抛物线焦点弦性质总结30条.doc
抛物线的焦点弦的几何特征
抛物线的焦点弦的几何特征（18条）过抛物线的焦点的弦——抛物线的焦点弦：1．抛物线的焦点弦两端点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值；2．过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直；3．过抛物线焦点弦两端点的切线的交点在准线上；过抛物线准线上的一点做抛物线的两条切线交抛物线于两点，两交点的连线的线段是焦点弦；4．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点弦中点的线段平行与抛物线的对称轴且被抛物线平分；5．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点的线段垂直于焦点弦。
------------------------------------------------------------------------------与抛物线相交与两点a a A x y (,)、b b B x y (,)，AB 中点坐标为d d D x y (,)即a b a b x x y y D ,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过两交点做抛物线的切线a a x x p x x 2()=+、b b x x p x x 2()=+，两切线的交于点c c C x y (,)，连接则CD 交抛物线与点(,)k k K x y ，分别过A B 、两点准线做垂线分别交于G H 、两点，则会得到下列9①a b x x p 2=，a b y y p 24=-；111FA FB FA FB p FA FB ++==，1p =，FA FB FA FB +=； ②AC BC 0=即AC BC ⊥；③c x p =-即点c c C x y (,)在抛物线的准线上；④c d y y =即cd k 0=亦CD 平行于抛物轴y 0=；⑤,2c d c x x K y +⎛⎫ ⎪⎝⎭即点E 为CD 的中点； ⑥CF AB 0=即CF AB ⊥； ⑦以D 为圆心，DA 为半径作圆，则点C 在D 上；AB CD 2=；AD BD CD ==； ⑧以K 为圆心，DK 为半径作圆，则点F 在E 上；2CD KF =；CK DK FK ==； ⑨以C 为圆心，CG 为半径作圆，则点F 在C 上；GH CF 2=。
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
抛物线的焦点弦的性质全
1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？ 思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
抛物线焦点弦有关的结论
y
B
F
O
x
A
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：A,B两点的横坐标之间有怎样的关系？纵坐标呢？
结论：(1)x1x2=p2/4; y1y2= -p2;
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：如何求弦长|AB|，其最小值是多少？
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个 不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（ ）
3.过抛物线C: y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，若 |AF|=2 |BF|,则|AB|等于 ( )
结论：(2)|AB|=x1+x2+p 通径长为2 p 过焦点的所有弦中，通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
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抛物线的焦点弦性质所谓焦点弦，即是过圆锥曲线的焦点的弦。
抛物线的焦点弦，具有许多性质，因其结论简洁，思想深刻，内涵丰富而倍受命题者的青睐。
在高考中，与抛物线的焦点弦相关的性质，无论是选择填空题，还是解答题，均有涉及，难度一般中档及以上。
抛物线的焦点弦问题，本质上属于直线与抛物线的位置关系问题，因此完全可以转化为这种套路解答。
值得说明的是，焦点弦作为特殊的弦，当然有许多特殊的解法，尤其是在选择填空题当中，选择特殊的技巧，不但节约时间，而且提升正确率。
一·套路二·脑洞本题考查抛物线的焦点弦性质，涉及直线的方程、直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积等知识点，考查数形结合的思想和设而不求的思想，属于中档题。
法1，韦达定理。
反设直线方程，这样可以避免斜率不存在时的套路，也使得计算更为简洁；然后联立方程并化简，得到韦达定理；接下来将直角性质转化为向量的数量积运算，代入韦达定理，从而求出结果。
法2，点差法。
设出焦点弦两端点的坐标，代入抛物线，作差得到直线的斜率与中点坐标的关系；然后利用直角性质和抛物线的定义，得出中点坐标，进而得出直线的斜率。
值得说明的是，本题具有深刻的数学背景，它是阿基米德三角形的特殊情况，利用阿基米德三角形的性质可以直接得出结论，堪称完美秒杀。
三·迁移对于2018年高考全国卷，已经是无力吐槽了，无处不透露着一股浓浓的抄袭味道，可见“天下文章一大抄”不是空穴来风。
当然，高考毕竟考了那么多年了，出现这样的情况也不意外。
那么奇怪的是什么呢？这样的情况没有在地方卷里出现，也没有在往年的全国卷里大面积出现。
仔细对比下面变式1，这是2013年全国卷理科的第11题，看到了吧，除了数据上的不同之外，没有什么差异。
更可气的是，同样的题，当年放在第11题，而今年却放在了填空题压轴的位置，这说明了什么呢？自己去体会吧。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质（1）过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 且A 与B 在准线上的射影分别为A 1与B 1 结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ=时, AB 为抛物线的通径,2,AB p =结论得证(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小，最小值为p 2.结论4：抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数42p 和2p -。
(证明见结论9)结论5： 焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分，112m n p+= 即p FB FA 211=+ 证法1：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L 则θθcos 1cos -=∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAF θcos 11-=∴同理可得P BF θcos 11+= ∴pFB FA 211=+证法2：12p m x =+ ， 22pm x =+ 代入整理即可。
结论6：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1112AB CD p+=结论7：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，切点即为11B A 的中点。
证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111AB BFAF BB AA MM =+=+=结论得证。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线的焦点弦性质
法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ） 代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
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抛物线焦点弦性质总结 30 条
基础回顾
1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切；
p 2
2.
x 1gx 2 ;
4
3.
y 1gy 2
p 2 ;
4. AC ' B 90o ;
5.
A' FB ' 90o ;
6. AB x 1 x 2 p 2( x 3
p 2 p ;
)
sin 2
2
1 1 2
7.
BF
;
AF
P
8. A 、 O 、 B '
三点共线；
9. B 、 O 、 A ' 三点共线；
10. S V AOB
P 2 ；
2sin
11.
S V
2
AOB
P 3
（定值）；
AB
( )
2
12. AF
P
；
BF
P ；
cos
cos
1
1
13. BC ' 垂直平分 B '
F ；
14. AC ' 垂直平分 A 'F ；
15. C 'F AB ；
16. AB 2P ；
17. CC'
1
AB
1
( AA' BB')
；
2
2
18.
K AB =
P
；
y 3
19. tan = y
2
p
;
x 2 - 2
2
20.
A'B'
4 AF BF ;
21. C'F
1
A'B' .
2
切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究
一 ) 焦点弦与切线
1、
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
结论 1：交点在准线上
先猜后证：当弦
AB x 轴时，则点 P 的坐标为
证明: 从略
结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
p
,0 在准线上．
2
结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点
P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与
x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点．
结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、 AB 是抛物线 y 2
2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的
切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有
结论 6PA ⊥ PB ．
结论 7PF ⊥ AB ．
结论 8
平分 ．
M PQ
结论 9
PA 平分∠ 1
， 平分∠1．
AAB PB B BA
结论 10 FA FB
2
PF
结论 11 S PAB
min
p 2
二 ) 非焦点弦与切线
思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，
也有与上述结论类似结果：
结论 12
① x p
y 1
y
2 ，
y p
y 1 y 2
2 p
2
结论 13
平分∠ 1，同理
平分∠ 1．
PA A AB PB
B BA
结论 14
PFA PFB
结论 15
点 M 平分 PQ
2
结论 16
FA FB PF
相关考题
1、已知抛物线 x
2
4y 的焦点为 F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且
AFFB （ ＞0），过 A ，B 两点分别作抛物
线的切线，设其交点为
，
M
（ 1）证明： FM AB 的值；
（ 2）设
ABM 的面积为 S ，写出 S f
的表达式，并求 S 的最小值．
2、已知抛物线 C 的方程为 x
2
4 y ，焦点为 F ，准线为 l ，直线 m 交抛物线于两点 A ， B ；
（ 1）过点
A 的抛物线 C 的切线与
y 轴交于点
，求证：
AF DF ；
D
（ 2）若直线 m 过焦点 F ，分别过点 A ，B 的两条切线相交于点 M ，求证： AM ⊥BM ，且点 M 在直线 l 上． 3、对每个正整数 n ，
A n x n , y n 是抛物线 x 2
4y 上的点，过焦点
n
F 的直线 FA 交抛物线于另一点 B n s n ,t n ， （ 1）
试证： x n s n 4 （ n ≥1）
（ 2 ） 取 x n
2n ， 并 C n
为抛物线上分别以 A n 与 B n 为 切 点 的 两 条 切 线 的 交 点 ， 求 证 ：
FC 1 FC 2
FC n 2n
2 n 1
1 （n ≥ 1）。