解析函数的应用
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
高中数学的解析函数的导数与导数应用
高中数学的解析函数的导数与导数应用高中数学中，解析函数是一种以公式形式表示的函数，可以通过解析的方式进行计算和研究。
在解析函数的学习中，导数是一个重要的概念，它描述了解析函数在某个点处的变化率。
导数的应用也具有广泛的实际意义，可以用于解决许多实际问题。
本文将对高中数学的解析函数的导数与导数应用进行论述。
一、解析函数的导数解析函数的导数是指在某个点处的变化率，可以用极限表示。
对于解析函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的计算方法有很多种，如使用定义法、求导法则等，根据不同的函数类型，选择合适的方法进行计算。
在解析函数的导数计算中，常见的函数类型有多项式函数、三角函数和指数函数等。
对于多项式函数，可以利用求导法则进行计算，如常数规则、幂规则和求和规则等。
对于三角函数和指数函数，可以使用相应的导数公式进行计算，如sin(x)的导数是cos(x)，e^x的导数仍然是e^x等。
通过求导可以得到解析函数在各个点处的导数值，导数也可以表示为函数图像的斜率。
导数的正负还可以判断函数在某个点的增减性，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的；当导数等于0时，函数取得极值。
二、导数的应用导数不仅仅是一个概念，它还有广泛的实际应用。
在物理学、经济学、工程学等领域，导数可以用于解决许多实际问题。
以下是导数应用的几个例子：1. 切线与曲线的问题：导数可以用于求解曲线上某点的切线方程。
通过求解导数可以得到切线的斜率，再结合该点的坐标，就可以得到切线方程。
这在几何问题和物理问题中都有应用，例如研究物体的运动轨迹时，需要知道某个时刻的速度和加速度。
2. 最值问题：导数还可以用于求解函数的最值。
通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点。
这在优化问题中很常见，例如求解最大面积、最小成本等问题。
3. 函数图像的研究：导数可以用于研究函数的图像特征。
通过分析导数的正负、增减性、凹凸性等，可以了解函数图像的形状和变化规律。
高等数学中的解析函数及其应用
高等数学中的解析函数及其应用解析函数是数学中重要的一种函数类型，它在物理学、工程学、经济学等各个领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍解析函数的定义、性质及其在实际中的应用。
一、解析函数的定义在复平面上，若函数$f(z)$在某一点$z_0$的邻域内连续，并且在这一点的邻域内存在$f(z)$的导数，则称函数$f(z)$在$z_0$处可导。
若$f(z)$在复平面上的每一点都可导，则称$f(z)$在复平面上解析。
解析函数可以表示为$u(x,y) + iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数。
二、解析函数的性质1. 解析函数的虚部和实部都是调和函数。
2. 解析函数满足柯西-黎曼条件，即$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。
3. 若$f(z)$在某一点$z_0$处解析，则在这一点的某个邻域内，$f(z)$可以用其泰勒级数展开。
4. 解析函数的微分、积分等运算仍是解析函数。
5. 解析函数有无数个解析函数的原函数。
三、解析函数的应用1. 物理学中的应用在电磁场理论中，解析函数的虚部通常代表磁通量，实部代表电势。
因此，解析函数在处理电场和磁场交互作用、分析电磁波等方面得到了广泛的应用。
2. 工程学中的应用在控制论和信号处理中，解析函数特点的$\text{Parseval}$定理和希尔伯特变换常常被用于信号处理和滤波等方面。
3. 经济学中的应用在经济学中，解析函数常常被用于分析复杂的经济现象，如股票价格的预测、货币市场的预测等。
4. 其他领域的应用除此之外，解析函数还被广泛应用于自然科学、生物学、地质学以及计算机图形处理等领域。
总之，解析函数是一类重要的函数类型，它的许多性质和特点广泛应用于各个领域。
掌握解析函数可以对我们的研究和分析工作带来重要的帮助，也可以帮助我们更好地理解各个领域的知识和技能。
谈解析函数级数展开式的一些应用
谈解析函数级数展开式的一些应用引言函数级数展开式是数学分析中重要的概念，在理论上，它可以把大多数实数函数精确地用一系列有限项或无穷项的级数表达出来，从而为研究分析实数函数提供了有效的方法。
近些年来，函数级数展开式被广泛应用于众多领域，例如数值分析、物理学、金融建模、生物统计和图像处理等。
下面，我们将讨论函数级数展开式的应用，具体如下：一、数值分析数值分析是计算机科学中的一个重要分支，它主要是研究各种数值解法，即计算微积分中的诸如积分、微分方程等复杂概念。
函数级数展开式在数值分析中应用极为广泛，可以提供更加准确和有效的计算结果。
例如，函数级数展开式可以用来求解微分方程，根据展开式可以得出及时准确的数值解。
二、计算物理学物理学是研究物质的性质和变化规律的科学，函数级数展开式在计算物理学中也有着重要的应用。
函数级数展开式可以把一些复杂的物理现象表示为有限项或无穷项的级数形式，这一点在研究物理过程中特别有用。
例如，函数级数展开式可以用来解释光的衰减及传播特性，其展开式可以把光的衰减表达为一系列精确的数学表达式，使得研究者可以更加清楚地了解光的衰减情况。
三、金融建模金融建模是将金融经济数据和金融交易进行建模的研究过程，函数级数展开式的应用也可以更好地帮助金融领域的研究工作。
函数级数展开式可以将复杂的金融交易流程进行有效的描述，并通过有限项或无穷项的展开式对金融数据进行分析，使得金融建模更加精准和深入。
四、生物统计生物统计是研究生物学数据的一个重要分支，它关注于从海量的生物学数据中提取有效统计信息，为研究者提供有统计学意义的决策。
函数级数展开式可以用来描述复杂的生物学数据，对复杂的生物过程进行精确描述，从而使研究者能够更好地研究和理解生物系统。
五、图像处理图像处理是研究处理图像信息的一个重要领域，函数级数展开式在图像处理中也可以发挥重要作用。
函数级数展开式可以用来描述图像中特定的细节，并对图像做出更加准确和快速的处理，从而提高处理效率。
高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
解析函数的应用
解析函数的应用
解析函数是一种复杂的数学函数，可以用来解决各种数学问题。
它通常会被用来解释和分析各种模式，例如有限序列、函数空间、多项式曲线等。
它们可以应用于工程、物理、统计、生
物和微积分等学科。
解析函数的主要作用就是根据数学公式来描述模型的变化情况，使研究者能够对各种事件的规律有更深刻的认识。
通过仔细分析函数，我们可以找出解析函数的形式，并利用此形式来研究特定的问题。
解析函数在数学研究中有着广泛的应用，能够充分利用它们来解决复杂的问题。
首先，它可以被用来拟合各种数据，允许研究者探索和验证模型的行为。
其次，它可以被用来解决计算复杂性的问题，例如最优化、分析计算时间等，大大减少了计算的复杂性。
第三，它可以被用来解决多种问题，并将不同的问题抽象成相同的模型。
最后，它还可以用来分析曲线，从而有助于研究者更深入地了解数据及其变化趋势，从而推断出模型的行为。
总之，解析函数是一个复杂的数学函数，在数学研究领域有着广泛的应用。
它可以被用来拟合各种数据，优化计算复杂性，解决多种问题，以及分析曲线。
通过使用解析函数，我们可以更好地理解数据，并最终更快地提出有效的解决方案。
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
解析函数的各种等价条件及其应用
解析函数的各种等价条件及其应用1引言解析函数是复变函数研究的主要对象，对于解析函数的各种等价条件及其应用前人已做了不少很详细的研究．在复变函数中，关于复变函数解析的充要条件除了用导数的定义及公式引出外，还有一个十分重要的柯西—黎曼方程，另外还可以借助很多相关定理，如柯西积分定理及其逆定理，再结合积分、级数等相关知识来刻画．因此，如何灵活应用复变函数解析方面的知识显的至关重要．下面就从解析函数的定义出发来刻画解析函数的各种等价条件．2 解析函数的定义及其相关定理2.1解析函数的定义用复变函数在一点极限的概念，函数连续定义以及函数在一点可微的概念引出解析函数在一点、一个区域和闭域的定义，主要有如下定义定义 1[]()12829P -P 如果函数)(z f 在0z 点及0z 点的某个邻域内处处可微，称函数)(z f在0z 点解析．定义2[]()249P 如果函数)(z f 在区域D 内可微，则称)(z f 为区域D 内的解析函数，或称函数)(z f 在区域D 内解析.定义3[]()343P 若存在区域G ，使闭区域D G ⊂，且函数)(z f 在区域G 内解析，则称)(z f 在闭区域D 上解析．由定义可知，解析函数这一重要概念，是与相伴区域密切联系的，可以这样说，函数在区域内解析与函数在区域内可微是等价的．但须注意，函数在一点处解析和可微是两个不等价的概念，即函数在一点解析必定在这一点可微，反之则不成立．2.2 解析函数的相关定理 定理1[]()42122P -P （柯西-黎曼方程） 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，那么函数)(z f 在点iy x z +=可微的充分与必要条件是：（1）在点iy x z +=，),(y x u 及),(y x v 可微； （2）,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂．简称..-C R 方程..-C R 方程是判断复变函数解析的必要条件．在哪个区域内不满足它，函数在哪个区域就不解析．而在现行教材中，判断函数解析的等价条件还有如下定理定理2[]()253P 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，且在D 内一点iy x z +=可微，则必有（1）偏导数y x y x v v u u ,,,在点),(y x 存在；（2）),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 满足..-C R 方程．定理3[]()256P 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程．并且()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂ 定理4[]()2104P 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析， C 为D 内任一条周线，则⎰=Cdz z f 0)(．称为柯西积分定理．判断单值复变函数)(z f 在区域G 中解析，除了用导数的定义及公式外，还可以借助有关定理，如柯西积分定理的逆定理——摩勒拉定理．定理5[]()2128P 若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有⎰=Cdz z f 0)(，则)(z f 在D 内解析．称为摩勒拉定理．定理6[]()2132P 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的共轭调和函数．定理7[]()2132133P -P 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由()()()00,,,x y x y u uv x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰所确定的函数),(y x v ，使()u iv f x +=是D 内的解析函数． 定理8[]()2158159P -P （1）幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑ （1.1）的和函数)(z f 在其收敛R a z K <-:（0R <≤+∞）内解析． （2）在K 内，幂级数（1.1）可以逐项求导至任意阶，即()()()()1!12p p p fz p c p pc z a +=++-+()()()11n pn n n n p c z a -+--+-+．()1,2,p = （1.2）还有，（1.1）和（1.2）的收敛半径R 相同．(3)()()()0,1,2,!p p f a c p p ==．在研究解析函数时，幂级数之所以重要，还在于定理8的逆命题也是一个重要定理．即有定理9[]()2159162P -P （泰勒定理） 设函数)(z f 在区域D 内解析， D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ．则)(z f 在K 内能展成幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑，其中系数()11()()2()!n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==-⎰ （:a ρζρΓ-=，R <<ρ0；0,1,2,n =）且展式是惟一的．3 解析函数的各种等价条件及其应用3.1 等价条件1及其应用条件1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）二元函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微； （2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 由定理1和定义2可知该条件成立． 用此条件可以判断函数在某区域是否解析． 例1 判断函数()()322333f z x xy i x y y=-+-的解析性． 解 由()()()()3223,,33f z u x y v x y x xy i x y y =+=-+-得到()()3223,3,,3u x y x xy v x y x y y =-=-在复平面上可微又因为222233,33,6,6u v u vx y x y xy xy x y y x∂∂∂∂=-=-=-=∂∂∂∂显然),(),,(y x v y x u 满足..-C R 方程 由条件1可知，函数)(z f 在复平面上解析例2 证明函数()f z 在0z =处不解析 证明 设iy x z +=，),(),()(y x iv y x u z f += 则()(),,0u x y v x y =在点0z =处()()000,00,00limlim 0x x z u x u u x x x∆→∆→=∆-∂===∂∆∆()()0000,0,00limlim 0y y z u y u u y x y ∆→∆→=∆-∂===∂∆∆0,0z z v v xy==∂∂==∂∂可见函数()f z 在0z =处满足..-C R 方程． 令i z re θ∆=∆ 则()()00000lim lim lim i i z z z f z f f z z e r e θθ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆∆极限随θ的不同而不同，故函数()f z 在0z =不可微． 因此函数()f z 在0z =不解析这个例子也说明了..-C R 方程是函数解析的必要条件而非充分条件． 3.2 等价条件2及其应用二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因此由条件1出发，再应用解析函数的无穷可微性可得到解析函数的等价条件，也就是根据解析函数任意阶导数存在，可以得到应用起来更方便的条件．条件2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 证明 由定理3推出充分性．必要性 由定理2知，条件（2）的必要性成立，再由解析函数的无穷可微性，即解析函数的导数还是解析函数， 可知()f z '必在D 内连续．所以y x y x v v u u ,,,必在D 内连续．证毕由于复变函数的表示法不同，我们可以根据题目中的具体函数而灵活应用．条件2在证明复变函数解析性方面有很广泛的应用，是复变函数论中判断函数是否解析的最重要的方法之一．例3 判断函数zzz f -=1)(的解析性． 解 令θi re z =则r r ir r z f θθθθ2sin sin 2cos cos )(---=又因为()cos cos 2,r u r r θθθ-=，()sin sin 2,r v r rθθθ-=-2cos r u r θ-=，2sin r v r θ=，r r u --=θθθ2sin 2sin ，cos 2cos 2r v rθθθ+=- 四个偏导数处处不满足..-C R 方程，所以)(z f 在z 平面上处处不解析．例4 证明函数)sin (cos )(y i y e z f x-=在z 平面上解析． 证明 因y e y x u x cos ),(=，y e y x v xsin ),(-=故y e u x x cos =，y e v x x sin -=，y e u x y sin -=，y e v xy cos -=在z 平面上处处连续，且x y u v =，y x u v -= 所以)(z f 在z 平面上解析． 3.3 等价条件3及其应用我们知道，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关，也就是定理3，这是研究复变函数的钥匙．我们可以利用此定理及其逆定理得出函数解析的一个等价条件．条件3 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是（1）)(z f 在D 内连续；（2）对任一周线C ，只要C 及其内部包含于D 内，就有⎰=Cdz z f 0)(．证明 由定理4可知条件3的必要性成立．充分性 区域ρξ<-0:z K 是D 内任一点0z 的一个邻域．只要ρ充分小． 根据定理5，就知道函数)(z f 在圆K 内解析．又因为0z 为G 内任一点，所以函数)(z f 在G 内解析．证毕由条件3可知，如果函数)(z f 在单连通区域D 内解析，那么函数)(z f 在D 内的任何一条封闭曲线C 的积分值为零．例5 求积分⎰-C z dz3的值，其中C 为正向圆周2=z ．解 因为被积函数1()3f z z =-只有一个奇点3=z ．而3=z 在2=z 的外部，所以)(z f 在2z ≤内解析．由条件3得03C dzz =-⎰．由定理4可知，如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任一曲线L 的积 分()Lf d ζζ⎰只与其起点和终点有关，而与积分路径无关，因此，结合数学分析中积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），若()z Φ为函数()f z 在单连通区域D 内的任意一个原函数， 则()()()0zz f d z z ζζ=Φ-Φ⎰ （z ，0zD ∈）例6 计算积分()2sin Czz dz +⎰，其中C 为摆线:()()sin ,1cos x a y a θθθθ=-=-从0θ=到2θπ=的一段．解 因为被积函数()2sin f z z z =+在z 平面上解析，所以积分只与路径的起点、终点有关，而与路径无关．当0θ=时，0z = 当2θπ=时，2z x a π== 故C 可以简化成沿实轴的路径 所以()()222sin sin aCzz dz xx dx π+=+⎰⎰()2333018cos cos 2133ax x a a πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦ 从例题可以看出此条件适合于被积函数实部与虚部的积分比较好计算的情况． 3.4 等价条件4及其应用复变函数中，满足..-C R 方程是函数解析的一个重要条件，而解析函数与共轭调和函数之间也存在很多联系．因此，我们可以根据共轭调和函数的定义及定理推导函数解析的等价条件．定义4[]()2131P 如果二元实函数),(y x H 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0xx yyH H H ∆=+=，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数，其中2222x y∂∂∆≡+∂∂．定义 5[]()2131P 在区域D 内满足..-C R 方程的两个调和函数),(),,(y x v y x u 中，),(y x v 称为),(y x u 在区域D 内的共轭调和函数．在此，u 与v 不可调换顺序．根据定理6和定理7我们可以得出解析函数的又一个等价条件条件4 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数．由条件4及相关定义，可知，如果已知一个调和函数),(y x u ，我们可求得它的共轭调和函数),(y x v ，从而构成一个解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=．同理，如果已知一个调和函数),(y x v ，我们也可以求出它的共轭调和函数),(y x u ，构成一个解析函数．这类问题，一般是用..-C R 方程去求解．我们看下面的例子例7 验证233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=使0)0(=f ．解 2233y x u x -=，xy u y 6-=，x u xx 6=，6yy u x =-因为0xx yy u u +=所以 ),(y x u 是z 平面上的调和函数． 由..-C R 方程．2233y x v u x y ==-得出()()()22,()33x v x y u dy x x y dy x ϕφ=+=-+⎰⎰所以 ()23,3()v x y x y y x ϕ=-+．再由..-C R 方程得'6()6x y v xy x xy u ϕ=+==-23(,)3v x y x y y c =-+ 所以()()3f z i z c =+因此3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．但有时此方法较多且繁，我们还可以通过下面这种比较简便的方法来解决．解 由于),(y x u 为调和函数． 所以c dy y x xydx dy y x xydx y x v y x x x +-++-+=⎰⎰)33(6)33(6),(),()0,(22)0,()0,0(22c y y x c dy y x y+-=+-=⎰322023)33(．可得3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．3.5 等价条件5及其应用综合定理8和定理9可得出刻画解析函数的又一等价条件条件5 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是)(z f 在D 内任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数．例8 将ze 展成z 的幂级数，并指明其收敛范围． 解 由于()()1n zzz z ee ====，0,1,2,n=所以211!2!!n z z z z e n =+++++ （*）注意到ze 在整个z 平面上处处解析，故ze 的解析区域的边界为∞， 而原点到∞的距离R =+∞所以（*）式在整个z 平面上处处成立注意任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数．例9将函数3)(z z f ==⎭按1-z 的幂展开，并指明其收敛范围． 解31333)]1(1[1)1(1-+=-+=z z z])1(!)131()131(311[2311n n z n n i -+--++-=∑∞=收敛范围为11<-z4 总结综上所述，解析函数的各种等价条件对我们更深刻地理解复变函数提供了很大的帮助.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内满足..-C R 方程，而且(),u x y 和(),v x y 具有一阶连续偏导数，那么函数()f z 在D 内解析，也就是利用条件1和条件2可用来判断函数在某区域内的解析性和不解析性；条件3可用来计算某些复变函数的积分，特别是一些被积函数的实部和虚部容易被计算的积分；另外，若已知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的问题，可利用条件4来分析解决；最后条件5则根据函数()f z 在区域D 内任一点是否可以展成z a -形式的幂级数来判断函数的解析性，并根据相关性质为我们求幂级数的收敛区域提供了一种更为简单的方法．在证明和计算过程中，我们可以根据题目的具体要求灵活选择适当的方法解决，使问题简单化．得注意的是，在条件3的应用中都是被积函数在包围积分路径的单连通区域内解析或有一个奇点的情况下进行积分的，解题时应注意．通过刻画解析函数的各种等价条件，使我们知道了解析函数在复变函数中的重要性，它几乎贯穿了复变函数论的始终，因此，更进一步探讨解析函数的各种等价条件是非常必要的．参考文献：[1] 盖云英，包革军．复变函数与积分变换[M] ．北京：科学教育出版社，2001 [2] 钟玉泉．复变函数论[M]（第三版）．北京：高等教育出版社，2004 [3] 杨林生．复变函数[M]．高等教育出版社，2001[4] 余家荣．复变函数[M]（第四版）．北京：高等教育出版社，2004 [5] 马立新．复变函数学习指导[M]．山东：山东大学出版社，2004 [6] 郑建华．复变函数[M]．北京：清华大学出版社，2005[7] 薛以峰，李红英，翟发辉．复变函数与积分变换[M]．华东理工大学出版社，2001 [8] 李建林． 复变函数与积分变换 导教⋅导学⋅导考[M]．西北工业大学出版社，2001 [9] Marsden JE ．1973．Basic Complex Analysis ．San Francisco ：WH Freeman and Company。
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解析函数的应用—浅谈在陌生弹性力学中的应用（杜碧晶，运城学院数学系）摘要：在数学中，我们知道一个复变函数如果解析，则其实部和虚部均为调和函数，满足调和方程。
一个实变的双调和函数，可由共轭复变函数的线形组合得到。
在平面弹性力学中，对于平面应力问题和平面应变问题，可以通过假设，转变成求解满足某些边界条件下的双调和方程问题。
这样就可以用复变函数中的解析函数进行解决。
关键词：解析函数、应力函数、平面应力问题、平面应变问题。
1、引言：社会十分尊重数学，这可能不是因为这个学科的内在美，而是因为数学是社会极其需要和工程中有广泛应用的一种艺术。
以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。
解析函数是复变函数中具有解析（可微）性质的函数。
如果一个复变函数解析，那么它的实部和虚部均为调和函数，满足拉普拉斯调和方程(02222=∂∂+∂∂yx φφ)。
在区域D 内满足C —R 方程即：xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,的两个调和函数v u ,中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。
任何一个弹性体都是空间问题，一般的外力都是空间系，因此严格的说，任何一个实际的弹性力学问题，都是空间问题。
但是所考察的弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可把空间问题简化为平面问题。
这样处理后，分析和计算的工作量将大大的减少，而所得的结果仍满足工程上对精度的要求，因此具有广泛的实用价值。
弹性力学的平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
其中平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行平板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化；平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变。
2基础内容介绍如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求平衡微分方程,和应力表示的变形协调方程对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。
齐次方程就是体力为零的平衡微分方程，显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，根据微分方程理论，必有函数f（x，y），令则齐次方程的第一式恒满足。
同理必有函数g（x，y），如果, 则齐次方程的第二式恒满足，所以引入任意函数(x，y)，使得将上式分别回代，可得应力分量表达式上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。
对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。
将平衡微分方程特解代入应力表达式，则自然满足平衡微分方程。
应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得上式说明函数(x，y)应满足双调和方程。
根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。
因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。
因此，研究弹性力学的平面问题，当体力为常量时，可归结为求解满足双调和方程022=∇∇φ的应力函数φ，并且使其在边界上满足所以的边界条件。
在实变函数中，难以用应力函数表示位移分量和位移边界条 件。
同时若将应力边界条件和位移边界条件相比，我们发现它们除)(z ψ项的系 数不同外，其未知函数的表达式是相同的。
这说明平面问题的两种边界条件问题，从数学观点来看，其求解方法基本相同。
也可以说，复变函数解法把求应力和位移的方法统一起来了。
就是说可以不必区分按应力求解或按应变求解，而是把两者统一起来，这是复变函数解法的方便之处。
在弹性力学的平面问题中，孔口问题最能显示复变函数解法的优越性。
下面我们一起来分析看复变中的解析函数如何将弹性力学的平面问题解决的最容易。
3正文：在弹性力学的平面问题中，当体力为常量时，应力函数，),(y x φ为双调和函数，即应满足0),(22=∇∇y x φ。
为了将双调和方程转化为用复变函数表示，需进行变量代换。
因为：,iy x z += iy x z -=___所以： ),(21___z z x += )(21___z z y --=；这样，),(y x φ可以通过中间变量z 和___z 看成一个复合函数，因此有：φφφφφφ)(_________zzz z x z z x z z x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂； φφφφφφ)(________zzi i z i z y z z y z z y ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂； 从而： ,__zzx ∂∂+∂∂=∂∂ );(___z z i y ∂∂-∂∂=∂∂由此可得： ,2)(__zyi x ∂∂=∂∂+∂∂ ;2)(zy i x ∂∂=∂∂-∂∂ （1）由（1）式可得：.4___22zz ∂∂∂=∇于是双调和方程022=∇∇φ变换为0162__24=∂∂∂zz φ积分四次得出通解为：);()()()(__43____21),(z zF z F z z F z F y x +++=φ（2）； 因为),(y x φ是实函数，所以（2）式应为两两共轭函数，即：,)()(______1___2z F z F = ;)()(______3__4z F z F =于是用复变函数表示双调和函数的一般形式为： ______33_______11),()()()()(z F z z F z z F z F y x +++=φ （3）；将（3）式中的)(1z F 及)(3z F 分别用)(21z χ及)(21z ψ代替，即得有名的古莎公式：][21____)()(______)()(),(z z z z y x z z ψψχχφ+++= 或)(__)(),(}Re[z z y x z ψχφ+= （4） （4）式就是用复变函数表达的应力函数。
式中的)(z χ和)(z ψ都是z 的解析函数。
于是求解弹性力学的平面问题就成为寻找满足边界条件的两个复 变函数)()(,z z ψχ的工作了。
弹性力学在的平面问题中，孔口问题最能显示复变函数解决问题的优越性。
例：图为一具有小圆孔（半径为a ）的无限大平板，在无限远处沿轴向承受均匀的拉力，求其应力分量和位移分量？解：作用在弹性体上的外力，称为面力。
由于孔口不受面力。
所以在孔口边界处有：Fy Fx =0= Ry Rx =0=上式中的Fx、Fy 代表弹性体在X ，y 轴上的面力分量，Rx ，Ry 代表m 个内边界分别在X ，y 方向上的面力之和。
故应力函数的表达式（1）为： )(z ψ =nn n z a-∞=∑1+AZ-πμ81+（R X +iR Y ）LnZ)(/Z χ=n n n z b -∞=∑1+（B+)/iB Z+(83πμ-R X -iR Y ）LnZ变形为（2）式：)(z ψ=n n n z a -∞=∑1+AZ )(/z χ =nn n z b -∞=∑1+（B+/iB ）Z 上式中的一次幂A 和（)/iB B +具有力学意义，它们代表无限远处的应力状态。
（在某一点处某一截面上的应力是指该截面上的附加分布内力在该点处的集度。
）作用在弹性体内部各点上的外力，称为体积力，简称体力。
在不计体力时，应力分量和应力函数之间的关系为：x σ=22y∂∂φx σ=22x ∂∂φ xy τ=y x ∂∂∂-φ2应力表达式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+______/)(/)(2z z y x ψψσσ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-)(//__)(/22z z xy x y z i ψχτσσ由应力函数的表达式求出的)(/z χ、)(//__Z Z ψ和)(//z χ代入应力表达式。
因为无限远处为均匀应力场，应力分量记为∞∞∞xy y x τσσ,,当z ∞→时，除一次幂对应的应力存在外，其余项均消失。
所以,4A y x =+∞∞σσ ()/22iB B i xy x y +=+-∞∞∞τσσ则有：A=)(41∞∞+x y σσ B=)(21∞∞-x y σσ ∞=xyB τ/计算解得：A=σ41B+σ21/=iB 。
（3）将（3）式代入应力函数表达式（2），则有（4）式：n i n n z z a z -∞=∑+=4)(σψn n n z z b z -∞=∑+-=1)(/2σχ积分形式的复应力边界条件：dS iF F i z y x z z z )(______)(/)(_____)(/+=++⎰ψψχ将0==y xF F 代入可得：0______)(/)(_______)(/=++z z z z ψψχ其共轭式为：0)(/________)()(/=++z z z z ψψχ（其中Z=θi ae ）其中a 为小圆半径，将上面由（4）式所求得的)(z ψ、)(/z χ代入复应力边界条件的共轭式可得：0224)(4)(2)2(111)1(11=-+++-=-++++-+-∞=∞=-∞=-+-------∞=∑∑∑∑∑∑θθθθθθθθθθθθσσσσσn i n n n in n n n in n n n i i n i n n i i ni n n i n i n n i e ana e a a e a b ae ae e a a ae ae e a a ae ae b ae比较等式两边e+-θin （n=1、2、、、、、∞）项的系数：θi e 项的系数为：021=+-a a a σ所以：212a a σ= θin e项的系数为：)2(0≥=n aa n n所以：)2(0≥=n a nθi e -项的系数为：021=+a b a σ所以：212a b σ-= θ2i e-项的系数为：022=ab 所以：02=bθ3i e -项的系数为：0133=-a a ab 所以：41232.a a a b σ== θin e-项的系数为：)4(0)2(22≥=----n aa n ab n n n n 所以：)4(0≥=n b n将上面所求得的系数代入（4）式，使的复应力函数成为（5）式：)2(422)(za z Z +=σψ)1(24422)(/za z a z z -+-=σχ因为（6）式：)(/_______)(/)(/__22Re 4][24z z z x y zz ψψψφφσσ=+=∂∂∂=∇=+φφφφτσσ222222)()(22y i x y x i yx xy i x y ∂∂-∂∂=∂∂∂-+∂∂-∂∂=+-； 又因为：zy i x ∂∂=∂∂-∂∂2 所以：（2224)z y i x ∂∂=∂∂-∂∂ 所以：][242)(//__)(//22z z xyx yz zi ψχφτσσ+=∂∂=+-（7）利用应力分量的坐标变换式：θτθσσσσσ2sin 2cos 22xy yx xy r+-++=；θτθσσσσσθ2sin 2cos 22xy y x x y ---+= ； θτθσστ2cos 2sin 2xy yx xy +--= .将已得到的直角坐标中的复应力公式转化为极坐标的形式，则有（8）式：y x r σσσσθ+=+ θθθτσστσσi xy x y r r e i i )2(2+-=+-将（6）、（7）代入（8）式有： )(/Re 4z rψσσθ=+ θθθψχτσσ2)(//__)(//][22i z z r r e z i +=+-将（4）式代入（8）式，则有（9）式：);2cos 21()24Re(4)24Re(4)24Re(4)]2(4Re[42222222/2/22θσσσσσσσσσσθθra e r a z a z a z za z i r -=-=-=+=+=+-θθθθθσσσσσψχτσσ224232__44222)(//__)(//1()2322(2][22i i i z z r r er ae z a z z a z a e z i +-=+-+-=+=+-);32()23244222222332444θθθθθθθσi i i i i i i e rae r a e r a e e r a re e r a ----+-=+- 将（9）式中的第二式的实部和虚部分开，并和（9）式中的第一式联立求解。