神奇的Gamma函数 (上)
pytorch gamma函数
pytorch gamma函数（原创版）目录1.Pytorch Gamma 函数简介2.Gamma 函数的定义和性质3.Gamma 函数在 PyTorch 中的应用4.Gamma 函数的计算方法和实例正文【1.Pytorch Gamma 函数简介】PyTorch 是一种基于 Python 的机器学习库，它提供了强大的 GPU 加速计算能力，使得深度学习模型的训练速度大大提升。
在 PyTorch 中，Gamma 函数是一个非常有用的函数，它可以用于计算 Gamma 函数的值，以及进行相关的数学运算。
【2.Gamma 函数的定义和性质】Gamma 函数是一种数学函数，通常表示为Γ(x)，它是欧拉函数的逆函数。
Gamma 函数的定义为：Γ(x) = ∫(t^(x-1)e^(-t)dt)，其中 x 为正实数，t 为实数。
Gamma 函数具有以下性质：1.当 x=0 时，Gamma 函数没有定义。
2.当 x 增加时，Gamma 函数的值会减小。
3.Gamma 函数是连续可导的。
【3.Gamma 函数在 PyTorch 中的应用】在 PyTorch 中，Gamma 函数主要用于计算 Gamma 函数的值，以及进行相关的数学运算。
PyTorch 提供了一种叫做“torch.gamma”的函数，可以用于计算 Gamma 函数的值。
例如，可以使用以下代码计算 Gamma 函数的值：import torchx = 2gamma_function_value = torch.gamma(x)print(gamma_function_value)【4.Gamma 函数的计算方法和实例】Gamma 函数的计算方法可以使用数值积分方法，例如辛普森法或高斯积分法。
在 PyTorch 中，可以使用“torch.gamma”函数来计算 Gamma 函数的值。
定积分的Gamma函数
定积分的Gamma函数Gamma函数是数学中的一种特殊函数，它是积分学中重要的一种函数类型，而它与定积分之间也有着密切的联系。
那么什么是定积分呢？定积分是数学中的一个重要概念，它是对于一个给定的函数，在一定的区间内，其所对应曲线下的面积。
在这种情况下，Gamma函数与定积分的关系是什么呢？一、Gamma函数的定义第一次引入Gamma函数是由欧拉在1730年左右，但它最终被研究清楚的时间是在18世纪末。
Gamma函数的定义如下：$$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$$其中，$Re(z)>0$，$Re(z)$代表$z$的实部。
需要注意的是，当$z\in\mathbb{N^*}$时，Gamma函数就是阶乘函数$n!=\Gamma(n+1)$。
二、Gamma函数与定积分的联系在Gamma函数的定义中，有一个和定积分相似的形式$ \int_0^\infty$，因此我们可以将Gamma函数看作是某个函数下方的一个定积分。
但引入Gamma函数的原因就不止于此。
当$z>0$时，定义$G(z)=\int_0^1x^{z-1}(1-x)^{z-1}dx$，通过换元可以发现：$$G(z)=\int_0^\infty\frac{u^{z-1}}{(1+u)^{2z-1}}du$$这时，再将$\Gamma(z)$和$G(z)$联系起来，有：$$\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=\int_0^\infty(\frac{t}{1+t})^{z-1}\frac{1}{1+t}dt$$通过这种方法，将Gamma函数转化为另一个形式，这也是Gamma函数与定积分之间的联系之一。
三、Gamma函数的性质Gamma函数有一些非常重要的性质，可以方便我们对含有Gamma函数的表达式进行化简。
下面就来讲解一下：1. 互补公式：$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}}$$2. 递推公式：$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$由于$\Gamma(n+1)=n!$，所以递推公式可以写成$n!=n(n-1)!$的形式。
gamma函数及相关其分布
gamma函数及相关其分布gamma函数的定义及重要性质\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]\[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\]\[\Gamma(n) = (n-1)! \]\[\Gamma(0) = 1\]\[\Gamma({1\over 2}) = 2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt\pi\]gamma函数的图像在matlib中，我们可以⽅便的⽤下⾯的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;plot(x,gamma(x));axis([-10.1,10.1,-4,4]);随机变量\(Y=X^2\)的概率密度假设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty<x<\infty\),求\(Y=X^2\)的概率密度。
\begin{align*}F_Y(y) &=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y) \\&=P(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}) \\ &=F_X(\sqrt{y})-F_X{(-\sqrt{y})} \end{align*}\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(\sqrt{-y}], y >0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]设\(X \sim N(0,1)\)，其概率密度为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}, -\infty<x<\infty\),则\(Y=X^2\)的概率密度如下：\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]Gamma分布\(X \sim \Gamma(\alpha, \theta)\)\[f_X(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, x> 0, \alpha>0,\theta>0 \\0, x \leq 0, \alpha>0,\theta>0 \\\end{aligned}\right.\]当\(\alpha= 1 , \theta = \lambda 时，\Gamma(1,\lambda)\) 就是参数为\(\lambda\)的指数分布,记为\(exp (\lambda)\) ；当\(\alpha= n/2 , \theta = 2 时，\Gamma(n/2,1/2)\)就是数理统计中常⽤的\(\chi^2(n)\) 分布。
gamma 函数
gamma 函数在数学领域，gamma数是一种重要的函数，它为许多深奥的数学概念和物理学解释提供了基础。
本文将阐述gamma函数的定义，探讨它的价值，以及提供几个具体应用的例子。
首先，gamma函数定义为$ Gamma (x) = int_0^{infty} e^{-t} t^{x-1} mathrm {d} t$，其中x是一个实数或复数。
它更常见的形式存在于许多高等教材中，即$ Gamma (x) = (x-1)!$，其中$x in mathbb N^+$，即正整数和大于0的实数。
它是一个多功能的函数，它不仅为一些物理学的概念提供了基础，而且还可以用来分析统计学和概率论中的问题，以及用来处理比较复杂的积分计算。
Gamma函数的最主要应用是用于分析复变函数的行为。
许多复变函数的行为可以由gamma函数来解释。
Gamma函数也可以用来计算复变函数的某些分量，比如它可以用来计算非负实数上复变函数的级数系数。
此外，gamma函数也广泛应用于概率论和统计学中。
它可以用来计算某一实验的概率分布，比如泊松分布函数的实现，以及解决一些非常复杂的概率问题。
此外，gamma函数在计算几何中也有着十分重要的应用。
它可以用来计算一个凸多边形的面积，以及求解一元椭圆方程。
Gamma函数也可以用来估算积分。
它可以用来计算无穷多自变量的积分，而不用极限，也可以用来近似无穷积分，比如用来求解贝塔函数。
最后，gamma函数可以用来处理一些复杂的微积分问题，比如解决Bessel函数和Laplace变换的计算问题。
综上所述，gamma函数是一个十分珍贵的函数，它在许多数学领域中都具有重要的价值，比如复变函数的研究，概率论，几何学，以及微积分的计算。
它的应用范围极其广泛，能够为许多科学领域的研究开启新的可能性。
神奇的Gamma函数 (上)
神奇的Gamma函数 (上)rickjin关键词：特殊函数, 欧拉G a m m a函数诞生记学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质Γ(n)=(n−1)!学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，如果m,n都是正整数，如果m→∞，有1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
积分的Gamma函数
积分的Gamma函数Gamma函数是数学家欧拉在18世纪中提出的。
实际上，欧拉之前一位同样著名的数学家布尔塔伯(Bernoulli)就曾提出类似的组合公式。
Gamma函数广泛用于计算、统计学和物理学等领域的数学问题，因此成为了一个非常重要的函数。
本文将主要探讨Gamma函数在积分中的应用。
一、 Gamma函数的定义Gamma函数的定义为：$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$$其中，实数$z$大于零。
Gamma函数利用积分的方法，对实数$z$大于零的取值进行了定义。
这个积分式子看似简单，但其实是非常重要的积分形式之一。
二、积分中的Gamma函数1. 用Gamma函数求解极限极限在数学中是一个非常基础的概念，而且极限通常都是通过积分来进行计算的。
举个例子来说，如果要求解这样一个极限：$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n^n}$$这个极限可以通过Gamma函数来求解。
先对这个式子做一些变形:$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{2\pi}\sqrt{n}(\frac{n}{e}) ^n e^{-n}}{n^n}$$然后再将$\frac{1}{n}$替换成小数$x$，再来看这个式子：$$=\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}(\frac{1}{n^2x e})^{n} e^{-n})$$将$x$通过Gamma函数表示出来，得到：$$=\lim_{x\rightarrow0}(\sqrt{2\pi}\sqrt{n^2x}\frac{1}{\Gamma(n+1)}(nx e)^{-n} e^{-n})$$于是，极限的取值为：$$=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}$$可以看到，Gamma函数在求解这个极限问题中起了不小的作用。
神奇的Gamma函数（scipy）
神奇的Gamma 函数（scipy ）对应于scipy（python库）的：通过分布积分的⽅法，进⾏如下的推导：可得该函数如下的递归性质：于是很容易证明（）， 函数可以看成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下的性质：与 的关系从⼆项分布到 Gamma 分布对Gamma 函数的定义稍作变形，可得如下等式：于是 取积分中的函数作为概率密度（Probability Density Function，PDF），就得到⼀个形式最为简单的Gamma 分布的密度函数（density function）：如果再做⼀个变换 ，就得Gamma 分布的更⼀般形式：其中 称为形状参数（shape parameter），主要决定了分布曲线的形状，⽽ 称为 rate parameter（或叫 inverse scale parameter， 称为scale parameter），主要决定曲线有多陡。
Gamma 分布与Possion 分布Gamma 分布⾸先与Possion 分布（离散型）、Possion 过程发⽣密切的联系。
我们容易发现Gamma分布的概率密度和Possion分布在数学形式具有⾼度的⼀致性。
参数为 的Possion分布，其概率（probability mass function，pmf）为：⽽Gamma分布的密度（）得到：所以这两个分布在数学形式上是⼀致的，只是Possion分布是离散的，Gamma分布是连续的， 可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本。
from scipy.special import gamma>>> gamma(5+1)120.0>>> 5*gamma(5)120.0我们在概率论与数理统计的课程中都学过， 分布可以看成是⼆项分布 在 条件下的极限分布：如果你对⼆项分布的关注⾜够多，可能会知道⼆项分布的随机变量 满⾜下⾯⼀个奇妙的 恒等式：我们在等式右侧做⼀个变换 可得：上式左侧是⼆项分布 的累积分布函数（cumulative density function，cdf），⽽右侧为⽆穷多个⼆项分布 的积分和，所以可以写为：对上式两边在条件 下取极限，则得到：到这，不妨先暂停，我们使⽤scipy做⼀个简单验证：import scipy.stats as stfrom scipy.misc import factorialfrom scipy import integratelmbda, k = 2, 6X = st.poisson(2)# X ~ Poisson(2)print(X.cdf(k))# P(X<=k)def poisson_pdf(x, k):return x**k*np.exp(-x)/factorial(k)print(integrate.quad(possion_pdf, lmbda, np.inf, args=(k))[0])# 0.995466194474# 0.9954661944737513# 两者达到完美的相等书归正传，我们再来看上⾯的公式，该等式即为著名的 Poisson-Gamma duality，接下来我们来点好玩的，对上⾯的等式两边在 取极限，左侧Poisson分布表⽰的是⾄少发⽣事件的概率，的时候就不可能有事件再发⽣了，故 ，于是：该积分式⼦说明 在实数集上是⼀个概率分布函数（probability density function，pdf），⽽这个函数恰好就是 Gamma分布（ ）（ 也即我们通过⼆项分布，再根据泊松定理，推导出了最后的Gamma分布）。
伽玛(Gamma)函数20160710
∫ ∫ Γ′(x)
Γ(x)
=
lim
y→0
( ) +∞
0
t
y
−1
⎡ ⎢e ⎣
−t
−
1 1+ t
⎤ x+ y ⎥dt =
⎦
+∞ 0
⎡ ⎢e
−t
⎣
−
1
(1+ t
)x
⎤ ⎥ ⎦
1 dt t
2、若取 可得
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) B x, y
=
+∞ u x−1 1 − u
u =e −t
y−1du =
+∞ e−xt 1 − e−t y−1dt
Γ( p)⋅ Γ( p Γ(2 p)
)
=
B(
p,
p
)
=
21−2
p
⋅
B⎜⎛ ⎝
1 2
,
p
⎟⎞ ⎠
=
21−2
p
⋅
Γ⎜⎛
1
⎞ ⎟
⎝2⎠
Γ⎜⎛ p
⋅ Γ(
+1
p)
⎟⎞
⎝ 2⎠
将 Γ⎜⎛ 1 ⎟⎞ = π 代入，即勒让德公式 ⎝2⎠
Γ(p)⋅ Γ⎜⎛
⎝
p
+
1 2
⎞ ⎟ ⎠
=
π 22 p−1
⋅Γ(2 p)
四、Gamma 函数的特殊值
∫ ∫ ( ) ( ) =
+∞
du
0 u x−1v x−1u y−1 1 − v
e y−1 −u
− u dv
0
1
∫ ∫ ( ) = +∞ u x+ y−1e−udu v1 x−1 1− v y−1dv
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神奇的Gamma函数 (上)
rickjin
关键词：特殊函数, 欧拉
G a m m a函数诞生记
学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数
Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt
通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质
Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质
Γ(n)=(n−1)!
学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：
∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!
最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，
如果m,n都是正整数，如果m→∞，有
1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!
于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
例如，取n=2.5, m足够大，基于上式就可以近似计算出 2.5!。
欧拉也偶然的发现n!可以用如下的一个无穷乘积表达
[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]⋯=n!(∗)
用极限形式，这个式子整理后可以写为
lim m→∞1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n=n!(∗∗)
左边可以整理为
===1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n1⋅2⋅3⋯n⋅(n+1)(n+2)⋯m(1+n)( 2+n)⋯m⋅(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!∏k
=1n m+1m+k→n!(m→∞)
所以(*)、(**)式都成立。
欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。
当n=1/2的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到
(12)!=2⋅43⋅3⋅4⋅65⋅5⋅6⋅87⋅7⋅8⋅109⋅9⋯−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
然而右边正好和著名的Wallis 公式关联。
Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线y=x(1−x)−−−−−−−√下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于π的如下结果，
2⋅43⋅3⋅4⋅65⋅5⋅6⋅87⋅7⋅8⋅109⋅9⋯=π4
于是，欧拉利用Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果
(12)!=π−√2
大数学家欧拉
欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。
高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。
拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。
”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。
欧拉看到(12)!中居然有π, 对数学家而言，有π的地方必然有和圆相关的积分。
由此欧拉猜测n!一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把n!表达为积分形式。
虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分∫10x12(1−x)12dx，受Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
J(e,n)=∫10x e(1−x)n dx
此处n 为正整数，e为正实数。
利用分部积分方法，容易得到
J(e,n)=ne+1J(e+1,n−1)
重复使用上述迭代公式，最终可以得到
J(e,n)=1⋅2⋯n(e+1)(e+2)⋯(e+n+1)
于是欧拉得到如下一个重要的式子
n!=(e+1)(e+2)⋯(e+n+1)∫10x e(1−x)n dx
接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取e=f/g并且令f→1,g→0,
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：
n!=∫10(−log t)n dt
欧拉成功的把n!表达为了积分形式！如果我们做一个变换t=e−u,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式
n!=∫∞0u n e−u du
于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到Gamma 函数的一般形式
Γ(x)=∫10(−log t)x−1dt=∫∞0t x−1e−t dt
Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何Gamma 函数被定义为Γ(n)=(n−1)!, 这看起来挺别扭的。
如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的t x−1替换为t x
Γ(x)=∫∞0t x e−t dt
这不就可以使得Γ(n)=n!了嘛。
欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了Γ(n)=n!，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了Gamma 函数的定
义，使得Γ(n)=(n−1)!。
而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。
有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分
B(m,n)=∫10x m−1(1−x)n−1dx
这个函数现在称为Beta 函数。
如果Gamma 函数的定义选取满足Γ(n)=(n−1)!, 那么有
B(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)
非常漂亮的对称形式。
可是如果选取Γ(n)=n!的定义，令
E(m,n)=∫10x m(1−x)n dx
则有
E(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n+1)
这个形式显然不如B(m,n)优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。
要了解更多的Gamma 函数的历史，推荐阅读。