数学分析Gamma 函数的性质
数学分析Gamma 函数的性质
∞
x p+q−1e−(1+y)x dx
0
1 =
Γ(p + q)
∞
x q−1e−x dx
0
∞
(xy )p−1e−yx x dy
0
Γ(p) =
∞
x q−1e−x
dx
=
Γ(p)Γ(q) .
Γ(p + q) 0
Γ(p + q)
Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系
当 y ≥ 0 时, 有
1
1
(1 + y )p+q = Γ(p + q)
1
n(n!)2
1
=
lim
n→∞
s
(1
−
s2)(22
−
s2)
·
·
·
(n2
−
s2)
(n
+
1
−
s)
1∞ =
1 − s2/n2 −1.
s
n=1
以后学了级数理论就知道这就是
π sin πs
的乘积表示.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
∞ 0
dx 1+x
p
.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
进一步的性质
(Euler-Gauss) 利用刚才的极限等式可得
n!ns
Γ(s) = lim
. ∀ s > 0.
(1)
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
(Legendre 倍元公式)
伽马函数的公式
伽马函数的公式第一种定义伽马函数简记为 \Gamma 函数，其定义为\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}{\rm d}x伽马函数的定义域是 (0,+\infty) ，其有一些简单的性质，例如其自身和任意阶导数都在定义域上连续，伽马函数满足递推公式\Gamma(s+1)=s\Gamma(s) ，以及 ln\Gamma(s) 是 (0,+\infty) 上的下凸函数等。
第二种定义如果定义在s>0上的函数f(s)满足：（1）对任意s>0有f(s)>0且f(1)=1;（2） f(s+1)=sf(s) ;（3） lnf(s) 是 (0,+\infty) 上的下凸函数则 f(s)=\Gamma(s) .这一种定义是我们主要要用到的，根据第一种定义及其性质，我们不难知道对于非负整数 n ， \Gamma(n+1)=n! ,所以伽马函数可以看做数列a_n=n! 在实数域上的延拓。
而第二个定义告诉我们，由该数列延拓而成的 f(s) 非负且 lnf(s) 下凸，则该函数被唯一确定，即伽马函数。
解题时，我们可以构造一个代数式，并验证它满足(1)(2)(3)三个条件，从而该代数式为伽马函数表达式。
第三种定义\Gamma(s)=\lim_{n \rightarrow \infty}{\dfrac{n^sn!}{s(s+1)\cdots(s+n)}}该函数在 s\ne0,-1,-2\cdots 均有定义，在 s>0 时与伽马函数取值相同。
斯特林(Stirling)公式我们希望找到一个办法估计 n! ，斯特林公式告诉我们 n!\approx {\sqrt{2\pi n}}(\frac {n}{e})^n ,如此一来，我们便可以用\sqrt{n} 、 n^n 来”代替“ n! ，这样可以省去阶乘计算，方便许多。
斯特林公式更精确地形式是：n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^ne^{\frac{\theta_n}{12n}} ，其中 \theta_n \in(0,1)我们知道将n!延拓后得到伽马函数，那么伽马函数是否也有类似的斯特林公式呢？答案是肯定的。
gamma分布密度函数
Gamma分布密度函数介绍Gamma分布是一种概率分布，常用于描述随机事件的持续时间或等待时间。
它在统计学、概率论和相关领域中被广泛使用。
本文将介绍Gamma分布的数学定义、性质、概率密度函数以及其在实际应用中的一些例子。
数学定义Gamma分布表现为一个连续概率分布，其函数形式可以表示为：f(x; k, θ) = 1 / (θ^k * Γ(k)) * x^(k-1) * exp (-x/θ)其中，k是形状参数(shape parameter)，θ是尺度参数(scale parameter)，exp为指数函数，Γ(k)是Gamma函数。
Gamma函数定义为：Γ(k) = ∫(0, ∞) t^(k-1) * exp(-t) dtGamma分布的形状由参数k决定，尺度由参数θ决定。
参数选择在使用Gamma分布时，参数k和θ的选择非常重要。
参数k决定了分布的形状，可以用于控制分布的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)。
参数θ决定了分布的尺度，可以控制分布的变化范围。
性质Gamma分布有一些重要的性质：1.期望值和方差： Gamma分布的期望值和方差分别由参数k和θ决定：–期望值: E(x) = k * θ–方差: Var(x) = k * θ^2通过调整参数k和θ，可以改变Gamma分布的期望值和方差。
2.归一化： Gamma分布的概率密度函数经过归一化处理，总和等于1。
3.累积分布函数： Gamma分布的累积分布函数表示随机变量X小于或等于x的概率，可以表示为：F(x; k, θ) = ∫[0, x] f(t; k, θ) dt其中，f(t; k, θ)是Gamma分布的概率密度函数。
4.最大似然估计：对于给定的一组观测值，可以使用最大似然估计方法来估计Gamma分布的参数k和θ。
最大似然估计是一种常用的统计方法，用于求取使得观测值出现的可能性最大的参数值。
概率密度函数Gamma分布的概率密度函数表示了随机变量X取某个值的概率密度。
gamma代数
Gamma代数引言Gamma代数是数学中的一个重要概念，它是数学中的一个分支，也是代数学的一部分。
Gamma代数在数学中有着广泛的应用，特别是在数理逻辑、代数几何和数论等领域。
Gamma函数定义与性质Gamma函数是一个特殊的积分函数，通常用Γ(z)来表示，其中z是复数。
Gamma函数的定义如下：Γ(z) = ∫(0,∞) t^(z-1) e^(-t) dtGamma函数具有许多有趣的性质，例如： - Γ(1) = 1 - Γ(z+1) = z * Γ(z) - Γ(n) = (n-1)!其中“!”表示阶乘运算。
应用Gamma函数在数学中的应用非常广泛。
它在计算组合数和阶乘时起到了重要的作用。
此外，Gamma函数还在概率论和统计学中扮演着重要的角色，特别是在连续概率分布函数和概率密度函数的定义中。
Gamma代数群论中的Gamma代数在群论中，Gamma代数指的是一个特殊的代数结构。
它是一个非交换非幺半群，满足以下条件： 1. 存在一个单位元 2. 每个元素都有一个逆元 3. 结合律成立Gamma代数在代数几何和非线性动力学等领域有着广泛的应用。
逻辑学中的Gamma代数在逻辑学中，Gamma代数是一个用于研究逻辑关系的代数系统。
它由一个二元运算和一组公理定义。
Gamma代数可以用来描述和分析布尔代数中的逻辑关系，例如命题的析取、合取和否定等。
数论中的Gamma代数在数论中，Gamma代数是一个用于研究数论问题的代数结构。
它由一个二元运算和一组公理定义。
Gamma代数在解决数论中的一些重要问题，例如整数分解和离散对数问题等方面发挥了重要作用。
总结Gamma代数是数学中一个重要的概念，它在数理逻辑、代数几何和数论等领域都有着广泛的应用。
Gamma函数是一个特殊的积分函数，存在许多有趣的性质和应用。
而在群论、逻辑学和数论中，Gamma代数都扮演着重要的角色。
通过对Gamma代数的研究，我们能够深入理解数学的深邃之处，并在实际问题中应用这些理论。
高数中gama函数
高数中gama函数Gama函数是数学上的一种特殊函数，与阶乘函数有着密切的联系。
Gamma函数的定义如下：\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt (x > 0)从定义中可以看出，Gamma函数与幂函数和指数函数有着相似的性质。
Gamma 函数在数论、概率论、物理学等领域中都有广泛的应用。
下面我们来详细解释一下Gamma函数的性质和应用。
1. Gamma函数的性质Gamma函数的基本性质如下：（1）基本性质①\Gamma(n+1) = n!②\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)③\Gamma(x+2) = x(x+1)\Gamma(x)其中，n是正整数，x是正实数。
这些性质与阶乘函数的性质非常类似。
（2）对数Gamma函数对数Gamma函数是指\ln \Gamma(x)，其定义为\ln \Gamma(x) = \int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{e^t} dt对数Gamma函数在概率论和统计学中有着重要的作用。
（3）三角形函数三角形函数指的是\frac{1}{\Gamma(x)}，也就是Gamma函数的倒数。
三角形函数在统计学中有着广泛的应用。
（4）关于收敛性Gamma函数在定义域内是绝对收敛的。
这意味着，在所积分的区间内，函数值无限增长也不会使积分发散。
2. Gamma函数的应用Gamma函数在数论、概率论、物理学等领域中都有广泛的应用。
例如：（1）概率论中的Gamma分布Gamma分布是在概率论中常见的一种连续概率分布，它表示正态分布的方差的倒数的概率分布。
f(x) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}其中，k和\theta都是正实数。
（2）物理学中的量子力学在量子力学中，Gamma函数被用来求解薛定谔方程中的波函数。
众所周知，薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一。
伽马函数和beta函数
伽马函数和beta函数伽马函数和beta函数是数学中常见的两种特殊函数，它们在数学分析、物理学、统计学等众多领域中有广泛的应用。
本文将简要介绍这两个函数的定义和性质。
1. 伽马函数伽马函数是一个广泛应用于数学分析和物理学中的特殊函数，它是Euler在1732年引入的。
伽马函数的定义如下：$\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$其中$z$是复变量，$z$取实数时有$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$，$\Gamma(1)=1$等性质。
伽马函数还有很多重要的性质，比如：(1) 伽马函数的对数$\ln\Gamma(z)$是一个凸函数。
(2) 伽马函数的渐进性质：$\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}(z/e)^z$。
(3) 伽马函数的欧拉积分表示：$\Gamma(z)=\int_0^1t^{z-1}(1-t)^{z-1}dt$。
2. beta函数beta函数是另一种重要的特殊函数，它是Euler和Legendre在18世纪中期独立发现的。
beta函数的定义如下：$B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$其中$x$和$y$都是正实数。
beta函数也有很多重要的性质，比如：(1) beta函数与伽马函数的关系：$B(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)$。
(2) beta函数的对称性：$B(x,y)=B(y,x)$。
(3) beta函数的欧拉积分表示：$B(x,y)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta d\theta$。
伽马函数和beta函数在统计学中有广泛的应用。
比如，在贝叶斯统计中，beta分布是一种重要的先验分布，它可以用来描述二元变量的概率分布；而在线性回归中，伽马分布则是一种重要的先验分布，它可以用来描述正实数的概率分布。
神奇的Gamma函数 (上)
神奇的Gamma函数 (上)rickjin关键词：特殊函数, 欧拉G a m m a函数诞生记学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质Γ(n)=(n−1)!学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，如果m,n都是正整数，如果m→∞，有1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
gamma函数的极点
gamma函数的极点Gamma函数是一个非常重要的数学函数，在数学分析、概率论和统计学中都有广泛应用。
然而，Gamma函数存在一些极点，这些极点对于Gamma函数在某些区域的特殊性质具有重要影响。
本文将对Gamma函数的极点进行详细介绍。
一、Gamma函数的定义Gamma函数是一个复变函数，定义如下：Γ(z) = ∫[0,∞) t^(z-1) * exp(-t) dt其中，z是一个复数，并且实部大于0。
二、Gamma函数的性质Gamma函数具有以下性质：1. Γ(z+1) = z * Γ(z)，其中z是一个复数。
2. Γ(n) = (n-1)！，其中n是一个正整数。
3. Γ(z)的对数函数lnΓ(z)是一个凸函数。
三、Gamma函数的极点Gamma函数的极点是指在Gamma函数的定义域内存在一些点，使得Gamma函数在这些点处无法定义或者不连续。
Gamma函数的极点有以下几种情况：1. 负整数当z为负整数时，Gamma函数的值为无穷大，因此这些点为Gamma 函数的极点。
2. 非正整数当z为非正整数时，Gamma函数的值不存在，因此这些点也为Gamma 函数的极点。
3. 实轴上的负实数当z为实轴上的负实数时，Gamma函数的值也不存在，因此这些点同样为Gamma函数的极点。
4. 实轴上的p个正实数当z为实轴上的p个正实数中的一个时（记为x），Gamma函数在x 处的极点次数为p-1。
具体而言，当p=1时，Gamma函数在x处有单极点；当p=2时，Gamma函数在x处有双极点；当p=3时，Gamma函数在x处有三极点，以此类推。
以上是Gamma函数的极点的几种情况，需要注意的是，除了实轴上的正实数以外，其他情况的极点都是孤立的。
四、总结Gamma函数作为一个非常重要的数学函数，在数学分析、概率论和统计学中都有广泛应用。
然而，Gamma函数存在一些极点，这些极点对于Gamma函数在某些区域的特殊性质具有重要影响。
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∞
x p+q−1e−(1+y)x dx
0
1 =
Γ(p + q)
∞
x q−1e−x dx
0
∞
(xy )p−1e−yx x dy
0
Γ(p) =
∞
x q−1e−x
dx
=
Γ(p)Γ(q) .
Γ(p + q) 0
Γ(p + q)
Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系
当 y ≥ 0 时, 有
1
1
(1 + y )p+q = Γ(p + q)
余元公式
(Euler 余元公式)
当
0
<
s
<
1
时,
Γ(s)Γ(1
−
s)
=
π sin πs
.
余元公式
(Euler 余元公式)
当
0
<
s
<
1
时,
Γ(s)Γ(1
−
s)
=
π sin πs
.
证明. 利用 Gamma 函数的极限表示可得
nsn!
n1−s n!
Γ(s)Γ(1 − s) = lim
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n) (1 − s)(2 − s) · · · (n + 1 − s)
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
5.4 Gamma 函数的性质
5.4 Gamma 函数的性质
内容提要: Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系;
5.4 Gamma 函数的性质
内容提要: Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系; Gamma 函数的刻画;
5.4 Gamma 函数的性质
内容提要: Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系; Gamma 函数的刻画; Gamma 函数的进一步性质.
Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系
当 y ≥ 0 时, 有
1
1
(1 + y )p+q = Γ(p + q)
∞
x p+q−1e−(1+y)x dx .
令 n → ∞, 由数列极限的夹挤原理即得
n!ns
lim
= f (s),
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
由条件 (ii) 不难看出上式对所有 s > 0 均成立.
进一步的性质
(Euler-Gauss) 利用刚才的极限等式可得
n!ns
Γ(s) = lim
. ∀ s > 0.
(1)
证明. 我们已经知道 Gamma 函数满足定理中的三个条件, 因此只要证明满足这三个
条件的函数是唯一确定的就行了. 根据条件 (i) 和 (ii), 我们只需考虑 s ∈ (0, 1) 时 f (s) 的值即可. 根据条件 (iii), 对于任意正整数 n > 1, 有
ln f (n) − ln f (n − 1) ln f (n + s) − ln f (n) ln f (n + 1) − ln f (n)
Gamma 函数的刻画
(Bohr-Mollerup) 设 f (s) 为 (0, ∞) 中的正函数, 且满足条件
(i) f (1) = 1; (ii) f (s + 1) = sf (s), ∀ s > 0; (iii) ln f (s) 为 (0, ∞) 中的凸函数; 则 f (s) = Γ(s), ∀ s > 0.
0
Γ(p) =
∞
x q−1e−x
dx
=
Γ(p)Γ(q) .
Γ(p + q) 0
Γ(p + q)
取 p = q = 1/2 还可得到 Γ(1/2) =
√ B(1/2, 1/2) = π.
Gamma 函数的刻画
(Bohr-Mollerup) 设 f (s) 为 (0, ∞) 中的正函数, 且满足条件 (i) f (1) = 1; (ii) f (s + 1) = sf (s), ∀ s > 0; (iii) ln f (s) 为 (0, ∞) 中的凸函数; 则 f (s) = Γ(s), ∀ s > 0.
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
进一步的性质
(Euler-Gauss) 利用刚才的极限等式可得
n!ns
Γ(s) = lim
. ∀ s > 0.
(1)
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
(Legendre 倍元公式)
当
s
>
0
时,
Γ(2s)
=
2√2s−1 π
Γ(s)Γ(s
f (s + 1) = √ Γ
Γ
=√ Γ
Γ
π2
2
π 2 22
2s−1 s s + 1
=s √ Γ Γ
= sf (s),
π2
2
这说明 f (s) 满足第二个条件. 第三个条件利用 Gamma 函数的对数凸性即可. 于是
2s−1 s s + 1
Γ(s) = √ Γ Γ
,
π2
2
将 s 换成 2s 就是欲证等式.
2s−1 s s + 1
f (s) = √ Γ Γ
,
π2
2
我们来验证 f (s) 满足 Bohr-Mollerup 定理的三个条件.
倍元公式
证明(续).
验证第一个条件:
1
1√
f (1) = √ Γ(1/2)Γ(1) = √ π = 1.
π
π
又因为
2s s + 1 s + 2
2s s + 1 s s
≤
≤
,
n − (n − 1)
(n + s) − n
(n + 1) − n
由条件 (i) 和 (ii) 可得 f (n) = (n − 1)!, 代入上式整理以后可得
(n − 1)s(n − 1)! ≤ f (n + s) ≤ ns(n − 1)!.
Gamma 函数的刻画
证明.(续) 由条件 (ii) 可知 f (n + s) = (n − 1 + s) · · · (1 + s)sf (s), 代入上式得
(n − 1)s(n − 1)!
ns(n − 1)!
≤ f (s) ≤
,
s(s + 1) · · · (s + n − 1)
s(s + 1) · · · (s + n − 1)
或改写为(上式左边 n − 1 换成 n)
n
n!ns
f (s) ≤
≤ f (s),
n+s
s(s + 1) · · · (s + n)
0
Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系
当 y ≥ 0 时, 有
1
1
(1 + y )p+q = Γ(p + q)
∞
x p+q−1e−(1+y)x dx .
0
利用 Beta 函数的其它积分表示可得
B(p, q) =
∞ y p−1
1
0 (1 + y )p+q dy = Γ(p + q)
∞
y p−1 dy
+
1/2).
进一步的性质
(Euler-Gauss) 利用刚才的极限等式可得
n!ns
Γ(s) = lim
. ∀ s > 0.
(1)
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
(Legendre 倍元公式)Biblioteka 当s>
0
时,
Γ(2s)
=
2√2s−1 π
Γ(s)Γ(s
+
1/2).
证明.
当 s > 0 时, 令
1
n(n!)2
1
=
lim
n→∞
s
(1
−
s2)(22
−
s2)
·
·
·
(n2
−
s2)
(n
+
1
−
s)
1∞ =
1 − s2/n2 −1.
s
n=1
以后学了级数理论就知道这就是
π sin πs
的乘积表示.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
∞ 0
dx 1+x
p
.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
∞ 0
dx 1+x
p
.
解.
令 x = y 1/p 可得
1 ∞ y 1/p−1
I=
dx .
p 0 1+y
利用 Beta 函数的其它积分表示可得
1
1 Γ(1 − 1/p)Γ(1/p)
π
I = B 1 − 1/p, 1/p =
p
p
Γ(1)
=
p
sin(
π p
)
.
∞
x p+q−1e−(1+y)x dx .
0
利用 Beta 函数的其它积分表示可得
B(p, q) =
∞ y p−1