拉格朗日松弛算法
改进的拉格朗日松弛数据关联算法
火 力 与 指 挥 控 制
Ｆ ｒ ｎ ｒ Ｉ Ｃ ｍｍａ ｄ Ｃ ｎ ｒ ｌ ｉ Ｃｏ ｔｄ ＆ ｏ ｅ ｎ ｏ ｔｏ
第 ３ ６卷 第 ｌ ０期 ２１ 年 １ ０１ ０月
文章 编 号 ：０ ２０ ４ （０ １１－ ０００ １ ０— ６０ ２ １ ） ００ ２ —４ －
日乘 子 更 新 一 般 用 次 梯 度方 法 ， 每 次迭 代都 要 进 行 多 次极 小化 运 算 来 求 对 偶 解 ， 致 实 时 性 差 。针 对 这 个 问题 ， 出 了 一种 但 导 提 改 进 的基 于拉 格 朗 日松 弛 的 数 据 关 联 算 法 ， 过 代 理 修 正 次 梯 度 方 法 更 新 拉 格 朗 日乘 子 ， 在 允 许 时 间 内获 得 近似 解 。仿 真 通 并 实 验 表 明 ， 现有 的次 梯 度 算 法 相 比 ， 算 法 具 有 更 少 的 运 算 时 问 和 更 高 的关 联 正 确 率 。 与 此
修 回 日期 ：０ ０１ －９ ２ １ —０１ ．
＊基 金 项 目 ： 家 自然科 学 基 金 （０ ０ ０ ３ ； 防 预 研 基 金 国 ６８５１）国
资 助 项 目（０ ９ Ｘ ２ ０Ｘ Ｘ）
作 者 简 介 ： 长 宁 （９ ３ ） 男 ， 北 衡 水 人 ， 士 研 究 童 １ ８一 ， 河 硕 生， 主要 研 究 方 向 ： 目标 跟 踪 。 多
量测 中分离 出来 形 成 观测 集 合 ， 后对 观测 集进 行 然
行 实 时的 、 高精 度 的识 别和估 计 。 去 的传 感器 监视 过 系统很 长时 间都 是依赖 单个传 感器来 对 目标进 行识 别， 然而 ， 单传感 器 的能力范 围 已经 达不 到当前 及未 来 的需求 。近 十年来 ， 多传感 器多 目标跟踪 问题 ， 已
拉格朗日松弛原理
拉格朗日松弛原理拉格朗日松弛原理是一种求解约束优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为无约束优化问题，从而简化了计算过程。
本文将介绍拉格朗日松弛原理的基本概念和应用，并探讨其在实际问题中的作用。
拉格朗日松弛原理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的。
它主要用于求解带有约束条件的优化问题。
在许多实际问题中，我们需要在满足一定约束条件的前提下，寻找一个使目标函数取得最大或最小值的解。
例如，在生产计划中，我们需要在给定生产资源和需求量的条件下，确定最优的生产方案；在投资组合中，我们需要在风险和收益的平衡中，选择最优的投资组合。
拉格朗日松弛原理的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题。
具体而言，我们将原问题的约束条件通过引入拉格朗日乘子的方式，加入到目标函数中，构建一个新的函数，称为拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到一组等式和不等式条件，称为拉格朗日对偶条件。
根据拉格朗日对偶条件，我们可以将原问题转化为一个无约束优化问题，进而求解出最优解。
拉格朗日松弛原理的一个重要应用是在线性规划问题中。
线性规划是一种常见的优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将线性规划问题转化为一个无约束优化问题，进而求解出最优解。
拉格朗日松弛原理在线性规划问题中的应用被广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
除了在线性规划中的应用，拉格朗日松弛原理还可以用于非线性规划问题的求解。
非线性规划是一类目标函数和约束条件均为非线性函数的优化问题。
由于非线性规划问题的复杂性，求解非线性规划问题是一个具有挑战性的任务。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将非线性规划问题转化为一个无约束优化问题，从而简化了求解过程。
除了在优化问题中的应用，拉格朗日松弛原理还可以用于求解方程组的近似解。
在实际问题中，我们经常遇到一些复杂的方程组，很难直接求解其精确解。
通过引入拉格朗日松弛原理，我们可以将方程组转化为一个无约束优化问题，从而求解出方程组的近似解。
机组组合问题综述
1机组组合问题模型
2机组组合问题算法
机组组合问题是一个高维数、非凸的、离 散的、非线性的混合整数优化问题，属于一个 NP完全问题，很难找出理论上的最优解，但 由于它能够带来显著的经济效益，人们一直在 积极研究，提出各种方法来解决这个问题，至 今为止，关于机组组合问题的算法不下百种， 下面简单介绍一下几种主要的算法：
最短路径问题是简单的，但是带有通过时间限制的最短路 径问题是NP-难问题。
3两种机组组合问题算法
IP:
ZIP mincTx Ax b,(难约束)
s.t. Bx d（ , 简单约LR:
ZLR()Bxm idn（ ,{c简 Tx单 约 T束 (b） Ax)}
朗 日
s.t. xZn.
2机组组合问题算法
3两种机组组合问题算法
➢ 1）动态规划法
用动态规划法求解机组组合问题时整个调度期间T被分成若干个时 段，每个时段即动态规划过程中的一个阶段。各阶段的状态即为该时 段所有可能的机组开停状态组合。从初始阶段开始从前向后计算到达 各阶段各状态的累计费用（包括开停机费用和运行时的燃料费）再从 最后阶段累计费用最小的状态开始由后向前回溯依次记录各阶段使总 的累计费用最小的状态这样就可得到最优的开停机方案。
电力系统经济调度的目的是在满足系统安全约束、电能质 量要求的条件下尽可能提高运行的经济性 。经济调度是一个 十分复杂的系统优化问题 ，从总体上解决，难度非常大，常 分解为一系列的子问题分别处理，从短期发电计划来看，可 分为机组组合、火电计划、水电计划、交换计划、燃料计划 等子问题 其中机组的优化组合是编制短期发电计划首先要解 决的问题 ，它的经济效益一般大于负荷经济分配的效益。
问 题
由于 ZLR()ZIP，拉格朗日问题是IP问题的一个下界，并且是与IP问题
运输能力受限与费用时变批量问题的拉格朗日松弛启发式算法
(11School of Management , University of Science and Technology of China , Hefei 230026 ,China ;21School of Management , Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China)
库存量与本周期采购量 、需求 、以及库存量之间的关系. 约束 (3) 是保证了本周期如果采购 ,则 Yjt 必定为 1.
约束 (4) 是保证在每个周期内有足够的运输工具来运输定购的产品. 约束 (5) 是规定每个周期内可以使用
的运输工具数量有上限 K. 约束 (6) 要求采购量 、库存量为非负 ,以及每个产品的初始库存为零. 约束 (7) 定
义 0 21 变量 Yjt . 约束 (8) 说明 φ( t) 取值是整数.
TN
∑ ∑∑ 很明显当且仅当 KC ≥
djt 时问题存在可行解. 对于每个周期末库存为非负的约束 Ijt ≥0 ,
t
t=1 j=1
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需准备时间的FFS调度的一种拉格朗日松弛算法
需准备时间的FFS调度的一种拉格朗日松弛算法杜书魁【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)006【摘要】针对需调度顺序相关准备时间的柔性流水车间生产调度问题,建立以成本最小化为目标的整数规划模型,用基于拉格朗日松弛的方法来求解.在常用的次梯度算法处理拉格朗日对偶问题时,迭代过程易出现振荡,严重影响了收敛效率.因此,利用了隶属度函数给出迭代过程中所有次梯度的合适权重,将它们线性加权得到新的迭代方向.最后通过算例表明,此算法有效的减少了迭代次数,提高了算法的优化性能.%The problem of flexible flow shop scheduling with sequence-dependent setup time is formulated as an integer programming model with synchronization constraints between part production and machine usage scheduling variables. A solution methodology based on Lagrangian relaxation is presented. In this method the scheduling problem , whose synchronization constraints are relaxed, is decomposed into two classes of subprob -lems. Then, the in-terative solution algorithm adopts a minimum cost network flow algorithm to solving all the subproblems respectively and applies an improved subgradient method to optimize Lagrangian multipliers. Compa-ring with subgradient method, numerical results of 21 cases, each having 20 test problems indicated that the improved subgradient method provided a less iteration and a faster convergence.【总页数】6页(P1272-1277)【作者】杜书魁【作者单位】上海交通大学中美物流研究院,上海200030【正文语种】中文【中图分类】TP278【相关文献】1.可重入混合流水车间调度的拉格朗日松弛算法 [J], 周炳海;钟臻怡2.冷链物流越库调度的拉格朗日松弛算法 [J], 周炳海; 宗师3.基于拉格朗日松弛算法的应急物流配送车辆调度模型优化研究 [J], 张文晖4.实时无等待HFS调度的一种拉格朗日松弛算法 [J], 轩华;唐立新5.单机订单接受与加工调度问题的拉格朗日松弛算法 [J], 谢杏子;王秀利因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
装配线物料搬运的拉格朗日松弛算法
装配线物料搬运的拉格朗日松弛算法周炳海;胡理嫚【摘要】为提高汽车制造企业混流装配线的运行效益,提出了基于看板模型的多封闭循环路径多载量小车物料配送调度方法—–装配线物料配送调度的拉格朗日松弛算法.首先对问题域进行了描述并做出了具体假设,以最小化配送系统总成本为目标,建立了混合整数规划模型.在此基础上,针对该模型提出了两种算法—–次梯度和随机步长拉格朗日松弛算法,将松弛问题分解为两个决策子问题分别进行求解.仿真实验表明提出的两种调度算法均适用于该研究问题域,并在求解时间及稳定性上表现出良好的性能.%To effectively enhance the performance of the mixed-model assembly line in automobile manufacture enter-prises, a kanban model-based scheduling method of multi-close-loops dolly train material delivery, Lagrangian relaxation algorithm for material delivery problems of assembly lines, is proposed in this paper. First of all, a problem domain of multiple-close-loops dolly train material delivery is presented and a few assumptions of the problem are depicted in detail in the paper. Then, a mixed integer programming model is constructed, which aims to minimize the total expected cost of material delivery system. On that basis, two algorithms–-Lagrangian relaxation based on subgradient and Lagrangian relaxation based on random step–-are proposed for the mixed integer programming model, which both decompose the relaxed problem into two decision sub-problems both of which are solved respectively. Simulation experiments show that the two scheduling methods are fit tosolving the problem and have a better performance in calculating time and stability.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】8页(P491-498)【关键词】物料搬运;看板;调度;拉格朗日松弛【作者】周炳海;胡理嫚【作者单位】同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学机械与能源工程学院,上海201804【正文语种】中文【中图分类】TP391随着产品多样性与定制化趋势的发展,准时化零部件配送愈加成为制造企业所面临的一大挑战.车辆装配线中的多载量小车(dolly train)物料配送问题越来越受到学术界和工业界的关注.近年来,多载量小车物料配送调度决策问题引起了许多国内外学者的重视.Battini等[1]研究指出,由于小车容量与工位空间限制不利于准时化物料配送策略的实施,因此混流装配线的准时化(just-in-time,JIT)物料配送问题尤为复杂.但仍有不少学者致力于解决这一难题.Choi等[2]首次研究了动态系统下多载量小车零部件配送问题,以最小化惩罚值为目标确定小车最优配送序列.Jenny等[3]根据JIT原则以最小化配送人员数量建立了混合整数规划模型,并提出了相应的求解启发式算法.Boysen 等[4]研究了静态配送系统下单条装配线的零部件配送问题,建立了两个动态规划模型,并采用嵌套动态规划算法求解了小车路径、调度与装载问题.Boysen等[5]研究了混流装配线多载量小车装载问题,在小车有限容量与避免物料短缺约束下最小化线旁库存量,并提出了一个精确的多项式时间求解算法.Faccio等[6]首次提出整合库存超市、看板与多载量小车配送系统的调度框架.Faccio等[7]通过仿真研究了看板配送系统下多装配线多载量小车固定路径配送调度问题.Marco Bortolini等[8]通过仿真确定了在固定路径下最佳小车数量与安全因素并优化看板数量.可知,将多载量小车物料配送调度问题与看板优化问题结合研究的文献少见报道;其次,由于多载量小车配送决策与看板优化整合问题的复杂性,现有文献研究均采用仿真方法求解,但仿真本身存在时间与建模成本高、通用性低等缺陷;再则,已有的多载量小车调度方法忽略了小车路径选择对于装载的耦合这一重要特性.而类似拉格朗日松弛这类能够在合理的时间内找到实际规模问题的可量化指标的近优解算法更受青睐[9-12].因此,在上述文献基础上,本文尝试进行变路径多载量小车配送决策与看板优化整合问题研究,提出适用于该模型的两种拉格朗日松弛算法,松弛路径选择与装载耦合约束,从而提高问题求解效率与稳定性.2.1 问题描述(Problem statement)如图1所示,多载量小车负责将装满零件的物料箱从库存超市搬至相应的工位.整个物料配送过程分为4个阶段.首先多载量小车到达停车装载处,将领料看板指示的物料箱放入车厢中.然后多载量小车根据看板生成的运输指令、小车容量与生产线零件需求的紧急程度(配送距离与消耗率决定)选取合适的零件装载.接着小车沿循环路径历经各个工位,在需求工位处卸载零部件并替换出空料箱;最后多载量小车将空箱运回库存超市,空箱根据看板指示向前一道工序补充物料.2.2 数学模型(Mathematical formulation)基于上述问题描述,建立数学模型如下:1)模型假设.该系统中配送间隔时间一定,不允许小车在工位旁滞留;首个零部件取出后立即摘下看板放入看板回收箱,运输指令由回收的看板直接生成;看板系统由装载计划对运输指令进行分配,允许已生成的运输指令延迟搬运;只有生成运输指令的工位才需零部件补充,运输指令元素仅由一次搬运完成;每个工位都有一定的初始库存;不允许缺货;库存超市服务水平为100%;整个系统处于稳定状态;采用弹射架与重力式托盘,小车装卸载时间可忽略;时间均标准化为节拍(takt).2)参数.r∈R:配送路线集合R={1,2,···,rmax=R};f∈F:运输指令集合,元素F为搬运最大频次F={1,2,···,fmax=F};m∈M:零部件集合M={1,2,···,mmax=M};l∈ L:生产线集合L={1,2,···,lmax=L};J:配送人员需求量;Ctotal:总成本,RMB;Cost−man:劳务费用,RMB;Cost−tow:多载量小车固定投资成本,RMB;CStock:库存成本,RMB;aml0:初始库水平,不包括安全库存,unit;Qc:库存价值系数,RMB/unit;γml:生产线l对应工位上零部件m的平均消耗量,unit/takt;Smsl:通过r路径将零部件m搬运至对应工位经历的运输距离,m;Vtow:多载量小车平均运行速度,m/takt;B:配送间隔时间,takt;ktml:生产线l零部件m物料补充指令在运输指令中,取值为1;否则为0,SKU; Ttravel:多载量小车完成一次搬运所需平均运输时间,takt;:生产周期,takt;STot:运输路径长度即集货配送路线总长度,m;Ctow:多载量小车装载容量,SKU;qm:零部件m标准箱容量大小,unit/SKU;:生产线l产品i的需求标准差(Standard deviation,SD),unit/takt;:生产线l零部件m需求箱数SD,SKU/takt;:丰田公式看板数量估算值;:改进公式看板数量估算值;cml:生产线l上零部件m平均需求箱数,SKU/takt;:零部件平均提前期,takt;pim:每种产品的物料清单;Fml:生产周期内生产线l上零部件m的必须配送次数;LTml:生产线l上零部件m连续两次搬运的平均提前期.3)决策变量.xjr:二进制变量,表示配送人员j选择路径r执行此次配送任务;δ:连续变量,安全因子,表示生产线上工位服务水平;yftml:二进制变量,表示当前运输指令元素ktms由第f次搬运完成.以最小化多载量小车物料配送成本与库存成本为调度目标,建立如下数学规划模型: 上述模型中,式(1)-(14)为多载量小车配送模型:目标函数(1)为最小化配送成本与库存成本;约束(2)与约束(3)分别为配送人员与配送次数计算公式;约束(4)表示只有生成运输指令的工位才需零部件补充,运输指令元素只执行一次搬运;约束(5)表示每次搬运只能选择一条循环路径;约束(6)表示一次搬运量不得超过小车容量;约束(7)表示搬运结束即完成所有运输指令;约束(8)为不允许提前搬运;约束(9)为线边库存计算公式;约束(10)表示不允许缺货;约束(11)保证小车每次搬运装载率;约束(12)-(14)定义变量性质.式(15)-(17)为传统丰田看板估算模型;与传统丰田估算看板不同的是,改进看板估算模型即式(18)-(21)摒弃了零件提前期一致的理论假设,采用差异化提前期估算看板数量,从而更加贴近实际混流装配线看板需求.式(18)表示根据不同的零部件提前期估算看板数量;式(19)表示零件需求标准差估计;式(20)表示不同零件的搬运次数;式(21)表示不同零件的搬运提前期不同.3.1 松弛决策约束(Relaxing decision constraints)由于小车配送模型结构特殊,只有式(9)与式(10)均包含变量δ与变量xfr,yτtml,其他约束仅包含其中一个变量,为充分利用该结构性质,问题模型(P)通过松弛约束(10)可重构为拉格朗日松弛问题(LR),(LR)目标函数为子问题S1只包含变量δ与变量xfr,变量为非负,因此S1模型为混合整数规划模型;子问题S2仅包含变量yftml,变量为整数且非负,因此S2模型为整数规划模型,两个子问题均采用MATLAB混合整数规划求解函数求解.3.2 构造可行解(Construction of a feasible solution)由于对偶问题获取的解为原问题的下界,可能违反耦合约束(10),对于原问题通常是不可行的,因此需要将不可行的解可行化,从而获取原问题的上界.构造可行解的步骤如下:第1步,因为搬运越往后,搬运出现缺货的几率越高,越不易满足约束(10),因此按照搬运次序由后到前,在每次搬运中,按照搬运路径由短到长的顺序,在下界中选取短路径xjr与长路径xjr′互换,放松式(10)右侧约束.第2步,由于S1中,求解获取的连续变量δ过小,无法满足约束(10),因此将第1步交换后的下界解集中的安全因子以0.0135步长逼近最小化最大安全因子,以尽可能小的安全库存成本增幅获取原问题的可行解.第3步,如果仍然没有可行解,返回第1步继续变量值xjr互换,同时δ上界以一定步长(取值0∼0.3)下降,以逼近最小化最大安全因子,一旦找到可行解,终止解可行化.3.3 次梯度算法(Subgradient algorithm)在计算拉格朗日对偶问题时,采用次梯度方法进行拉格朗日乘子更新式(28)可保证尽快获取一个可接受的下界,使得步长以指数速度下降,减少迭代次数. 次梯度计算公式为3.4 随机步长算法(Random step algorithm)针对基于次梯度优化的拉格朗日松弛算法收敛较慢的特点,提出了加速收敛的随机步长算法,步长βh设置为随机步长而非指数变化步长.拉格朗日乘子更新如下:其中rand(1)表示生成取值0∼1的数值,避免过早收敛影响解质量,θ根据实验选取合适值,保证乘子取值不过大且算法具有较好的收敛性.3.5 拉格朗日松弛算法步骤(Steps for Lagrangian relaxation algorithm)步骤1 设置初始值,拉格朗日乘子λh初始值,当前上界与下界值,UB与LB.步骤2 松弛问题(P)的约束(10),建立拉格朗日对偶问题(LD).将LD分解为子问题S1与S2.步骤3 子问题S1加入约束(32)后对子问题S1采用MATLAB求解;然后将上述求解得到的确定值带入原问题求解问题(P),如果解为最优或小于上界,则将其设为新的上界.步骤4 对S2使用与步骤3相同处理方法.步骤5 整合步骤3与步骤4中子问题的最优解,如果之和大于下界,设置其为新的下界.步骤6 核查停止规则,如果连续两次求解下界差值大于0.1,那么计算βh更新拉格朗日乘子,λh+1=max(0,λh+βh),设置h=h+1,βh为步长.步骤7 如果找到近似最优解,过程终止,z∗=UB,并计算GAP1=(UB−LB)/LB.在计算步骤3,由于最小化S1子问题时连续变量δ在其中的取值始终为0致使下界过低,因此加入约束(32)保证下界不会过低且收敛较快.本文采用主频2.5 GB,内存为4 GB的PC电脑进行仿真实验.首先采用LINGO分枝定界算法验证改进看板模型的优越性,然后通过MATLAB编程实现拉格朗日松弛简化多载量小车配送模型求解.案例以一家汽车企业的混流装配线为研究对象.3条并行的直线装配线生产7种汽车:3种混合汽车模型与4种城市汽车模型.装配线1,2,3分别装配产品1,2,3;产品4,5与产品6,7.每种产品的物料清单中均有15种零部件.系统的配送调度均由JIT-看板策略控制并由多载量小车在库存超市与装配线之间来回搬运实现.小车一次循环搬运行程长312 m.表1与表2分别给出了案例研究所需信息:产品配比、7种装配产品的物料清单表、库存量单位(SKU)容量qm与零部件消耗量γms.多载量小车的特征参数设置如下:小车容量C=10 SKU,平均速度Vtow=0.5 m/s;一辆汽车的出产时间1 takt=60 s,小车运行速度Vtow=30 m/takt,则小车一次循环时间Ttravel=10.4 takt.小车装载率η=50%;为简化成本计算,搬运间隔时间B=1 takt,库存成本Qc=1 RMB/unit.每天多载量小车运营成本(包括操作者工资)Ctow=2000 RMB,生产线平准化生产量Ntakt取值为6 takt/day.4.1看板优化结果(The optimized result of kanban)Marco Bortolini已经通过仿真实验证明了改进看板模型计算结果更接近仿真结果,更适用于混流装配线的看板估算.根据图2,不难发现,不同零部件所需看板数量是有差异的;改进看板模型的看板需求总量119较丰田公式估算量135少,即意味着采用改进模型的生产线在制品更少.实验结果再次验证Marco Bortolini等人的研究结论,采用改进看板估算模型获取的估算结果更好.综合以上分析,1)在B&B,RDMLR与TDLR这3种算法对3种不同规模问题的求解中,TDLR求解质量均较好且求解时间增幅最小,其稳定性最好;2)对于中大规模问题,RDMLR算法求解质量比TDLR算法更好;3)产品物料清单对模型的求解时间与质量有一定的影响,产品物料清单所需零部件种类越多,下界越紧,求解时间越长.这是因为随着零部件种类越多,多载量小车装载限制也会随着增多,相应的符合的组合数量也会减少,从而使得模型更容易获得较优的调度结果;而问题规模越大,其复杂性也随之增大,因此求解时间也随之变长;4)在小规模问题求解中,3种算法求解时间基本一致,但是B&B算法求解质量最好;在中大规模问题中,虽然LR算法求解效率高于B&B,但是只能获得近似最优解;对于大规模问题,LR算法求解效率较低且下界解质量不稳定,验证了随着问题规模增大,每步迭代子问题的精确求解与算法本身的震荡导致了求解效率低与收敛速度慢.提出了看板系统控制下的多循环路径多载量小车配送调度方法,将多载量小车物料配送问题与看板优化问题相结合建立了其调度数学规划模型.并提出了求解调度数学规划模型的两种拉格朗日松弛启发式算法,并用数值实验方法验证了两种算法的适用性与各自的优越性.由于影响装配线的因素繁杂,后续研究可以考虑更多配送系统的影响因素更适应实际生产环境;也可考虑求解大规模问题的新调度方法,如人工智能算法.周炳海 (1965-),男,博士,工业工程研究所所长,博士生导师,主要从事离散系统建模、调度与仿真等方向的研究,E-mail:*****************.cn;【相关文献】[1]BATTINI D,FACCIO M,PERSONA A,et al.Design of the optimal feeding policy in an assembly system[J].International Journal of Production Economics,2009,121(1):233-254.[2]CHOI W,LEE Y.A dynamic part-feeding system for a automotive assemblyline[J].Computers&Industrial Engineering,2002,43(1):123-134.[3]GOLZ J,GUJJULA R,GÜNTHER H O,et al.Part feeding at highvariant mixed-model assembly lines[J].Flexible Services and Manufacturing Journal,2012,24(2):119-141.[4]EMDE S,BOYSEN N.Optimally routing and scheduling tow trains for JIT-supply of mixed-model assembly lines[J].European Journal of OperationalResearch,2012,217(2):287-299.[5]EMDE S,FLIEDNER M,BOYSEN N.Optimally loading tow trains for just-in-time supply ofmixed-model assembly lines[J].IIE Transactions,2012,44(2):121-135.[6]FACCIO M,GAMBERI M,PERSONA A,et al.Design and simulation of assembly line feeding systems in the automotive sector using supermarket,kanbans and tow trains:a general framework[J].Manage Control,2013,24(2):187-208.[7]FACCIO M,GAMBERI M,PERSONA A.Kanban number optimisation in a supermarket warehouse feeding a mixed-model assembly system[J].International Journal of Production Research,2013,51(10):2997-3017.[8]BORTOLINI M,FERRARI E,GAMBERI M,et al.New kanban model for tow-train feeding system design[J].Assembly Automation,2015,35(1):128-136.[9]ZHOU Binghai,ZHONG grangian relaxation algorithm for scheduling problems of reentrant hybrid fl ow shops[J].Control Theory&Applications,2015,32(7):881-886.(周炳海,钟臻怡.可重入混合流水车间调度的拉格朗日松弛算法[J].控制理论与应用,2015,32(7):881-886.) [10]TU Guoyu,SONG Shiji.Stochastic model for total cost optimization in streetlamp maintenanceand itsprobabilistic Lagrangianrelaxation method[J].ControlTheory&Applications,2011,28(3):407-413.(涂国煜,宋士吉.路灯维护总费用随机优化模型及其概率分布拉格朗日松弛方法[J].控制理论与应用,2011,28(3):407-413.)[11]FISHER M L.The lagrangian relaxation method for solving integer programming problems[J].Management Science,2004,50(12):1861-1871.[12]PENG Tao,ZHOU Binghai.Just-in-time distribution algorithm of line-side parts for automobile assembly lines[J].Control Theory&Applications,2016,33(6):779-786.(彭涛,周炳海.车辆装配线线边物料准时化配送算法[J].控制理论与应用,2016,33(6):779-786.)。
技术站配流与调机运用综合问题的拉格朗日松弛算法
ｏ ｅ ａ ｉｎ ． Ｓｍ ｕ ｔｎ ｏ ｓｙ ｔ ｅｍ ａ ｅ ｕ ｆｅ ｃ ｅ ａ ｔ ｒ ｒ ｉ ｎ ｈ ｒ ａ — ｐ（ ａ ｅ ｕ ）ｔ ｓ ｆｅ ｃ ｈ ｎ ｐ ｒｔ ｓ ｏ ｉ ｌａ ｅ ｕ ｌ ｈ ｋ — ｐ ｏ ａ ｈ ｄ ｐ ｒｕ ｅｔａｎ ａ ｄ ｔ ｅｂ ｅ ｋ ｕ ｍ ｋ — ｐ ａ ｋ ｏ ａ ｈ ｓ ｕ —
ＺＨ Ａ Ｏ ｕ Ｈ ＡＮ ｅｓ ｎ Ｐ Ｊ ｎ， Ｘｕ — ｏ ｇ。 ＥＮＧ — ｕ ｎ Ｑｉｙ ａ
（ ｃ ｏ ｌｏ ａ ｐ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｌｏ ｉｔｃ ，Ｓｏ ｔ ｗｅ ｔＪａ ｔ ｇＵ ｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｓ ｈ ｏ ｆ Ｔｒ ｎｓ ０ ｔ ｔ０ ｎ ｇｓｉｓ ｕ ｈ ｓ ｉｏｏｎ ｉ ｅ ｓ ｔ ，Ｃｈ ｎ ｄ １ ３ ｅ ｇ ｕ ６ ００ １，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
建 单 解 单 编 技 术 站 配 流 与 调 机 运 用 综 合 问题 的混 合 整 数 线 性 规 划 模 型 ， 时 确 定 出发 列 车 的 编 组 内 容 和 调 机 的 同 解 编 任务 ， 得 出发 列 车 满 足 列 车 编组 要 求 ， 车 辆 在 站 加 权 总停 留 时 间最 小 。设 计 拉 格 朗 日松 弛 算 法 松 弛 掉 连 使 且 接 约 束 ， 原 问 题 分 解 为 解 体 子 问 题 、 流 子 问 题 和 编 组 子 问 题 ， 偶 问题 采 用 传 统次 梯度 优化 算 法 求 解 。最 后 ， 将 配 对
增广拉格朗日松弛方法
增广拉格朗日松弛方法
增广拉格朗日松弛方法是一种常用的非线性规划求解方法，它通过增加非线性约束条件的松弛程度，将原问题转化成一系列线性规划问题。
具体地说，增广拉格朗日松弛方法通过添加拉格朗日乘子和惩罚项，将原问题转化成一个无约束的优化问题，然后再通过求解一系列线性规划子问题，逐步逼近原问题的最优解。
由于其具有较好的收敛性和鲁棒性，增广拉格朗日松弛方法在实际问题中得到了广泛的应用，尤其是在大规模非线性优化问题的求解中表现出了出色的效果。
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拉格朗日松弛对偶问题的一个改进次梯度算法
拉格朗日松弛对偶问题的一个改进次梯度算法何方国【摘要】拉格朗日松弛法是处理整数优化问题的一个重要方法。
针对利用次梯度算法求解拉格朗日松弛对偶问题时容易出现收敛速度较慢及计算效率低等问题，对次梯度算法进行了改进：结合当前次梯度和历史次梯度的线性组合给出新的迭代方向，然后决定合适步长。
同时证明了算法的收敛性及有效的消除迭代过程中的锯齿现象。
将改进的拉格朗日松弛的次梯度算法用于解决 TSP 问题，数值计算结果表明，改进的次梯度算法比普通次梯度算法收敛较快，说明了改进算法的有效性。
【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2016(013)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】拉格朗日松弛算法;次梯度;优化问题;对偶【作者】何方国【作者单位】黄冈师范学院数理学院，湖北黄冈 438000【正文语种】中文【中图分类】O221拉格朗日松弛算法(LR)已经成功的应用于许多优化问题，如网络优化问题、生产调度问题、选址问题及其他整数优化问题等[1，2]。
在拉格朗日松弛算法中, 求解拉格朗日对偶问题非常关键,一般采用次梯度优化算法来解决。
但其方法在优化过程中容易出现收敛速度较慢及计算效率低的特点，这主要是在迭代过程中方向和步长的选择影响着算法的性能。
为此, 一些学者已提出了求解拉格朗日松弛问题的改进方法：文献[3]给出了一种指数形式的拉格朗日对偶方法，并证明其收敛性；文献[4]提出利用上次迭代的次梯度的信息来改进步长的次梯度算法；文献[5]则将模糊的概念引入次梯度的求取中, 提出了模糊次梯度算法。
这些方法在求解性能上都有所提高，但有的计算比较复杂。
下面，笔者给出一个改进方法，并将改进的拉格朗日松弛的次梯度算法用于解决TSP问题来证实算法的有效性。
考虑如下有约束的优化问题：其中,I= {1, 2,…,m}，X为一个有限集； f: Rn →R和gi:Rn →R分别为X上的连续凸函数。
问题(1)被称为原问题。
拉格朗日算法
拉格朗日算法
拉格朗日算法
拉格朗日算法作为约束优化算法的经典模型，在线性规划及其扩展形式中应用广泛，并产生深远影响。
特别是在互联网行业，拉格朗日算法一直被广泛使用，在不断推动行业创新发展及科技进步。
从本质上来说，拉格朗日算法是一种尝试求解多余的变量约束的数学优化问题的技术，它重点关注约束条件和最优值之间的联系。
通常来说，拉格朗日算法包括求解函数（精确或近似）、求解连续变量（例如通过求解最优状态）、以及精确或近似解决离散变量和杂项变量等。
除了上述传统用途外，拉格朗日算法在互联网行业得到广泛应用，主要是为了解决资源共享和任务分配问题。
例如网络中的聚合数据分析，通过拉格朗日算法，使各相关机构的功耗能够有效的降低，从而节省网络资源，提高效率，有效提升了网络用户的体验。
在互联网及其衍生领域，拉格朗日算法发挥着重要作用，其强大的约束优化能力，从困难的问题中获得有效的、可操作的解决方案，具有丰富的适应性，可以满足多种变数的优化和优化要求；通过拉格朗日算法，还能够使参与方得到公正的分配，提升合作效率。
综上所述，拉格朗日算法在互联网行业具有独特的作用，它能够解决大多数复杂的约束优化问题，有效地提升行业效率并促进行业发展，是现代互联网行业不可或缺的重要技术。