寿险精算
21世纪保险精算系列教材寿险精算学
21世纪保险精算系列教材寿险精算学
21世纪保险精算系列教材寿险精算学：
一、简介
1、意义：寿险精算学是保险公司在实施寿险业务和制定寿险产品时，需要掌握并运用的精算技术，其目标旨在获得稳定的精算结果。
2、内容：本系列教材包括寿险精算基础知识、寿险产品设计、保费计算、条款拟定等各方面。
二、寿险精算基础知识
1、基础知识体系：此部分主要介绍了精算师的基本概念、精算的基本技术、精算的常用模型和寿险的总体概况，以及寿险精算的经济意义等。
2、工具：此部分介绍了常用的精算软件、精算计算器和其他一些专业的精算工具，主要用于计算和绘制精算图表。
三、寿险产品设计
1、基础知识：此部分介绍了寿险产品主要结构和功能，以及寿险报喜奖励计划的基本原理，如保单费率、给付条件、分红等。
2、设计方法：此部分介绍了寿险产品的设计流程、技术方法及其相关的精算工具，以及如何使用精算模型为寿险产品设计以及其他后续精算研究。
四、保费计算
1、基础知识：此部分介绍了寿险保费计算的基本原理和方法，以及如何使用精算软件和一些相关计算工具来进行计算和结果分析。
2、计算流程：此部分介绍了保费计算流程比较，以及如何实施保费计算手续、估算参数等。
五、条款拟定
1、基础知识：此部分介绍了寿险条款拟定的原则和技术，如保险条款的编制、条款精算原理与实践、条款评估与审查等。
2、实施方法：此部分主要介绍了拟定条款的实施流程，以及如何使用相关工具进行评估审查，从而保证条款的准确性。
寿险精算学习心得
寿险精算学习心得寿险精算是保险行业中一项重要的技术与职能，其主要的功能是对寿险产品进行定价和风险评估。
通过学习寿险精算这门课程，我收获了很多知识和经验，并深刻理解了寿险精算的重要性和挑战。
首先，我学习了寿险精算的基本概念和原理。
寿险精算是通过使用数学、统计学和财务学等方法，对寿险产品的死亡率、理赔率和费用率等进行测算和预测，从而确定保费和储备金等重要参数。
我了解到，精确的精算模型和数据分析是寿险精算的核心，通过建立合理的风险模型和模拟分析，可以有效地评估寿险产品的风险和收益。
其次，我学习了如何进行风险评估和风险管理。
在寿险精算中，风险评估是非常关键的一环，通过分析和评估不同风险因素对保险产品的影响，可以确定合适的风险承受能力和制定相应的风险管理策略。
我学会了如何使用各种技术和方法来量化风险，并通过合理的风险转移和再保险安排来降低风险。
同时，我还学习了保险产品的定价方法和原则。
寿险产品的定价是寿险精算的核心任务之一，它不仅需要充分考虑保险公司的经营成本和利润要求，还需要考虑到客户的需求和风险承受能力。
在学习中，我了解到了不同类型的寿险产品的定价原则和方法，并学会了使用数学模型和统计分析来确定保费和储备金等关键参数。
此外，我还学习了寿险精算的监管要求和行业发展趋势。
作为一项专业的职业，寿险精算需要遵守国家法律法规和监管要求，保障客户的权益和市场的稳定。
我了解到了保险监管的主要政策和规定，并对寿险精算领域的行业趋势和发展前景有了更为清晰的认识。
通过学习寿险精算，我不仅增加了专业知识和技能，还培养了批判性思维和问题解决能力。
寿险精算是一门综合性较强的学科，需要综合运用数理统计、金融经济和保险业务知识，因此在学习过程中需要注重理论与实践的结合。
通过实际案例的分析和计算实践，我对寿险精算的应用和实际操作有了更深入的了解，并能够独立进行精算计算和决策分析。
总的来说，学习寿险精算让我受益匪浅。
我通过学习了解了寿险精算的基本概念、原理和方法，掌握了风险评估、定价和管理等重要技能，同时也对寿险精算的监管要求和行业发展有了更深入的了解。
寿险精算知识点总结
寿险精算知识点总结导言随着人们生活水平的提高和社会的进步，寿险逐渐成为了人们重要的保险方式之一。
而寿险精算作为寿险行业的核心技术之一，对保险产品的设计、定价、资金运用、风险管理等方面起着至关重要的作用。
因此，掌握寿险精算知识是每一位从事寿险行业的人员必备的基本能力。
一、寿险精算的概念寿险精算是指保险公司通过对寿险产品的设计、定价、资金运用和风险管理等方面进行科学的计量和评估，以达到保障合同公平性、经济性和可持续性的一种技术手段。
它主要是通过对寿险业务中的风险、费用和收入等进行定量化分析，以便合理确定保险责任准备金和风险溢余金的水平，还可以根据实际情况进行调整，确保保险公司的健康运营。
二、寿险精算的作用1. 保证产品定价的公平性和科学性。
通过寿险精算可以合理评估保险产品的各项风险，确定合理的保费水平，保证保险产品的公平性和科学性。
2. 保证保险责任准备金的充足性。
通过寿险精算可以准确测算未来可能承担的风险及相关费用开支，从而合理设定和评估准备金的水平和充足性，保证保险公司在未来的偿付能力。
3. 为资产配置和投资提供依据。
寿险精算可以科学评估寿险资金的收入和支出，为公司合理配置和投资资产提供科学的依据，保证资金的收益水平和风险控制。
4. 辅助风险管理和监管。
通过对保险风险进行精准评估和定量化分析，可以辅助公司进行风险管理，加强对保险资产负债管理的监管，确保公司在风险控制和监管方面的稳健运作。
三、寿险精算的主要内容1. 寿险产品的设计和定价。
根据不同寿险产品的特点和需求，进行产品设计和定价，确定保费水平和风险费用的合理分配。
2. 保险责任准备金评估。
对已承保的保险风险和未来可能承担的责任进行准确测算，确定合理的保险责任准备金水平。
3. 资产负债管理。
对公司资产和负债进行科学分析和评估，确定资产配置和投资策略，确保公司资产负债的均衡和稳健。
4. 风险管理和监管。
对保险风险进行评估和定量化分析，辅助公司进行风险管理和监管，确保公司的有效运作。
保险精算与寿险精算
保险精算与寿险精算1. 引言保险精算是保险行业中非常重要的一项工作，它涉及到精确评估和管理保险风险的过程。
在保险精算中，寿险精算是其中的一个重要领域。
本文将介绍保险精算和寿险精算的根本概念，以及它们在保险行业中的应用和重要性。
2. 保险精算的概念保险精算是指利用数学、统计学和金融理论等工具来评估保险风险，并制定相关策略和决策的过程。
它是一个综合性的领域，结合了风险管理、投资管理和产品设计等方面的知识。
保险精算主要包括风险评估、风险定价、准备金计算和资产负债管理等内容。
3. 寿险精算的概念寿险精算是保险精算领域中的一个重要分支，它专注于寿险产品的精确评估和管理。
寿险精算的主要任务是对寿险风险进行定量分析，并为保险公司提供相应的精算建议。
寿险精算涉及到寿险保费的定价、寿险责任准备金的计算、赔付率的预测等内容。
4. 保险精算和寿险精算的应用保险精算和寿险精算在保险行业中有着广泛的应用。
首先，保险精算和寿险精算能够帮助保险公司评估和管理保险风险，从而提供准确的保险产品定价和风险控制策略。
其次，保险精算和寿险精算还可以为保险公司提供准备金计算和资产负债管理等方面的指导，帮助保险公司保持良好的财务稳定性。
此外，保险精算和寿险精算还可以帮助保险公司优化投资组合，提高资产的回报率。
5. 保险精算和寿险精算的重要性保险精算和寿险精算在保险行业中的重要性不言而喻。
首先，保险精算和寿险精算能够帮助保险公司评估和管理保险风险，从而降低保险公司的风险暴露。
其次，保险精算和寿险精算还可以提高保险公司的盈利能力，减少资本的占用。
此外，保险精算和寿险精算还可以为保险公司提供决策支持，帮助保险公司更好地满足客户的需求。
6. 结论保险精算和寿险精算是保险行业中非常重要的一项工作，它们能够帮助保险公司评估和管理保险风险，提高盈利能力，并为保险公司提供决策支持。
因此，保险精算和寿险精算在保险行业中的应用和重要性不可无视。
随着保险业的开展和创新，保险精算和寿险精算在未来将发挥更加重要的作用，为保险行业的可持续开展做出奉献。
寿险精算知识点
寿险精算知识点寿险精算是指利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作的过程。
它是寿险行业中的核心技术之一，具有重要的意义。
本文将从寿险精算的基本概念、核心任务以及一些常见的精算方法等方面进行介绍。
我们来了解一下寿险精算的基本概念。
寿险精算是指寿险公司通过对历史数据进行分析和建模，利用数学和统计学的方法，对寿险业务进行风险评估和保费定价的过程。
它主要包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。
寿险精算的核心任务之一是风险评估。
风险评估是指对寿险业务的风险进行测算和评估，主要包括寿险产品的死亡率、残疾率、疾病率等指标的测算和预测。
通过对风险的评估，可以帮助寿险公司合理确定保费水平，确保寿险公司的盈利能力和偿付能力。
保费定价是寿险精算的另一个核心任务。
保费定价是指根据寿险产品的风险特征和市场需求，确定合理的保费水平。
在进行保费定价时，需要考虑到寿险公司的风险承受能力、保险产品的竞争力以及客户的支付能力等因素。
通过合理的保费定价，可以保证寿险公司的盈利能力和可持续发展。
赔付准备金计提是寿险精算的另一个重要任务。
赔付准备金是指寿险公司为支付未来赔款而预先计提的资金。
在进行赔付准备金计提时，需要考虑寿险产品的赔付率、赔付期限、赔付模式等因素。
通过合理的赔付准备金计提，可以确保寿险公司的偿付能力，保障客户的权益。
在寿险精算的实践中，还存在一些常见的精算方法。
例如，死亡率分析是寿险精算中常用的方法之一。
通过对历史死亡率数据的分析和建模，可以预测未来的死亡率，从而为保费定价和赔付准备金计提提供依据。
此外，寿险精算还可以运用生命表、经验法、模型法等方法进行风险评估和保费定价。
寿险精算是寿险行业中的核心技术之一，它通过利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作。
寿险精算的核心任务包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。
life insurance 精算公式
life insurance 精算公式Life Insurance 精算公式该文章将列举一些与生命保险精算相关的公式，并举例解释其含义。
纯费用净保费公式（Net Premium Formula）•纯费用净保费 = 纯死亡率 * 累计保费这个公式用于计算保险公司所收取的净保费，其中纯死亡率是指以被保险人的年龄、性别、职业等因素为基础的死亡风险。
累计保费是指被保险人支付的全部保费之和。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的寿险，保额为100,000元。
根据精算师的数据分析得出该被保险人在该保险期间的纯死亡率为。
如果该被保险人每年需要支付1000元的保费，那么他每年必须缴纳的纯费用净保费为：纯费用净保费 = * (10 * 1000)= 100元现金价值（Cash Value）计算公式•现金价值 = 累计保费 - 永久纯费用净保费 - 风险准备金现金价值是指保险合同生效后，被保险人可获得的保额之和。
永久纯费用净保费是指永久性保证死亡保险的纯费用净保费，也称为值班保费。
风险准备金是保险公司为防备被保险人死亡而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份20年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为2000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的永久纯费用净保费为150元，并且风险准备金为500元。
那么该被保险人的现金价值为：现金价值 = (20 * 2000) - (20 * 150) - 500= 36,500元退保价值（Cash Surrender Value）计算公式•退保价值 = 累计保费 - 累计纯费用净保费 - 风险准备金退保价值是指在保险合同期间被保险人在合同终止前选择退保所能获得的金额。
累计纯费用净保费是指在保险合同期间累计支付的纯费用净保费。
风险准备金是为了应对潜在的风险而储备的资金。
例子：假设某位被保险人购买了一份10年期的定期寿险，保额为100,000元。
年度保费为5000元，精算师估计该被保险人在该保险期间的累计纯费用净保费为4000元，并且风险准备金为1000元。
寿险精算实务精华版
寿险精算实务讲义第一章 人寿保险的主要类型1.1传统的人寿保险1.1.1 定期寿险定期寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。
1.1.2 终身寿险终身寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为终身的人寿保险。
1.1.3 终身寿险两全保险是指在保险期限内以死亡或生存为支付保险金条件的人寿保险。
1.1.4 年金保险年金保险指以生存为支付保险金条件，按约定分期支付生存保险金，且分期支付生存保险金的间隔不超过一年（含一年）的人寿保险。
1.2 新型人寿保险1.2.1分红保险 1.2.2投资连结保险第二章 保单现金价值与红利2.1 保单现金价值2.1.1 保单现金价值的含义现金价值又称解约金、退保金、不丧失保单利益、不丧失价值或不丧失现金价值。
现金价值是指投保人或保险公司解除保险合同时，由保险公司向投保人退还的那部分金额。
现金价值往往特指以现金方式支付的不丧失保单利益。
,0kk k k CV V SC CV =-≥一般情况下，现金价值不大于责任准备金，主要原因是费用在毛保费中重新调整造成的。
其他原因：①财务风险；②死亡率风险；③效益风险；④退保成本。
2.1.2 保单现金价值的计算⑴ 调整保费法 ....()()()()k k C V A k P a k V P P a k αα=-=--, 1..A E P aα+=根据NAIC1941年规则：10.4m in(,0.04)0.25m in(,,0.04)0.02x E P P P ααα=++； 1980年规则：1 1.25m in(,0.04)0.01E P =+优点：是计算现金价值的主要方法，详细定义了费用的确定，得到的不丧失价值更为准确公平； 缺点：计算相对复杂。
⑵ 准备金比例法 k k k C V f V =⨯优点：①简单，便于管理；②不受公司定价假设的影响；③准备金是保单责任的保守估计，对客户较为公平；④能够及时地反映定价时市场利率的变化。
寿险精算概述课件
寿险精算第一课
寿险精算概述
一.精算的概念
➢精算的定义：一般地说法是，利用数学、经 济学、统计学、寿险、非寿险、人口学、养 老基金、投资等理论，对金融、投资等行业 中的风险问题提出数量化意见，使未来价值 的可能性数量化。
➢精算工作主要是由精算师承担的。
一.精算的概念
➢精算师的作用：“在给金融投资等问题提供 专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释 不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作 用并提高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
➢ 利息理论虽然是保险精算专业的基础，但它所提供的方 法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险 精算领域，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价 值。
➢ 利息理论的内容主要包括： 利息的度量方法 基本的复利函数，例如年金现值 等。
利息理论在投资分析和财务管理等领域的广泛应用， 还包括投资收益分析、债务偿还方法、证券价值分析、 利率风险的度量和防范。
寿险公司可以根据产品的不同、地域的不同、受保人群 的不同、公司核保技术的不同或者市场策略的需要，采 用不同的生命表。
生命表举例 生命表的思想和方法可以用于许多领域
五. 保费厘定 ➢ 寿险定价的三要素：利率、死亡率、费用率。 ➢ 毛保费 ＝ 净保费 ＋ 费用 ➢ 保单中净保费的计算可从下面的净保费价值方程中
七. 利润测算
公司预期年末净现金流量总额，也就是每年收入与 支出之间的差额。考虑到保除之后的预期净现金 流量。
➢ 每年年初我们将建立的准备金作为资产，将在该年获得 利息，这利息将作为利润收入计入现金流量。
➢ 在来年年底通过考虑当时的有效保单的保单价值，在该 年年底建立新的准备金。这就意味着每年年底的准备金 将有所变化。这种变化将产生新的现金流量。如果来年 所需的准备金数额增加了，那么该项现金流量显然为负 值，否则就为正值。
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F ( x t ) F ( x) s ( x) s ( x t ) FT (t ) 1 F ( x) s ( x) ( x t ) s ' T的概率密度函数 fT (t ) FT (t ) s ( x)
（2）死亡率和生存率
死亡率 tqx=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡} 生存率 tpx=Pr(T(x)＞t)=Pr{(x)至少存活t年} (注)： ①tqx=Pr(T(x)≤t)=FT(t),是T(x)的分布函数, tpx=Pr(T(x)＞t)=1-FT(t)=1-tqx,是(x)的生存函数; ②xq0=Pr(T(0)≤x)=Pr(X≤x)=F(x), xp0=Pr(T(0)＞x)=Pr(X＞x)=s(x)； ③ qx=1qx=Pr(T(x)≤1)=Pr{(x)在1年内死亡}, px=1px=Pr(T(x)＞1)=Pr{(x)至少活到x+1岁} .
tu
t
qx Pr{(x)在x t岁和x t u岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t u)
qx t 1 qx Pr{(x)在x t岁和x t 1岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t 1)
2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1 ）
e 0
s ds
x
x
F ( x) 1 F ( x)
f ( x)
x
f ( s )ds
x
思考与讨论(3-1)
1.生存函数有哪些基本性质？ 2.分布函数F(x)和生存函数s(x)有什么关系？
3. px=0px？0px =？
4. xp0= F(x)？ 5.余命T(x)和取整余命K(x)有什么联系和区别？ 6.当k=0,1,2,…时，为什么 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)k+1]=Pr[k＜T(x)≤k+1]？
s( x k ) s( x k 1) s ( x)
k q x k p x q xk
3.1.5
死力(死亡力)
死亡力的概念 x 表示 (x) 的死亡力，是指当年龄 x连续变动时，在某年龄时 点上的瞬间死亡率，又称死亡密度①。
s( x) x s ( x)
E ( X ) xf ( x)dx
0
3.1.2
生存函数
s(x)=Pr(X＞x)=Pr{新生儿在x岁时仍存活},x≥0 ， s(x)=1-Pr(X≤x)=1-F(x) s(x)的基本性质：
①0≤s(x)≤1, s(0)=1，s(∞)=0； ②s(x)↓； ③s(x)一般是一个关于x的连续函数
x s ( x) 1 ,0 x 100 100
f ( x) ce , t 0,
ct
x E[T ]; (2)Var(T). 其中常数c＞0。计算 (1) e 4.设μx＋t=t, t≥0, 计算 (1)tpxμx＋t ; (2) x . e
运用死亡力表示生存函数、生存率和死亡率
s ( x) e
y dy
0
x
Hale Waihona Puke xtt px e y dy
x
e
x s ds
xs ds
0
0 t
t
fT (t )t px xt
t q x 1t p x 1 e
3.1.6
s(x)的解析表达式①
3.2.1
生命表的含义
生命表的概念
生命表，是指在封闭条件下，对一定数量的人口自出生 （或者一定年龄）至全部死亡这段时间内的生存和死亡状 态，以统计数字记录的一种统计表，又称死亡表。 生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。 在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。
生命表的种类
（1）国民生命表 （2）经验生命表 保险公司使用的是经验生命表。
（2） （3）
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x) s( x t ) t p x 1 t q x s ( x)
s( x t ) s( x t u ) q q q p p t u x t u x t x t x t u x s ( x)
教育部、保监会推荐教材
保险精算
（第二版）
主编 主讲 李秀芳 傅安平 王静龙 曾卫
中国人民大学出版社
第3章
3.1 生命函数
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6
生命表基础
分布函数F(x) 生存函数s(x) T(x) K(x) 死力 s(x)的解析表达式 生命表的含义 生命表的内容
3.2.2
生命表的内容（四）
(10)简单平均余命①ex
1)(x)的简单平均余命，是指(x)的余命(不包括不满一年的 零数)K(x)的平均值，即(x)取整余命K(x)的平均值。 l l l 2)假定死亡者都在年初死亡，则 ex x 1 x 2 lx 3) ex E[ K ( x)] k Pr[K ( x) k ] k k px qx k k 1 px
3.2
生命表
3.2.1 3.2.2
3.1.1
分布函数
X：新生儿的未来寿命 (连续型r.v.) X的分布函数 F(x)=Pr(X≤x)=Pr{新生儿在x岁之前死亡}，x≥0 0≤F(x)≤1， F(0)=0， F(x)↑
X的概率密度函数 新生儿的平均寿命
f ( x) F ( x), x 0
(x):年龄为x岁的人（生命） r.v.T(x)=X-x:(x)的剩余寿命(未来生存的时间) (注):X=T(0), F(x)=Pr(T(0)≤x),s(x)=Pr(T(0)＞x) T的分布函数 FT(t)=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡}, t≥0 =Pr(X≤x+t|X＞x)
新生儿在x1岁和x2岁之间死亡的概率： Pr(x1＜X≤x2)＝Pr(X≤x2)-Pr(X≤x1)
=F(x2)-F(x1)=s(x1)-s(x2)
3.1.3
T(x)
1.T(x)的概念 （1）余命T(x)及其概率分布 （2）死亡率和生存率 2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1）余命T(x)及其概率分布
tu
qx t px u qxt
3.1.4
K(x)
取整余命K(x)的概念
K(x)：(x)的余命的整年数(离散型r.v.)， K(x)=[T(x)]， K(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2,„
K(x)的概率分布
Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)＜k+1] ,k=0,1,2,„ Pr[K(x)=k]=Pr[k＜T(x)≤k+1]
qx 1 qx 2 qx n1 qx
Pr(m T ( x) m n)
} (9) m n qx :m n qx Pr{(x)在x m岁和x m n岁之间死亡
l x m l x mn d x m d x m1 d x m n1 mn1 q t qx mn x lx lx t m l x m l x m n q m p x n q x m mn x lx q Pr(m T ( x) m n) Pr( T ( x) m n) Pr( T ( x) m) mn x m n qx m q x m p x m n p x
1 x x
B x s ( x) exp[ (c 1)], B 0, c 1, x 0 ln c
B x s( x) exp[ Ax (c 1)], B 0, A B, c 1, x 0 ln c
kx s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
分布函数 F(x)
当x＜0 当x≥0 F(x)＝0 F(x)≥0
概率密度函数 f(x)
f(x)＝0 f(x)≥0
生存函数 s(x)
s(x)=1 s(x)≥0
死亡力 μx
μ x=0 μ x≥0
lim
x
F ( ) 1
0
f ( x)dx 1
s () 0
0
x dx
死亡年龄的概率论函数
设 T(x)=K(x)+S，且S服从[0，1)上的均匀分布，则有
x E[T ( x)] E[ K ( x) S ] E[ K ( x)] E(S ) ex 0.5 e
第3章
课外练习题(一)
1.设 。计算 (1)μx； (2)F(x)； (3)f(x)； (4)Pr(10＜X ＜ 40). q 2.如果当20≤x≤25时，μx=0.001, 估计 2 2 . 20 3.设随机变量T的概率密度函数为
t 0
x 1
(4)极限年龄：生命的最高年龄。l=0, l-1=d-1 。
3.2.2
生命表的内容（二）
(5) 死亡率qx：qx=Pr{(x)在1年内死亡} 1) qx=Pr(T(x)≤1) 2) qx＝dx/lx=(lx-lx+1)/lx ， q-1=1 (6) 生存率px：px=Pr{(x)至少活到x+1岁} 1) px=Pr(T(x)＞1) 2) px=s(x+1)/s(x)=lx+1/lx=1-qx，p-1=0 3) px+qx=1 (7) npx：npx=Pr{(x)在n年后仍然生存}=Pr(T(x)＞n) 1) p l x n p p p p n x x x 1 x2 x n 1 lx