伯努利实验
伯努利定理 概率论
伯努利定理概率论伯努利定理是概率论中的一项重要定理，它描述了在随机试验中，某个事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
本文将从概率论的角度对伯努利定理进行详细解析。
一、伯努利试验的概念伯努利试验是指满足以下条件的随机试验：1. 试验只有两个可能结果，分别记为事件A和事件A的对立事件非A；2. 每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果；3. 每次试验中事件A发生的概率为p，非A发生的概率为1-p。
二、伯努利定理的表述根据伯努利试验的定义，我们可以得到伯努利定理的表述：在n次独立重复进行的伯努利试验中，事件A发生k次的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
三、伯努利定理的应用伯努利定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 二项分布当伯努利试验重复进行n次时，事件A发生k次的概率符合二项分布。
二项分布可以用来描述多次重复试验中事件发生次数的概率分布。
2. 投硬币问题将一枚硬币抛掷n次，每次出现正面的概率为p。
根据伯努利定理，我们可以计算出在n次抛掷中，出现k次正面的概率。
3. 赌博问题在赌博中，常常需要计算在多轮游戏中获胜的概率。
如果每轮游戏中获胜的概率为p，那么根据伯努利定理，我们可以计算出在n轮游戏中获胜k次的概率。
四、伯努利定理的意义伯努利定理是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机试验中事件发生的规律。
通过应用伯努利定理，我们可以计算出各种概率问题的解答，帮助我们更好地理解和分析概率事件。
除了伯努利定理，还有一些与之相关的概率定理，如大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋近于事件发生的概率。
中心极限定理则指出，当试验次数足够多时，多次试验结果的平均值将近似服从正态分布。
伯努利定理是概率论中的重要定理，它描述了在伯努利试验中事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
伯努利试验
数据处理
▪ 实验报告须验证伯努利方程及静力学方程
返回
a、Hf(1-A) 点1~点A压头损失=v为零时点A测压管液柱高度-某测定 流量下测压管A的冲压头液柱高度
b、Hf(1-B) 点1~点B压头损失=v为零时点B测压管液柱高度-某测定 流量下测压管B的冲压头液柱高度
c、Hf(1-C) 点1~点C压头损失=v为零时点C测压管液柱高度-某测定 流量下测压管C的冲压头液柱高度
返回
实验步骤
▪ 1、调节出水阀门至一定开度。 ▪ 2、待液流稳定，且检查稳压水槽的恒定
水位后，测读柏努利方程实验管三个截面 三组测压管的液柱高度。可以重复测读三 次，合理选择稳定的读数或取其三次的平 均值，以提高测试的准确度。 ▪ 3、测定此工作状况下的液流流量。
返回
实验步骤
▪ 4、改变出水阀门的开度，在新工作状况下 重复上述测试。
2. 开启进水阀向稳压水槽注水，或开关试验导 管出口调节阀时，一定要缓慢地调节开启程 度，并随时注意设备内的变化。
3. 试验过程中需根据测压管量程范围，确定最 小和最大流量。
4. 为了便于观察测压管的液柱高度，可在临实 验测定前，向各测压管滴入几滴红墨水。
返回
数据处理
1.压头损失的计算
总压头=450mm水柱
▪ 以单位质量流体为衡算基准
gH1
v12 2
p1
gH2
v22 2
p2
hf
(1)
▪ 以单位重量流体为衡算基准
H1
v12 2g
p1
g
H2
v22 2g
p2
g
Hf
(2)
返回
实验原理
▪ 不可压缩流体的机械能衡算方程，可根据以下 情况进行简化：
伯努利试验
推论
设在一次试验中，事件A首次发生的概率为p(0<p<1)，则在伯努利试验序列中，事件A在第 k次试验中才首 次发生的概率为。
特殊情形
二项分布
几何分布
二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，ξ表示事件A发生的次数。如果事件A发生的概率是p，则不发生的概率 q=1-p，n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率是：P(ξ=k)= (k=0,1,2,3…n），那么就说ξ服从参数p的二 项分布，其中p称为成功概率。记作：ξ~B(n,p)。
（1）几何分布的期望Eξ= ； （2）几何分布的方差Dξ=。
谢谢观看
单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的， 多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。
试验要点
试验要点
重复试验的相互独立性
伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其中“在相同条件下”意在说明： 每一次试验的结果不会受其它实验结果的影响，事件之间相互独立。
多次试验
判断某种试验是否为伯努利试验的关键是：首先，必须是重复的试验，即多次试验，而非一次试验；其次， 每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，即事件发
典例
（1）连续的n次射击； （2）连续的掷n次硬币。
相关定理
设在一次试验中，事件A发生的概率为p（0<p<1），则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生 k次的概率 为：。
介绍
介绍
伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场，没 有妥协的余地。这样的例子也特别多，例如我们观察从一副纸牌中拿出一张牌，它或者是黑色或者是红色；接生 一个婴儿，或者是男孩或者是女孩；我们经历24小时的一天，或者遇到流星或者遇不到流星。在每一种情况下， 很方便设计一种结果“成功”，另外一种结果为“失败”，例如选出一张黑色牌，生出一个女儿，没有遇到流星 都可以表示为“成功”。然而，从概率的角度看，选择红牌、儿子、遇到流星为成功也是不会产生差异的。在这 种场合下，“成功”是没有价值取向的色彩。
伯努利方程实验
伯努利方程实验实验一 伯努利方程实验一、实验目的观察流体在管道中流动时能量的相互转化现象，加深对柏努利方程的理解。
原理二、实验原理流体在流动时，具有3种机械能：位能、静压能和动能，这3种机械能是可以相互转化的。
在没有摩擦损失的自流管路中，任意两截面处的机械能总和是相等的。
在有摩擦损失的自流管路中，任意两截面处的总机械能之差为摩擦损失。
2．对理想流体，在系统中任一截面处，尽管三种机械能彼此不一定相等，但这三种机械能的总和是不变的。
对于实际流体，由于在内摩擦，流体在流动过程中总有一部分机械能随摩擦转化为热能而损耗了，故对于实际流体，任意两截面上的机械能的总和并不相等，两者的差值即为能量损失。
3流体流经管路某截面处的各种机械能大小均可以用测压管中的一 段液柱高度来表示，在流体力学中，用以表示各种机械能大小的流体柱高度称之为“压头’。
分别称为位压头、动压头、静压头、损失压头。
机械能可用测压管中液柱的高度来表示。
当测压管口平行于流动方向时，液柱的高度表示静压能；当测压管口正对流体流动方向时，液柱的高度表示动能与静压能之和，两者之差就是动能。
实验中通过测定流体在不同管径、不同位置测压管中液面高度，反映出摩擦损失的存在及动能、静压能之间的相互转化。
（4）流体的机械能衡算，以单位质量（1kg ）流体为衡算基准，当流体在两截面之间稳定流动且无外功加入时，伯努利方程的表达形式为 式中 z —— 位压头（m 流体柱）； —— 静压头（m 流体柱）； —— 动压头（m 流体柱）。
三、实验设备及流程Cgvg p z =++22ρg Pρ22v1. 实验装置流程如图3-1所示，实验设备由玻璃管、测压管、活动测压头、水槽、循环水泵等组成。
水槽中的水通过循环水泵将水送到高位槽，并由溢流口保持一定水位，然后流经玻璃管中的各测点，再通过出口阀A流回水箱，由此利用循环水在管路中流动观察流体流动时发生能量转化及产生能量损失。
活动测压头的小管端部封闭，管身开有小孔，小孔位置与玻璃管中心线平齐，小管又与测压管相通，转动活动测压头就可以测量动、静压头。
伯努利试验公式
伯努利试验公式
伯努利试验公式是描述管道或管道中流体流动的基本物理定律之一。
其公式表示为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P为流体静压力，ρ为流体密度，v为流体流速，g为重力加速度，h为流体高度。
这个公式说明了在管道或管道中，流体静压力、动能和位能之和是一个常数。
换句话说，当流速增加时，静压力会下降，而动能和位能则会增加，以保持总能量不变。
这个公式在航空、汽车、液压和水力工程等领域中都得到了广泛应用。
例如，它可以用来计算飞机、汽车或船只的速度、液压系统的压力、水力发电厂的效率等等。
需要注意的是，伯努利试验公式只适用于稳态流动的情况，即流体的速度和压力分布不随时间变化。
在非稳态流动或湍流中，该公式的适用性可能会受到限制。
§2.3伯努利试验随机游动
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向 右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比 向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.
伯努利试验的公式
伯努利试验的公式伯努利试验，这可是个在概率学里相当重要的概念呢！咱先来说说伯努利试验到底是啥。
简单来讲，伯努利试验就是一种只有两种可能结果的试验，比如抛硬币，正面或者反面；投篮，进或者不进。
这两种结果我们通常称为“成功”和“失败”。
伯努利试验的公式是：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里面的字母都代表着特定的意思，n 表示试验的次数，k 是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
比如说，咱假设投篮成功的概率是 0.6，要进行 5 次投篮，想知道恰好成功 3 次的概率。
那咱就可以用这个公式来算算。
C(5, 3)就是从 5 次里选 3 次成功的组合数，这得用组合的公式去算。
算出来再乘以 0.6 的 3 次方，再乘以 0.4 的 2 次方，就能得出恰好成功3 次的概率啦。
我想起之前给学生们讲这个公式的时候，有个小同学特别有意思。
当时我在黑板上写了一道例题，问大家：“如果一个抽奖活动，中奖概率是 0.2，抽 10 次，恰好中奖 2 次的概率是多少？”大家都开始埋头算，这时候有个小同学突然举手说：“老师，我觉得这抽奖不靠谱，概率这么低，还不如去买糖吃。
”全班同学都笑了。
不过笑归笑，大家还是认真地用公式算出了答案。
这个公式在实际生活中的应用可多了去了。
比如说产品质量检测，一批产品里次品出现的概率；或者是疾病传播，一个人在一定时间内感染某种疾病的概率等等。
再比如，有个工厂生产灯泡，知道次品率是 0.05，随机抽检 20 个灯泡，想知道有 1 个次品的概率，这时候伯努利试验的公式就能派上用场啦。
总之，伯努利试验的公式虽然看起来有点复杂，但只要理解了其中的原理，多做几道题练练手，就会发现它其实也没那么难。
而且学会了这个公式，能帮助我们解决好多实际问题，让我们对生活中的各种不确定性有更清晰的认识和把握。
希望大家都能把这个公式掌握好，在概率的世界里畅游无阻！。
伯努利试验
伯努利试验概念： 是在同样的条件下重复地、各 次之间相互独立地进行的一种试验。
伯努利试验特征： 这种试验中，每一次试验只有 两种结果，即某事件A要么发生，要么不发生。并 且每次发生的概率都是相同的。
如何判断伯努利试验： 判断是否为独立重复试验的关 键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果 同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的 试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发 生的概率相互之间没有影响。
奎屯
以上面的公式恰为[(1 p) p]n 展开式中的第 k 1 项，可见排列
组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 新疆 王新敞 奎屯
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴独上立面重等 复试式验成的立特. 点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生；
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率为
Pn (k )
Cnk
pk (1
p)nk
新疆 王新敞
奎屯
对于此式可以这么理解：由于 1 次试验中事件 A 要么发生，要么
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1
柏努利实验
一、实验目的
l 、研究流体各种形式能量之间关系及转换，加深对能量转化概念的理解; 2、深入了解柏努利方程的意义。
二、实验原理
l 、不可压缩的实验液体在导管中作稳定流动时，其机械能守恒方程式为：
∑+++=+++f
e h p u g z W p u g z ρ
ρ22
22121122 （1）
式中：u l 、u 2一分别为液体管道上游的某截面和下游某截面处的流速，m ／s ；
P 1、P 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面处的压强，Pa ；
z l 、z 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面中心至基准水平的垂直距离，m; ρ一流体密度，Kg ／m ； We —液体两截面之间获得的能量，J ／Kg; g 一重力加速度，m ／s 2
； ∑h f 一流体两截面之间消耗的能量，J ／Kg 。
2、理想流体在管内稳定流动，若无外加能量和损失，则可得到：
ρ
ρ2
222121122p u g z p u g z ++=++ （2）
表示1kg 理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上每一种形式的机械能并不一定相等，但各种形式的机械能之和为常数，能量可以相互转换。
3、 流体静止，此时得到静力学方程式：
ρ
ρ
2
21
1p g z p g z +
=+
（3）
所以流体静止状态仅为流动状态一种特殊形式。
三、实验装置及流程
试验前，先关闭试验导管出口调节阀，并将水灌满流水糟，然后开启调节阀，水由进水管送入流水槽，流经水平安装的试验导管后，试验导管排出水和溢流出来的水直接排入下水道。
流体流量由试验导管出口阀控制。
进水管调节阀控制溢流水槽内的溢流量，以保持槽内液面稳定，保证流动系统在整个试验过程中维持稳定流动。
d=30mm d=18mm
图1柏努利实验装置图
四、实验内容
（一）演示
1、静止流体的机械能分布及转换
将试验导管出口阀全部关闭，以便于观察（也可在测压管内滴入几滴红墨水），观察A、B、C、D点处测压管内液柱高低。
2、一定流量下流体的机械能分布及转换
缓慢调节进水管调节阀，调节流量使溢流水槽中有足够的水溢出，再缓慢慢开启试验导管出口调节阀，使导管内水流动（注意出口调节阀的开度，在实验中能始终保持溢流水槽中有水溢出），当观察到试验导管中部的两支测压水柱略有差异时，将流量固定不变，当各测压管的水柱高度稳定不变时，说明导管内流动状态稳定。
可开始观察实验现象。
3、不同流量下稳定流体机械能分布及转换
连续缓慢地开启试验导管的出口阀，调节出口阀使流量不断加大，观察A、B、C、D处测压管内液柱变化。
（二）实验
1、流量一定，确定流体各截面静压能．
接演示部分，试验导管内流量达到稳定后，取一量筒和秒表，在导管出口，用体积法测流量，并对压差计读数进行校核看是否与式（2）计算结果相等。
五、实验结果与数据处理
1、实验设备基本参数d l=30 mm ， d2=18 mm
2、实验数据记录及整理
2
3
表1 实验记录表
1、计算压强：由压强换算公式: Pa mH 52101.0133O 3.310⨯= 得：
例：3325O
H 2mm =
Pa Pa 3261610133.013
.31025
.335=⨯⨯ 2、计算速度：由 24
d V A V u s
s π=
=公式得：
列举序号1计算
21u u ，如下：
s
m d V A V u s s 09736.003.0453.1410100042
621
11=⨯⨯===-ππs
m d V A V u s s 2765.0018.04
53
.14101000426222
2=⨯⨯===-ππ
序号 H,O H 2mm
h 1
h 2
h 3
h 4
h 5
h 6
h 7
h 8
V ，ml
t,s
1 3325 3380 3310 3310 3310 3320 3250 3320 1000 14.53
2 3310 3370 3310 3310 3290 3300 3220 3300 1000 13.72
3 3200 3300 3200 3210 3200 3205 3100 3190
1000 11.83
4
表2 实验结果整理表
由ρ
ρ2
2221211
22p u g z p u g z ++=++
核算A 与B 、C 与D 是否与上式相等
ρ
ρ2
222121122p u g z p u g z +
+=++
当液体流经的系统为一水平装置的管道时，由于A 点与B 点高度，即
B A Z Z =,ρ
ρ2
2
22121122p u g z p u g z ++=++可简化为
ρ
ρB
2B
A 2A 22p u p u +=+由
1B 2A u u u u ==，得
只需核算
ρ
ρB
2B A 2A 22p u p u +=+是否相等即可
g p u K J 54.632100032616
2765.2022A 2
A =+=+ρKg p u J 474.321000
32469
2
09736
.022
B 2B =+=+ρ
序号 静压强，Pa
A P
B P
C P
D P s m ,u 1 s m ,u 2
1
32616
32469
32469
31880
0.09736
0.2765
2 32469 32469 3227
3 31556 0.1031 0.2864
3 31390 31390 31390 30409 0.1196 0.3322
5
可知，A 点截面静压能和B 点截面静压能并不相等。
同上，分别核算同一高度A 与B 和同一高度的C 与D ，
ρ
ρ2
2212122p u p u +=+是否
相等，并将结果列于下表：
表三 核算结果
由上表比较得，同一高度下的两点截面静压能并不相等。
六、实验结果与总结
由上表比较得，同一高度下的两点截面静压能并不相等，
ρ
ρ2
2
22121122p u g z p u g z +
+=++该式是理想流体在管内稳定
流动，无外加能量和损失情况下可相等，实际流体在管内流动时有流动阻力、管壁摩擦力等阻力存在，不能做到完全相等，但结果相近。
对于实际流体H f >0，则各截面的机械能之和必随流过距离的增加而减小，之间的差值即为阻力损失压头。
实际流体流动过程中的各种阻力均与流速有关。
实验注意事项
1. 本实验装置系演示仪器，因此所测得的数值精确度较差，但在一定情况下仍能定量地说明问题。
2．高位槽的水位一定要和溢流口相齐，否则流动不稳定，造成很大实验误差。
序号 静+动压头
A ，g K J
B ，g K J
1 32.654 32.474
2 32.510 32.474 3
31.445
31.397
序号 静+动压头
C ，g K J
D ，g K J
1 32.474 31.918
2 32.278 31.627 3
31.397
30.464
6 3．若管内或各测压点处有气泡，要及时排除以提高实验的准确性。
4．有的标尺固定不紧，因振动会上下移动，应及时予以调整。
5．测压孔有时会被堵塞，造成测压管液位升降不灵，此时可用吸球在测压孔上端吸放几次即可疏通。
七、思考题
1、管内的空气泡会干扰实验现象，请问怎样排除? 答：调节流量，调节压力，但不超过最大压力。
2、实验结果是否与理论结果相符合？解释其原因。
答：不相符，因为ρ
ρ2
2221211
22p u g z p u g z ++=++该式是理想
流体在管内稳定流动，无外加能量和损失情况下可相等，实际流体在管内流动时有流动阻力、管壁摩擦力等阻力存在，不能做到完全相等，但结果相近。
3、比较并列2根测压管（h1与h2、h3与h
4、 h5与h6、h7与h8）液柱高低，解释其原因。
答：偶数的液柱比奇数的液柱高，即h2、h4、 h6、h8分别高于h1、h3、 h5、h7。
因为h1、h3、 h5、h7测的是静压强，h2、h4、 h6、h8测的不是静压强。
化工原理实验柏努利实验
7。