试验一伯努利试验
伯努利定理 概率论
伯努利定理概率论伯努利定理是概率论中的一项重要定理，它描述了在随机试验中，某个事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
本文将从概率论的角度对伯努利定理进行详细解析。
一、伯努利试验的概念伯努利试验是指满足以下条件的随机试验：1. 试验只有两个可能结果，分别记为事件A和事件A的对立事件非A；2. 每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果；3. 每次试验中事件A发生的概率为p，非A发生的概率为1-p。
二、伯努利定理的表述根据伯努利试验的定义，我们可以得到伯努利定理的表述：在n次独立重复进行的伯努利试验中，事件A发生k次的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
三、伯努利定理的应用伯努利定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 二项分布当伯努利试验重复进行n次时，事件A发生k次的概率符合二项分布。
二项分布可以用来描述多次重复试验中事件发生次数的概率分布。
2. 投硬币问题将一枚硬币抛掷n次，每次出现正面的概率为p。
根据伯努利定理，我们可以计算出在n次抛掷中，出现k次正面的概率。
3. 赌博问题在赌博中，常常需要计算在多轮游戏中获胜的概率。
如果每轮游戏中获胜的概率为p，那么根据伯努利定理，我们可以计算出在n轮游戏中获胜k次的概率。
四、伯努利定理的意义伯努利定理是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机试验中事件发生的规律。
通过应用伯努利定理，我们可以计算出各种概率问题的解答，帮助我们更好地理解和分析概率事件。
除了伯努利定理，还有一些与之相关的概率定理，如大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋近于事件发生的概率。
中心极限定理则指出，当试验次数足够多时，多次试验结果的平均值将近似服从正态分布。
伯努利定理是概率论中的重要定理，它描述了在伯努利试验中事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
伯努利方程实验
伯努利方程实验实验一 伯努利方程实验一、实验目的观察流体在管道中流动时能量的相互转化现象，加深对柏努利方程的理解。
原理二、实验原理流体在流动时，具有3种机械能：位能、静压能和动能，这3种机械能是可以相互转化的。
在没有摩擦损失的自流管路中，任意两截面处的机械能总和是相等的。
在有摩擦损失的自流管路中，任意两截面处的总机械能之差为摩擦损失。
2．对理想流体，在系统中任一截面处，尽管三种机械能彼此不一定相等，但这三种机械能的总和是不变的。
对于实际流体，由于在内摩擦，流体在流动过程中总有一部分机械能随摩擦转化为热能而损耗了，故对于实际流体，任意两截面上的机械能的总和并不相等，两者的差值即为能量损失。
3流体流经管路某截面处的各种机械能大小均可以用测压管中的一 段液柱高度来表示，在流体力学中，用以表示各种机械能大小的流体柱高度称之为“压头’。
分别称为位压头、动压头、静压头、损失压头。
机械能可用测压管中液柱的高度来表示。
当测压管口平行于流动方向时，液柱的高度表示静压能；当测压管口正对流体流动方向时，液柱的高度表示动能与静压能之和，两者之差就是动能。
实验中通过测定流体在不同管径、不同位置测压管中液面高度，反映出摩擦损失的存在及动能、静压能之间的相互转化。
（4）流体的机械能衡算，以单位质量（1kg ）流体为衡算基准，当流体在两截面之间稳定流动且无外功加入时，伯努利方程的表达形式为 式中 z —— 位压头（m 流体柱）； —— 静压头（m 流体柱）； —— 动压头（m 流体柱）。
三、实验设备及流程Cgvg p z =++22ρg Pρ22v1. 实验装置流程如图3-1所示，实验设备由玻璃管、测压管、活动测压头、水槽、循环水泵等组成。
水槽中的水通过循环水泵将水送到高位槽，并由溢流口保持一定水位，然后流经玻璃管中的各测点，再通过出口阀A流回水箱，由此利用循环水在管路中流动观察流体流动时发生能量转化及产生能量损失。
活动测压头的小管端部封闭，管身开有小孔，小孔位置与玻璃管中心线平齐，小管又与测压管相通，转动活动测压头就可以测量动、静压头。
伯努利试验特征
伯努利试验特征伯努利试验，又称二元抉择试验，是概率统计学上的一种实验方式，可以用来研究多种科学和社会问题。
这种试验方式在1700年代由英国科学家威廉伯努利（William Bernoulli）提出，因此得名。
伯努利试验具有以下几个特征：首先，伯努利试验具有明确的研究内容和研究目的，可以明确实验的结果。
其次，伯努利试验需要双方当事人，比如说实验者和受实验者，双方都知道试验是可重复的，实验结果也可以进行统计分析。
再者，伯努利试验需要严格控制所有的外部因素，确保实验结果的准确性。
此外，伯努利试验也要考虑结果的可靠性，并考虑到观察者带来的偏差影响。
最后，伯努利试验需要记录实验结果，使实验结果更加可靠有效。
伯努利试验的应用非常广泛，在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
在心理学研究中，伯努利试验可以用来研究人们在抉择当中的行为规律，从而帮助我们了解人类行为的本质特点。
此外，在社会科学研究中，伯努利试验可以帮助研究者探索不同文化背景下，人们对抉择和社会现象的反应。
由于这种实验方式可以模拟真实的社会场景和人们的抉择，因此，这种方式在社会学研究中的应用量非常大。
此外，在经济学研究中，伯努利试验也有着重要的应用，它可以帮助我们探索不同的经济环境下，投资者的抉择行为和投资结果的关系。
总之，伯努利试验是一种重要的统计实验方式，具有很多特点，并在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
尽管如此，伯努利试验也存在若干限制，比如实验量的大小可能会影响实验结果的准确性，必须慎重对待。
因此，伯努利试验作为一种重要的实验方式，在不同的研究领域，都有着广泛的应用，但同时也有一些关键性的局限性，需要谨慎鉴别。
伯努利试验公式
伯努利试验公式
伯努利试验公式是描述管道或管道中流体流动的基本物理定律之一。
其公式表示为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P为流体静压力，ρ为流体密度，v为流体流速，g为重力加速度，h为流体高度。
这个公式说明了在管道或管道中，流体静压力、动能和位能之和是一个常数。
换句话说，当流速增加时，静压力会下降，而动能和位能则会增加，以保持总能量不变。
这个公式在航空、汽车、液压和水力工程等领域中都得到了广泛应用。
例如，它可以用来计算飞机、汽车或船只的速度、液压系统的压力、水力发电厂的效率等等。
需要注意的是，伯努利试验公式只适用于稳态流动的情况，即流体的速度和压力分布不随时间变化。
在非稳态流动或湍流中，该公式的适用性可能会受到限制。
伯努利试验的公式
伯努利试验的公式伯努利试验，这可是个在概率学里相当重要的概念呢！咱先来说说伯努利试验到底是啥。
简单来讲，伯努利试验就是一种只有两种可能结果的试验，比如抛硬币，正面或者反面；投篮，进或者不进。
这两种结果我们通常称为“成功”和“失败”。
伯努利试验的公式是：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里面的字母都代表着特定的意思，n 表示试验的次数，k 是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
比如说，咱假设投篮成功的概率是 0.6，要进行 5 次投篮，想知道恰好成功 3 次的概率。
那咱就可以用这个公式来算算。
C(5, 3)就是从 5 次里选 3 次成功的组合数，这得用组合的公式去算。
算出来再乘以 0.6 的 3 次方，再乘以 0.4 的 2 次方，就能得出恰好成功3 次的概率啦。
我想起之前给学生们讲这个公式的时候，有个小同学特别有意思。
当时我在黑板上写了一道例题，问大家：“如果一个抽奖活动，中奖概率是 0.2，抽 10 次，恰好中奖 2 次的概率是多少？”大家都开始埋头算，这时候有个小同学突然举手说：“老师，我觉得这抽奖不靠谱，概率这么低，还不如去买糖吃。
”全班同学都笑了。
不过笑归笑，大家还是认真地用公式算出了答案。
这个公式在实际生活中的应用可多了去了。
比如说产品质量检测，一批产品里次品出现的概率；或者是疾病传播，一个人在一定时间内感染某种疾病的概率等等。
再比如，有个工厂生产灯泡，知道次品率是 0.05，随机抽检 20 个灯泡，想知道有 1 个次品的概率，这时候伯努利试验的公式就能派上用场啦。
总之，伯努利试验的公式虽然看起来有点复杂，但只要理解了其中的原理，多做几道题练练手，就会发现它其实也没那么难。
而且学会了这个公式，能帮助我们解决好多实际问题，让我们对生活中的各种不确定性有更清晰的认识和把握。
希望大家都能把这个公式掌握好，在概率的世界里畅游无阻！。
伯努利试验
伯努利试验概念： 是在同样的条件下重复地、各 次之间相互独立地进行的一种试验。
伯努利试验特征： 这种试验中，每一次试验只有 两种结果，即某事件A要么发生，要么不发生。并 且每次发生的概率都是相同的。
如何判断伯努利试验： 判断是否为独立重复试验的关 键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果 同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的 试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发 生的概率相互之间没有影响。
奎屯
以上面的公式恰为[(1 p) p]n 展开式中的第 k 1 项，可见排列
组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 新疆 王新敞 奎屯
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴独上立面重等 复试式验成的立特. 点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生；
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率为
Pn (k )
Cnk
pk (1
p)nk
新疆 王新敞
奎屯
对于此式可以这么理解：由于 1 次试验中事件 A 要么发生，要么
实验一 伯努利实验
实验一伯努利实验一、实验目的1、观察阀门开度不同时各测压管水头和总水头值；2、绘制实验管路测压管水头线与总水头线沿程变化规律曲线，进一步理解位能、压能、动能及能量损失之间的相互转化关系；3、掌握流速、流量、压强等水力学要素的实验测量技能。
二、实验装置及基本原理1、水箱2、水泵3、回流阀4、供水管5、回水管 6 、摆头 7、调节阀8、活动测头 9、水位计10、标尺 11、上水管 12、上水箱 14、排污 16、大透试管 17、弯管 18、小透明管水泵将水送到上水箱，然后流经小透明管18、大透明管16、弯管17，最后回到下水槽，水泵为单向电机驱动的漩涡，在整个试验过程中，上水箱都必须保证有溢出，以使流动系统的进口水位保持稳定，测压管的流量用阀7进行调节，阀7全开时流量可能过大，以致测压管负压，吸入空气，因此在阀7前端的管口内有一塑料节流孔，利用这节流孔的节流作用，限制最大流量。
因为采用的水泵是旋涡泵，这种水泵不能关小出口阀的办法控制流量而需用回流的方法控制，回流通过阀3调节。
实验时先将阀3全开，此时去上水箱的流量最小，然后逐步关小阀3，使测管最大流量时上水箱的溢流口仍有少量溢流即可，以后阀3的开度固定不必每次都调节。
测压管各点上的压强，有活动测头8、水位计9测量，活动测头有一小管伸入透明测管内，小管末端封闭，而管身上钻有一个小测压孔，该孔处于透明测压管的中心线上，试验时，当小孔正对水流方向时，测得的是总压；而垂直水流方向测得的是测压管水头。
测压管的流量通过活动摆头6用体积法进行测量。
三、实验步骤1、实验前的准备（1）检查零流速时，各水位记高度是否一致，如不一致，可能是测管内有汽泡或者安装高度不一致，应采取相应措施进行处理。
（2）合上水泵电源开关，如水泵不动，应即停电检查。
（3）检查当阀7全开时，上水箱是否仍有溢出，如无溢出，应适当关小阀3。
（4）检查摆头是否灵活。
2、实验进行（1）首先记录调节阀全关时的水位，即零流量水位及实验水温。
伯努利试验
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) P( An ( A1 A2 An1))
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
C42 p2q42 6 0.052 0.952 0.0135
伯努利定理
定理
设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ， 则Ａ在n次伯努里试验中恰好发生 k次的概率为
Pn
(k)
CLeabharlann k npkqnk
其中 q 1 p
( k＝ 0，1，2，...，n )
例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,
(1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率．
解 (1) 该试验为4 重伯努利试验
n 4, p 0.67, q 1 p 0.33
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重伯努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
所求概率为
P( A) C53 0.73 0.32 0.3087
例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概 率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使 用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。
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实验二 伯努利方程实验
一．实验目的
1．观察恒定流情况下，水流所具的位置势能、压强势能和动能，以及在各种边界条件下能量的守恒和转换规律，加深对能量方程物理意义的理解。
2．观察测压管水头线和总水头线沿程变化的规律，以及水头损失现象。
3．验证测速管（毕托管）原理。
二．实验装置
本实验装置流程如图3-2所示，主要由高位水箱、供水箱、水泵、有机玻璃实验管道、铁架等部件组成。
高位水箱内设有溢流装置，用以保持箱内水位恒定。
液体由高位水箱经进口调节阀流入实验管路，管路管径不同，且高低不一，共有十组测压点，进口调节阀供调节流量用。
每组测压点都设置有普通测压管及测速管。
测速管探头末端开有小孔，小孔位置与管道中心位置平齐。
并正对流动方向，测速管可测出此截面上的总压头。
普通测压管可测出此截面上的静压头与位压头之和。
出水管处可用秒表及量筒由体积时间法测量流量。
整个系统中水是循环使用的。
在管道下方装有一供水箱，出水口流出的水进入箱内再由泵抽取送至高位槽。
图3-2 伯努利实验装置流程
三．实验原理
1．在管内流动的流体均具有位能、静压能和动能，取1N 流体作为基准来进行能量衡算，并忽略流体在管内流动时的阻力损失，对不可压缩流体从1—1截面连续稳定地流至2
—2截面，其伯努利方程式为：g
u g ρP Z g u g ρP Z 222
2
222111+
+=++ (1)
式中： Z — 流体的位压头，m ；
g
P
ρ — 流体的静压头，m ； g
u 22
— 流体的动压头，m ； 下标1和2分别为系统的进口和出口两个截面。
同样，取1N 流体作为基准来进行能量衡算，而流体在管内流动时的阻力损失能量不可忽略时，对不可压缩流体从1—1截面连续稳定地流至2—2截面，其伯努利方程式为：
f h g
u g ρP Z g u g ρP Z +++=++222
2
222111
(2)
式中：f h —1N 流体从1—1截面流至2—2截面时损失的能量，称损失压头，m 。
2．在管内稳定连续流动的不可压缩流体，忽略流体流动的阻力损失能量时，在管路上
任意截面的总压头均相等。
=++g
u g P Z 22
ρ常数
(3)
=++动静位h h h 常数
(4)
但是，任何两截面上的位压头、静压头和动压头并不一定相等，应视具体情况而定。
根据管路条件的改变（如位置的高低、管径的大小），它们会自动转换。
在管内稳定连续流动的不可压缩流体，流体流动的阻力损失能量不可忽略时，管路中任意两截面上的总压头仍然相等。
=+++=++f h g
u g ρP Z g u g ρP Z 222
2
222111常数
(5)
但是，其位压头、静压头、动压头之和并不相等，其差值即为阻力损失压头：
)2()2(2
2
222111g
u g ρP Z g u g ρP Z h f ++-++= m
(6)
阻力损失压头f h 是以热能的形式消失掉的，在管路中是不能再恢复的。
3．毕托管工作原理
测速管探头末端开孔处液体的位压头（h 位）由测速管探头末端的几何高度决定。
测压
管内液位高度为位压头和静压头之和，用符号H 1表示，即：
静位h h H +=1
(7)
当测压管小孔位置确定后，位h 就已知，此时即将静h 测量出来。
测速管内液位高度为位压头、静压头和动压头之和，用符号H 表示，即：
动静位h h h H ++=
(8)
在流动条件不变的情况下，显然，此时测速管内液位高度H 比测压管液位高度H 1高，两者之差为小孔处的动压头（h 动），即：
动h H H =-1
(9) 令1H H H -=∆，则动h H =∆
(10)
由此，我们可以用这一原理来测量小孔处流体流动的点速度（u 点），在具体计算时，各物理量应注意统一单位。
H g
u h ∆==
22
点
动 cm
)(221H H g H g u -=∆=∴点 cm/s
(11)
注：式中g=918cm/s 2
将测压管中的水位连成一线，称为测压管水头线，反映势能沿程的变化；将测速管中的水位连成一线，称为总水头线，反映总能量沿程的变化。
两线的距离即为动压头。
本实验台在有机玻璃实验管道的关键部位处，设置测压管及测速管，适当的调节流量，就可把总水头线和测压管水头线绘制于测压板上。
四．实验操作步骤
1．熟悉实验设备，分清哪些测管是普通测压管，哪些是毕托管测速管，以及两者功能的区别。
记录各段管路的内直径及位置高度。
2．接通水泵电机电源，打开开关供水，使高位水箱充水，待高位水箱溢流，检查实验管路入口调节阀关闭后所有测压管水面是否齐平。
如不平则需查明故障原因（连通管受阻、漏气或夹气泡等）并加以排除。
如果连接橡皮管中有气泡，可不断用手挤握橡皮管，使气泡排出；如测速管测头上挂有杂物，可转动测头使水流将杂物冲掉。
3．高位水箱开始溢流后，调节实验管道阀门，使测压管、测速管中水面升至便于观测的高度，在测压板上用粉笔画出该流量时的水头线，对照水头线的变化规律观察思考：
1）断面1上测点（1）、（2）测管水头是否相同？为什么？ 2）断面3和断面4的测点（5）、（7）测速管水头是否相同？为什么？ 3）总结下不同管径动压头的变化规律； 4）当流量增加或减少时测管水头如何变化？
5）总水头线在不同管径段的下降坡度，即水力坡度的变化规律。
4．调节实验管路入口阀开度，改变流量，待流量稳定后，测记各测压管液面读数。
5．不改变阀门开度，利用秒表、盛水容器、量筒，测定一定时间内管口流出水量，并记录所用时间和出水量（体积）数据，以测记实验流量。
6．调节实验管路阀门开度，改变流量，使1号测管液面接近标尺最高点，重复上述测量。
实验过程中，注意高位水箱始终应保持微小溢流。
7．切断水泵电机电源，收拾实验台，整理数据。
五．实验记录与数据整理
均匀段（cm）D1= 1.4
扩管1段（cm）D2= 1.9
缩管段（cm）D3= 0.8
扩管2段（cm）D4= 2.6
上管道段（cm）D5= 1.4
上管道轴线高程（cm）▽z = 17
注：①每个断面上均有两个测点，标“*”者为毕托管测点；
②对应的断面内径见表1。
1．实验记录
表1 实验记录表(基准面选在标尺的零点上) 单位：cm
绘制上述成果中最大流量下的总水头线E－E 和测压管水头线P－P。
（总水头线和测压管水头线可以绘在图3-3或图3-4上）
提示：
①P－P 线及E－E 线依表1各断面毕托管及测压管测点数据绘制；
②在等直径管段E－E 与P－P 线平行。
2．实验数据整理
表2 动压头及流速
图3-3
图3-4
六．思考题
1．请总结流体流过不同管径流速压头的变化规律。
2．为什么总水头线H大于测压管水头线H1（对同一点而言）？（H－H1）差值的物理意义是什么？为什么距离入口阀越远，总水头线沿程下降？
3．改变阀门开度，流量增加或减少时测管水头如何变化？
4．总结下总水头线在不同管径段的下降坡度，即水力坡度的变化规律。