人教版高中数学必修一《函数的应用》模块综合检测(含答案)
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套1
高中数学必修一《函数的应用》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x ＋m 的零点落在(－1,0)内，则m 的取值范围为( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．－2,0] D ．0,2]2．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不确定3．下列函数中，不能用二分法求零点的是( ) A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝log 2(x －1)D ．y ＝(x －1)24．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( ) A ．－1,0] B ．0,1] C ．1,2] D ．2,3]5．为了求函数f (x )＝2x＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.26．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1 D．0<m ≤17．设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)8．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) B ．{－2,6} C ．－2,6]D ．(－2,6)9．由表格中的数据可以判定方程e x－x －2＝0的一个零点所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋21234510．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>011．已知函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点x 1，x 2，则( )A ．x 1·x 2<1B ．x 1·x 2＝x 1＋x 2C ．x 1·x 2>x 1＋x 2D ．x 1·x 2<x 1＋x 212．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续的，且存在常数λ(λ∈R )，使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意的实数x 成立，则称f (x )是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是( )A ．“12－同伴函数”至少有一个零点B ．f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数” C ．f (x )＝log 2x 是一个“λ－同伴函数” D ．f (x )＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．14．函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 15．若函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________.16．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x －1|＋1x ≠1，ax ＝1，若关于x 的方程2f (x )]2－(2a＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6，x ≤0，x 2－2x ＋2，x >0.(1)求不等式f (x )>5的解集；(2)若方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上奇函数f (x )在x ≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分． (1)请补全函数f (x )的图象；(2)写出函数f (x )的表达式(只写明结果，无需过程)； (3)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数(只写明结果，无需过程)．19．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q (万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？20．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五个零点，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(2x＋1)－log a(1－2x)．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)若函数y＝f(x)与y＝m－log a(2－4x)的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若函数f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．答案1．B 解析：由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.2．B 解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理可得，方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．3．D 解析：结合函数y＝(x－1)2的图象可知，该函数在x＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．4．C 解析：方程x 3－x －3＝0的实数解，可看成函数f (x )＝x 3－x －3的零点．∵f (1)＝－3<0，f (2)＝3>0，∴f (1)·f (2)<0.由零点存在性定理可得，函数f (x )＝x 3－x －3的零点所在的区间为1,2]．故选C.5．B 解析：函数f (x )＝2x＋3x －7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.6．B 解析：函数图象与x 轴有公共点，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |，g (x )＝－m 有交点．作出f (x )，g (x )的图象，如图所示．0<－m ≤1，即－1≤m <0，故选B.7．C 解析：∵f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，由零点定理得f (2)·f (3)<0.∴x 0所在的区间为(2,3)．故选C.8．D 解析：∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，二次函数图象开口向上，∴Δ<0，可得m 2－4(m ＋3)<0，解得－2<m <6，故选D.9．C 解析：设函数f (x )＝e x－x －2，如果零点在(k ，k ＋1)，那么f (k )·f (k ＋1)<0，由表格分析，f (1)<0，f (2)>0，故k ＝1，故选C.10．B 解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f (x )在(1，＋∞)上为增函数，又1<x 1<x 0<x 2，x 0为f (x )的一个零点，所以f (x 1)<f (x 0)＝0<f (x 2)．解题技巧：本题主要考查了函数的零点和单调性，解决本题的关键是判断出函数f (x )＝2x＋11－x的单调性． 11．D 解析：∵函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点，∴函数f (x )＝|log 3(x －1)|与函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1的图象有两个不同的交点．又∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1是减函数，∴－log 3(x 1－1)>log 3(x 2－1)，∴(x 1－1)(x 2－1)<1，整理得x 1·x 2<x 1＋x 2，故选D.12．A 解析：令x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12f (0)．若f (0)＝0，显然f (x )＝0有实数根；若f (0)≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (0)＝－12(f (0))2<0.又因为函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上必有实数根，即任意“12－同伴函数”至少有一个零点．故A 正确；用反证法，假设f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx ＋λ2＝0对任意实数x 成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f (x )＝x 2不是一个“λ－同伴函数”．故B 错误；因为f (x )＝log 2x 的定义域不是R .故C 错误；设f (x )＝C 是一个“λ－同伴函数”，则(1＋λ)C ＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f (x )＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．故D 错误．13．2 解析：依题意可知f (x )＝x 2＋2x －3的零点为－3,1，∵x ≤0，∴零点为－3.f (x )＝－2＋ln x 的零点为e 2.故函数有2个零点．14．1 解析：依题意可知，f (－6)＝(－6)2－6m －6＝0⇒m ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x －6＝(x ＋6)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－6或x ＝1，所以另一个零点是1.15．2 解析：∵函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点，∴函数y 1＝lg|x －1|与函数y 2＝m 有两个交点，∵y 1＝lg|x －1|的图象关于x ＝1对称，∴lg|x 1－1|＝lg|x 2－1|，∴x 1＋x 2＝2.16．1＜a <32或32<a <2 解析：∵题中原方程2f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有且只有5个不同实数解，∴要求对应于f (x )等于某个常数有3个不同实数解， ∴先根据题意作出f (x )的简图：由图可知，只有当f (x )＝a 时，它有三个根． 所以有1＜a ＜2①.再根据2f (x )2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有两个不等实根， 得：Δ>0即(2a ＋3)2－24a >0，a ≠32②.结合①②得：1＜a <32或32<a <2.解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是找出隐含条件f (x )＝a 有3个不同实数解．17．解：(1)当x ≤0时，由x ＋6>5，得－1<x ≤0； 当x >0时，由x 2－2x ＋2>5，得x >3.综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．(2)方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点．由图可知1<m 22<2，解得－2<m <－2或2<m <2.所以，实数m 的取值范围(－2，－2)∪(2，2)．解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是画出函数f (x )图象，使函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点，从而求出m 的范围．18．解：(1)补全f (x )的图象如图(1)所示．①(2)当x ≥0时，设f (x )＝a (x －1)2－2，由f (0)＝0得，a ＝2，所以此时，f (x )＝2(x －1)2－2，即f (x )＝2x 2－4x ， 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2(－x )2－4(－x )＝2x 2＋4x ，① 又f (－x )＝－f (x )，代入①，得f (x )＝－2x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x x ≥0，－2x 2－4x x <0.(3)函数y ＝|f (x )|的图象如图(2)所示．②由图可知，当a <0时，方程无解； 当a ＝0时，方程有三个解； 当0<a <2时，方程有6个解； 当a ＝2时，方程有4个解； 当a >2时，方程有2个解．19．解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为 P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N .(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系，即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N . (3)由以上两问，可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋40，0≤t ≤20，t ∈N ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋40，20<t ≤30，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －152＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110t －602－40，20<t ≤30，t ∈N ，当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20<t ≤30，y 随t 的增大而减小，∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元． 20．解：(1)设x >0，则－x <0，所以 f (－x )＝－x 2－mx －1. 又f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)．又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋1，x >0，0， x ＝0，－x 2＋mx －1，x <0.(2)因为f (x )为奇函数，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即方程f (x )＝0有五个不相等的实数解，得y ＝f (x )的图象与x 轴有五个不同的交点． 又f (0)＝0，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点， 即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等正根，记两根分别为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1·x 2＝1>0，解得m <－2.所以，所求实数m 的取值范围是m <－2. 21．解：(1)函数f (x )为奇函数． 证明如下：∵f (x )的定义域为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，关于原点对称，f (x )＋f (－x )＝log a2x ＋11－2x ＋log a －2x ＋11＋2x＝log a 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)函数y ＝f (x )与y ＝m －log a (2－4x )的图象有且仅有一个公共点⇔方程log a 2x ＋11－2x＝m－log a (2－4x )在区间x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有且仅有一个实数解． m ＝log a2x ＋11－2x＋log a 2(1－2x )＝log a (4x ＋2)． ∵ －12<x <12，∴0<4x ＋2<4∴log a (4x ＋2)∈(－∞，log a 4)或log a (4x ＋2)∈(log a 4，＋∞)， ∴当a >1时，m ∈(－∞，log a 4)，当0<a <1时，m ∈(log a 4，＋∞)． 22．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ， ∴log 44x＋14x －log 4(4x＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知，log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )，整理，得log 4(4x ＋1)＝log 4(a ·2x －a )2x]， ∴4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x(*)．令t ＝2x，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0(**)只需其仅有一正根． ①当a ＝1时，t ＝－1不合题意；②当(**)式有一正一负根时，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，得a ＞1；③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a ＝±22－2，且a2a －1>0， ∴a ＝－2－2 2.综上所述，a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．单元测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x －3的零点是( ) A ．1，－3 B ．3，－1 C ．1,2 D ．不存在2．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．x 0＝32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32或x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2＋bx 的零点是( )A ．－1B ．0C ．－1和0D ．1和04．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A ．10%B ．15%C ．18%D ．20%5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，3，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)7．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少2个8．若方程m x－x －m ＝0(m ＞0，且m ≠1)有两个不同实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0 D ．m ＞29．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )10．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是( )11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不给予优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款( )A．413.7元 B．513.7元C．546.6元 D．548.7元12．已知0<a<1，则方程a|x|＝|log a x|的实根个数为( )A．2 B．3C．4 D．与a的值有关第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是________．14．根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.x 1234 5ln x 00.69 1.10 1.39 1.61付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是0,1]时，求函数f (x )的值域．21．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ≤1时，f (x )＝x 2－1. (1)写出y ＝f (x )的解析式并作出图象；(2)根据图象讨论f (x )－a ＝0(a ∈R )的根的情况．22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？答案1．B 解析：令x 2－2x －3＝0得x ＝－1或x ＝3，故选B.2．C 解析：∵f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．C 解析：由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1，故选C.4．D 解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x ， 则有2 000(1－x )2＝1 280，解得x ＝0.2或x ＝1.8(舍去)，故选D.5．C 解析：本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，3，x >0.当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为3，故选C.6．B 解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln 2－2＝ln 2－ln e 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.7．D 解析：由f (a )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一零点，由f (c )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(b ，c )上至少有一零点，故y ＝f (x )在(a ，c )上至少有2个零点．8．A 解析：方程m x－x －m ＝0有两个不同实数根，等价于函数y ＝m x与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点．显然当m ＞1时，如图①有两个不同交点；当0＜m ＜1时，如图②有且仅有一个交点，故选A.9．C 解析：设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴正半轴．故选C.10．C 解析：由题意知，2a ＋b ＝0，所以a ＝－b2.因此g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－b 16.易知函数g (x )图象的对称轴为x ＝－14，排除A ，D.又令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－0.5，故选C.11．C 解析：设该顾客两次购物的商品价格分别为x ，y 元，由题意可知x ＝168，y ×0.9＝423，∴y ＝470，故x ＋y ＝168＋470＝638(元)，故如果他一次性购买上述两样商品应付款：(638－500)×0.7＋500×0.9＝96.6＋450＝546.6(元)．12．A 解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A. 13．2 解析：由y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象可知有两个交点．14．3 解析：由表中数据可知，f (1)＝ln 1－1＋2＝1>0，f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69>0， f (3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.1>0， f (4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61<0， f (5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39<0，∴f (3)·f (4)<0，∴k 的值为3.15．9 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意，得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，x ∈0，3]，9＋x －3×2.15，x ∈3，8]，9＋5×2.15＋x －8×2.85，x ∈8，＋∞，令f (x )＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x －8)×2.85＝22.6(x >8)，解得x ＝9.16．(0,1) 解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即f (x )－m ＝0有3个不相等的实根，结合图象，得0<m <1.17．解：因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－12－2a ＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，10a －8>0，解得a >45.18．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.∵x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a＝10，∴42－6a ＝10， ∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 19．解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0<x ≤10，1.5＋2log 5x －9，x >10.(2)x ∈(0,10]，0.15x ≤1.5. 又∵y ＝5.5，∴x >10，∴1.5＋2log 5(x －9)＝5.5，∴x ＝34. ∴老江的销售利润是34万元．20．解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －8－a －ab ＝0，①4a ＋2b －8－a －ab ＝0.②①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是12,18]．21．解：(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤1，x －22－1x >1.图象如图所示．(2)当a <－1时，f (x )－a ＝0无解； 当a ＝－1时，f (x )－a ＝0有两个实数根； 当－1<a <0时，f (x )－a ＝0有四个实数根； 当a ＝0时，f (x )－a ＝0有三个实数根； 当a >0时，f (x )－a ＝0有两个实数根． 22．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， 所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意，得y ＝f (x )＋g (20－x ) ＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)． 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16(万元)时，收益最大，最大收益为3万元．。
第三章 函数的概念与性质 单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第三章 函数的概念与性质（单元检测卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y ＝－x 2＋2x ＋3的定义域为( )A.[－3，1] B.[－1，3]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)2.已知函数y ＝f(x ＋1)定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(x －1)的定义域是( )A.[0，5] B.[－1，4]C.[－3，2]D.[－2，3]3.已知函数f(x)＝Error!若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1] B.[－2，0]C.[0，2]D.[－2，2]4.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝13，则f ＝( )A.－53B.－13C.13D.535.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A .y ＝－14x 2＋1B.y ＝14x 2－1C .y ＝4x 2－16 D.y ＝－4x 2＋166.拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位：元)符合f(m)＝{3.71，0＜m ≤4，1.06×(0.5×[m]＋2)，m ＞4，其中[m]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2min 的话费是A.3.71元 B.4.24元C.4.77元D.7.95元7.若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A.f(a)＞f(2a) B.f(a 2)＜f(a)C.f(a 2＋a)＜f(a)D.f(a 2＋1)＜f(a 2)8.若函数f (x)是奇函数，且当x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f (x)的解析式为( )A .f (x)＝x 3＋x －1B .f (x)＝－x 3－x －11()3 5()3C .f (x)＝x 3－x ＋1D .f (x)＝－x 3－x ＋1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( )A .f (3)＝9 B.f (－3)＝4C .f (x)＝x 2D.f (x)＝(x ＋1)210.函数f(x)的图象是折线段ABC ，如图所示，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是( )A.f(x)＝Error!B.f(x －1)的定义域为[－1，3]C.f(x ＋1)为偶函数D.若f(x)在[m ，3]上单调递增，则m 的最小值为111.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝x -3B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f(x 1)＋f(x 2)2≤f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.设f(x)＝11－x，则f(f(x))＝__________13.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为________14.若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a]，则a ＝________，b ＝________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1(,2)845x-12x x ()2+15.（13分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．16.（14分）已知函数f(x)＝Error!(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．17.（16分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝{400x－12x2，0≤x≤400，80 000，x＞400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)18.（16分）已知函数f(x)＝x21＋x2＋1，x∈R．1 () 2(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f 的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f ＋f ＋f ．19.（18分）已知二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4．(1)若a ＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上单调单减，求实数a 的取值范围；(3)若x ∈[1，2]，求函数f(x)的最小值．参考答案及解析：一、单选题1()x 1()21()31()41.B 解析：由题意，令－x 2＋2x ＋3≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B ．2.A 解析：由题意知－2≤x ≤3，所以－1≤x ＋1≤4，所以－1≤x －1≤4，得0≤x ≤5，即y ＝f(x －1)的定义域为[0，5]．3.D 解析：依题意，可得Error!或Error!或Error!解得－2≤a ≤2．4.C 解析：由题意，f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－f ＝f ＝13．5.B 解析：把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．故选B ．6.C 解析：f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77．7.D 解析:因为f(x)是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f(a 2＋1)＜f(a 2)．故选D ．8.A 解析：∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x<0时，－x>0，∵x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，∴f (－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x 3－x ＋1，∴－f (x)＝－x 3－x ＋1，∴f (x)＝x 3＋x －1．即x<0时，f (x)＝x 3＋x －1．故选A ．二、多选题9.BD 解析：令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，∴f (t)＝4＝(t ＋1)2．∴f (3)＝16，f (－3)＝4，f (x)＝(x ＋1)2．故选BD ．10.ACD 解析：由图可得当－1≤x ＜1时，图象过(1，0)，(－1，2)两点，设f(x)＝kx ＋b ，∴Error!解得Error!＝－x ＋1，当1≤x ≤3时，根据图象过点(1，0)，(3，2)，同理可得f(x)＝x －1，∴f(x)＝Error!A 正确；由图可得f(x)的定义域为[－1，3]，关于x ＝1对称，∴f(x －1)的定义域为[0，4]，f(x ＋1)为偶函数，即B 错误，C 正确；当f(x)在[m ，3]上单调递增，则1≤m ＜3，故m 的最小值为1，D 正确．故选ACD ．11.CD 解析：若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝，故A 错误；函数f(x)＝是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故在(－∞，0)上单调递增，故B 错误；幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确；对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f(x 1)＋f(x 2)2≤f ，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确．三、填空题5()32(1)3+2()3-2(31[1(3+-1()31()3-2t 1()2+1(,2)813x -45x -12x x ()2+12.答案：x －1x (x ≠0且x ≠1)解析：f(f(x))＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x ．13.答案：－3或38解析：f(x)的对称轴为直线x ＝－1．当a ＞0时，f(x)max ＝f(2)＝4，解得a ＝38；当a ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝4，解得a ＝－3．综上所述，a ＝38或a ＝－3．14.答案：13，0解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13．又函数f(x)＝13x 2＋bx＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，则－b2×73＝0，易得b ＝0．四、解答题15.解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或m ＝3．当m ＝2时，f(x)＝x -3是奇函数，所以不满足题意，所以m ＝2舍去；当m ＝3时，f(x)＝x -4，满足题意，所以f(x)＝x -4．所以f ＝＝16．(2)由f(x)＝x -4为偶函数且f(2a ＋1)＝f(a)，得|2a ＋1|＝|a|，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，解得a ＝－1或a ＝－13．16.解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3．因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1．因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1．(2)图象如图所示．1()241()217.解：(1)设月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝{－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400．(2)当0≤x ≤400时，f(x)＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，f(x)max ＝25 000．当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 单调递减，f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．所以当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．18.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．f(x)的定义域为R ，关于y 轴对称．因为f(－x)＝(－x)21＋(－x)2＋1＝x 21＋x 2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x 21＋x 2＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝x 21＋x 2＋1，所以f ＝＋1＝1x 2＋1＋1，所以f(x)＋f ＝3．(3)由(2)可知f(x)＋f ＝3，又因为f(1)＝32，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋ff ＋f ＋f ＝f(1)＋＝32＋3×3＝21219.解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2x ＋4，x ∈[－2，3]，因为f(x)的对称轴为x ＝1，所以f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当x ＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝1－2＋4＝3，当x ＝－2时，f(x)取得最大值为f(－2)＝22＋4＋4＝12．1()x 221()x 11()x +1(x 1()x 1()21()31()4111[f (2)f ()][f (3)f ()][f (4)f ()]234+++++(2)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，f(x)在区间(－∞，2]单调递减，则a －1≥2，解得a≥3．所以实数a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，当a －1≤1，则a≤2，此时f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2(a －1)＋4＝7－2a ．当1＜a －1＜2，则2＜a ＜3，此时f(x)在[1，a －1]上单调递减，在[a －1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(a －1)＝(a －1)2－2(a －1)2＋4＝－a 2＋2a ＋3．当a －1≥2，则a ≥3，此时f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)min ＝f(2)＝22－4(a －1)＋4＝12－4a ．综上，f(x)min ＝{7－2a ，a ≤2，－a 2＋2a ＋3，2＜a ＜3，12－4a ，a ≥3．。
高一数学(必修一)《第四章 函数的应用》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为（ ） A ．0或12-B ．0C ．12-D ．0或122．设()f x 在区间[],a b 上是连续变化的单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在[],a b 内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根D ．必有唯一实根3．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.54．设函数()26x f x e x =+-， 在用二分法求方程()0f x =在()12x ∈，内的近似解过程中得(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，，则方程的解所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()11.25，C ．()1.251.5，D ．()1.52，5．函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,56．若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．127．若函数f (x )唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，3(1,)2内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f 3()28．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是（ ）A ．B ．C． D ．二、多选题9．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为A ．2.52B ．2.56C ．2.66D ．2.75三、填空题10．若函数()0y kx b k =+≠有一个零点是2，则函数2y bx kx =+的零点是______．11．定义方程()()f x f x '=的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2e 1xg x =+，()ln h x x =和()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为_______.12．已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式04x x ->的最小整数解为k ，则k =______．13．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()4f x x =，则方程1()=01f x x +-在[]2,4-上的所有根之和为____.四、解答题14．已知A 地到B 地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条10km 长的线路，每隔50m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在（精确到50m ）？15．已知函数()2283f x x x m =-++为R 上的连续函数．(1)若函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围．(2)若4m =-，判断()f x 在()1,1-上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 16．设函数32()613123g x x x x =----.（1）证明：()g x 在区间（-1,0）内有一个零点；（2）借助计算器，求出()g x 在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 17．已知函数()e 23x f x mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．A【分析】根据函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，得到b ＝－2a ，再令g (x )＝0求解. 【详解】因为函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2 所以b ＝－2a所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )． 令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12． 故选：A 2．D【分析】根据零点存在性定理及函数的单调性判断即可.【详解】解：因为()f x 在区间[],a b 上连续的单调函数，且()()0f a f b ⋅<所以函数()f x 的图象在[],a b 内与x 轴只有一个交点，即方程()0f x =在[],a b 内只有一个实根． 故选：D 3．C【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数当()1,2x ∈时，则2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，则22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，则222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立又22(2.5) 2.5log 2.560f =--< 2(3)9log 360f =-->根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C.【点睛】方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 4．C【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可. 【详解】函数()26x f x e x =+-在R 上为增函数又(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，， 则方程的解所在的区间为()1.251.5，. 故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题. 5．B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<- ()23ln 3ln 31031f =-=->- 所以()()230f f <所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B 6．A【分析】由换底公式对原式变型即可求解.【详解】∵2369lg3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg36lg9m m ⨯⨯=⨯⨯ 2lg3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg34lg 242m m m =⨯⨯=== ∴2log 2m =，∴4m =． 故选：A ． 7．C【分析】根据零点存在定理判断，注意零点的唯一性．【详解】由题意()f x 的唯一零点在3(1,)2上，因此(1)f 与(0)f 符号相同，3()2f ，(2)f 和(4)f 符号相同且与(0)f 符号相反故选：C ． 8．C【解析】利用二分法的定义依次判断选项即可得到答案. 【详解】在A 中，函数无零点，故排除A在B 和D 中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同 因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C 中的函数能用二分法求其零点． 故选：C【点睛】本题主要考查二分法的定义，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 9．AB【分析】根据表格中函数值在0的左右两侧，最接近的值，即()2.50.084f ≈-，()2.56250.066f ≈可知近似根在()2.5,2.5625之内，再在四个选项中进行选择，得到答案.【详解】由表格函数值在0的左右两侧，最接近的值，即()2.50.084f ≈- ()2.56250.066f ≈ 可知方程ln 260x x +-=的近似根在()2.5,2.5625内 因此选项A 中2.52符合，选项B 中2.56也符合 故选AB .【点睛】本题考查利用二分法求函数零点所在的区间，求函数零点的近似解，属于简单题.10．0或12【分析】先求得,k b 的关系式，然后求得函数2y bx kx =+的零点. 【详解】由于函数()0y kx b k =+≠有一个零点是2 所以20k b += 2b k =-所以()22221y bx kx kx kx kx x =+=-+=--由于0k ≠，所以()2100kx x x --=⇒=或12x =. 故答案为：0或12 11．c b a >>【分析】先根据函数的新定义分别求出a ，b ，c ，然后再比较大小【详解】由()2e 1x g x =+，得()22e xg x '=所以由题意得22e 12e a a +=，解得0a = 由()ln h x x =，得()1h x x'= 所以由题意得1ln b b=令1()ln t x x x=-，（0x >），则211()0t x x x '=+>所以()t x 在(0,)+∞上递增因为(1)10t =-< ()1212ln 2ln 202t lne =-=->所以存在0(1,2)x ∈，使0()0t x =，所以(1,2)b ∈由()31x x ϕ=-，得()23x x ϕ'=所以由题意得3213c c -=令32()31m x x x =--，则2()36m x x x '=- 令()0m x '=，则0x =或2x =当0x <或2x >时()0m x '>，当02x << ()0m x '< 所以()m x 在(,0)-∞和()2,+∞上递增，在()0,2上递减所以()m x 的极大值为(0)1m =-，极小值为()283415m =-⨯-=-因为(3)2727110m =--=-< (4)64121510m =--=> 所以()m x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，所以(3,4)c ∈ 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 12．6【分析】利用()f x 单调性和零点存在定理可知012x <<，由此确定04x +的范围，进而得到k .【详解】函数()226xf x x =+-为R 上的增函数，()120f =-< ()220f =>∴函数()226x f x x =+-的零点0x 满足012x << 0546x ∴<+<04x x ∴->的最小整数解6k =． 故答案为：6. 13．6【分析】由奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，可知函数的周期性与对称性，作出函数图象，判断函数()f x 与函数11y x =--的交点情况. 【详解】因为函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为直线12x = 又因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--又(1)()f x f x +=-，所以(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2又因为当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，作出函数()f x 和()11y g x x ==--的简图如图所示由411y x y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩可得122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故当102x ≤≤时，线段4y x =与曲线11y x =--仅有一个交点 故由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点()1,0对称的，且关于点()1,0对称的两个点的横坐标之和为2则所有根之和为326⨯=. 故答案为：6. 14．见解析【解析】利用二分法取线段的中点即可迅速查出故障所在. 【详解】如图：可首先从中点C 开始检查，若AC 段正常，则故障在BC 段； 再到BC 段中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；再到BD 段中点E 检查……每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半 经过8次查找，可将故障范围缩小到50m 之内，即可迅速找到故障所在． 【点睛】本题考查了二分法在生活中的应用，理解二分法的定义，属于基础题. 15．(1)[]13,3-； (2)存在，区间为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据()2283f x x x m =-++，结合二次函数的图象与性质，可知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，结合条件()f x 在区间[]1,1-上存在零点，则有()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，解不等式组即可求出实数m 的取值范围；（2）当4m =-时，得()2281f x x x =--，可知()f x 在区间()1,1-上单调递减，并求得()()110f f -⋅<，根据零点存在性定理可知()f x 在()1,1-上存在唯一零点0x ，最后利用二分法和零点存在性定理，求出在误差不超过0.1的条件下的零点所在的区间. (1) 解：()2283f x x x m =-++为二次函数，开口向上，对称轴为2x =可知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∵()f x 在区间[]1,1-上存在零点，∴()()1010f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩即28302830m m +++≥⎧⎨-++≤⎩，解得：133m -≤≤∴实数m 的取值范围是[]13,3-． (2)解：当4m =-时，()2281f x x x =--为二次函数，开口向上，对称轴为2x =所以()f x 在区间()1,1-上单调递减()19f ∴-=，()17f =-则()()110f f -⋅<∴函数()f x 在()1,1-上存在唯一零点0x 又()f x 为R 上的连续函数∵()010f =-<，∴()()100f f -⋅<，∴()01,0x ∈- ∵17022f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1002f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ∵19048f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1004f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∵110832f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴()1008f f ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，∴01,08x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭此时误差为10.1610218-=<-，即满足误差不超过0.1 ∴零点所在的区间为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．（1）证明见解析；（2）0.4-.【分析】（1）令32()6131230g x x x x =----=，转化为函数()()326,13123h x x r x x x =-=++的交点问题，利用数形结合法证明；（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）令32()6131230g x x x x =----= 则32613123x x x -=++令()()326,13123h x x r x x x =-=++在同一坐标系中作出函数()(),h x r x 的图象，如图所示：因为()()()()11,00h r h r ><，即(1)0,(0)0g g ->< 所以()g x 在区间（-1,0）内有零点再由图象知()g x 在区间（-1,0）内有一个零点.（2）由()0(0.5)00.5,0(0)30g x g ->⎧⇒∈-⎨=-<⎩； 由()0(0.25)00.5,0.25(0.5)0g x g -<⎧⇒∈--⎨->⎩； 由()0(0.375)00.5,0.375(0.5)0g x g -<⎧⇒∈--⎨->⎩； 由()0(0.4375)00.4375,0.375(0.375)0g x g ->⎧⇒∈--⎨-<⎩ 所以00.4x ≈-. 17．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出导函数()e 2xf x m '=-，由题意，原问题等价于2e 3x m =+有解，从而即可求解.【详解】解：函数()f x 的导数()e 2xf x m '=-由题意，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则()1e 213x m -=-，即2e 3x m =+有解第 11 页 共 11 页 又因为e 33x +>，所以23m >，即32m >所以实数m 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。
人教版高中数学必修一函数的应用综合测试题含解析新人教A版必修
人教版高中数学必修一函数的应用综合测试题含解析新人教A版必修集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）第三章函数的应用综合测试题(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中没有零点的是( )A．f(x)＝log2x－3 B．f(x)＝x－4C．f(x)＝1x－1D．f(x)＝x2＋2x答案：C 解析：由于函数f(x)＝1x－1中，对任意自变量x的值，均有1x－1≠0，故该函数不存在零点．2．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为( )A．(－2,0) B．(0,2)C．[－2,0] D．[0,2]答案：B 解析：由题意，f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不确定答案：B 解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理，可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．4．下表表示一球自一斜面滚下t秒内所行的距离s的尺数(注：尺是一种英制长度单位)．当t＝2.5A．45 B．62.5 C．70 D．75答案：B 解析：由题表可知，距离s同时间t的关系是s＝10t2，当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5.5．不论m为何值时，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有( )A．2个B．1个C．0个D．都有可能答案：A 解析：方程x2－mx＋m－2＝0的判别式Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，∴函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有2个．6．已知f(x)＝2x2－2x，则在下列区间中，方程f(x)＝0一定有实数解的是( )A．(－3，－2) B．(－1,0)C．(2,3) D．(4,5)答案：B 解析：∵f(－1)＝2－12＞0，f(0)＝0－1＜0，∴在(－1,0)内方程f(x)＝0一定有实数解．7．设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)答案：C 解析：∵f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f(2)·f(3)<0.由零点存在定理，得x0所在的区间为(2,3)．故选C.8．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0答案：B 解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f(x)在(1，＋∞)为增函数，又1<x 1<x 0<x 2，x 0为f (x )的一个零点，所以f (x 1)<f (x 0)＝0<f (x 2)．9．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．22答案：C 解析：操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.10．若函数y ＝a x －x －a 有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．?答案：A 解析：令f (x )＝a x ，g (x )＝x ＋a ，作出它们的图象如图所示． 显然当a ＞1时，f (x )与g (x )的图象有两个交点，即函数y ＝a x －x －a 有两个零点．11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.825答案：C 解析：令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)＜0，f (1)＞0，f (0.5)＜0，f (0.75)＞0，f (0.625)＜0，则方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内．∵0.75－0.625＝0.125＜0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意． 12．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )答案：A 解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D ，再根据v 1 ＜v 2，可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案：2 解析：当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点． 当x >0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.14．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2＜0，∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要⎩⎨⎧f (1)≤0，f (5)≥0，即⎩⎨⎧a －1≤0，23＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.15．若函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________. 答案：2 解析：∵函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点， ∴函数y 1＝lg|x －1|与函数y 2＝m 由两个交点，∵y 1＝lg|x －1|的图象关于x ＝1对称， lg|x 1－1|＝lg|x 2－1|， ∴x 1＋x 2＝2.16．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据．现有如下5①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x －3.02；③y ＝x 2－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ；⑤y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)答案：④解析：画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y ＝log 2x 上(对于y ＝0.58x －0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y ＝log 2x 可以比较近似地反映这些数据的规律．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知函数f (x )＝ (1)求不等式f (x )>5的解集；(2)若方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，由x ＋6>5，得－1<x ≤0； 当x >0时，由x 2－2x ＋2>5，得x >3.综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．(2)方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点．由图可知，1<m 22<2，解得－2<m <－2或 2<m <2.所以，实数m 的取值范围(－2，－2)∪(2，2) .18. (本小题满分12分)有一小型自来水厂，蓄水池中已有水450吨，水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池向居民小区供水，x 小时内供水总量为8020x 吨．现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问：(1)多少小时后蓄水池中的水量最少？(2)如果蓄水池中存水量少于150吨时，就会出现供水紧张，那么有几个小时供水紧张？解：设x 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则有y ＝450＋80x －8020x＝450＋80x －1605x (x ≥0)． (1)y ＝16(5x －5)2＋50(x ≥0)， 则当5x ＝5，即x ＝5时，y min ＝50， ∴5小时后蓄水池中水量最少为50吨． (2)由题意，450＋80x －1605x <150，可得 52<x <352，即54<x <454. ∵454－54＝10，故有10小时供水紧张． 19. (本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )在x ≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．(1)请补全函数f (x )的图象；(2)写出函数f (x )的表达式(只写明结果，无需过程)； (3)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数(只写明结果，无需过程)． 解：(1)补全f (x )的图象如图所示：(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－4x ，x ≥0，－2x 2－4x ，x <0.(3)当a <0时，方程无解； 当a ＝0时，方程有三个解； 当0<a <2时，方程有6个解； 当a ＝2时，方程有4个解； 当a >2时，方程有2个解．20. (本小题满分12分)某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2011年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：若f (x )b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取11年和13年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b .若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2， 此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52，所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N .(2)2015年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13，2015年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 所以，2015年的实际产量为9.1万件．21. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx ，(k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数 f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且仅有一个根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ， ∴log 44x ＋14x －log 4(4x ＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知，log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，整理得log 4(4x ＋1)＝ log 4[(a ·2x －a ) 2x ]， ∴4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x .(*)令t ＝2x ，t >0，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0.(**) 只需其仅有一正根．①当a ＝1时，t ＝－1不合题意； ②当(**)式有一正一负根时，∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(1－a )>0，t 1t 2＝11－a <0，解得a ＞1；③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a ＝±22－2，且a2(a －1)>0，∴a ＝－2－2 2.综上所述，a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．22. (本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式； (3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8， 故每股交易价格P (元)与时间t (元)所满足的函数关系式为P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N .(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系，即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N .(3)由以上两问，可知y ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20<t ≤30，t ∈N＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110(t －60)2－40，20<t ≤30，t ∈N ， 当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30，y 随t 的增大而减小，y <120，∴在30天中的第15天，日交易额最大，最大值为125万元．。
高一数学函数的应用测试题（含答案）
高一数学函数的应用测试题（含答案）高一数学函数的应用测试题(含答案)数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高一数学函数的应用测试题，具体请看以下内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.函数的定义域是( )A.[1，+)B.45，+C.45，1D.45，1解析：要使函数有意义，只要得01，即45答案：D2.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x1)，则a，b，c的大小关系是()A.aC.c解析：∵a=20.321=2，且a=20.320=1，1∵x1，c=logx(x2+0.3)logxx2=2. cb.答案：B3.已知函数f(x)=ln(x+x2+1)，若实数a，b满足f(a)+f(b-1)=0，则a+b等于()A.-1B.0C.1D.不确定解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(-x)=ln(-x+x2+1)=ln1x+x2+1=-f(x)，f(x)是奇函数，则f(a)=-f(b-1)=f(1-b).a=1-b，即a+b=1.答案：C4.已知函数f(x)=-log2x (x0)，1-x2 (x0)，则不等式f(x)0的解集为()A.{x|0C.{x|-1-1}解析：当x0时，由-log2x0，得log2x0，即0当x0时，由1-x20，得-1答案：C5.同时满足两个条件：①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x3C.f(x)=sinxD.f(x)=lnxx解析：为奇函数的是A、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.答案：A6.函数f(x)=12x与函数g(x)= 在区间(-，0)上的单调性为()A.都是增函数B.都是减函数C.f(x)是增函数，g(x)是减函数D.f(x)是减函数，g(x)是增函数解析：f(x)=12x在x(-，0)上为减函数，g(x)= 在(-，0)上为增函数.答案：D7.若x(e-1,1)，a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则()A.aC.b解析：a=lnx，b=2lnx=lnx2，c=ln3x.∵x(e-1,1)，xx2.故ab，排除A、B.∵e-1lnx答案：C8.已知f(x)是定义在(-，+)上的偶函数，且在(-，0]上是增函数，若a=f(log47)，，c=f(0.2-0.6) ，则a、b、c的大小关系是()A.cC.c解析：函数f(x)为偶函数，b=f(log123)=f(log23)，c=f(0.2-0.6)=f(50.6).∵50.6log23=log49log47，f(x)在(0，+)上为减函数，f(50.6)答案：A9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.46.8万元D.46.806万元解析：设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30，当x=3.0620.15=10.2时，L最大.但由于x取整数，当x=10时，能获得最大利润，最大利润L=-0.15102+3.0610+30=45.6(万元).答案：B10.若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+3)=f(x)，f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：f(5)=f(2+3)=f(2)=0，又∵f(-2)=f(2)=0，f(4)=f(1)=f(-2)=0，在(0,6)内x=1,2,4,5是方程f(x)=0的根.答案：B11.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A.[0，18]B.[18，14]C.[14，12]D.[12，1]解析：因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有f14f120，所以零点所在区间为14，12.答案：C12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，则当x[-4，-2]时，f(x)的最小值是()A.-19B.-13C.19D.-1解析：f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，当x=1时，f(x)取得最小值.所以当x[-4，-2]时，x+4[0,2]，所以当x+4=1时，f(x)有最小值，即f(-3)=13f(-3+2)=13f(-1)=19f(1)=-19.答案：A第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为R，则函数g(x)=x2+ax+1的值域为__________.解析：要使f(x)的值域为R，必有a=0.于是g(x)=x2+1，值域为[1，+).答案：[1，+)14.若f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f12=__________. 解析：设f(x)=x，则有42=3，解得2=3，=log23，答案：1315.若方程x2+(k-2)x+2 k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是__________. 解析：设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1，结合图像可知，f(0)0，f(1)0，f(2)0.即2k-10，1+(k-2)+2k-10，4+2(k-2)+2k-10，解得k12，k23，即1214，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )A .P P －1 B .11P －1C .11PD .P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l∶x＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A ．38%B ．41%C ．44%D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A ．250 300B ．200 300C ．250 350D ．200 3509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x 、y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82512．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线AB 是函数y ＝ka t(t≥1，a>0，且k ，a 是常数)的图象．(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3， (1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f 2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y 亿．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f(x)；(2)求函数y ＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)答案1．B [由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1.]2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根，令f (x )＝x 3－22－x，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11， ∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t 0≤t ≤112×1×2＋t －1×21<t ≤2＝⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤12t －11<t ≤2∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －a b －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，b x无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即0＋0.52＝0.25. 14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n. 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x≤a3，0.9x≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ， 0≤t <1，8222t，t ≥1.(2)令82·(22)t≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克． 20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个． 21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿． 经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)． 经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2(亿)． 经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1% ＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x|x∈N*}．(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.∵1＋1%>1,13.56>0，∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x<550时，P＝60－0.02·(x－100)＝62－x50；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤10062－x50，100<x<550，51，x≥550(x∈N)．(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x，0<x≤10022x－x250，100<x<550，11x，x≥550(x∈N)．当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．测试卷二(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )A ．每个110元B ．每个105元C ．每个100元D ．每个95元3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A .y ＝log 2tB ．y ＝12C ．y ＝t 2－12D ．y ＝2t －24．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.7元C ．548.7元D ．546.6元5．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1]D ．(－∞，－235]6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根7．方程x 2－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( )A ．a<－2B ．－5<a<－2C ．－5<a≤－4D ．a>4或a<－48．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12x ，f 2(x)＝14x ，f 3(x)＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x)＝12xB ．f 2(x)＝14xC ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)9．函数f(x)＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( )A ．a<α<b<βB ．α<a<b<βC ．a<α<β<bD ．α<a<β<b11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1x ＋4)的所有x之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．812．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x>03xx≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______________．14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18．(12分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下： C(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ，1≤n≤24，n ∈N *，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *，10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n 本书所付的钱数(单位：元)．若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：m，n，a的值．答案1．A [在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．] 2．D [设售价为x 元，则利润y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80)＝－20(x 2－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2＋4500.∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]5．C [令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤023＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.]6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]7．C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02－a2>2f 2>0，解得－5<a ≤－4.]8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]9．B [f (2)＝ln2－22＝ln2－1<1－1＝0，f (3)＝ln3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)． ∴2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0. ∴共有四根．∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72，∴所有x 之和为－92＋(－72)＝－8.]12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13．(1，＋∞)解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x,0<x <20，由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)． 15．(0,1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．16．[－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15， ∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 18．解 (1)∵f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x －1＋m ＝－23x －1－m .∴2·3x1－3x ＋m ＝21－3x －m ， ∴23x －11－3x＋2m ＝0. ∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象，如图．①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n ≤30，n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时，49≤60－n ≤59，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300； ②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48， 出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；③当25≤n ≤30且n ∈N *时，30≤60－n ≤35， 出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360. ∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *，360，25≤n ≤30，n ∈N *.∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322； 当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384； 当25≤n ≤30时，f (n )＝360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元． 20．解 若实数a 满足条件， 则只需f (－1)f (3)≤0即可．f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况： ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ≥0f －1·f 1＝a －5a －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－1<－12a <1f －1f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a<1a －5a －1≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ，0<x ≤m ， ①9＋n x －m ＋a ，x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n 4－m ＋a ， ③23＝9＋n 5－m ＋a .④③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13，这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
人教A版必修一函数的应用(一)同步练习卷(含答案)
人教A版必修一函数的应用(一)同步练习卷一选择题1．一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y（km）与时间t（h）之间的函数解析式是（）A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t（t≥0） D．y＝120t（t≥0）2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元，若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝0.1x+800（0≤x≤4000）B．y＝0.1x+1200（0≤x≤4000） C．y＝﹣0.1x+800（0≤x≤4000） D．y＝﹣0.1x+1200（0≤x≤4000）3．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x+30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套4．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（）A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二5．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．126．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 7．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．pq D．﹣18．从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k次时共倒出了纯酒精x升，则倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f（x）的表达式是（）A．B．C．D．9．某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m10.设函数若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，4）C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，6）11.已知函数，且对于∀x1，x2∈R，x1≠x2，都满足，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．12.已知f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，）B．（﹣，2] C．（，+∞）D．（﹣∞，﹣2]二填空题13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是元．14．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个元．15．经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间t（单位：天）的函数．日销售量为f（t）＝2t+100，价格为g（t）＝t+4，则该种商品的日销售额S （单位：元）与时间t的函数解析式为．16．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为元．17．某生产厂家的生产总成本y（万元）与产量x件之间的关系式为y＝x2﹣80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为．18．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k（Q）＝40Q﹣Q2，则总利润L（Q）的最大值是．19．如图，用长为l的铁丝完成如图下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底面边长为2x，则此框架围成的面积y与x的函数解析式为．20．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．三解答题21．将进货单价为8元的商品按10元销售时，每天可卖出100个，若这种商品销售单价每涨1元，日销售量应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？22．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．（1）写出气流流量速v关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．23．某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？24．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．（2）按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．25．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．（1）写出每人需交费用y 关于人数x的函数；（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？26．如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域．27．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足．设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司在甲、乙两个城市的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？最大收益是多少？28.已知定义在R上的函数f（x）有f（x+2）＝f（x）．当x∈[2，4）时，f（x）＝．（1）求f（0）的值；（2）已知函数g（x）＝2ax+1，若对任意x1∈[6，8]，都存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．人教A版必修一函数的应用(一)同步练习卷参考答案与解析1.分析:先求出汽车行驶的速度，然后代入即可求解．解：由题意可知，汽车行驶的速度V＝2km/min＝120km/h，故y＝120t．故选：D．2.分析:由题意自行车x辆次，电动车4000﹣x辆次，进而可得y＝0.2x+0.3（4000﹣x）＝﹣0.1x+1200．解：自行车x辆次，电动车4000﹣x辆次，y＝0.2x+0.3（4000﹣x）＝﹣0.1x+1200．由可得，0≤x≤4000，故选：D．3.分析:设利润为z，则z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z≥0求解一元一次不等式得答案．解：设利润为z，则z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z＝6x﹣30000≥0，得x≥5000．∴要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套．故选：D．4.分析:根据图象性质的依次对各选项判断即可．解：由图可知，投资3天（含3天）内的，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160（元），方案二的回报约为10+20+30+40＝100（元），结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B确定；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240（元），方案二的回报约为10+20+30+40+50+60＝210（元），结合图象对应的高低，可知方案一比方案二方案三高，所以C确定；投资12天：根据图象的变化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D不对；故选：D．5.分析:根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．解：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y＝x×＝2x（6﹣x），+∴当x＝3时，y最大．故选：A．6.分析:首先，x＝A的函数值可由表达式直接得出，再根据x＝4与x＝A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出c、A的值．解：由题意可得：f（A）＝＝15，所以c＝15，而f（4）＝＝30，可得出＝30，故＝4，可得A＝16，从而c＝15＝60，故选：D．7.分析:设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解出即可．解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．8.分析:求出第k次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，求出倒出第k+1次倒出的纯酒精的质量，求出倒k+1次共倒出的纯酒精．解：∵第k次时共倒出了纯酒精x升，∴第k次倒出后容器中含纯酒精为（20﹣x）升，第k+1次倒出的纯酒精是升，所以倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f（x）＝x+＝，故选：A．9.分析:以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．解：以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系．则由题设条件知，抛物线的顶点M（1，），A点坐标为（0，10）．于是可设抛物线方程为y＝a（x﹣1）2+．将A点坐标（0，10）代入该方程可求得a的值为﹣．∴抛物线方程为：y＝﹣（x﹣1）2+．令y＝0，得（x﹣1）2＝4，∴x＝3或﹣1（舍去）．∴B点的坐标为（3，0），故OB＝3 m，故选：B．10.分析：考虑f（x）＝﹣x2+ax的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围．解：当x≤1时，f（x）＝﹣x2+ax，对称轴为，当，即a＜2时，此时存在x1，x2≤1，使得，满足题意；当，即a≥2时，当x≤1时，f（x）＝﹣x2+ax在（﹣∞，1]上单调递增，当x＞1时，f（x）＝2ax﹣4在（1，+∞）上单调递增，要想存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则a﹣1＞2a﹣4，解得：a＜3，a＜3与a≥2取交集得：2≤a＜3，综上，a的取值范圃为（﹣∞，3）．故选：A．11.分析：先根据，确定f（x）的单调性，再保证分段函数的每一段递减和交界处递减即可．解：因为，所以f（x）在R上单调递减，所以只需保证，解得1＜a，故选：C．12.分析：根据x≥1的解析式判断出f（x）在R上为减函数，从而得，求解即可．解：因为当x≥1时，y＝，为减函数，且x＝1时，y＝0，又因为f（x）在R上为单调函数，所以只能为单调递减函数，所以，解得a≤﹣2，故选：D．13.分析:设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．解：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.8﹣x＝270，解得：x＝2250，故答案为：2250．14.分析:根据题意，建立利润与售价的函数关系是解决本题的关键．利用所得到的函数关系式选择相应的求函数最值的方法，发现二者的关系是二次函数类型，根据二次函数在顶点处取得最值求解该问题．解：设涨价x元时，获得利润为y元，则y＝（5+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+40x+250，∴x＝10时，y取最大值，此时售价为60元．故答案为：60．15.分析:根据日销售额＝日销售量×价格表示出S（t）即可解：根据条件可得S＝f（t）×g（t）＝（2t+100）×（t+4）＝2t2+108t+400，t∈N．故答案为S（t）＝2t2+108t+400，t∈N．16.分析:分析知，纳税额与稿费的关系可以用一个分段函数来描述，求出函数的解析式再根据函数的解析式由纳税额为420元建立方程求出稿酬即可．解：由题意，纳税额y与稿费x函数关系为y＝，由于此人纳税420元，令（x﹣800）×0.14＝420，解得x＝3800元．令0.112x＝420，得x＝3750（舍去），故可得这个人应得稿费（扣税前）为 3800元．故答案为：3800．17.分析:由利润＝收入﹣成本，可得当产量为x（x∈N）件时，利润f（x）＝25x﹣y＝25x ﹣（x2﹣80x），配方后可得时f（x）取得最大值的x值．解：∵利润＝收入﹣成本，当产量为x（x∈N）件时，利润f（x）＝25x﹣y＝25x﹣（x2﹣80x）＝﹣．∴当x＝52或53时，f（x）取得最大值．∴该厂获得最大利润时，生产的产品件数为52或53．故答案为：52或53．18.分析:先计算单位产品数Q时的总成本，再确定利润L（Q），利用配方法，即可求得结论．解：∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2000+10Q万元．∵k（Q）＝40Q﹣Q2，∴利润L（Q）＝40Q﹣Q2﹣10Q﹣2000＝﹣Q2+30Q﹣2000＝﹣（Q﹣300）2+2500．∴Q＝300时，利润L（Q）的最大值是2500万元．故答案为：2500万元19.分析:由已知结合矩形及圆面积的求解公式即可求解．解：因为AB＝2x，则弧CD＝πx，AD＝，所以y＝＝﹣（2+）x2+x，由，∴，∴y＝﹣（2+）x2+lx，（0），故答案为：y＝﹣（2+）x2+lx，（0），20.分析:根据所给的函数的图象，可以判断该函数关系为分段函数，分两段分别求解函数的解析式，即可得到答案；利用函数解析式表示出w，进而利用函数性质分段求解最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解：根据图象可知，当0＜x≤20时，y＝8000，当20＜x≤40时，设y＝kx+b，∵B（20，8000），C（40，4000）在图象上，则有，解得，∴y＝﹣200x+12000，综上可得，y＝；①当0＜x≤20时，w＝（8000﹣2800）x＝5200x，∵w＝5200x在（0，20]上是单调递增函数，∴当x＝20时，w取得最大值为104000；②当20＜x ≤40时，w＝（﹣200x+12 000﹣2800）x＝﹣200（x2﹣46x）＝﹣200（x﹣23）2+105800，对称轴为x＝23∈（20，40]，∴当x＝23时，w取得最大值为105800元．综合①②，由于105800＞104000，∴当x＝23时，w取得最大值为105800，故乔经理的采购量为23时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．故答案为：23．21.分析:设出单价，表示出涨的单价，表示出减少的销售量，求出利润；通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况．解：设商品的销售单价应定为x元则商品销售单价涨了（x﹣10）元，日销售量应减少10（x ﹣10）个，获利y元，则有y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600（x＞10），其对称轴x＝14，开口向下，故当x＝14时，y最大，答：为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为14元22.分析:（1）由题意可得：v＝kr4．（2）代入可得k．（3）利用（2）的表达式即可得出．解：（1）由题意可得：v＝kr4．（2）代入可得：400＝k×34，解得k＝．∴v＝r4．（3）＝＝3086cm3/s）．答：（1）解析式为v＝kr4．（2）表达式为v＝r4．（3）该气体的流量速率约为3086cm3/s）．23.分析:利用所给图象，结合直线的斜率，建立方程，即可得出结论．解：由题意，设盈利额为750元时，当天售出的门票数为x，则，∴x＝200．24.分析:由题意分别列出两种优惠办法下的y与x之间的函数解析式，取x＝40分别求得y 值，比较大小得结论．解：由优惠办法（1）可得函数解析式为y1＝20×4+5（x﹣4）＝5x+60（x≥4，x∈N*）；由优惠办法（2）可得函数解析式为y2＝（20×4+5x）×92%＝4.6x+73.6（x≥4，x∈N*）．当该顾客买茶杯40个时，采用优惠办法（1）应付款y1＝5×40+60＝260（元）；采用优惠办法（2）应付款y2＝4.6×40+73.6＝257.6．由于y2＜y1，因此选择优惠办法（2）．25.分析:（1）根据自变量x的取值范围，分0＜x≤30或30＜x≤75列出函数解析式即可；（2）利用（1）中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论．解：（1）当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900﹣10（x﹣30）＝1200﹣10x；即．（2）设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x﹣15000；当30＜x≤75，S＝x（1200﹣10x）﹣15000＝﹣10x2+1200x﹣15000；即．因为当0＜x≤30时，S＝900x﹣15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30＜x≤75时，S＝﹣10x2+1200x﹣15000＝﹣10（x﹣60）2+21000，即x＝60时，Smax＝21000＞12000．所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．26.分析:通过对x分类讨论，利用等腰梯形与等腰直角三角形的性质、矩形的性质即可得出面积．解：①时，y＝．②时，y＝+x＝+．③时，y＝﹣＝+2x﹣．④x＞2时，y＝＝．∴y＝，定义域为[0，+∞），值域为．27.分析:（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．解：（1）当x＝50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元．所以总收益（万元）．（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资（120﹣x）万元，∴．依题意得，解得40≤x≤80．∴．令，则．∴．当，即x＝72万元时，y的最大值为44万元．∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．28.分析：（1）根据题意赋值运算求解；（2）由题意分析可得：f（x）在[6，8]上的值域为g （x）在[﹣1，1]上的值域的子集，结合单调性和分类讨论分别求f（x）、g（x）的值域，再根据子集关系运算求解．解：（1）∵f（x+2）＝f（x），令x＝0，∴f（0）＝f（2）＝4．（2）设f（x）在[6，8]上的值域为A，g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，由题意可得：A⊆B，∵f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为2，则f（x）在[6，8]上的值域即为f（x）在[2，4]上的值域，当2≤x≤3时，则f（x）＝﹣x2+4x在[2，3]上单调递减，且f（2）＝4，f（3）＝3，故3≤f（x）≤4；当3＜x＜4时，则，对任意x1，x2∈（3，4），且x1＜x2，则，∵3＜x1＜x2＜4，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（3，4）上单调递增，且，∴，当x＝4时，则f（4）＝f（2）＝4；综上所述：，对于g（x）＝2ax+1，则有：当a＞0时，则g（x）在[﹣1，1]上单调递增，且g（﹣1）＝﹣2a+1，g（1）＝2a+1，故B＝[﹣2a+1，2a+1]，则，解得，当a＝0时，则g（x）＝1，即B＝{1}，不合题意，a＝0舍去；当a＜0时，则g（x）在[﹣1，1]上单调递减，且g（﹣1）＝﹣2a+1，g（1）＝2a+1，故B＝[2a+1，﹣2a+1]，则，解得；综上所述：实数a的取值范围为（﹣]．。
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20． (12 分 )已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体：在定义域 得 f(x0＋ 1)＝ f(x0)＋ f(1)成立．
所以其零点一定位于区间 (3,4)． ]
9． B [A 中(a3)2＝ a6，故 A 错；
B 中 log 26－log 23＝ log 263＝ log22＝1，故 B 正确；
11
11
C 中， a 2 ·a 2 ＝ a 2 2 ＝a0＝ 1，故 C 错；
D 中， log3(－4)2 ＝ log316＝log3 42＝ 2log 34.]
10． C [ 依题意，函数 f (x )＝ a x＋ log ax( a>0 且 a≠ 1在) [1,2] 上具有单调性，因此
＋log a2＝ log a2＋ 6，解得 a＝ 2.]
(1)函数 f(x)＝1x是否属于集合 M ？说明理由； (2)若函数 f(x)＝ kx＋ b 属于集合 M ，试求实数 k 和 b 满足的约束条件．
D 内存在 x0，使
21．(12 分 )已知奇函数 f(x)是定义域 [ － 2,2] 上的减函数， 若 f(2a＋ 1)＋ f (4a－ 3)>0，求实 数 a 的取值范围．
模块综合检测 (A)
(时间： 120 分钟 满分： 150 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 )
1．如果 A＝ { x|x>－ 1} ，那么 ( )
A ． 0? A
B ． {0} ∈ A
C．?∈ A
D ．{0} ? A
1
2．已知 f(2x－ 1)＝2x＋ 3， f(m)＝ 6，则 m 等于 (
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的
x>0， y>0，函数 f(x)满足 f(x＋ y)＝ f (x)f( y)”
的是 ( )
A ．幂函数
B ．对数函数
C．指数函数
D ．一次函数
6．若 0<m<n，则下列结论正确的是 ( )
A ． 2m>2n
B
．
(
1 2)
m<(
1 2
)
n
C．log 2m>log 2n
B ． (3,4)
C．(2,3)
D ．(1,2)
9．下列计算正确的是 ( ) A ． (a3)2＝ a9
B．log 26－log 23＝1
11
C． a 2 ·a 2 ＝ 0
D． log 3(－ 4)2＝ 2log 3(－ 4) 10．已知函数 f(x)＝ ax＋ logax(a>0 且 a≠1) 在 [1,2] 上的最大值与最小值之和为 则 a 的值为 ( )
)
1
1
A ．－ 4
B.4
3
3
C.2
D ．－ 2
3．函数 y＝ x－ 1＋ lg(2 － x)的定义域是 ( )
A ． (1,2)
B ． [1,4]
C．[1,2)
D ． (1,2]
4．函数 f(x)＝ x3＋ x 的图象关于 ( )
A ． y 轴对称
B ．直线 y＝－ x 对称
C．坐标原点对称
D ．直线 y＝ x 对称
7． A [ 因为 a＝ 0.3＝ 0.30.5<0.30.2＝c<0.3 0＝ 1， 而 b＝20.3>20＝ 1，所以 b>c>a.]
8． B [ f(3)＝ log 33－ 8＋2× 3＝－ 1<0 ，
f(4) ＝ log 34－ 8＋ 2× 4＝ log 34>0. 又 f(x) 在(0 ，＋ ∞ )上为增函数，
令
4m＋ 7＝ 6，得
m＝－
1 4.]
x－ 1≥ 0
3． C [ 由题意得：
，解得 1≤x<2.]
2－ x>0
4． C [ ∵ f(x)＝ x3＋ x 是奇函数，
∴图象关于坐标原点对称． ]
5． C [ 本题考查幂的运算性质． f(x)f(y) ＝axay＝ax＋y＝ f(x＋ y)． ]
6． D [ 由指数函数与对数函数的单调性知 D 正确． ]
D ． log 1 m > log 1 n
2
2
7．已知 a＝ 0.3， b＝20.3， c＝ 0.30.2，则 a， b，c 三者的大小关系是 ( )
A ． b>c>a
B ． b>a>c
C． a > b> c
D ．c>b>a
8．函数 f(x)＝ log3x－ 8＋ 2x 的零点一定位于区间 ( )
A ． (5,6)
13．已知 A＝ { － 1,3， m} ，集合 B＝ {3,4} ，若 B∩A＝ B，则实数 m＝________. 14．已知 f(x5)＝ lg x，则 f(2)＝ ________. 15．函数 y＝ f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x<0 时， f(x) ＝x3＋2x－ 1，则 x>0 时函数的 解析式 f(x) ＝______________.
4 16．幂函数 f(x)的图象过点 (3， 27)，则 f( x)的解析式是 ______________． 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)
1
1
17． (10 分)(1) 计算：
7 2
2
＋ (lg 5) 0＋
27
3
；
9
64
(2)解方程： log3(6x－9) ＝3.
18． (12 分 )某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出 50 个，如果销售价每 涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？
22． (12 分)已知函数 f(x)＝ (1)若 a＝ 1，求函数 f(x)的零点； (2)若函数 f(x)在 [ －1，＋∞ )上为增函数，求
. a 的取值范围．
模块综合检测 (A)
1． D [ ∵ 0 ∈ A ，∴ {0} ? A.] 1
2． A [ 令 2x－ 1＝ t，则 x＝ 2t＋ 2， 所以 f(t)＝ 2×(2t ＋ 2)＋3＝ 4t＋ 7.
loga2＋ 6，
1 A. 2 C．2
1 B.4 D ．4
11．函数 y＝ |lg( x＋ 1)|的图象是 ( )
12．若函数
f(x)＝lg(10 x＋ 1)＋ ax
是偶函数，
g
(
x)＝
4
x－ 2x
b
是奇函数，
则
a＋ b
的值是
(
)
1
A. 2
B． 1
1 C．－ 2
D．－ 1
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 )