拉格朗日松弛算法(LR)
Why using LG method
Good primal sequence Good bound.
First step relaxation
Min J
{Bi }
with
J iTi k (ik M k )
i k i
i
ik
Mk
k 1, 2,…，K
（ 1）
analysis
Deep into pai—the LG multiplier What is the meaning of pai in physical sense? How it acts and changes during the itaration? The LG solution is a good primal solution though non-feasible. Why the LG solution is a good primal solution?
给定 π 将上述问题分解成N个子问题
Min Li {1 B k-t i +1} i s.t Ci Bi 1 t i with Li ω T + π δ i i k ik k i 1, 2, …，N
Solve dual problem
{ Bi } i k i
k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
Ci Bi 1 ti
k 0
i 1, 2,…，N
(2)
decomposition
Min ω T + π δ i i k ik {B } i k i
Optimize subproblem2 For given to obtain B2
Optimize subproblemN For given to obtain Bn
Dual problem
Max L with
L Min iTi k ( ik M k )
yes
end
Simulation results
eg1: 12 jobs and 2 identical machines ; Eg2:25 jobs and 4 identical machines ; Result: Eg1 bound=31.82 with best heuristic result 34; Eg2 bound=37.74 with best heuristic result 38;
t
s t ＝0则达到了最优解而停止计算；否则，
t=t+1,重复STEP2；
t 1 max{ t t st , 0}
t
uper lower st
2
with
0 2
Illustration of SG
upper1
上升很慢
Gama
Lemma1：when w f *
Max L
with
L k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
* k
dJ * dM k
Pai stands for the cost of resource at time k
Illustration for pai
w Lemma2： f *
and
k
for all k, then
limi mink i f ( xk ) f * ( f * w) /(2 )
Halve the dual gap
Illustration for gama
迭代次数－步长 1.5
与 lmd的 曲 线
Outline
Deep into SG algorithm。 Solve parallel machine scheduling using L-G method Simulation analysis
Deep into SG method
Widely used in non-differentiable optimization; Min f(x)
1
0.5
步长的曲线
0
0
500
1000
1500 counter
2000
2500
3000
3500
upper
40 35 蓝线的期望值高于紫线 30 期望值不同对迭代造成的影响 期望值接近最优解，造成迭代次数增加 25 好处？
value
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500 counter
2000
2500
pai的 值
3 2 2 1 1 0 0
5
10
15
20
25 k个 时 刻
30
35
40
45
50
Illustration for pai
7 6 5
5
4
4
3
3
2
2
1 1 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Pai !=0
Pai !=0;
原问题一定跟对偶问题很 不一样
How can the solution of a completely different problem gives you a good primal solution???
Flow chart of heuristic
List 按照（LG start） K=1,i=1
Reform the list Refresh start Set K= k+1
refresh start no
Mk=0?
no i++;调度下一个job i=job_num?
yes
有任务在k完成吗
yes Mk++;(k+1 N)
3000
3500
lower
不同的下界开始的时间 40 36 35 从 下 界 36， 上 届 40开 始 搜 索
30 从 下 界 0， 上 届 40开 始 搜 索 25
value
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500 counter
600
700
800
900
1000
description
{ Bi }
J iTi
i
i
ik
Mk
k 1,2,…，K i 1,2,…，N
（1） (2)
Ci Bi 1 ti
Steps of LG method
step1 .relaxation of the hard constrain step2 .solve the L-G dual problem using S-G method step3. get feasible solution using heuristic alg0rithm
Pai (what)
It tells us How important is the time K How important is the machine of time k Conclusion The cost of using the resource of time k
Mathematical sense (pai)
{ Bi } i k i
k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
Ci Bi 1 ti
k 0
i 1, 2,…，N
(2)
My explanation
Max L
with
L Min iTi k ( ik M k )
{ Bi } i k i
Good beginning promises success!!
Thanks for listening!!
原问题 给定一个 sub1 sub2
分解成N个子问题
将 Bi 带回原问题 得到关于 的函数 用次梯度法 得到一个 新的
求解N个子问 题得到一组 B
i
heuristic
Get feasible solution LG-solution is a good primal solution The sequence is good but violate the capacity constrain. The one who cost much goes first,so it goes on.
Basic parallel machine scheduling
job1 job2
M1
1. 目
标
2.能力约束 3.自身约束
job3
job4 Pro_time, weight, duedate, start_time
M2
Formulation
problem formulation
Min J with
4 3.5
不同时刻的pai在整个迭代过程中的趋向 K在 前 端
3
2.5 中后端 2
1.5
1
0.5 后端 0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Illustration for pai
拉格朗日松弛算法详解
拉格朗日松弛算法详解1莱拉格朗日松弛算法莱拉格朗日松弛（Lagrangian Relaxation）是一种处理复杂优化问题的一般方法。
莱拉格朗日松弛可以把复杂的问题转换为一组相对简单的子问题，以便定义组合最优解。
它通过引入分数优化变量和松弛因子来把原来的复杂问题转换为一组子问题。
这种变换可以在原始问题的某些约束条件下解决，这样一来，原问题的目标值被放松到一个最优解更容易获得的子问题中。
2工作原理莱拉格朗日松弛是将原来的优化问题放置到一个新的空间（称为松弛空间）中求解，然后将求得的解重新映射回原问题的空间中。
首先，在松弛空间中引入一组新的变量以替换原问题所包括的变量。
接着，导入一组松弛变量，以模拟原问题中涉及的约束条件，这样可以改变原问题的最优解，使其成为更容易求解的子问题。
然后，将原优化问题转化成一组子问题，这些子问题把原问题中所有约束都考虑进去，形成一个统一的整体问题。
最后，将解的取值映射回原问题的变量，从而得到原问题的最优解。
3特点莱拉格朗日松弛算法比其他传统优化算法具有几个优点：-它可以完美求解类型为最大化/最小化，但不限于这些类型的优化问题；-它可以处理头等函数和受约束的组合优化问题；-它还可以处理复杂的混合整数优化问题；-它可以更容易地分解为并行计算，从而更快地获得最优解；-它还可以求解很多常见的优化问题，如混合整数线性规划，混合整数非线性规划，半回归模型，回归模型，组合优化问题，等等.4应用领域莱拉格朗日松弛算法求解问题并不仅限于模糊优化，它也可以应用于计算机视觉领域、量子计算、机器学习领域等多个领域，在这些领域使用莱拉格朗日松弛可以求得更more准确的优化解。
特别是在计算机视觉领域，莱拉格朗日松弛算法可以用来求解复杂的优化问题，如最小化目标函数（特别是基于混合整数优化实现）和求解图像处理问题（如边缘检测、批处理等）。
此外，它也可以将原来复杂的优化问题分解成若干有限的子问题，这样就可以把原问题转换为可求解的子问题。
改进的拉格朗日松弛数据关联算法
火 力 与 指 挥 控 制
Ｆ ｒ ｎ ｒ Ｉ Ｃ ｍｍａ ｄ Ｃ ｎ ｒ ｌ ｉ Ｃｏ ｔｄ ＆ ｏ ｅ ｎ ｏ ｔｏ
第 ３ ６卷 第 ｌ ０期 ２１ 年 １ ０１ ０月
文章 编 号 ：０ ２０ ４ （０ １１－ ０００ １ ０— ６０ ２ １ ） ００ ２ —４ －
日乘 子 更 新 一 般 用 次 梯 度方 法 ， 每 次迭 代都 要 进 行 多 次极 小化 运 算 来 求 对 偶 解 ， 致 实 时 性 差 。针 对 这 个 问题 ， 出 了 一种 但 导 提 改 进 的基 于拉 格 朗 日松 弛 的 数 据 关 联 算 法 ， 过 代 理 修 正 次 梯 度 方 法 更 新 拉 格 朗 日乘 子 ， 在 允 许 时 间 内获 得 近似 解 。仿 真 通 并 实 验 表 明 ， 现有 的次 梯 度 算 法 相 比 ， 算 法 具 有 更 少 的 运 算 时 问 和 更 高 的关 联 正 确 率 。 与 此
修 回 日期 ：０ ０１ －９ ２ １ —０１ ．
＊基 金 项 目 ： 家 自然科 学 基 金 （０ ０ ０ ３ ； 防 预 研 基 金 国 ６８５１）国
资 助 项 目（０ ９ Ｘ ２ ０Ｘ Ｘ）
作 者 简 介 ： 长 宁 （９ ３ ） 男 ， 北 衡 水 人 ， 士 研 究 童 １ ８一 ， 河 硕 生， 主要 研 究 方 向 ： 目标 跟 踪 。 多
量测 中分离 出来 形 成 观测 集 合 ， 后对 观测 集进 行 然
行 实 时的 、 高精 度 的识 别和估 计 。 去 的传 感器 监视 过 系统很 长时 间都 是依赖 单个传 感器来 对 目标进 行识 别， 然而 ， 单传感 器 的能力范 围 已经 达不 到当前 及未 来 的需求 。近 十年来 ， 多传感 器多 目标跟踪 问题 ， 已
拉格朗日松弛20lagrangian_relaxation_1
可能解
35
课堂练习
公式化设施位置问题为整数规划. 假设一个客户能被多于 一个设施服务. 建议一种用拉格朗日松弛能帮助解决此问题的方式.
令xij 是被设施j服务的客户i的需求总和. 令yj 是 1,如果设施j开放,否则为0.
36
设施位置模型
37
本课总结
拉格朗日松弛 说明使用约束最短路 界限原则 更广义形式的拉格朗日松弛 拉格朗日乘子问题 拉格朗日松弛和不等式约束 当松弛一些约束让问题简化的时候,非常流行的方法 应用 TSP 一般化赋值 设备位置
有时候,我们尽可能能做的就是在最好的目标值上提供 下界. 如果发现接近最佳解这样的下界,这几乎和最优 性一样.
2
概要
基于分解的方法. 开始于 简单约束 复杂约束 把复杂的约束放入目标. 我们将得到关于最小化问题的最优解的下界. 在许多情况中,这种边界接近最优解的值.
3
例子:受约束的最短路径
给出:网络 G = (N,A) cij 弧 (i,j) 的代价 tij 对弧 (i,j) 的遍历时间
复杂的约束
4
例子
从结点1到结点6寻找通过时间最多是10的最短路径.
5
带通过时间限制的最短路径
最短路径问题是简单的. 带有通过时间限制的最短路径问题是 NP-难 问题.
我们说约束的优化问题Y是问题X的松弛,如果Y 可以 通过删除X的一个或多个约束获得. 我们将"松弛" 复杂约束,然后使用惩罚太多通过时间 的"启发式方法". 我们然后把它和拉格朗日松弛理论联 系在一起.
9
从1到6的新的最短路径是什么?
1-2-5-6的修改的代价 是20. 通过时间是 15. 代价是5. 1-2-4-6仍然不可行.
拉格朗日松弛算法
上述问题等价于: zLD max
cT x k T (b Ax k ) , k K s.t. (cT T A)r j 0, j J 0
整理得:
z LD max
T ( Ax k b) cT x k , k K
s.t.
T T T z ( ) min( c A ) x b 证明: LR xQ
min (cT T A) x T b
xCon ( Q )
min [cT x T (b Ax)]
xCon ( Q )
k 设Con(Q)的极点为{x | k K},极方向为 {r j | j J }则:
0, zLR ( ) zIP
min cT x s.t.Bx d
n x Z
(5.2.1)
证明:
LR :
IP :
Z LR ( ) min{(cT T A) x T b} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z . Z IP min cT x Ax b, (难约束) s.t. Bx d（简单约束） , n x Z .
1, x* 0,
dj 0 other
5.2
IP :
拉格朗日松弛理论
Z IP min c x
T
s.t.
Ax b, (难约束) Bx d（简单约束） , n x Z .
n S {x Z | Ax b, Bx d}
原 整 数 规 划 问 题
S1 Con(Q {x R | x1 2 x2 4})
n n S 2 Con(Q) {x R | x1 2 x2 4}
拉格朗日松弛算法(LR)
s t ＝0则达到了最优解而停止计算；否则，
t=t+1,重复STEP2；
t 1 max{ t t st , 0}
t
uper lower st
2
with
0 2
Illustration of SG
upper1
上升很慢
Gama
Lemma1：when w f *
3000
3500
lower
不同的下界开始的时间 40 36 35 从 下 界 36， 上 届 40开 始 搜 索
30 从 下 界 0， 上 届 40开 始 搜 索 25
value
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500 counter
600
700
800
900
1000
description
yes
end
Simulation results
eg1: 12 jobs and 2 identical machines ; Eg2:25 jobs and 4 identical machines ; Result: Eg1 bound=31.82 with best heuristic result 34; Eg2 bound=37.74 with best heuristic result 38;
Max L
with
L k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
* k
dJ * dM k
Pai stands for the cost of resource at time k
第8章_松弛算法
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
对于离散点集 Q {P | i 1, 2,},其凸包 i 定义为:
S1 Con(Q {x R | x1 2 x2 4})
n n S 2 Con(Q) {x R | x1 2 x2 4}
x1 2x2 4
4 3 2 1 1
B
C
S1
2
3
D
4
x1 2x2 4
4
3 2 1 1
B
C
S2 2 3 4
D
由推论7.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关: 第一个因素是目标函数中的C,推论7.2.1要求对所 有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 zIP zLD 第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI 和S2不同,所以存在一个C,使得 zIP zLD不为零,如 8 z LD 28 ,在 1 达到拉格朗日对偶问 在例7.2.1中, 9 9 题的最优值,其最优解为(4,0); zIP 28 ,其一个最优 解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛 在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们 也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
拉格朗日松弛
T S2 = （- 1， - 1， - 2）
2
6（ - - 2） 8 2 = ×2 = 6 3
8 4 4 T T = max{( 4， 4， 4) + × （- 1， - 1， - 2）， 0} = （ , ,0） 3 3 3
3 T
在实际计算中，由于பைடு நூலகம்题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果 难达到，常常用
（3）
题的最优解。最优值为 （4 ）
可变时，这种情况表示已得到原问
。 在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
Page 13
Outline
1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 14
简单例子
Page 15
简单例子
Page 16
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X 1 = (0， 0， 0， 0)T
Z LB 1 = 11 + 21 + 31 = 0
4
Page 19
Outline
1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 20
实际问题中的应用—原问题
船舶必须在到港之后靠泊 复杂约束：
Page 21
实际问题中的应用—松弛后的问题
Page 22
实际问题中的应用—松弛后的问题
拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法是一种常用的优化算法，以解决含有约束条件的优化问题。
该算法通过引入拉格朗日乘子将原问题转化为一系列子问题，并通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。
本文将详细介绍拉格朗日松弛算法及其应用。
一、拉格朗日乘子法在介绍拉格朗日松弛算法之前，我们需要先了解一下拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，用于求解带有约束条件的优化问题。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束的最优化问题，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。
对于一个带有约束条件的优化问题：min f(x)s.t.g(x)<=0h(x)=0其中，f(x)为目标函数，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束。
我们可以定义拉格朗日函数如下：L(x,λ,μ)=f(x)+λg(x)+μh(x)其中，λ和μ分别为拉格朗日乘子。
通过求解拉格朗日函数的极小值，我们可以得到原问题的最优解。
具体而言，拉格朗日松弛算法通过将原问题的约束条件转化为松弛条件，将原问题分解为多个子问题，并通过不断求解这些子问题来逼近原问题的最优解。
具体的步骤如下：1.初始化拉格朗日乘子λ和松弛变量μ；2.通过求解下面的松弛子问题来更新μ：min L(x, λ, μ)3.通过求解下面的拉格朗日子问题来更新λ：max q(λ, μ)s.t.λ>=04.若μ收敛于0，算法终止，并返回优化解x；否则，重复第2和第3步。
在更新μ和λ的过程中，可以采用内点法等迭代算法来求解子问题。
三、应用举例1.组合优化问题：例如在投资组合选择问题中，我们希望找到一个最优的投资组合，使得收益最大，同时满足一定的风险限制。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将原问题转化为一个无约束的最优化问题，并通过拉格朗日松弛算法逐步逼近最优解。
2.机器学习问题：在训练分类器或回归模型时，我们通常需要最小化目标函数，并满足一系列约束条件，比如正则化项或边界约束。
拉格朗日松弛算法是一种常用的优化方法，能够高效地解决这类问题。
拉格朗日松弛算法举例
拉格朗日松弛算法是一种用于解决组合优化问题的启发式算法。
它通过将原问题分解为若干个子问题，并使用拉格朗日乘子来平衡各个子问题的约束条件，从而得到一个相对简单的子问题。
下面是一个使用拉格朗日松弛算法的简单例子：
假设我们有一个旅行商问题（TSP），即在一个图中，给定n个城市和每对城市之间的距离，求解访问每个城市一次并返回原点的最短路径。
这个问题可以表示为一个约束优化问题，目标是最小化总距离，约束是每个城市只能访问一次。
我们可以使用拉格朗日松弛算法来解决这个问题。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(λ，x)，其中λ是拉格朗日乘子，x是解向量（表示每个城市的访问顺序）。
然后，我们将原问题转化为以下子问题：
min L(λ，x) = ∑(c_i * d_ij) - ∑λ_i * x_i
s.t. ∑x_i = 1 (访问每个城市一次)
∑x_ix_j = 0 (避免重复访问同一城市)
接下来，我们可以逐个迭代地求解这个子问题。
在每次迭代中，我们固定λ的值，求解x的最优解。
这可以通过简单的枚举方法实现。
最后，当λ收敛时，我们可以得到原问题的近似最优解。
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛（Lagrangian Relaxation，简称LR）和分支定界法（Branch and Bound）都是求解优化问题的重要算法。
拉格朗日松弛法的主要思想是将原问题中涉及多对象之间复杂关系的约束松弛至目标函数，通过将原问题分解为子问题来降低求解难度。
这种方法通过增加拉格朗日乘子与复杂约束的乘积项，将原问题转化为无约束优化问题，从而在合理时间内求得问题的最优解。
拉格朗日松弛法具有计算速度快、计算量随变量增加呈线性增长而非指数增长等优点，特别适用于解决大规模混合整数规划问题。
分支定界法则是一种枚举方法，通过反复将问题的解空间分割为越来越小的子集，并确定每个子集的目标下界，来寻找问题的最优解。
这种方法通过搜索与迭代，不断缩小解空间范围，直到找到最优解。
然而，对于大规模问题，分支定界法的运算时间可能会变得很长，因为需要存储大量的子集界限并执行繁杂的分支运算。
综上，拉格朗日松弛和分支定界法各有其优点和适用场景。
拉格朗日松弛法适用于解决大规模混合整数规划问题，而分支定界法则在解决某些特定类型的问题时可能更有效。
选择哪种方法取决于问题的具体性质和要求。