拉格朗日置换
无限阶群的拉格朗日定理
无限阶群的拉格朗日定理
拉格朗日定理是群论中的一个重要定理，它描述了一个有限交换群的子群与其商群之间的关系。
然而，对于无限群，拉格朗日定理并不一定成立。
事实上，存在无限阶群，它们的子群可以和商群同构，也就是说，拉格朗日定理在这些群中不成立。
具体地说，考虑一个无限阶群G，它的子群H满足H和G/H同构。
这意味着H可以写成G的某个子集的商群，而且这个子集不是H本身。
由于H和G/H同构，所以它们的阶数相同。
于是，我们有：
|G| = |H| × |G/H| = |G/H| × |G/H|
因此，G/H的阶数必须是无限的。
这说明G/H不可能是有限交换群，因为有限交换群的阶数必须是有限的。
由于拉格朗日定理只适用于有限交换群，所以在这种情况下，它就不成立了。
无限阶群的这一特性，使得它们在群论中有着独特的地位。
它们的子群可以和商群同构，这为群论的研究提供了新的思路和工具。
同时，也提示我们，在研究群论问题时，不能仅仅依赖于有限交换群的性质和定理，而应该更加关注无限群的性质和特点。
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法国最杰出的数学大师拉格朗日
法国最杰出的数学大师拉格朗日
拉格朗日是法国数学家、物 理学家，1736年1月25日生于意大 利都灵.他在数学上最突出的贡献 是使数学分析与几何与力学脱离 开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的 工具. 在代数方程解法中，他把 前人解三、四次代数方程的各种 解法，总结为一套标准方法，而 且还分析出一般三、四次方程能 用代数方法解出的原因. 同时， 他还总结了18世纪的数学成果， 又为19世纪的数学研究开辟了道 路.
拉格朗日(1735-1813）
拉格朗日在代数方程和超越方程的解法 上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的 发展。他试图寻找五次方程的预解函数，希 望这个函数是低于五次的方程的解，但未获 得成功. 然而，他的思想已蕴含着置换群概 念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用， 最终解决了高于四次的一般方程为何不能用 代数方法求解的问题. 因而也可以说拉格朗 日是群论的先驱. 他在微分方程理论中提出 奇解是积分曲线族的包络的几何解释，提出 线性代换的特征值概念等.
拉格朗日在数学、Biblioteka 学和天文学三 个学科中都有重大历史性贡献，但他主 要是数学家，研究力学和天文学的目的 是表明数学分析的威力. 近百余年来， 数学领域的许多新成就都可以直接或间 接地溯源于拉格朗日的工作. 所以他在 数学史上被认为是对分析数学的发展产 生全面影响的数学家之一, 被誉为“欧 洲最大的数学家”.
“三Ｌ”
法国18世纪后期到19世纪初数学界著名的 三个人物
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange)、 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace)、 勒让德（Adrien-MarieLegendre).
因为他们三个的姓氏的第一个字母 为“Ｌ”，又生活在同一时代，所以人们称 他们为“三Ｌ”.
拉格朗—18世纪最伟大的数学家
拉格朗日—18世纪最伟大的数学家1.拉格朗日生平约瑟夫·拉格朗日，全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数学家、物理学家。
拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。
父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。
据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。
拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。
他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。
同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动一代数学的发展。
他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。
把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。
拉格朗日也是分析力学的创立者。
拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
数学家拉格朗日
人物评价
拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、 力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。 但他主要是数学家，拿破仑曾称赞他是“一座高 耸在数学界的金字塔”，他最突出的贡献是在把 数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性 的作用。使数学的独立性更为清楚，而不仅是其 他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分 析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天 体力学)更深入发展。由于历史的局限，严密性不 够妨碍着他取得更多的成果。
数学名言
• “数学是人类知识活动留下来的最具威力的工具，是世间万象的根源。上帝必以数学法则建造宇宙。” —— 永野裕之
• 大自然是用数学语言写成的书。 ——伽利略 • 在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。 ——广中平佑 • 数学是一种会不断进化的文化。 ——魏尔德纯 • 数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。 ——怀德海 • 数学是长时间的思考锻炼，能让人成为解决所有问题的高手！ ——笹部贞市郎 • 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 ——华罗
庚 • 发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。 ——达尔文 • 数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯 • 数统治着宇宙。 ——毕达哥拉斯
数学小笑话
• 一天，老师问小明:“1+1等于多少?” 小明 说:“不知道!” 老师说:“回家问家长。” 小明回 家问爸爸，爸爸正在看股票，小明说:“爸爸1+1 等于多少?”“涨了涨了。”小明又问妈妈，妈妈 正在看书说:“克林顿。”小明又去问爷爷，爷爷 正在唱歌说:“向前进!向前进!”小明又去问哥哥， 哥哥正在吃冰糕说:“好爽啊!”小明又去问姐姐， 姐姐正在约会说:“亲爱的，我们一起走吧!” 第 二天，老师问小明:“1+1得几。”小明说:“涨了 涨了!”老师生气的说:“谁告诉你的!”小明 说:“克林顿!”老师对小明说:“站后边去!”小明 说:“向前进!向前进!”下课了，老师问小明:“滋 味如何?”小明说:“好爽啊!”老师说:“去我办公 室去!”小明说:“亲爱的，咱们一起走吧!”Fra bibliotek数学贡献
近世代数中拉格朗日定理应用汇总
毕业论文（2016届）题目拉格朗日定理的若干应用学院数学计算机学院专业数学与应用数学年级2012级学号***********学生姓名苗壮指导教师王伟2016年5月8 日摘要拉格朗日定理是群论中一个非常重要的定理, 通过这个定理还可以得到许多群论中的数量关系,在近世代数中有着广泛的应用.首先介绍了群与子群的定义,其次介绍了子群的陪集和拉格朗日定理;并对拉格朗日定理用两种方法进行证明. 最后,通过讨论相关例题,总结运用拉格朗日定理证明与子群、阶有关的问题一些基本步骤和方法.关键词：群子群拉格朗日定理陪集AbstractLagrange law is a very important theorem in group theory, many quantitative relationships in group theory can be obtained through it, which is widely utilized in Modern Algebra. The definitions of groups and subgroups are introduced first. Then the coset of subgroup and Lagrange law are introduced and the law are proved on two ways. Finally, by talking about the relevant examples, certain primary methods and steps to use Lagrange law and to prove some problems about subgroups and order are concluded.Key words: group subgroup Lagrange law coset┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录1.引言................................................. 错误!未定义书签。
拉格朗日
约瑟夫·拉格朗日约瑟夫·拉格朗日约瑟夫·拉格朗日，全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数学家、物理学家。
1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。
他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
目录概述拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。
他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
月球问题拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世拉格朗日点[1]纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。
同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
方程解法在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。
他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。
把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化拉格朗日点[2]为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。
置换群他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。
然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。
因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。
拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。
他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。
在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。
叙述有限群的拉格朗日定理
叙述有限群的拉格朗日定理
拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）是数论中的一个重要定理，它可以帮助我们深入理解有限群的性质.有限群是数论中一个重要概念，它们有着明确且强大的
定义。
拉格朗日定理可以从数学和考古学的角度解释有限群的性质，是对它们属性的有效解释。
拉格朗日定理告诉我们：若G是一个有限群，那么|G|是一个正数的倍数。
即
G中的每个元素都是G中另外元素的整数倍。
此外，拉格朗日定理还表明，|G|是G 的一个特殊的素因子的乘积，即|G| =p1^ ${a_1}$*p2^ ${a_2}$*…*pn^
${a_n}$（其中pi为质数）。
同时，拉格朗日定理可以有效地表达有限群的性质，这也是它最著名的特点。
例如，当群G为偶数群时，它的群元数必然是2的倍数；当G为奇数群时，它的群元数必然是奇数。
此外，拉格朗日定理还能帮助我们正确求解有限群上的交换群，即有限群G上可以将其元素通过置换而构成的群。
拉格朗日定理是数论中一个十分重要的定理，也是强为有限群特性研究的基石。
研究的空间非常广阔，引导着数学家们探索有限群的法则，从而发现各类群的应用和规律。
拉格朗日定理的发现，标志着有限群的研究方向进入了一个新的时代。
它的发现，为有限群的研究提供了最基本的理论支撑；它的应用，不仅拓宽了研究空间，更使有限群从理论发展向应用实践，进而推动了数论领域的发展与进步。
置换入门（知识点）
置换⼊门（知识点）置换置换：集合到⾃⾝的双射。
通常只考虑有限集合。
即 f :S →S ，且对任意 y ∈S 存在唯⼀的 x ∈S 满⾜ f (x )=y 。
其实就是排列。
置换通常写成f =a 1a 2⋯a na p 1a p 2⋯a p n 也可以写成 f (a 1)=a p 1,…,f (a n )=a p n。
置换的乘法：就是复合，即f =a 1a 2⋯a na p 1a p 2⋯a p n ,g =a 1a 2⋯a n a q 1a q 2⋯a q n 则f ∘g =a 1a 2⋯a na p q a p q ⋯a p q 轮换：形如a j 1a j 2⋯a j k −1a j k a i 1⋯a i n −k a j 2a j 3⋯a j k a j 1a i 1⋯a i n −k 的置换。
即把⼀些元素循环移位，其余元素不变。
可以写成(a j 1a j 2⋯a j k )k =2 的轮换称为对换。
任意置换都可以拆成若⼲个不相交轮换的乘积，如：1234525431可以写成(125)(34)拆成的轮换个数称为置换的环数 cyc (p )。
⼀个置换可以写成若⼲对换的乘积，且对换个数的奇偶性是⼀定的，也叫做这个置换的奇偶性。
根据奇偶性可以分为奇置换和偶置换。
置换的奇偶性与 n −cyc (p ) 的奇偶性相同。
如果置换是123⋯np 1p 2p 3⋯p n则它的奇偶性与排列 p 的逆序对数相同。
对称群⼤⼩为 n 的置换的集合叫做对称群 S n 。
S n 的阶数是 n !。
群：若集合 S 和 S 上的⼆元运算 ∘ 构成的代数结构 (S ,∘) 满⾜：封闭性：∀a ,b ∈S ,a ∘b ∈S 。
结合律：∀a ,b ,c ∈S ,(a ∘b )∘c =a ∘(b ∘c )。
单位元：∃e ∈S ,∀a ∈S ,a ∘e =e ∘a =a 。
逆元：∀a ∈S ,∃b ∈S ,a ∘b =b ∘a =e 。
代数中五次方程及五次以上方程的解
代数中五次方程及五次以上方程的解代数中的五次方程和五次以上方程一般很难直接求解，因为在代数中，并不存在类似平方根这样的有限次运算，而只有四则运算、乘方运算等基本运算。
因此，我们需要找到一些有效的方法来解决这个问题。
一.五次方程解法：五次方程一般形式为：$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$1.拉格朗日置换法：设$p=q=\sqrt[5]{\frac{-f}{a}}$,$y_1,pq=\sqrt[5]{\frac{-d}{a}}$,$y_2,p^2q^2=\sqrt[5]{\frac{-c}{a}}$$y_3,p^3q^3=\sqrt[5]{\frac{-b}{a}}$,$y_4,p^4q^4=x$根据拉格朗日置换定理得到：$x^{5}y_{4}+px^{4}y_{3}+p^{2}x^{3}y_{2}+p^{3}x^{2}y_{1}+p^{4 }xq=-(f/a)$展开化去系数，得到五次方程。
2.折半减少次数法（戴克里数法）若五次方程存在有理数根，则可以使用此法将五次以上方程化为代数中的五次方程。
原理简介：设$x=p+q$，展开化$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$根据二项式定理将其展开为$(a,b,c,d,e,f)$的五个多项式之和，然后化去一次（$x$的系数为0）与四次项，得到一个代数中的五次方程。
二.以下是一些五次以上方程的求解方法1 费马方法：对于一个四次以上的方程，如果它的系数都是正整数，而且只有一个整数解，那么这个解一定是质数。
2 试位法：此方法通过估计并缩小根的范围，不断逼近根，从而得到根的精确值。
3 牛顿法：同其他数值方法一样，利用近似值得到更精确的解。
4 Sturm定理：用于计算实系数多项式在某个实区间上根的个数，可在一定程度上解决五次方程以上的代数问题。
总结：代数中的五次以上方程一般比较复杂，但是可以利用一些特殊方法进行求解。
拉格朗日置换法和折半减少次数法是求解五次方程的有效方法。
离散数学(二)拉格朗日定理
离散数学（二）第七讲
计算机学院: 焦晓鹏
拉格朗日定理
主要内容:
11 陪集 2
拉格朗日定理
重点和难点:
重点: 陪集的性质
3I=4I 2.5I∩3.4I=Ø
一、陪集
定理1：设<H , ∗>是群<G , ∗>的子群, aH和bH是任意二个左陪集, 那么, 或aH=bH或aH∩bH=Ø。
思路：令命题要证┐P→Q为真。即要证┐(aH∩bH=Ø)→aH=bH
定理4：(拉格朗日定理) 设<H, ∗>是有限群<G, ∗>的子群,且|G|=n， |H|=m，那么m|n。
说明：设H的不同左陪集有 k个，那么n=|G|=k|H|=km
推论1：质数阶的群没有非平凡子群。
说明：<{e}, *>和<G, *>叫做群<G, *>的平凡子群。
推论2：在有限群<G , ∗>中, 任何元素的阶必是|G|的一个因子。
作业： P217 习题6.7 15
二、拉格朗日定理
例3 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3 = {pi | i = 1,2,3,4,5,6}。
1 2 p1 = 1 2
1 2 p4 = 1 3
1 2 3 1 2 3 3 p2 = 2 1 3 p3 = 3 2 1 3
◇ p1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6
p2 p2 p1 p6 p5 p4 p3
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a b c d m ab ac ad bc bd cd n abc abd acd bcd p abcd q
三、得出一系列重要的代数知识，比如域概念、置 换群概念的雏形，这些知识被以后的数学家Ruffini、 Gauss、Abel、Galois等恰当的运用使代数方程求解问题 最终得以解决，并推动了代数学本身的发展。
Lagrange是代数方程求解的转折者，也是近代代数 学的先驱。
二、置换产生的原因
到Lagrange时期代数方程的求解已经得到发展，伟 大的数学先驱们（Cardan、Ferrari、Tschirnaus、Bezut、 Euler）已经过不懈的努力解决了三、四次方程的求解;
故辅助方程的次数为六次的， 令r为其根，则r, 2r也是
若
r Aa Bb Cc
则 r Aa Bb Cc （）
则r一定等于上面除去第一个中的其中一个，
若r Ab Bc Ca 与（）比较可得
C A, B 2 A, 3 A A
Lagrange马上注意到Cardan解三次方程时的辅助方 程 y6 py3 n3 为 0什么是六次的呢？（可按二次方程求解）
27
设一般三次方程 x3 mx2 nx p 0 的根为a,b, c为使用
Cardan的方法，令x x' m ,则原方程变为 3
x'3 n'x' p' 0
清楚它的次数，弄清楚次数关键是找预解式（比如 像上式中的 r a b 2c ）
图表
辅
解
辅
方 就是解 助
程
方
程
关键是
助 方 寻找合适 程 的
预 解 式
次
数
（3、验证1） 首次的胜利之后Lagrange立刻用置换的方法对四次方
程进行求解。
设方程x4 mx3 nx2 px q 0的根为a,b, c, d 取预解式u ab cd (2u为Ferarri求解四次方程方法中的 未知数y的值)很明显u在原方程根a,b, c, d的置换下只有三种 即
ab cd u1 ac bd u2 ad cb u3 与a b c d m联立，即可求得原方程的根a,b, c, d。
在四次方程求解成功后Lagrange更加相信用置换的 方法去解代数方程是一种正确的、有效的处理方法；
为证明这种方法的一般性Lagrange在解四次方程时 对预解式的选取稍作改变。
a m 3 z1 3 z2 3
b m 2 3 z1 3 z2
3
c m 3 z1 2 3 z2
3
Lagrange首次采用置换的方法取得三次方程求解 的成功，这无疑给Lagrange增添许多的信心，使他相 信这种方法是有效的。
解方程关键是解辅助方程，解辅助方程关键是弄
为证明自己的想法，Lagrange做了如下的工作： 例如解三次方程x3 mx2 nx p 0设其根为： a, b, c；假设预解式为根a, b, c的函数。如： Aa Bb Cc( A, B, C为不依赖于a, b, c的系数)做 此式在原方程根a, b, c下的一切排列
Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Ba Cb Ac Bb Ca
可得
A (ab cd ) (ac bd) (ad cb) n B (ab cd )(ac bd) (ab cd )(ad cb) (ac bd)(ad cb) mp 4q C (ab cd )(ac bd)(ad cb) (m2 4n)q p 2 故关于u的方程为u 3 nu 2 （mp 4q）u (m2 4n)q p 2 0 此三次方程可解，设其解为u1,u2 ,u3 即
故有
y6 (r 3 s3 ) y3 r 3s3 0
又由根与系数关系知
a b c m
ab ac bc n
可得
abc p
r 3 s3 2m3 9mn 27 p
r 3s3 (m 3n)3 故关于y的辅助方程为
y 6 (2m3 9mn 27 p) y3 (m2 3n)3 0
采用纯代数的方法，都是代数技巧方法的运用及复 杂冗长的计算。
这五个人对Lagrange的影响最大，虽然他们都采用 自己的方法进行求解，但Lagrange经过严密的验证得出 其实他们方法的本质都是一样的，所以最终归属也必然 一样。
Lagrange从这些解法中得到辅助方程的思想，即： 解一元三次方程需要预解二次辅助方程，解一元四次方 程需要预解三次辅助方程；
由于 x3 (x 1)(x )(x )
对上式两端求导得：
3x2 (x )(x ) (x 1)(x ) (x 1)(x ) 令 x 1,, 有
3 (1 )(1 )
3 2 ( 1)( )
3
3r
m r s, m r s , m r s
3
3
3
故有
a m r s 3
b m r s
3
c m r s
3
易得
a b (1 )(r s )
a c (1 )(r s )
此实际为关于z(z y3 )的二次方程
即： z 2 (2m3 9mn 27 p)z (m2 3n)3 0
假设 次方 程的 根为z1和z 2
有
y 3 z1 和y 3 z2
即：
a b 2c 3 z1
a c 2b 3 z2
与 a b c m 联立，即可得到原方程的根a，b，c
即 上两式联立得：
(a b) r s 1 (a c) r s 1
(a b) (a c)
r 1
1
即 r
b
c
(*)
(1 )(1 ) ( 1)( ) ( 1)( )
4、验证2
设方程x4 mx3 nx2 px q 0的根为a,b, c, d 取 s c d a b (s 2z, z 2为Ferrari求解四次方程方法中右端x2的系数) 做s在原方程根下的一切置换为
ab-c-d ac-b-d ad-b-c cd-a-b bd-a-c bc-a-d 此即为辅助方程的根，显然方程应为六次的，但发现这六个根两两互为相反数， 故令s 2 t,则辅助方程变为关于t的三次方程
（2、实践） 置换的想法已正式的在Lagrange的脑海中形成；
正像我们前面所讲的，既然辅助方程的次数是解方
程的关键，而它又依赖于一个根的表达式——预解式
（就像上面 r a b c 3
)在原方程根的置换出不同值的
个数，那么我们只需要找到这个表达式就可以了；
只要有了预解式，那么很容易得到它在原方程根下 置换出不同值的个数，那么辅助方程的次数就确定了。
解一元五次方程需要预解二十四次的辅助方程 （ Tschirnaus、Bezut、Euler也得到同样的结果）。
代数方程求解进入了困境，寻找特殊技巧进行代数 方程求解似乎是不可行的了；
此时不仅是要为代数方程求解寻找一般的、通用的 方法，更重要的是得为代数方程求解谋求出路。
寻找一种区别于运用代数技巧进行代数方程求解的 方法势在必行。
Lagrange置换思想的产生
一、置换产生的背景 二、置换产生的原因 三、置换产生的过程
1、对已知解法的思考 2、初次实践置换思想 3、验证一 4、验证二 5、分析
四、结论
一、置换产生的背景
1545年Cardano的《大法》的出版使人们知道了三、 四次方程的求根公式。
自此众多的数学家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、 Lagrange、Gauss 、Abel、Galois…）继续向五次及五次以 上方程而努力。
令
x' y n'
3y
有
y6 p' y3 n'3 0
27
令其根为r,则r和r( 2 ,为x3 1 0的根1 3i )也为其根
2 则易得：
x' r n' , x' r n' , x' r n'
3r
3r
3r
由于x x ' m ，令 n' s, 有x的三个值
为简化，令A 1,则B ,C 2
若令：
r a b 2c
s a c 2b
则关于y的辅助方程的根为 r, ar ห้องสมุดไป่ตู้ a 2r；s, as, a 2 s
易知（y r）( y ar)(y a 2r) y3 r 3
（y s）( y as)(y a 2 s) y 3 s3
3 2 ( 1)( )
将上三式代入（*）有
r a b c 即r a b c
3 3 3
3
r的值即为y的值。
对于根 y的表达式 y r a b 可c 以任意交换
a,b,c的位置，即
3
y a b c , y a c b , y b a c
t3 At2 Bt C 0； 设其 根为：t1，t 2，t 3