专题11 一次函数及其应用(解析版)

专题11 一次函数及其应用命题点1函数图像与坐标轴交点坐标1. 关于直线l ：y ＝kx ＋k(k ≠0)，下列说法不正确．．．的是( ) A . 点(0，k)在l 上 B . l 经过定点(－1，0) C . 当k>0，y 随x 的增大而增大 D . l 经过第一、二、三象限【答案】D【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误A将点(0，k )代入y ＝kx ＋k 中成立，所以点(0，k )在直线l 上√ B当x ＝－1时，y ＝－k ＋k ＝0，所以直线l 经过定点(－1，0)√C当k ＞0时，y 随x 的增大而增大√D当k >0时，直线l 经过第一、二、三象限；当k <0时，直线l 经过第二、三、四象限命题点2一次函数与二元一次方程2. 设点A(a ，b)是正比例函数y ＝－32x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是( )A . 2a ＋3b ＝0B . 2a －3b ＝0C . 3a －2b ＝0D . 3a ＋2b ＝0【答案】D【解析】本题考查了正比例函数的图象与性质．把点A (a ，b )代入y ＝－32x 中，得b ＝－32a ，即2b ＝－3a ，∴3a ＋2b ＝0. 3. 如图，两直线y 1＝kx ＋b 和y 2＝bx ＋k 在同一坐标系内图象的位置可能是( )【答案】A【解析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A 、 由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k <0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b >0，k <0，符合；B 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k >0，不符合；C 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b <0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不符合；D 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不符合；故选A.命题点3函数的增减性4. 已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )A . k ＞1，b ＜0B . k ＞1，b ＞0C . k ＞0，b ＞0D . k ＞0，b ＜0【答案】A【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴k －1>0, ∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b ＜0, ∴k >1，b ＜0.5. 已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标x 与对应的纵坐标y 分别如下表所示，两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标y 是( )甲x 1 2 3 4 y123乙A . 0B . 1C . 2D . 3【答案】D【解析】由表格可知，只有一对值相等，它是x ＝4，y ＝3，故两个函数图象的交点为(4，3)，故交点的纵坐标为3，故选D.命题点4函数图像的平移6. 在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )A . 将l 1向右平移3个单位长度B . 将l 1向右平移6个单位长度C . 将l 1向上平移2个单位长度D . 将l 1向上平移4个单位长度【答案】A【解析】∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，∴－2(x ＋a )－2＝－2x ＋4，解得a ＝－3，故将l 1向右平移3个单位长度．故选A.命题点5函数图像与坐标轴围成图形面积7. 已知直线y ＝kx －4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为( )A . y ＝－x －4B . y ＝－2x －4C . y ＝－3x ＋4D . y ＝－3x －4【答案】B【解析】直线y ＝kx －4(k <0)与两坐标轴的交点坐标为(0，－4)、(4k，0)，∵直线y ＝kx －4(k <0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×(－4k )×12＝4，解得k ＝－2，则直线的解析式为y ＝－2x －4.故选B.命题点6函数应用8. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率. 该绿化组完成的绿化面积S (单位：m 2)与工作时间t(单位：h )之间的函数关系如图所示. 则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )第8题图A . 300 m 2B . 150 m 2C . 330 m 2D . 450 m 2【答案】 B【解析】设提高效率后对应的直线解析式为S ＝kt ＋b ，由图可知，该直线经过(4，1200)和(5，1650)两点，代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝12005k ＋b ＝1650，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝450b ＝－600，所以提高效率之后，S 与t的函数解析式为：S ＝450t －600，则当t ＝2时，S ＝300，所以在前2个小时内，一共完成的绿化面积为300 m 2，∴提高效率前每小时的绿化面积为：300÷2＝150 m 2.故选B.命题点7函数意义9. 若函数y ＝(m －1)x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第____________象限． 【答案】二、四【解析】∵函数y ＝(m －1)x |m |是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧|m |＝1m －1≠0，∴m ＝－1.则这个正比例函数为y ＝－2x ，其图象经过第二、四象限．10.若一次函数y ＝－2x ＋b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是________(写出一个即可)．第11题图【答案】－1(答案不唯一，满足b ＜0即可)【解析】∵一次函数y ＝－2x ＋b 的图象经过第二、三、四象限，∴b ＜0，故b 的值可以是－1.11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限．若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．【答案】－2【解析】由已知得B(1，1)，把顶点B(1，1)代入y＝kx＋3中，得k＝－2.12. 已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是________．【答案】a>b【解析】∵点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上两点，∴a＝－2×1＋1＝－1，b＝－2×2＋1＝－3. ∵－1>－3，故a>b.13.若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝(k－1)x＋k的图象不经过．．．第________象限．【答案】一【解析】依题意，k－1<0，k＋1<0, 解得k<－1<0.∴一次函数y＝(k－1)x＋k的图象过第二、三、四象限，故不过第一象限．命题点8函数图像与一元一次不等式14. 如图，直线y＝－x＋m与y＝x＋3的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x ＋m＞x＋3＞0的解集为________．第14题图【答案】－3＜x＜－2【解析】∵直线y＝－x＋m与y＝x＋3的交点的横坐标为－2，∴m＝－1，∴关于x的不等式－x＋m＞x＋3的解集为x＜－2，∵y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴x＋3＞0的解集是x ＞－3，∴－x＋m＞x＋3＞0的解集是－3＜x＜－2.15. 如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝13.第15题图(1)求点B 的坐标；(2)若△ABC 的面积为4，求直线l 2的解析式． 【答案】解：(1)∵点A 的坐标为(2，0)，∴AO ＝2. 在Rt △AOB 中，OA 2＋OB 2＝AB 2，即22＋OB 2＝(13)2，∴OB ＝3， ∴B (0，3)；(2)∵S △ABC ＝12BC ·OA ，即4＝12BC ×2，∴BC ＝4，∴OC ＝BC －OB ＝4－3＝1， ∴C (0，－1)．设直线l 2的解析式为y ＝kx ＋b . ∵直线l 2经过点A (2，0)，C (0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k ＋b－1＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－1，∴直线l 2的解析式为y ＝12x －1.16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A(－6，0)的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B(m ，4)．(1)求直线l 1的表达式；(2)过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围．第16题图【答案】解：(1)∵点B 在直线l 2上，∴4＝2m ，∴m ＝2， 设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b ，由A 、B 两点均在直线l 1上得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2k ＋b 0＝－6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝3，则l 1的表达式为y ＝12x ＋3；(2)∵C 、D 分别为直线x ＝n 与直线l 1、l 2的交点， ∴当点C 位于点D 的上方时，l 1>l 2，结合图象可知，当x <2时，l 1>l 2成立，∴n <2.17.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A 型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份A 型车销售总额增加25%.(1)求今年A 型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：【答案】(1)解：设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆(x ＋400)元， 根据题意得，32000x ＝32000×（1＋25%）x ＋400，解得x ＝1600，经检验，x ＝1600是方程的根，且符合题意，A 型车B 型车进货价格(元/辆) 11001400销售价格(元/辆)今年的销售价格2400所以，今年A 型车每辆售价为2000元；(2)解：设今年7月份新进A 型车m 辆，那么新进B 型车(50－m )辆，获得的总利润为y 元，根据题意，得50－m ≤2m ，解得m ≥1623，y ＝(2000－1100)m ＋(2400－1400)(50－m )， y ＝－100m ＋50000∵k ＝－100<0，∴y 随m 的减少而增大，但m 只能取整数， ∴当m 取17时，可以获得最大利润． 进货方案：A 型车17辆，B 型车33辆． 满分冲关1. 已知点P(m ，n)是一次函数y ＝x －1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m ，n 满足(m ＋2)2－4m ＋n(n ＋2m)＝8，则点P 的坐标为( )A . (12，－12)B . (53，23) C . (2，1) D . (32，12)【答案】D【解析】∵点P (m ，n )是一次函数y ＝x －1的图象位于第一象限部分上的点，∴m －1＝n ①，又∵当y ＝0时，x ＝1，∴m ＞1，n ＞0.将(m ＋2)2－4m ＋n (n ＋2m )＝8整理，得(m ＋n )2－4＝0，则(m ＋n ＋2)(m ＋n －2)＝0，∵m ＋n ＋2＞0，∴m ＋n －2＝0②，将①代入②，得m ＝32，n ＝12. 2. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点．PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( )第2题图A . (－3，0)B . (－6，0)C . (－32，0)D . (－52，0)【答案】C【解析】对于直线y ＝23x ＋4，当y ＝0时，x ＝－6，当x ＝0时，y ＝4，∴点A (－6，0)，点B (0，4)．∵点C 、D 分别是AB 、OB 的中点，∴点C (－3，2)，点D (0，2)．作点D 关于x 轴的对称点D ′，则点D ′坐标为(0，－2)，如解图，连接CD ′交x 轴于点P ′，此时PC ＋PD 值最小．∴直线CD ′的解析式为y ＝－43x －2，当y ＝0时，x ＝－32，∴点P 的坐标为(－32，0)．故选C.3.一次函数y ＝43x －b 与y ＝43x －1的图象之间的距离等于3，则b 的值为( )A ．－2或4B . 2或－4C . 4或－6D . －4或6 【答案】D【解析】∵直线y ＝43x －1 与x 轴的交点A 的坐标为(34 ，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，－1)，∴OA ＝34，OC ＝1，直线y ＝43x －b 与直线y ＝43x －1相距3，可分为两种情况：(1)如解图①，点B 的坐标为(0，－b )，则OB ＝－b ，BC ＝1－b ，易证△OAC ∽△DBC ，则OA DB＝ACBC ，即343＝12＋（34）21－b，解得b ＝－4；(2)如解图②，点F 的坐标为(0，－b )，则CF ＝b－1，易证△OAC ∽△ECF ，则OA EC ＝ACCF ，即343＝12＋（34）2b －1，解得b ＝6，故b ＝－4或6.第3题解图4. 已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5x ＋2y ＝－2的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋5与直线l 2：y ＝－12x －1的交点坐标为__________．第5题图【答案】(－4，1)【解析】二元一次方程x －y ＝－5对应一次函数y ＝x ＋5，即直线l 1；二元一次方程x ＋2y ＝－2对应一次函数y ＝－12x －1，即直线l 2.∴原方程组的解即是直线l 1与l 2的交点坐标．∴交点坐标为(－4，1)．5. 如图，已知A 、B 、C 、D 是平面直角坐标系中坐标轴上的点，且△AOB ≌△COD ，设直线AB 的表达式为y ＝k 1x ＋b 1，直线CD 的表达式为y ＝k 2x ＋b 2，则k 1·k 2＝________．【答案】1【解析】直线AB 与x 轴的交点B 坐标为(－b 1k 1，0)，与y 轴的交点A 坐标为(0，b 1)，直线CD 与x 轴的交点C 坐标为(－b 2k 2，0)，与y 轴的交点D 坐标为(0，b 2)，∵△AOB ≌△COD ，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴－b 1k 1＝b 2，－b 2k 2＝b 1，∴k 1＝－b 1b 2，k 2＝－b 2b 1，∴k 1k 2＝1.6. 将函数y ＝2x ＋b(b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b|(b 为常数)的图象，若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0<x<3，则b 的取值范围为________________．【答案】－4≤b ≤－2【解析】先求出直线y ＝2与y ＝|2x ＋b |的交点的横坐标，再由已知条件列出关于b 的不等式组，即可求出结果．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝|2x ＋b |，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝2x ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝－2x －b ，解得x ＝2－b 2或x＝－2＋b2，∵0＜x ＜3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－b 2≤3－b ＋22≥0，解得－4≤b ≤－2.7.平面直角坐标系xOy 中，已知点(a ，b)在直线y ＝2mx ＋m 2＋2(m ＞0)上，且满足a 2＋b 2－2(1＋2bm)＋4m 2＋b ＝0，则m ＝________．第8题图【答案】3－1【解析】本题考查了一次函数的性质、配方法以及完全平方公式．∵点(a ，b )在直线y ＝2mx ＋m 2＋2(m ＞0)上．∴b ＝2am ＋m 2＋2，即b －2＝2am ＋m 2.∵a 2＋b 2－2(1＋2bm )＋4m 2＋b ＝0∴a 2＋b 2－2－4bm ＋4m 2＋b ＝0，∵b －2＝2am ＋m 2，∴a 2＋b 2－4bm ＋4m 2＋2am ＋m 2＝0，∴(a ＋m )2＋(b －2m )2＝0.∴a ＝－m ，b ＝2m .∴2m －2＝－2m 2＋m 2，解得m ＝－1±3，∵m ＞0，∴m ＝3－1.8. 如图，一次函数的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB. 若C(32，32)，则该一次函数的解析式为____________________．【答案】y ＝－3x ＋ 3【解析】如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，由C (32，32)可得，CD ＝32，OD ＝32，由对称性可知AC ＝OA ＝x ，则(32－x )2＋(32)2＝x 2，解得x ＝1，∴OA ＝AC ＝1，AD ＝12，∴∠CAD＝60°，∴∠OAB ＝60°，∴OB ＝3，由此可得点A (1，0)，B (0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，求得k ＝－3，即y ＝－3x ＋ 3.9. 某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示：(教师按成人票价购买，学生按学生票价购买)运行区间 成人票价(元/张)学生票价(元/张)出发站终点站一等座二等座 二等座若师生均购买二等座票，则共需1020元．(1)参加活动的教师有______人，学生有______人；(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y 元．①求y关于x的函数关系式；②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？【答案】解：(1)10; 50；【解法提示】设有教师x人，则有学生(60－x)人．由题意，列方程得：22x＋16(60－x)＝1020，解得：x＝10，∴60－x＝50(人)，∴有教师10人，学生50人．(2)①由题意知：y＝26x＋22(10－x)＋50×16＝26x＋220－22x＋800＝4x＋1020.∴y关于x的函数关系式为y＝4x＋1020；②由题意得：4x＋1020≤1032，解得：x≤3.∴提早前往的教师最多只能3人．10. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；(3)小明家5月份用水26吨 ，则他家应交水费多少元？【答案】解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元． 根据题意列方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧14m ＋（20－14）n ＝4914m ＋（18－14）n ＝42， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝3.5， 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元； (2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21，故所求函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤14）3.5x －21（x ＞14）；(3)∵26＞14，∴小明家5月份应交水费为3.5×26－21＝70元， 答：小明家5月份应交水费70元．11. 下图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y(单位：L /km )与速度x(单位：km /h )之间的函数关系(30≤x ≤120)．已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km /h ，耗油量增加0.002 L /km .(1)当速度为50 km /h 、100 km /h 时，该汽车的耗油量分别为________L /km 、________L /km ；(2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式； (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？第11题图【答案】解：(1)0.13，0.14；【解法提示】x 轴表示速度，从30到60之间为40，50，对应的y 轴汽车耗油量由0.15到0.12，列表如下∴当速度为50 km/h 时，该汽车耗油量为0.13 L/km ，当速度为100 km/h 时，该汽车耗油量为0.12＋0.002×(100－90)＝0.14 L/km ；(2)设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ， ∵y ＝kx ＋b 的图象过点(30，0.15)与(60，0.12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝0.1560k ＋b ＝0.12，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001b ＝0.18， ∴线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.001x ＋0.18；(3)根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝0.12＋0.002(x －90)＝0.002x －0.06，由图象可知，B 是折线ABC 的最低点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－0.001x ＋0.18y ＝0.002x －0.06，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80y ＝0.1， 因此，速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km.。