数的乘方与开方-PPT
数字的乘方与开方运算
数字的乘方与开方运算数字的乘方与开方运算是数学中常见的运算方式，它们在实际生活和科学领域中具有广泛的应用。
乘方运算表示将一个数自乘若干次，而开方运算则表示找到一个数的平方根或其他根。
本文将介绍乘方与开方运算的基本概念、运算规则以及在实际问题中的应用。
一、乘方运算乘方运算是指将一个数自乘若干次，其中两个数之间用上标表示。
例如a的n次方可以表示为a^n，其中a被称为底数，n被称为指数。
乘方运算具有以下的基本规则：1. 同底数的乘方相乘，指数相加。
即a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 乘法的运算顺序与乘方运算的顺序可以交换。
即(a*b)^n = a^n *b^n。
3. 乘方的运算顺序与乘法运算的顺序可以交换。
即(a^n)^m =a^(n*m)。
4. 任意数的零次方等于1，即a^0 = 1 (a≠0)。
5. 负指数的乘方等于倒数。
即a^(-n) = 1/(a^n)。
乘方运算在数学中有着广泛的应用，例如用于整数指数的乘法运算、几何图形的面积和体积计算等。
二、开方运算开方运算是指找到一个数的平方根或其他根，其中被开方的数用符号√表示。
开方运算有两种常见形式，即平方根和其他根。
其中，平方根是最常见的开方运算，表示一个数的二次方根，即√a；其他根则表示一个数的n次方根，即√n√a。
开方运算的基本规则如下：1. n次方根存在的必要条件是n为正整数且被开方数a为非负数，记作a≥0。
2. n为奇数时，n次方根运算结果有唯一解；n为偶数时，n次方根运算结果有两个解，其中一个为正数，另一个为负数。
3. 任意数x的平方根等于x的绝对值的平方根乘以x的符号。
即√x^2 = |x|。
开方运算在几何学、物理学、工程学等领域中广泛应用，例如用于测量物体的维度、求解物体的速度和加速度等。
三、乘方与开方运算的应用乘方与开方运算在实际生活和科学领域中有着广泛的应用。
以下是其中的一些例子：1. 金融投资：年利率的计算通常使用复利公式，该公式涉及到乘方运算。
乘方和开方初步了解乘方和开方的概念和计算
乘方和开方初步了解乘方和开方的概念和计算乘方和开方：初步了解乘方和开方的概念和计算乘方和开方是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
乘方是指将一个数乘以自身多次，而开方则是乘方的逆运算。
本文将初步介绍乘方和开方的概念，并探讨如何进行相应的计算。
一、乘方的概念乘方又称为幂，用数学符号表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方的结果是将底数a连乘n次得到的值。
例如，2^3的结果是2 × 2 ×2 = 8。
在这里，2是底数，3是指数，8是乘方的结果。
在乘方中，指数可以是正整数、零、负整数、有理数或者实数。
当指数为正整数时，乘方表示连乘的次数；当指数为零时，乘方的结果为1；当指数为负整数时，乘方的结果是底数的倒数；当指数为有理数或实数时，乘方可以通过连乘的思想进行解释。
乘方运算也满足一些基本性质，如乘方的乘法法则、乘方的零次幂和一次幂等。
借助这些性质，我们可以简化乘方的计算过程。
二、乘方的计算方法在计算乘方时，有几种基本的方法可供选择。
下面将分别介绍这些方法。
1. 逐次相乘法：逐次相乘法是指将底数连乘指数次数。
例如，计算2^5，可以进行如下计算：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。
逐次相乘法的优点是能够清晰地展现乘方的计算过程，适用于小规模的乘方运算。
2. 乘方幂的乘法法则：乘方幂的乘法法则是指当计算两个具有相同底数的乘方的乘积时，可以将底数保持不变，将指数相加。
例如，计算2^3 × 2^4，可以将其化简为2^(3+4)=2^7=128。
乘方幂的乘法法则能够简化复杂的乘方计算，提高计算效率。
3. 特殊乘方：一些具有常见底数和指数的乘方计算可以直接使用已知结果。
例如，2^0=1，2^1=2，2^2=4，2^3=8，2^4=16，2^10=1024等等。
三、开方的概念开方是乘方的逆运算。
开方的结果是使得底数连乘n次等于被开方数的值。
北师大版八年级上册数学《用计算器开方》实数PPT教学课件
解:（1） 5 1 3.236 067 978；
（2） 6 7 π 3.339 148 045；
6 7 π> 5 1.
2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）
（1） 800; （3） 0.58 ；
（2）3 22；
5
（4）3 0.432 ；
解：（1）≈28.28； （3）≈0.7616；
导入新课 观察与思考
试着在自己的计算器里输入同样的算式
想一想开方运算 要用到哪些键？
讲授新课
一 用计算器开方
对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 =
对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 =
例1：用计算器计算：
5.89
(1)
;
2
(2) 3 7 ;
3
(3)
1285 .
Байду номын сангаас
解：(1)
5.89, 显示 2.426 932 22；
SHIFT
33
■ 3=
的大小． 显示结果
1.442
2
■ 2 = SD
1.414
所以 3 3＞ 2 ．
随堂练习
利用计算器比较下列各组数的大小：
按键顺序
SHIFT
（1） 3 11 ；
■11=
5．
■ 5 = SD
显示结果 2.224 2.236
所以 3 11＜ ．5
随堂练习
按键顺序
（2）
5
8；
5
5 1．SHIFT
(2)
(2÷7) , 显示 0.658 633 756；
(3)
-1285, 显示 －10.871 789 69.
二 用计算器比较数的大小
乘方说课课件人教版数学七年级上册
四、说教学重、难点
教学重点：理解乘方的概念，会进 行有理数的乘方运算。
教学难点：负数的乘方运算，有理 数乘方运算的符号法则; 区分 a n和（ a）n
五、说教法、学法 教法：这节课我采用启发式教学方法， 利用多媒体辅助以及师生探讨来展开我 的教学。
学法：在教师的组织引导下，学生主要 通过观察比较、小组合作探究、归纳总 结来掌握本节课的相关内容。
三、说教学目标 知识与技能目标：
1、理解有理数乘方的概念。 2、掌握有理数乘方的运算法则。 过程与方法目标： 通过对乘方概念的探究过程，向学生渗透比 较、猜想、归纳，培养数学模型思想和化归思想。 情感、态度和价值观： 激发主动探究意识，使学生乐于探索生活中 的数学知识，培养严谨的求学态度和合作意识。
七、说作业布置
1、课本47页第1题、第7题
2、有条件的同学使用计算机练 习课本43页练习3 3、预习有理数的混合运算
设计意图：巩固知识，验证重难点掌握情况，提升 应用能力
八、说板书设计
乘方：求几个相同因数的 积的运算，叫做乘方.
幂 a n 指数
底数(相同因
数) 乘方运算的法则： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂
是偶数。 正数的任何次幂都是正数，0的任
何正整数次幂都是0
例题讲演
学生练习
设计意图：主副版的分层设计，为了突显重难点，重点呈现本节 课的主要内容。
（1）在 (3)2 中底数是 ，指数是
.
读作:
3 4
4的2次方
（2）在(-5)4中底数是 ，指数是
.
读作:-5的4次方
(3)在8中底数是____,指数是____.
注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通 常省略不写.
华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT教学课件
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入：
被开方数
=
.
四 用计算器求算术平方根
例2 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需 直接按书写顺序按键即可. 解：(1）在计算器上依次键入：
5 2 9 =，
显示结果为23,所以529的算术平方根为： （2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718
x
2
x
2
x
+1
1
-1 +2
+2
-2 +3 -3 9 9 4 4
-2 +3
-3
平方运算
这是什么运算？
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 思考：
平方与开平方有
什么关系？
平方与开平方互为逆运算
典例精析
例1 将下列各数开平方：
（1）49；（2）
4 25 ；（3）0.01.
解：（1）因为72 =49，所以
试一试 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？
12
0
4 的平方根是什么？ 3. 25
2 5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平 方不可能是负数
想一想 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平 方是负数？
问题1：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积 为25 cm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多少？
2.3.1 乘方(课件)2024-2025-人教版(2024)数学七年级上册
课堂小结
乘方的意义 乘方的运算
乘方 乘方
有理数的 混合运算
感悟新知
2-1.下列运算正确的是( C )
知2－练
A.－22=4
B. (－213)3=－8217
C. (－12)3=－18
D.(－2)3=－6
2-2.[期末·泰安岱岳区]一根绳子连续对折四次后的长度是 1
对折前绳长的____1_6__.
感悟新知
例 3 用计算器计算： (1)(－12)8； (2)1034； (3)7.123； (4)(－45.7)3.
感悟新知
知2－讲
特别解读
1.有理数的乘方运算法则主要揭示幂的符号法则.
一看底数，二看指数，确定符号后还是按照有
▲▲▲▲
▲▲▲▲
理数的乘法算出其结果.
2.互为相反数的两数的偶次幂相等，奇次幂还是
互为相反数.
感悟新知
知2－练
例 2 计算： (1)(－5)4； (2)－54； (3)(23)3； (4)(－23)3； (5)(－1)2 024. 解题秘方：将乘方运算转化为乘法运算算出结果.
数是3 .
底数是负数时， 要用括号括起来.
(2)38× 38× 38× 38=(38)4，底数是38，指数是4 .
(3)
，底数是m，指数是2n.
感悟新知
知1－练
误区警示：当底数是分数或负数时，要用括号将底 数括起来，若没有括号，则底数就改变了.
感悟新知
1-1. 算式(－13)× (－13)× (－13)× (－13)可表示为(
••••••• •
知2－讲
感悟新知
知2－讲
2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法
数的乘方与开方
数的乘方与开方数的乘方和开方是数学中常见的运算方式。
乘方是指一个数自乘多次，而开方则是指一个数的平方根。
这两个运算在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将探讨数的乘方与开方的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、数的乘方1. 定义数的乘方是指一个数自乘多次的运算。
一个数的乘方由底数和指数组成，表示为底数的指数次幂。
例如，2的3次方表示为2³，读作2的立方或2的三次方。
2. 性质（1）任何非零数的0次方等于1，即a⁰=1，其中a≠0。
（2）任何数的1次方等于本身，即a¹=a。
（3）相同底数的乘方，指数相加，即aⁿ⁽ᵐ⁺ᵖ⁾=aⁿ⁽ᵐ⁾⁺ᵖ，其中a≠0。
（4）乘方的乘法，就是底数相同的乘方相乘，指数相加，即aⁿ⁺ᵖ=aⁿaᵖ，其中a≠0。
（5）乘方的除法，就是底数相同的乘方相除，指数相减，即aⁿ⁻ᵖ=aⁿ/aᵖ，其中a≠0。
3. 应用数的乘方在科学、工程和金融领域都有广泛应用。
例如，在计算复利时，利率可以表示为1加上一个小数的乘方。
此外，在物理学中，乘方的概念也用于计算力、功率等物理量的关系。
二、数的开方1. 定义数的开方是指一个数的平方根。
对于一个非负实数a，它的平方根记为√a，读作根号a。
如果一个数x的平方等于a，即x²=a，则称x为a的平方根。
2. 性质（1）非负实数a的平方根存在且唯一，记为√a。
（2）负数没有实数根，但可以引入虚数单位i，使得负数的开方可以表示为√(-a)=i√a，其中a>0。
（3）对于正实数a和b，满足√(ab)=√a√b。
（4）对于正实数a和b，满足√(a/b)=(√a)/(√b)，其中b≠0。
3. 应用数的开方在各个领域都有重要的应用。
在几何学中，开方用于计算图形的边长、面积和体积。
在物理学中，开方用于计算速度、加速度等物理量的关系。
在金融领域，开方被广泛应用于计算利率、投资回报率等。
三、数的乘方与开方的关系数的乘方和开方是相互关联的。
小学教育ppt课件教案掌握代数式的根号运算平方根和立方根的计算
运算顺序
根据运算的优先级，先进行括号 内的运算，再进行乘除运算，最 后进行加减运算。例如， √(a+b)^2≠a+b，而是等于 |a+b|。
符号问题
在进行根号运算时，需要注意符 号的处理。例如，√a^2=|a|，而 不是a；√(ab)=√a×√b（ a≥0,b≥0）。
05
CATALOGUE
典型例题分析与解答
课程目标与要求
知识与技能目标
情感态度与价值观目标
通过本课程的学习，学生应掌握代数 式根号运算的基本概念和性质，能够 熟练进行平方根和立方根的计算。
通过本课程的学习，激发学生对数学 的兴趣和热爱，培养学生的数学素养 和严谨的科学态度。
过程与方法目标
通过讲解、示范、练习等多种教学方 法，引导学生积极参与课堂活动，培 养学生的数学思维和解决问题的能力 。
动。
课程拓展与延伸学习资源
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
相关数学书籍
推荐学生阅读《数学分析》、《高等代数》等相 关数学书籍，加深对代数式根号运算、平方根和 立方根计算的理解。
在线学习资源
推荐学生使用中国大学MOOC、网易公开课等在 线学习平台，学习相关数学课程，拓展知识面。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，提高学生的数学 应用能力和创新能力。
THANKS
感谢观看
例题1
化简$sqrt{8}$。
解析
例题2
首先，将8进行质因数分解， 得到$8=2times2times2$。然 后，将其写成平方数的形式， 即 $sqrt{8}=sqrt{4times2}=2sq rt{2}$。
化简$sqrt[3]{27a^3}$。
《数的运算》课件PPT
除法具有商不变性、除法的零性质、除法的分配律等基本性质。
除法法则及实例
法则
除法运算应遵循从左到右的顺序，先除 以前面的数，再除以后面的数，同时需 注意除数不能为0。
VS
实例
通过具体实例展示除法运算过程，包括整 数除法、小数除法、分数除法等。
除法应用场景
平均分配问题
如将一定数量的物品平均分给若 干个人或组织。
乘法应用场景
实际生活
购物时计算总价、计算物品打 折后的价格等。
科学研究
计算速度、距离、面积、体积 等物理量。
工程技术
计算材料用量、成本估算等。
金融领域
计算利率、投资回报等。
05
除法运算
除法定义与性质
定义
除法是一种数学运算，表示将一个数（被除数）平均分成若干份（除数），得到每一份的数量（商） 。
互动游戏
设计数的运算相关的互动游戏，增强学生对知识 点的Hale Waihona Puke 解和记忆。课程重点内容回顾
1 2
数的加减法
回顾整数、小数、分数的加减运算规则，强调注 意事项。
数的乘除法
总结乘法口诀，讲解除法运算中的余数处理等关 键点。
3
运算顺序与括号
强调运算顺序的重要性，解释括号在运算中的作 用。
学生自我评价与教师反馈
学生自我评价
引导学生反思课堂表现，发现自己在数的运算方面的不足。
教师反馈
针对学生的自我评价，给出具体建议和指导，鼓励学生继续努力。
感谢观看
THANKS
求解比例问题
如根据已知比例关系求解未知量 。
解决实际问题
如速度、时间、距离之间的关系 ，单位换算等实际问题。
06
开方与乘方的运算
开方与乘方的运算开方和乘方都是数学中常见的运算符号。
它们在解决实际问题和推导数学关系时起着重要作用。
本文将介绍开方和乘方的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、开方的运算开方是求解一个数的平方根的运算。
数学中常见的开方有平方根、立方根和n次方根。
1. 平方根平方根是对一个数进行平方运算的逆运算。
数学符号中，平方根用√表示。
对于一个非负数x，它的平方根记为√x，表示满足y²=x的非负数y。
例如，√4=2，因为2²=4。
2. 立方根立方根是对一个数进行立方运算的逆运算。
数学符号中，立方根用³√表示。
对于一个数x，它的立方根记为³√x，表示满足y³=x的数y。
例如，³√8=2，因为2³=8。
3. n次方根n次方根是对一个数进行n次方运算的逆运算。
数学符号中，n次方根用ⁿ√表示。
对于一个数x，它的n次方根记为ⁿ√x，表示满足yⁿ=x 的数y。
例如，⁵√32=2，因为2⁵=32。
二、乘方的运算乘方是对一个数进行重复乘法运算的运算。
数学符号中，乘方用上标表示。
对于一个数x和正整数n，x的n次幂记为xⁿ，表示x连乘n 次的结果。
例如，2³=2×2×2=8。
乘方具有以下性质：1. x⁰=1任何数的0次方等于1，其中x≠0。
2. x¹=x任何数的1次方等于它本身。
3. xⁿ×xᵐ=xⁿ⁺ᵐ相同底数的乘方相乘，底数不变，指数相加。
4. (xⁿ)ᵐ=xⁿᵐ乘方的指数相乘，底数不变。
5. (x×y)ⁿ=xⁿ×yⁿ乘方的底数相乘，指数不变。
三、开方和乘方在数学中的应用开方和乘方在数学中有广泛的应用。
1. 代数方程式的解由于开方和乘方是数学中的基本运算，它们在解代数方程式时起着重要作用。
例如，在求解二次方程时，需要用到平方根的概念。
2. 几何中的长度、面积和体积计算开方和乘方在几何中的应用也很广泛。
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2
读一读
棋盘上的学问
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了 国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答 应满足这个大臣的一个要求。大 臣说：“就在这个棋盘上放一些米 粒吧。第1格放1粒，第2格放2粒， 第3格放4粒，然后是8粒、16粒、 32粒、……一直到第64格。”“你真 傻! 就要这么一些米粒？!”国王哈 哈大笑。大臣说：“就怕你的国库 里没有这么多米!”
你认为国王的国库里有这么多米吗？
3
(－3) (－3) = (－3)2
. . . . (－
3 4
)
(－
3 4
)
(－
3 4
)
(－
3 4
)
(－
3 4
)
=
(－
3 4
)5
a × a× a × … × a =
n︸ 个a
an
底数
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。 乘方的结果叫幂。
相同的因数a叫做底数。 相同的因数的个数n叫做指数。
5 读作“五次根号”5；a 读作“五次根号a”； n 读作“n次根号”；n a 读作“n次根号a”；
12
1、 (2)3 8
38 2
2、 (2)3 -8
3 8 -2
1
3、 ( 1 )
1,( 1)1
1
(1 ) 2 1 , ( 1 ) 2 1
(1 ) 3 1 , ( 1 ) 3 1
（2） 32 42
解：（1）原式=
8 36
1
27 81
2
= 2 1 1
99
12
=9
（2）原式=
1 9
1 16
= 25
144
Байду номын сангаас
节菜单
7
数的开方
8
练习：
填空：
1、( 3 )2=9 ； 9 3
2、(0.5)2=0.25； 0.25 0.5
3、( 4
5
) 2 16
25
2
；
16 25
4 5
(1 ) 4 1 , ( 1 ) 4 1
(1 ) 5 1 , ( 1 ) 5 1
•••••••• 13
1．1 数（式）的运算
数的开方 平方根 立方根
n次方根
复习回顾
节菜单
14
1．1 数（式）的运算
复习回顾
节菜单
例2 求-8的立方根, 16的四次方根.
解 8的 立 方 根 为 38=2
演讲者：张群乐
1
试一试
大家来做一个游戏，拿出一张纸进行如下对 折，思考并填写下表
对折的次数
1次 2次 3次 4次 5次 … 10次
纸的层数
2 4 = 2×2 = 2 2 8 = 2×2×2 = 2 3 16 = 2×2×2×2 = 2 4 32 = 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 2 5
… 1024 = 2 × 2 × 2 × …× 2 = 210
16的 四 次 方 根 为 416=2
15
1．1 数（式）的运算
补充例题
2. 化简下列各式
（1） -4 2
（2） 5 ( x 6)5
解：（1） 42 44
（2） 5 (x6)5 x6
复习回顾
节菜单
16
1．1 数（式）的运算
知识巩固3
复习回顾
节菜单
17
指数 幂
4
1．1 数（式）的运算
数的乘方
复习回顾
节菜单
5
1．1 数（式）的运算
例题解析
复习回顾
节菜单
( ( 0 . 01 ) 3 1 ) 3 100
1
(
1
)3
100
1 1
10 6
10 6
6
1．1 数（式）的运算
复习回顾
补充例题
1.计算下列各式的值
（1） 2 36 2( 5 0 )0(9 23 3)2
10
平方根的表示方法: 根号
根指数 可以省略
2a
被开方数
二、平方根的性质：
1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
2、0有一个平方根，它是0本身。
3、负数没有平方根．
4、正的平方根成为算术平方根
11
2.表示方法：
根指数
不能省略
3a
根号 被开方数
3 读作“三次根号”；3 a 读作“三次根号a”；
4、( 2)2=4；
4 2
5、(0.09)2=0.0081． 0.00810.09
最容易出现的错误是丢掉负数解
9
平方根(square root) 如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫做a的平方根.
用数学语言表达即为： 若x2=a，则x叫做a的平方根．
例( 3)2=9 ，则 3叫做 3的平方根