松弛算法
总结
对于某些车间调度问题，拉格朗日松弛法可以有
效的求解出目标的下界。 具有很大的局限性
目标性能不可分时，很难使用拉格朗日松弛法解决 要能分解出多项式算法的子问题，否则求解困难
不可分性能指标
时间表长( schedule length, makes pan) 最大时间延误(maximum lateness)
松弛约束的选取 现有文献中常有的松弛约束：
松弛加工能力约束
子问题： 单任务调度
松弛顺序约束
子问题： 并行机调度
同时松弛加工能力约束和顺序约束
案例应用
mod el :
能力约束单机排序问题
0, zLR ( ) zIP
9
拉格朗日分解：
T z IP min c x Ax b s.t. Bx d n x Z z IP min cT x T T min{c x ( x y )} Ax b Ax b x y s.t. By d s.t. By d n x , y Z n x, y Z z LR1 ( ) min{cT x T x} s.t. Ax b xZ
Step1: 拉格朗日次梯度法求IP下界
Step2: 对所求解按一定的规则可行化
拉格朗日松弛理论： 等号约束的松弛
将等号约束 aij x j bi写成标准形式：
j=1 n n
a x
ij j=1
n
j
bi， aij x j bi
j=1 n n n
把两个约束吸收到目标函数有：
i1 (bi aij x j ) i 2 (bi aij x j ) (i1 i 2 )(bi aij x j )
拉格朗日松弛理论：
拉格朗日松弛LR是IP问题的一个下界,但我们应该 求与IP最接近的下界,即:
即有:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
我们称之为拉格朗日松弛的对偶问题
拉格朗日松弛算法（求下界）： 拉格朗日松弛方法对偶问题的解法
次梯度算法
STEP1: 任选初始拉格朗日乘子 , t 1
t
t t g ( ) STEP2: 对 ,从 中任选一个次梯度s , t 若s 0则停,否则 t 1 max{ t st ,0}, t : t 1 重 复STEP2.
t
拉格朗日松弛法算法框架
对于车间调度问题的拉格朗日对偶问题一般采用大系统中的 分解协调的方法进行求解，这样原来的复杂的车间调度问题转 化为两层优化问题。
拉格朗日松弛方法概述
李冬 2013.09.16
松弛方法
1：松弛方法概述 2：拉格朗日松弛法 3：松弛方法在排产调度中的应用
4：总结
松弛方法概述
线性规划松弛 对偶规划松弛方法 代理松弛法 拉格朗日松弛方法
线性规划松弛方法： 将整数约束松弛为实数 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为较大
整数的情形. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线性规划 问题的最优解; 第二阶段为将解整数化,并考虑可行 性
n
Z min iTi
i 1
x
t 1 n i 1
Ti
it
di , i 1, 2
i it
n
（1） max{Ti , i 1 （3） n} （2）
{a x
s.t
siYit } ct , t 1 xit 0 other t 1, 2,
1, if Yit 0, i 1, 2 xit 0 n;
( SUBP :)
(2) 对所有
0求
max Z ( )
0
案例应用
能力约束单机排序问题
0
Step0 : T 1, 0, Z * 为算法A求得的目标值
Step1: 解SUBP,分别求每个产品的最优值,再由 求其次梯度, k 1 max{0, k k v( X )}若不满足判定 准则,则
i 1 t 1 t 1
n
T
再记 : h(i, X , T , ) iTi t (ai xit siYit ), 则有:
t 1
T
案例应用
( LRP :)
能力约束单机排序问题
Z max Z ( ) max min g ( X , T , ) X n T min h(i, X , T , ) ct t } max{ X i 1 t 1
n
z LR 2 ( ) min{ T y} and s.t. By d
n y Z
(7.3.8) 子问题约束
(7.3.9) 子问题约束
有：z LR1 ( ) zLR 2 ( ) zIP 其对偶形式：z LD max z LR1 ( ) zLR 2 ( )
X ( xit ) nT , T max{Ti | i 1, s.t. (1) (3)
n T n
n}
记: g(X,T, )= iTi t { [ai xit siYit ] ct }
i 1 t 1 T i 1
[iTi t (ai xit siYit )] t ct }
能力约束排序问题的拉格朗日松弛算法 案例应用 能力约束单机排序问题
mod el : Z max Z ( )
0
n T n
( LRP :)
max min{ iTi t { [ai xit siYit ] ct }}
X i 1 t 1 i 1
拉格朗日松弛法算法框架
上层属于协调层，对应于对偶问题，更新拉 格朗日乘子以极大化对偶函数，并且以此来 协调子问题，尽可能满足被松弛的约束。 下层对应于松弛问题，根据初始或者对偶计 算中得到的拉格朗日乘子，分解为各个子问 题求解，来求原问题的拉格朗日松弛问题。
拉格朗日启发式算法 拉格朗日启发式算法
(1)当 k 1 (T ) 0时，k k 1, 返回step1; (2)当 k 1 (T ) 0时，T T 1, k 1 (T ) 0, k k 1, 返回step1; 若满足判停准则，则转step2.
Step2 : 若所求到的解为WCS可行解则停;否则将其 可行化.
j=1 j=1 j=1
若令i i1 i 2 , 则i 无非负约束。
松弛方法在排产调度中的应用
车间调度问题的性能指标 松弛约束的选取 车间调度问题基于拉格朗日松弛法的 算法框架
案例应用
车间调度问题的性能指标
基于拉格朗日松弛法(Lagrangian Relaxation
LR) 的车间调度问题，它求解的算法独特性
求解以上LRP问题分以下两步: (1)对给定的
0 , 求下子问题(SUBP)
T h(i, X , T , ) min{iTi t ( ai xit siYit )} min X X t 1 s.t. (1) (3) , 得 n T Z ( ) min h(i, X , T , ) ct t i 1 t 1
对偶规划松弛：
根据对偶理论，将问题转化为其对偶问题
原问题与对偶问题有相同的最优值
对偶问题并没有改变原问题的本质，在使用时应比较哪个 更简单
代理松弛法： 当问题中约束数量过多时，代理松弛一个约
束替代原问题中的K个约束，甚至全部约束
代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变
代理松弛法求得的解不一定可行
拉格朗日松弛法： 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,
并保持目标函数的线性,使问题容易求解. 松弛原问题的难约束，得到原问题的一个下界，通
过这个下界我们可以对算法好坏进行评价
构造拉格朗日启发式算法，来寻找问题的近优解
拉格朗日松弛法
拉格朗日松弛理论
IP : Z IP min cT x s.t. Ax b, (难约束) Bx d（简单约束） , n x Z .
案例应用
能力约束单机排序问题
Ti：完成di 所需要的时段； xit：t时段产品i的产量；di : 产品i的需求； ai：产品i的单位产品所占用的生产能力； ct：t时段可提供的生产能力； si： i产品的生产准备所占用的能力。
约束条件(1): 产品需求量约束
约束条件(2): 个时段产能约束 约束条件(3): 准备时间
体现在目标函数的选择上。
拉格朗日松弛法将车间调度问题中的难约束
松弛，从而将 NP-hard 问题分解为若干多项
式时间内可解的子问题。因此目标问题的性
能可分性显的非常重要。
车间调度问题的性能指标 这里将车间调度问题的经典性能指标划分为： 可分性能指标
加权总误工(total weighted tardiness) 加权总完工时间(total weighted completion time)
原 整 数 规 划 问 题
n S {x Z | Ax b, Bx d}
LR :
n SLR {x Z | Bx d}
Z LR ( ) min{cT x T (b Ax)} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z .
拉 格 朗 日 松 弛
拉格朗日松弛算法详解
拉格朗日松弛算法详解1莱拉格朗日松弛算法莱拉格朗日松弛（Lagrangian Relaxation）是一种处理复杂优化问题的一般方法。
莱拉格朗日松弛可以把复杂的问题转换为一组相对简单的子问题，以便定义组合最优解。
它通过引入分数优化变量和松弛因子来把原来的复杂问题转换为一组子问题。
这种变换可以在原始问题的某些约束条件下解决，这样一来，原问题的目标值被放松到一个最优解更容易获得的子问题中。
2工作原理莱拉格朗日松弛是将原来的优化问题放置到一个新的空间（称为松弛空间）中求解，然后将求得的解重新映射回原问题的空间中。
首先，在松弛空间中引入一组新的变量以替换原问题所包括的变量。
接着，导入一组松弛变量，以模拟原问题中涉及的约束条件，这样可以改变原问题的最优解，使其成为更容易求解的子问题。
然后，将原优化问题转化成一组子问题，这些子问题把原问题中所有约束都考虑进去，形成一个统一的整体问题。
最后，将解的取值映射回原问题的变量，从而得到原问题的最优解。
3特点莱拉格朗日松弛算法比其他传统优化算法具有几个优点：-它可以完美求解类型为最大化/最小化，但不限于这些类型的优化问题；-它可以处理头等函数和受约束的组合优化问题；-它还可以处理复杂的混合整数优化问题；-它可以更容易地分解为并行计算，从而更快地获得最优解；-它还可以求解很多常见的优化问题，如混合整数线性规划，混合整数非线性规划，半回归模型，回归模型，组合优化问题，等等.4应用领域莱拉格朗日松弛算法求解问题并不仅限于模糊优化，它也可以应用于计算机视觉领域、量子计算、机器学习领域等多个领域，在这些领域使用莱拉格朗日松弛可以求得更more准确的优化解。
特别是在计算机视觉领域，莱拉格朗日松弛算法可以用来求解复杂的优化问题，如最小化目标函数（特别是基于混合整数优化实现）和求解图像处理问题（如边缘检测、批处理等）。
此外，它也可以将原来复杂的优化问题分解成若干有限的子问题，这样就可以把原问题转换为可求解的子问题。
松弛算法——精选推荐
（学校代码: 10128 学 号:本科毕业论文 题 目： 学生姓名： 所在学院： 学科专业： 指导教师： 二零一四年四月用不精确线搜索求解广义Nash均衡问题的松弛算法摘要：广义Nash均衡问题（GNEP）是标准Nash游戏的一个推广，在这个游戏当中，每一个参与者的效用功能和策略空间的选择都依赖于其余参与者所选择的策略。
广义Nash均衡问题解决起来是比较困难的，并且如今能解决该问题的方法仅有数的见的几个。
其中一个比较普及的方法是--松弛算法。
该法在一系列的假定条件下被认为是全局收敛的。
在本论文中将给出一种改进的松弛算法来解决某种确定类型的广义Nash均衡问题(GNEP)。
该改进的松弛算法的收敛性分析有着完全不同的观点并且也避免了一些原松弛算法的技术条件。
此外，大量的实验也表明了该改进了的松弛算法很好的与给出的实际例字相吻合。
关键词：广义Nash均衡问题、正则化Nash均衡、松弛算法、正则化Nikaido-Isoda function、全局收敛第1节广义Nash均衡问题（GNEP）近来引起了人们很多的关注，它不同于Nash 均衡问题。
在广义Nash均衡问题中，每个参与者的策略空间已不单纯是一个与其他参与者的策略选择无关的集合，而是与其他参与者的策略选择有关。
在不同的事件中，一些种类的Nash问题一下子出现的非常频繁。
例如，某一地区的河流污染或空气污染依赖于该地区内几家公司的产量并且不被允许超过某一特定的限制量；还有，当几家公司不得不共用同一批电线或者世界上的公司不得不公用自然资源时，他们的能力就固定了；感兴趣的读者可以在文献[9]中找到相关的调查实验，也可找到关于解决GNEP的某些方法的存在性综述和一些理论的结果。
前面已经提到解决GNEP 的一个最普及的方法是--松弛算法，该法在文献[26]中可以找到，也可以在[19]中找到该算法的一个改进版本。
遗憾的是，没有一个Nash 问题的解决者已经广泛的试验了许多不同种类的问题。
python怎么编拉格朗日松弛算法
一、概述Python是一种高效的编程语言，广泛应用于科学计算、人工智能、数据分析等领域。
在数学优化领域中，拉格朗日松弛算法是一种常用的算法，用于求解带等式约束的非光滑优化问题。
本文将介绍如何使用Python编写拉格朗日松弛算法。
二、拉格朗日松弛算法概述1. 拉格朗日松弛算法的原理拉格朗日松弛算法是一种用于求解非光滑优化问题的算法，它通过松弛等式约束，将原始问题转化为一个易于求解的变分问题。
其原理是引入拉格朗日乘子，将原始问题的等式约束松弛成为惩罚函数，从而转化为一个无约束优化问题。
2. 拉格朗日松弛算法的应用领域拉格朗日松弛算法广泛应用于实际问题中，例如电力系统优化、交通网络优化、通信系统优化等领域。
在这些领域中，常常需要求解带等式约束的非光滑优化问题，而拉格朗日松弛算法正是针对这类问题的有效求解方法。
三、Python编写拉格朗日松弛算法的实现1. 导入相关库在使用Python编写拉格朗日松弛算法时，我们首先需要导入相关的数学库，例如NumPy、SciPy等，以便进行数值计算和优化求解。
2. 定义拉格朗日函数编写拉格朗日松弛算法的第一步是定义拉格朗日函数。
拉格朗日函数是原始问题与相应拉格朗日乘子构成的函数，它是将原始问题的等式约束通过乘子松弛得到的。
我们可以使用Python的函数定义语法来编写拉格朗日函数，其中包含原始目标函数和等式约束的求解。
3. 实现拉格朗日松弛算法一旦定义了拉格朗日函数，接下来就可以编写拉格朗日松弛算法的实现。
在Python中，我们可以使用SciPy库中的优化求解器来求解拉格朗日函数的最优值，从而得到原始问题的最优解。
四、案例分析：拉格朗日松弛算法在电力系统优化中的应用以电力系统优化为例，我们将使用Python编写拉格朗日松弛算法，求解带等式约束的非光滑优化问题。
在电力系统优化中，常常需要考虑发电机出力的平衡约束，而这正是拉格朗日松弛算法擅长处理的问题。
1. 问题建模我们需要将电力系统的优化问题进行数学建模，包括目标函数、等式约束、不等式约束等。
《松弛算法》PPT课件
Con(Q {x Rn | Ax b}) Con(Con(Q) {x Rn | Ax b})
Con(Q) {x Rn | Ax b}
再由定理7.2.2: zIP
min cT x
xCon(Q{xRn |Axb})
zLD
min cT x
xCon(Q){xRn |Axb}
若对任何c有 zIP zLD
,其凸
包定义Co为n(:Q) {P iPi | i R1, i 1}
i
i
显然Con(Q)为凸集.
定理7.2.2 若拉格朗日对偶问题的目标值有限,
则
zLD min{cT x | Ax b, x Con(Q)}
其中：Q {x | Bx d, x Zn}
证明:
zLR
()
min(cT
17 17
7
, 2 2
( 4 , 1 )T 1
53 6 5 2 53 6 5 2 17 17
9
综合有:
zLR
(
)
29
28 8
0 1
9
1
9
zLD
1 zLR (9)
28 1 9
例7.2.2(继7.2.1)
例7.2.1中
Q {(2, 2)T , (2,3)T , (2, 4)T , (3,1)T , (3, 2)T , (3,3)T , (3, 4)T , (4, 0)T }
,则问题得
例7.2.1
假设整数规划问题IP
zIP min{7x1 2x2}
x1 2x2 4
5x1 x2 20
s.t.
2x1 2x2 7 x1 2
x2 4
x
Z
2
7.2.2
relax算法 原理
relax算法原理
RELAX算法是一种用于求解最短路径问题的迭代算法，基于松弛操作的思想。
它可以解决图中的带有负权边的单源最短路径问题。
RELAX算法的基本原理如下：
1. 初始化：将所有顶点的距离估计值初始化为无穷大，除了源顶点的距离估计值设为0。
2. 松弛操作：对于图中的每一条边(u, v)，如果从源顶点s到达v的路径通过u，则尝试更新顶点v的距离估计值。
如果通过u可以缩短v的距离估计值，则更新v的距离估计值为d(u) + w(u, v)，其中d(u)表示源顶点到顶点u的距离估计值，w(u, v)表示边(u, v)的权重。
3. 重复步骤2：重复进行松弛操作，直到不能再更新任何顶点的距离估计值为止。
4. 最短路径：根据更新后的距离估计值，可以获取从源顶点到其他顶点的最短路径。
RELAX算法的时间复杂度为O(V * E)，其中V是图中顶点的数量，E是图中边的数量。
该算法可以解决带有负权边的最短路径问题，但不适用于存在负权环的图。
拉格朗日松弛算法
(7.1.4)
n
(SC)
∑ s.t. aij x j ≥ 1, i = 1,2,L,m,
j =1
(7.1.5)
x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n.
集合覆盖问题是NP难[2]。若将(7.1.5)松弛，可得优化问题
(7.1.6)
n
m
n
∑ ∑ ∑ zLRSC (λ) = min c j x j + λ i (1 − aij x j )
172
第七章 拉格朗日松弛算法
z LP = min cT x s.t. Ax ≥ b
(7.1.2)
x ∈ R+n .
称(7.1.2)为(7.1.1)的线性规划松弛。线性规划松弛扩大了整数规划的可行解区域。若记
{ } { } S =
x
∈
Z
n +
|
Ax
≥
b
， S'=
x ∈ R+n | Ax ≥ b
，
则有 S ⊆ S' ，于是得到结论：
∑ ∑ ∑ n ⎛ K ⎞
j=1⎝⎜ k =1 aik j ⎠⎟ x j
≥
K
bik
k =1
替代(7.1.1)中的 K 个约束
n
∑ aik j x j ≥ bik , k = 1,2,L, K 。
j =1
极端的情况可以用一个约束
∑ ∑ ∑ n ⎛ m ⎞
j=1⎝⎜ i=1 aij ⎠⎟ x j
≥
m
bi
凸集和凸包的概念。
定义 7.2.1 若 ∀x, y ∈ D ，满足
αx + (1 − α ) y ∈ D, 0 ≤ α ≤ 1，
第8章_松弛算法
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
对于离散点集 Q {P | i 1, 2,},其凸包 i 定义为:
S1 Con(Q {x R | x1 2 x2 4})
n n S 2 Con(Q) {x R | x1 2 x2 4}
x1 2x2 4
4 3 2 1 1
B
C
S1
2
3
D
4
x1 2x2 4
4
3 2 1 1
B
C
S2 2 3 4
D
由推论7.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关: 第一个因素是目标函数中的C,推论7.2.1要求对所 有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 zIP zLD 第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI 和S2不同,所以存在一个C,使得 zIP zLD不为零,如 8 z LD 28 ,在 1 达到拉格朗日对偶问 在例7.2.1中, 9 9 题的最优值,其最优解为(4,0); zIP 28 ,其一个最优 解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛 在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们 也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
最低松弛度优先算法
最低松弛度优先算法
最低松弛度优先算法是一种调度算法，它根据任务的紧急程度（或松弛度）来确定任务的优先级。
任务的紧急程度越高，它的优先级就越高，从而优先执行。
这种算法主要用于可抢占调度方式中，当一个任务的最低松弛度减为0时，它必须立即抢占CPU，以保证按截止时间的要求完成任务。
在实现最低松弛度优先算法时，系统中需要有一个按松弛度排序的实时任务就绪队列。
松弛度计算方法为：任务的松弛度=必须完成的时间-其本身的运行时间-当前时间。
如果一个任务的运行时间已经结束，那么它已经完成了任务，此时它的松弛度为0。
最低松弛度优先算法的几个注意点：
1.该算法主要用于可抢占调度方式中，当一任务的最低松弛度减为0时，它必
须立即抢占CPU，以保证按截止时间的要求完成任务。
2.计算关键时间点的各进程周期的松弛度，当进程在当前周期截止时间前完成
了任务，则在该进程进入下个周期前，无需计算它的松弛度。
此外，如果多个进程的松弛度相同且为最小时，该算法选择最近最久未使用的进程。
这是一种“先来先服务”的策略，即最早到达的进程优先得到服务。
在循环队列中，进程以数组的形式存储，队首和队尾都可以通过索引来访问。
通过遍历队列中的当前时间下可执行的任务，可以找到具有最小松弛度的任务并执行。
总之，最低松弛度优先算法是一种有效的调度算法，它根据任务的紧急程度来确定任务的优先级。
通过使用按松弛度排序的实时任务就绪队列和松弛度计算公式，该算法可以确保高优先级的任务优先执行，从而满足任务的截止时间要求。
同时，该算法还需要注意一些关键点，如抢占CPU的时机和多进程松弛度相同时的处理方式等。
拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法是一种常用的优化算法，以解决含有约束条件的优化问题。
该算法通过引入拉格朗日乘子将原问题转化为一系列子问题，并通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。
本文将详细介绍拉格朗日松弛算法及其应用。
一、拉格朗日乘子法在介绍拉格朗日松弛算法之前，我们需要先了解一下拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，用于求解带有约束条件的优化问题。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束的最优化问题，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。
对于一个带有约束条件的优化问题：min f(x)s.t.g(x)<=0h(x)=0其中，f(x)为目标函数，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束。
我们可以定义拉格朗日函数如下：L(x,λ,μ)=f(x)+λg(x)+μh(x)其中，λ和μ分别为拉格朗日乘子。
通过求解拉格朗日函数的极小值，我们可以得到原问题的最优解。
具体而言，拉格朗日松弛算法通过将原问题的约束条件转化为松弛条件，将原问题分解为多个子问题，并通过不断求解这些子问题来逼近原问题的最优解。
具体的步骤如下：1.初始化拉格朗日乘子λ和松弛变量μ；2.通过求解下面的松弛子问题来更新μ：min L(x, λ, μ)3.通过求解下面的拉格朗日子问题来更新λ：max q(λ, μ)s.t.λ>=04.若μ收敛于0，算法终止，并返回优化解x；否则，重复第2和第3步。
在更新μ和λ的过程中，可以采用内点法等迭代算法来求解子问题。
三、应用举例1.组合优化问题：例如在投资组合选择问题中，我们希望找到一个最优的投资组合，使得收益最大，同时满足一定的风险限制。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将原问题转化为一个无约束的最优化问题，并通过拉格朗日松弛算法逐步逼近最优解。
2.机器学习问题：在训练分类器或回归模型时，我们通常需要最小化目标函数，并满足一系列约束条件，比如正则化项或边界约束。
拉格朗日松弛算法是一种常用的优化方法，能够高效地解决这类问题。
拉格朗日松弛算法举例
拉格朗日松弛算法是一种用于解决组合优化问题的启发式算法。
它通过将原问题分解为若干个子问题，并使用拉格朗日乘子来平衡各个子问题的约束条件，从而得到一个相对简单的子问题。
下面是一个使用拉格朗日松弛算法的简单例子：
假设我们有一个旅行商问题（TSP），即在一个图中，给定n个城市和每对城市之间的距离，求解访问每个城市一次并返回原点的最短路径。
这个问题可以表示为一个约束优化问题，目标是最小化总距离，约束是每个城市只能访问一次。
我们可以使用拉格朗日松弛算法来解决这个问题。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(λ，x)，其中λ是拉格朗日乘子，x是解向量（表示每个城市的访问顺序）。
然后，我们将原问题转化为以下子问题：
min L(λ，x) = ∑(c_i * d_ij) - ∑λ_i * x_i
s.t. ∑x_i = 1 (访问每个城市一次)
∑x_ix_j = 0 (避免重复访问同一城市)
接下来，我们可以逐个迭代地求解这个子问题。
在每次迭代中，我们固定λ的值，求解x的最优解。
这可以通过简单的枚举方法实现。
最后，当λ收敛时，我们可以得到原问题的近似最优解。