.【详解】（1）当1x =时，100315k =⨯+，所以，800k =，则80035w x =+， 所以，()()800650835f x x x x =++<≤+； （2）()()800235557535f x x x =++-≥=+， 当且仅当()80023535x x =++时，因为08x <≤，所以，当5x =时，等号成立. 因此当5x =时，总费用()f x 最小，且最小值为75万元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．已知()223f x x ax =-+ （1）若函数()()g x f x x =-在(),1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当[]0,2x ∈，求()f x 的最小值()h a ．【答案】（1）1[,)2a ∈+∞；（2）23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩． 【分析】（1）由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数a 的取值范围； （2）应用分类讨论的方法，讨论()f x 对称轴x a =与区间[]0,2的位置，求最值即可.【详解】（1）由题意，2()(21)3g x x a x =-++在(,1)-∞单调递减，且()g x 对称轴为12x a =+， ∴112a +≥，即12≥a ，故1[,)2a ∈+∞. （2）由题意得：()f x 开口向上且对称轴为x a =，①2a ≥时，()(2)74h a f a ==-，②0a ≤时，()(0)3h a f ==，③02a <<时，2()()3h a f a a ==-，23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪∴=-<<⎨⎪-≥⎩.22．对于定义域为I 的函数，如果存在区间[,]m n I ⊆，同时满足下列两个条件： ①()f x 在区间[,]m n 上是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“黄金区间”．（1）请证明：函数11(0)y x x=->不存在“黄金区间”． （2）已知函数246y x x =-+在R 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果[,]m n 是函数22()1(0)a a x y a a x+-=≠的一个“黄金区间”，请求出n m -的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）[2,3]；（3． 【分析】（1）由11y x=-为(0,)+∞上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由2(2)22y x =-+≥可得出2m ≥，再由二次函数的对称轴和方程246x x x -+=，可求出函数的“黄金区间”；（3）化简222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-得函数的单调性，由已知(,)m n m n <是方程211a x a a x+-=的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示n m -=1a >或3a <-，可得n m -的最大值． 【详解】解：（1）证明：由11y x =-为(0,)+∞上的增函数，则有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩， ∴21110x x x x-=⇔-+=，无解，∴11(0)y x x =->不存在“黄金区间”； （2）记[,]m n 是函数246y x x =-+的一个“黄金区间”()m n <，由2(2)22y x =-+≥及此时函数值域为[,]m n ，可知2m ≥而其对称轴为2x =，∴246y x x =-+在[,]m n 上必为增函数，令246x x x -+=，∴2560x x -+=，∴122,3x x ==故该函数有唯一一个“黄金区间”[2,3]； （3）由222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数， 已知()f x 在“黄金区间”[,]m n 上单调，所以[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，且()f x 在[,]m n 上为单调递增，则同理可得()f m m =，()f n n =，即(,)m n m n <是方程211a x a a x +-=的两个同号的实数根，等价于方程222()10a x a a x -++=有两个同号的实数根， 又210mn a=>，则只要222()40a a a ∆=+->，∴1a >或3a <-， 而由韦达定理知221a a a n m a a+++==，21mn a =，所以n m -====其中1a >或3a <-，所以当3a =时，n m -取得最大值3． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.。
重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3.已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4.设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5.在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 则116λμ= 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8.若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( )A. 6π-B. 3π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9.已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11.若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )B. C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等教育文档 可修改 欢迎下载式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置 13.设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4-教育文档 可修改 欢迎下载【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1()()13g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题共6小题,共70分､请在答题卡相应作答,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)12-(2)43-【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解.【详解】（1）由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由（1）可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18.已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. （2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】（1）由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =（2）证明:()()()22xxF x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3sin 10α+= 【解析】 【分析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】（1）由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+,又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭,即3sin 10α+=. 【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20.已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为12- 【解析】 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 22x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π （2）因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 223424x π⎡⎤⎛⎫----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21.已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x xmf x +=为偶函数 所以()()f x f x =-代入可得4444log log 22x x x x m m--++= 即4422x x x xm m --++=,化简可得()2222x x x xm --=-- ∴1m =（2）由题得()4441log log 22x xxa a +≥⋅-恒成立, 即4122x x xa a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)xt t =+<≤则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h == ∴1712a ≤又()210xa ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22.设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. （2）根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 0t x t ⎛=<≤ ⎝⎭则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛ ⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫==⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去;(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去.综上:01a <<【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期中考试模拟(一)数学试卷参考答案
1高2023级高一（上）数学半期模拟试卷参考答案一、选择题1.D 解：要使函数有意义，则210x-≠，解得：0x ≠，即00∞∞（－，）∪（，＋），故选D .2.解：A ．()1f x =的定义域为R ，()x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同；.()B f x =的定义域为{|1}x x，()g x =的定义域为{|1x x - 或1}x ，定义域不同；.()C f x x =的定义域为R，2()g x =的定义域为{|0}x x ，定义域不同；21.()11x D f x x x -==+-的定义域为{|1}x x ≠，()1(1)g x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D ．3.解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x Z ∈，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题:p x A ∀∈，1x B -∈，则:p x A ⌝∃∈，1x B -∉．故选：C ．4.解：函数定义域为0, 2.x ≥≤即是在定义域上单调递减，故当2x =时，1y =-可以取到最小值；[)11,1.y x +→-→∞时，，故取值范围为当故选：B ．5.解：令1,,x t a t a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦225y t t =+-1t a =当时，取得最大值10.21215103a a a +-=∴=故选：C ．6.解：由于函数||22()x y x x R =-∈是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由0x =时，函数值1y =，可得图象过点(0,1)，故排除C ；故选：A ．7.解：111(()1333b a <<< ，且10,13∈（）01a b ∴<<<，因此a b a a >，,A C 错误；又0,a y x =+∞ 函数是（）上的增函数∴a a b a >，可得b a a a a b <<.故选：B ．8.解：将不等式化为11,14m x x +≥-只需当1(0,)4x ∈时，min 11()14m x x +≥-即可,由1111()(414)1414x x x x x x+=++---14441554914x x x x -=+++≥++=-,当且仅当15x =时取等号，故9m ≤，故m 的最大值为9.故选B .。
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题及答案
绝密★启用前重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．π-B ．πC ．2πD ．4π2．若命题p :2,210x R x x ∃∈++≤，则命题p 的否定为（ ） A ．2,210x R x x ∃∉++> B ．2,210x R x x ∃∈++< C ．2,210x R x x ∀∉++>D ．2,210x R x x ∀∈++>3．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ） A ．70B ．110C ．150D ．2904．下列函数定义域与值域相同的是（ ） A ．3x y = B ．12log y x =C ．3y x =D ．tan y x =5．已知cos167m ︒=，则tan193︒=（ ）AB ．mC ．m- D ．6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，3()8f x x =-，则(){}20x f x ->=（ ）A ．{2x x <-或4}x >B ．{0x x <或4}x >C ．{0x x <或6}x >D ．{2x x <-或2}x >7．函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示.将()f x 图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 4y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．1cos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1sin 24y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭8．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务服务､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）(参考数据lg 20.3010≈，lg30.4771≈)A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多选题9．下列各式的值小于1的是（ ） A ．tan15 B ．4sin15cos15 C ．22cos 22.51-D ．2tan 22.51tan 22.5-10．下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭说法正确的是（ ） A ．周期为π B ．增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．图像关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D ．图象关于直线23x π=对称后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分別为a 和(0)b a b <<，其全程的平均速度为v ，则下列选项正确的是（ ）A ．a v <<B ．v =C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 12．对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意的k ，()f x 的最大值为1 B ．当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素 C ．当3k =时，()f x 在0,2内只有一个零点D ．当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2，则(16)f =____________． 14．已知3cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.15．在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为___________.16．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，223παβ+=，tan tan 32αβ+=，则αβ-=___________.四、解答题17．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为43(,)55P -．（1）求cos πα⎛⎫+⎪ 和sin 2α的值；（2）求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值．19．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.（1）下列几个模拟函数：①2y ax bx =+；②y kx b =+；③log a y x b =+；④x y a b =+（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）.用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由； （2）若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5L ，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A 饮料的销售量最多是多少. 20．已知函数()33x x f x a -=-⋅为奇函数. （1）求a 的值并判断()f x 的单调性； （2）若()813f x ->，求x 的取值范围. 21．设0a >，()0,1x ∈，函数2()log ()f x x a =+，21()log (3)2g x x a =+. （1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若()()f x g x <，求a 的取值范围.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
八中高2024级高一上半期试题及答案
重庆八中2021—2022学年度（上）半期考试高一年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，记集合P A B = ，B A Q =，则A ．1P∈B ．4P∉C ．5Q∈D ．3Q∉2．命题“对x R ∀∈，都有1sin -≤x ”的否定为A ．对x R ∀∈，都有sin 1x >-B ．对x R ∀∈，都有sin 1x C ．0x R ∃∈，使得0sin 1x >-D ．0x R ∃∈，使得0sin 1x - 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．||y x x =B ．3y x =-C ．23y x =+D ．1y x=-4．函数111y x =-+的值域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．),1()1,(+∞---∞ D ．(,)-∞+∞5．函数2()(1)32x f x m x =-+-+在区间(]5,∞-上单调递增，则实数m 的取值范围是A ．(,6]-∞B ．[6,)+∞C ．[4,)-+∞D ．(,4]-∞-6．已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则)2)(2(bb a a ++的最小值为A ．8B ．434-C ．9D ．434+7．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合#A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y R ∈，{|1A x y ==，{|2,0}B y y x x ==>，则#A B 为A ．{|03}x x <<B ．{|13}x x <C ．{|013}x x x 或D ．{|03}x x x =>或8．已知0a >，k R ∈，设函数2,,(),x x x s f x kx x s ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，若对任意的实数(2,2)s ∈-，都有()f x 在区间(,)-∞+∞上至少存在两个零点，则A ．4a ，且1k B ．4a ，且01k < C ．04a <<，且1k D ．04a <<，且01k < 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合{|||,}M y y x x x R ==-∈，12{|},0N y y x x ≠==，则下列选项错误的有A ．M N=B ．N M⊆C ．R M N=ðD ．R N MÜð10．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．2()f t t =，2()g s s=B ．()1f x x =+，21()1x g x x -=-C ．()||f x x =，(0)()(0)t t g t t t ⎧=⎨-<⎩ D ．()f x x =，2()g x =11．已知1m n >>，下列不等式中正确的是A ．2m mn>B ．2n mn-<-C ．12n n+≤D ．1111m n <--12．已知集合0{|01}A x x =<<．给定一个函数()y f x =，定义集合{|()n A y y f x ==，1}n x A -∈．若1n n A A -=∅ 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“p ”．则下列函数中具有性质“p ”的是A ．1y x =+B ．1y x=C ．2y x =D ．1y x x=+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则()2f 的值为．14．若||1x a -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数a 的取值范围是．15．已知()f x 为奇函数，当0x <时，2()31f x x x =+-；当0x >时，()f x 的解析式为()f x =．16．设x R ∈，对于使22x x M - 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界，若0a >，0b >，且11121a a b+=++，则2a b +的下确界为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知幂函数ax a a x f )22()(2--=（R a ∈）在),0(+∞上单调递增.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）解不等式)3()5(2x x f x f -<+18．（12分）已知集合{}042)23(22≤+++-=a a x a x x A ，{}106≤≤=x x B （1）当6=a 时，求B A ，)(B C A R （2）从①R A C B R =)( ；②“B x ∈”是“A x ∈”的必要不充分条件；③φ=)(B C A R 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若，求实数a 的取值范围.19．（12分）如图，边长为1的正三角形纸片ABC ，M 、N 分别为边AB 、AC 上的点，MN ∥BC ，将纸片沿着MN 折叠，使得点A 落至点1A ，1MA 交BC 于点P ，1NA 交BC 于点Q ，记x AM =，四边形MNQP 的面积为y ．（1）建立变量y 与x 之间的函数关系式)(x f y =，并写出函数)(x f y =的定义域；（2）求四边形MNQP 的面积y 的最大值以及此时的x 的值．20．（12分）已知关于x 的不等式052>+-n x mx 的解集为),3()2,(+∞-∞∈ x .（1）求实数n m ,的值；（2）当0>+y x ，1->z ，且满足11=+++z ny x m 时，有5222+-≥++t t z y x 恒成立，求实数t 的取值范围.21．（12分）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心精准发射，约582秒后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第21次飞行任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务。
重庆市第八中学高一上学期期末考试数学试卷有答案
重庆市第八中学2013年高一上学期期末考试数学试卷数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则()I A B =ð（A ）{1,2,4,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{3}（D ）Φ2. 下列关于向量的命题，正确的是（A ）零向量是长度为零，且没有方向的向量 （B ）若b = -2a （a ≠0），则a 是b 的相反向量 （C ）若b = -2a ，则|b |=2|a |（D ）在同一平面上，单位向量有且仅有一个 3. 若sin()sin()sin()1παπαα++-+-=，则sin =α（A ）1（B ）13（C ）13-（D ）-14. 已知向量a =(1, 2)，b =(x , -6)，若a //b ，则x 的值为（A ）-3（B ）3（C ）12（D ）-125. 已知角θ为第四象限角，且3tan =4θ-，则sin cos θθ+= （A ）15（B ）75 （C ）15-（D ）75-6.要得到函数2sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（A ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（B ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（C ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）（D ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）7. 已知4log 5a =，124b -=，sin2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （A ）b c a <<（B ）c a b <<（C ）a b c <<（D ）c b a <<8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，3()24x f x x =+-．若存在0x I ∈，使得0()0f x =，则区间I 不可能．．．是 （A ）(2,1)-- （B ）(1,1)- （C ）(1,2) （D ）(10)-，9. 函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+----在区间1(,2)2上的图像大致为（A ） （B ）（D ）10．如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB =y AC +，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）11[,]164（C ）13[,]1616（D ）31[,]164第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B -，则2OA OB +的坐标为 ． 12. 函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．13.2cos 202sin 503-=- ．14. 若实数x 满足方程(32)(12)4x x -+-=，则x = ．15. 已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足：对任意,x y R ∈有()()()f x y f x g y -=()()f y g x -且0)1(≠f ．若)2()1(f f =，则=+-)1()1(g g ．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数)(x f y =满足(0)(1)1f f ==，且13()24f =，求： （Ⅰ）)(x f 的解析式； （Ⅱ）)(x f 在(0,1)上的值域．17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，且a 、b 的夹角为60． （Ⅰ）求a +b 的模；（Ⅱ）若λa -6b 与λa +b 互相垂直，求λ的值．18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知函数()cos sin )f x x x x =-．求： （Ⅰ）函数)(x f y =的对称轴方程； （Ⅱ）函数)(x f y =在区间[0,]2π上的最值．19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知sin()cos()82824παπα++=,(,)42ππα∈，3cos()45πβ-=，(,)2πβπ∈． （Ⅰ）求)4cos(πα+的值； （Ⅱ）求cos()αβ+的值．20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+． （Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =．若定义cot x y θ=，sec rxθ=，csc r y θ=． （Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()|sin cos tan cot sec +csc |f θθθθθθθ=++++的最小值．重庆八中2013年（上）期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题 BCDAA BADAC10 析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，5[,]36ππθ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由A H x AB y AC =+0(1c o s )(1c o s s i n s i n c o s x y x y θθθθθ=--+-⎧⇒⎨-=--⎩1cos 21cos 2x y θθ-⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=⋅，由5[,]36ππθ∈，知xy ∈13[,]1616，选C ．二、填空题11.(1,8)- 12. (,3)(3,4)-∞ 13.1214.2log 3-15． 1 析：令vu x -=，则)()]()()()([)()()()()()(x f v f u g v g u f u f v g u g v f u v f x f -=--=-=-=-∴)(x f 为奇函数．)1()1()1()1()1()1()1()1()]1(1[)2(f g g f f g g f f f +-=---=--==)]1()1()[1(g g f +-．又∵0)1()2(≠=f f ，∴1)1()1(=+-g g ．三、解答题 16.（Ⅰ）由待定系数法可求得2()1f x x x =-+ ……………………………………………………..…………6分（Ⅱ）213()(),(0,1)24f x x x =-+∈；当21=x 时，min 3()4f x = ；又(1)1f =，综上，)(x f 在(0,1)上的值域是3[,1)4…………………………………………………………13分17.（Ⅰ）||7a b += …………………………………………………………6分（Ⅱ）由条件，知(6)()0a b a b λλ-⋅+=222560a a b b λλ⇒-⋅-=25240λλ⇒--=，8λ=或3λ=- ……………………………13分 18.（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =-1cos 21sin 222x x +-1=cos 2sin 222x x -sin(2)3x π=-- …………………………………4分令2()32x k k Z πππ-=+∈，解得5()212k x k Z ππ=+∈故()y f x =的对称轴方程为5()212k x k Z ππ=+∈ ……………………………………7分（Ⅱ）由02x π≤≤22333x πππ⇒-≤-≤，所以sin(2)13x π≤-≤，从而min 1y =-，max 2y =……13分19.（Ⅰ）由题知：11sin()sin()cos()24442πππααα++=⇒+=±，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4ππα，所以3(,)424πππα+∈，故1co s ()42πα+=- …………………………………5分 （Ⅱ）因为3cos(),45πβ-=所以4sin()45πβ-=±，又(,)2πβπ∈，故3(,)444πππβ-∈从而4sin(),45πβ-=cos()cos[()()]44ππαβαβ+=++-134cos()cos()sin()sin()4444255ππππαβαβ=+--+-=-⨯-= ……………………………12分20.（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ (其中0x >) 所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间． ………………………………………5分（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩………………………………………8分① 若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =； ② 若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <． 综上可得0k <或4k =为所求． ………………………………………12分 21.（Ⅰ）222222sin cos tan cot sec +csc =3θθθθθθ+--+ …………………………………………………………4分（Ⅱ）由条件，cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ= 令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++ 1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++…………………………………………………………6分令sin cos t θθ+=，则s i n c =2s i)4t πθθ=++[2]∈，1t ≠±，且21s i n c o s 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--221t t t +=+-21t t =+-2111t t =-++-，……………………………………………9分令1u t =-，则21y u u=++，[1]u ∈-，且0t ≠，2t ≠-．所以，(,1[322,)y ∈-∞-++∞．从而()||f y θ=≥，即mi n()221f θ=． …………………………………………………………12分。
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
重庆市第八中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（ ）A ．{}3,0x y ==B ．(){}3,0C ．{}3,0D ．{}0,32．点C 在线段AB 上，且23AC CB =若AB BC λ=，则λ=（ ） A ．23B ．23-C ．53D ．53-3．()sin 2019-=（ ）A ．sin39B ．sin39-C ．cos39D ．cos39-4．已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．若()()sin cos 0θθ-⋅-<，则θ在第（ ）象限. A ．一、二B ．二、三C ．一、三D ．二、四6．把函数sin3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（ ） A ．sin(3)6y x π=+ B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos(3)6y x π=+7．函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,58．若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π9．函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数，则a 的范围（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．1[0,]2D ．1(0,)210．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<11．下列函数中,既没有对称中心，也没有对称轴的有（ ）①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③1)y =④21xy =- A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．设正实数a,b 均不为1且log a 2>log b 2，则关于二次函数f(x)=(x −a)(x −b)+(x −b)(x −1)+(x −1)(x −a)，下列说法中不正确的是（ ） A ．三点(1,f(1)),(a,f(a)),(b,f(b))中有两个点在第一象限 B ．函数f(x)有两个不相等的零点 C ．f(a+b+13)≤f(a)+f(b)+f(1)3D ．若a >b ,则f(0)>f(2)二、填空题13．已知幂函数y x α=的图象过点(14,2)，则α=________. 14．计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________. 15．设3sin(),452ππαα+=<,则cos2=α________. 16．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为________.三、解答题17．设集合{}2320A x x x =-+<，集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若a =求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-. (1)求()3f π的值；(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值. 19．已知函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤，求此时()f x 的值域.20．已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.（1）求()f x 的解析式； （2）若2()4sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式；(2)如图所示，在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥，求ABC ∆面积S 的最大值.22．设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11[,]b a，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.（1）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（2）若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象，是否存在实数m ，使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【分析】解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可. 【详解】因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0故选:B 【点睛】本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题. 2．D 【分析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值. 【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB =所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：因为AB BC λ=则53AB BC =- 所以53λ=-故选：D 【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。
重庆八中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
重庆八中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={x|x ≤9,x ∈N +}，集合A ={1,2，3}，B ={3,4，5，6}，则∁U (A ∪B)=( )A. {3}B. {7,8}C. {7,8，9}D. {1,2，3，4，5，6}2. 下列函数中既是奇函数又在区间，[−1,1]上单调递减的是( )A. y =sinxB. y =−|x +1|C. y =ln 2−x 2+xD. y =12(2x +2−x ) 3. 若tanα=13,tan(α+β)=12，则tanβ=( )A. 17B. 16C. 57D. 56 4. 设a =log 0.70.8，，则( ) A. b >a >0 B. a >0>b C. a >b >0 D. b >0>a5. 在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，则λμ的值是( )A. 14B. 12C. 2D. 46. 函数f(x)=xsinx 的图象大致是( )A. B.C. D.7. 若函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A. [43,3]B. [43,2]C. [43,2)D. [43,+∞)8.函数f(x)=cos(2x+π6)的一条对称轴为()A. π6B. 5π12C. 2π3D. −2π39.函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)最大值是()A. 2B. 32C. √3D. 2√310.已知函数，，若对任意x1∈[2,+∞)，总存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是()A. B. C. D. [1,32]∪[74,2]11.已知cosα=35，α∈(−π2,0)，则sin2α的值为()A. −1225B. −2425C. 1225D. 242512.已知函数f(x)=e x−e−x，若，则实数m的取值范围是()A. (1,2)B. (1,32) C. (0,1) D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,−1)，若λa⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ 平行，则λ=______ ．14.计算：lg25+2lg2+823=______．15.已知定义在R上的偶函数y=f(x)，当x≥0时，f(x)=lg(x2−3x+3)，则f(x)在R上的零点个数为________．16.设函数y=sinωx(ω>0)在区间[−π5,π3]上是增函数，则ω的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知sinα=√55，且α是第一象限角(Ⅰ)求cosα的值(Ⅱ)求tan(π+α)cos(π−α)−sin(π2+α)的值．18.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象过点(−2,4)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m+5)<f(3m+3)，求m的取值范围．19.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当−π12⩽α⩽5π12时，求f(a)的取值范围．20. 已知函数f (x )=−√2sin (2x +π4)+6sinxcosx −2cos 2x +1,x ∈R(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．21. 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)成立．(1)若x ≥0时，f(x)=(12)x ，求不等式f(x)>14的解集；(2)若f(x +1)是偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，求f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．22. 已知函数f(x)=2asin (2x −π3)+b 的定义域为[0,π2]，函数的最大值为1，最小值为−5，求a和b 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1,2，3}，B={3,4，5，6}，A∪B={1,2，3，4，5，6}；∴∁U(A∪B)={7,8，9}．故选：C．化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：y=sinx是奇函数，但是，[−1,1]上单调增函数．y=−|x+1|不是奇函数，对于y=ln2−x2+x ，因为f(−x)=ln2+x2−x=−ln2−x2+x=−f(x)，所以y=ln2−x2+x是奇函数，y=ln2−x2+x=ln(42+x−1)在[−1,1]上单调减函数，y=12(2x+2−x)是偶函数，[−1,1]上单调递增．故选：C．判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1−tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17．4.答案：B解析：本题考查对数的比较大小问题，属于基本题型．根据对数函数的单调性可知a，b的大小．解：因为0.7<1， 函数在定义域上单调递减， 所以．因为1.1>1， 函数在定义域上单调递增， 所以， 所以a >0>b ．故选B ． 5.答案：B解析：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出λ，μ的值即可得出答案．解：∵D 为AB 中点，E 为CD 中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +14a ⃗ ，∴λ=14，μ=12，∴λμ=12． 故选：B ．6.答案：A解析：解：函数f(x)=xsinx 满足f(−x)=−xsin(−x)=xsinx =f(x)，函数的偶函数，排除B 、C ， 因为x ∈(π,2π)时，sinx <0，此时f(x)<0，所以排除D ，故选：A ．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力． 7.答案：C解析：本题主要考查合函数的单调性.解题时需结合二次函数的单调性，注意定义域． 解：设，−1<x <5，因为函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增， 所以3m −2≥−1且m +2≤5，且根据复合函数的单调性，可得：{3m −2≥23m −2<m +2． ∴43≤m <2 故选C ．8.答案：B解析：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．解：对于函数y =cos(2x +π6)，令2x +π6=kπ，求得x =12kπ−π12，k ∈Z ，故当k =1时，它的图象的一条对称轴方程为x =5π12．故选：B ． 9.答案：C解析：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力，利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可，解：函数．故选C10.答案：C解析：本题考查求函数值域，以及存在性问题，恒成立问题求参数的取值范围，难度较大．解：函数，，当x∈[2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，值域为[1,+∞);，当x≥0时，g(x)∈[2−a,2+a]；当x<0时，g(x)∈[2a,+∞)，由题意得2a<1或{2+a≥2a2−a≤1，所以a应满足．故选C．11.答案：B解析：解：∵cosα=35，α∈(−π2,0)，∴sinα=−√1−cos2α=−45．∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用.首先利用函数的奇偶性和单调性的定义，判断函数f(x)的奇偶性和单调性，得到，解不等式，得到答案．解：因为f(−x)=e−x−e x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，且单调递增，所以，即，得，所以0<m<2．故选D．13.答案：±1解析：解：∵a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,−1)∴λa⃗+b⃗ =(3λ+2,2λ−1)，a⃗+λb⃗ =(3+2λ,2−λ)∵λa⃗+b⃗ //a⃗+λb⃗∴(3λ+2)(2−λ)=(2λ−1)(3+2λ)解得λ=±1故答案为：±1利用向量的运算法则求出两个向量的坐标，再利用向量共线的充要条件列出方程，解方程得值．本题考查向量的坐标形式的运算法则、向量平行的坐标形式的充要条件．14.答案：6解析：解：原式=lg(25×22)+23×23=2+4=6．故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：4解析：本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．利用函数是偶函数求出xx≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．解：当x ≥0时，f(x)=lg(x 2−3x +3)，函数的零点由：lg(x 2−3x +3)=0，即x 2−3x +3=1，解得x =1或x =2．因为函数是定义在R 上的偶函数y =f(x)，所以函数的零点个数为：4个．故答案为4．16.答案：(0,32]解析：本题考查正弦函数的性质，结合正弦函数的性质得[−π5ω,π3ω]⊆[−π2,π2]，可得结果．解：∵x ∈[−π5,π3]，∴ωx ∈[−π5ω,π3ω]；因为函数y =sinωx(ω>0)在区间[−π5,π3]上是增函数，所以[−π5ω,π3ω]⊆[−π2,π2]，则{−π5ω≥−π2π3ω≤π2, 即{ω≤52ω≤32，又ω>0， 所以ω的取值范围为(0,32]．故答案为(0,32]．17.答案：解：(Ⅰ)sinα=√55，且α是第一象限角 cosα=√1−sin 2α=2√55 (Ⅱ)tanαcos(π−α)−sin(π2+α)=−tanαcosα−cosα=−sinα−cosα=−√55−2√55=−3√55．解析：(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系式直接求cosα的值(Ⅱ)通过弦切互化以及诱导公式直接求tan(π+α)cos(π−α)−sin(π2+α)的值即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力． 18.答案：解：由题意可得f(−2)=a −2=4，其中a >0且a ≠1，解得a =12，所以f (x )=(12)x ; (2)由(1)可知f(x)在R 上是减函数，因为f(2m+5)<f(3m+3)，所以2m+5>3m+3，解得m<2，所以m的取值范围为(−∞,2)．解析：本题考查了函数的单调性，指数函数，属于基础题．(1)直接代入点即可得出f(x)解析式；(2)根据函数的单调性计算即可．19.答案：解：(1)由题图知A=√3，又因为3T4=7π12−(−π6)=3π4，ω>0，所以T=π=2πω，即ω=2，所以f(x)=√3sin(2x+φ)，将点(7π12,−√3)代入，得2×7π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，所以φ=π3+2kπ(k∈Z)，又−π2<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=√3sin(2x+π3)；(2)当α∈[−π12,5π12]时，2α+π3∈[−π6,7π6]，所以sin(2α+π3)∈[−12,1]，即f(α)的取值范围为[−√32,√3]．解析：本题主要考查由函数的图象求函数解析式的方法，考查函数y=Asin(ωx+φ)、正弦函数的图象和性质．(1)由图象知A、周期T，利用周期公式可求ω，由点(7π12,−√3)在函数图象上，结合范围−π2<φ<π2，可求φ，从而解得函数解析式；(2)由α∈[−π12,5π12]，可求2α+π3∈[−π6,7π6]，利用正弦函数的图象和性质，即可求得f(α)的取值范围．20.答案：解：(1)∵函数，∴它的最小正周期为2π2=π．(2)因为x∈[0,π2]上，2x−π4∈[−π4,3π4]，故当2x−π4=−π4时，f(x)取最小值−2，当2x−π4=π2时，f(x)取最大值2√2，故函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2√2，最小值为−2．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)最小正周期．(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．21.答案：解：由题意：函数f(x)的定义域为R，且对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)成立．∴f(x)是偶函数．(1)当x≥0时，f(x)=(12)x，那么：x <0时，则−x >0，f(−x)=(12)−x ， ∵f(−x)=f(x)，故得x <0时，f(x)=(12)−x ，∴f(x)在定义域为R 上的解析式f(x)=(12)|x|，不等式f(x)>14转化为：(12)|x|>(12)2，∴|x|<2，解得：−2<x <2，∴不等式f(x)>14的解集为{x|−2<x <2}．(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．即f(x +1)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ， ∵x ∈[2015,2016]上，那么：x −2015∈[0,1]上；∴f(x)=2x−2015；故得f(x)在区间[2015,2016]上的解析式f(x)=2x−2015；解析：(1)由题意求出f(x)在定义域为R 上的解析式，再求解f(x)>14的解集；(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，可以得出f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．本题考查了函数的奇偶性的运用和周期函数解析式的求法．属于基础题． 22.答案：解：由题意可得a ≠0，因为0≤x ≤π2，所以−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin (2x −π3)≤1． 若a >0，则{2a +b =1−√3a +b =−5, 解得{a =12−6√3b =−23+12√3； 若a <0，则{2a +b =−5−√3a +b =1, 解得{a =−12+6√3b =19−12√3；综上知{a =12−6√3b =−23+12√3或{a =−12+6√3b =19−12√3．解析：本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值，属于基础题．由x 的取值范围，求出2x −π3的取值范围，从而求出sin(2x −π3)的取值范围；讨论a >0、a <0时，函数f(x)的最值问题，从而求出a 和b 的值．。
2020-2021学年重庆市第八中学高一下学期期末考试数学试卷及答案
21.如图，已知在三棱柱 中，四边形 为正方形， ， ， 、 分别是 、 的中点，点 是线段 上的动点．
（1）证明： ；
（2）若 ，若 ，求平面 与平面 所成锐二面角 余弦值．
22.已知圆心 在第一象限，半径为 的圆与 轴相切，且与 轴正半轴交于 ， 两点（ 在 左侧）， （ 为坐标原点）．
A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°
4.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
5.直线 与圆 交于 、 两点，则 （）
A.2B. C.6D.
6.已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关于 和 的交点情况是（）
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）
17.设向量 ， ， ．
（1）若向量 ，求 ．
（2）若向量 与向量 的夹角为 ，求 ．
18. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
19.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 、 分别是 、 中点．
C.无论 ， ， 如何，总是无交点D.存在 ， ， 使之无交点
【答案】A
7.如图，在正三棱柱 中， ，则直线 与 所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
8.已知点 为直线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为（）