新北师大版八上第四章4.2一次函数与正比例函数

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4.2 一次函数与正比例函数课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册

则符合表中数据的函数关系式是（ C ）
A. y ＝ x2

C. y ＝ x

B. y ＝2 x
D. y ＝ x ＋25
典例导思
4. 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，
超过部分每千克收取1.5元行李费，则旅客需交的行李
费 y （元）和携带行李重量 x （千克）之间的函数关系
式为 y ＝1.5（ x －20），其中自变量 x 的取值范围
x 的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定
是一次函数，一次函数却不一定是正比例函数.
⁠
典例导思
题型一一次函数与正比例函数的概念
（1）对于函数 y ＝（ m ＋1） x ＋（1－3 m ），当 m
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数；
解：①当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，该函数是一次函数.
第四章一次函数
2 一次函数与正比例函数
知识导航
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成 y ＝ kx ＋
b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次
函数.
特别地，当 b ＝0时，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）即为 y ＝ kx （ k 为常数， k ≠0），则称 y 是

y 是 x 的一次函数.
典例导思
（2）当油箱内剩余油量少于3 L时，汽车将自动报警.如
果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请
说明理由.

解：（2）当 x ＝400时， y ＝45－ ×400＝5＞3，

北师版八年级数学上册第四章一次函数2 一次函数与正比例函数

知识点 2 一次函数的关系式
知2－讲
列一次函数关系式的步骤
(1)认真分析，理解题意；
(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
(3)写出一次函数的关系式；
(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自
变量的取值要使实际问题有意义.
知2－讲
特别提醒确定一次函数关系式的方法： ◆按等量关系写出含有两个变量的等式； ◆将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
知1－练
解：由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4 ≠ 0.
所以m＝3，n＝－2. 一次项系数不为0 是隐含条件. 所以当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数.
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值.
由(1)得一次函数关系式为y＝－8x＋7.
数关系式的形式.
感悟新知
例3 [母题教材P79例1 ]写出下列各题中 y 与 x 之间的关知2－练系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y( cm2)与此边上的高 x(cm)的关系；
(2)某小汽车的油箱可装汽油 30 L，原来装有汽油 10 L，现在再加汽油 x L，每升汽油 7.5 元，油箱内汽油的总价 y(元)与 x( L)之间的关系；
特殊正比例函数关系式
b＝0 y＝kx(k≠0)
(1)写出 y 与 x 之间的表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；解：根据题意，得y＝－80x＋200，所以y是x的一次函数．
感悟新知
(2)当 x=1.5 时，求 y的值 . 解：当x＝1.5时，y＝－80×1.5＋200＝80.

北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》一次函数PPT课件

体会数学应用的广泛性.
导入新知
明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.
导入新知
…
康乃馨
6 元/支
君子兰
8 元/支
…
包装费
20 元/次
明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.
此时小美爸爸提出了一些数学问题，你能帮忙解决吗？
若小美想给妈妈买康乃馨.设买花的费用z元，买花及包装的
总费用y元，所买康乃馨数量x支.
（1）题中有几个量，哪些是常量？哪些是变量？有哪些等
量关系？题中有7个量，48、6、8、20是常量，
次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝(每次收入800)×20％；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣
预缴税款(2000-800)×20%＝240(元).
(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取
得的劳务报酬是多少元？
(3)因为(4000-800)×20％＝640(元)，600＜640，
z、y、x是变量，等量关系：z=6x，y=6x+20.
导入新知
明天是小美妈妈的生日，小Байду номын сангаас坐爸爸的车以48 km/h的速度去
花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目：
康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次.

4.2一次函数与正比例-正比例函数的图象与性质+课件+2023-2024学年北师大版数学八年级上册

5．写出一个图象经过第二、四象限的正比例函数___y_＝__－__3_x_(答__案__不___ _唯__一__). 6．在正比例函数y＝(m＋8)x中，如果y的值随自变量x的增大而增大，那么m的取值范围是_m__＞__－__8_.
7．【空间观念】已知关于x的正比例函数y＝(m＋2)x. (1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象限？解：因为正比例函数y＝(m＋2)x的图象经过第一、三象限，所以m＋2 ＞0.解得m＞－2. 所以当m＞－2时，函数图象经过第一、三象限．
B．15 D．－53
3．关于函数y＝
1 3
x，下列结论正确的是(
C
)
A．函数图象经过点(1，3)
B．函数图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x为何值，总有y＞0
4．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－2x图象上的两点，若 x1＞x2，则y1与y2的大小关系是( B ) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
(2)当m为何值时，y随x的增大而减小？解：因为正比例函数y＝(m＋2)x中y随着x的增大而减小，所以m＋2＜ 0.解得m＜－2. 所以当m＜－2时，y随x的增大而减小．
(3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？解：因为点(1，3)在正比例函数y＝(m＋2)x的图象上，所以3＝(m＋ 2)×1.所以m＝1. 所以当m＝1时，点(1，3)在该函数的图象上．
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上．解：因为点(1，3)在该函数图象上，所以 2m＋4＝3.解得 m＝－12.
11．在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为( B )

北师大版八年级数学上册4.2《一次函数与正比例函数》((共14张PPT)

质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
① 计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、 5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0 3
1 3.5
2 4
3 4.5
4 5
5 5.5
y/厘米
② 你能写出x与y之间的关系式吗？
y=0.5x+3
弹簧的长度=自然长度+增长的长度
:31
问题情境2
:31
2.某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗10升 ①完成下表：汽车行驶路程x\千米
0
50

100 150 200 300
油箱剩余油量y\升
100 90
80
70
60
40
②你能写出x与y之间的关系吗？
油箱剩余油量=100升－消耗的油量
y=100－0.2x
或y=－0.2x+100
我还有多少油？
y=(x-3500) ╳3%，即y=0.03x-105
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
当x=4160时，y=0.03×4160-108=19.8（元）
:31
活学活用
例5:我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 2000元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收 5%的个人所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金
:31
请你决策１
4. 某书店开设两种租书方式：一种零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，办费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本。 (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量为x（本）之间的函数关系式。 (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量为x（本）之间的函数关系式。 (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? 简解: (1) y1=x (2) y2=0.4x+12 (3) 由 x =0.4x+12知,当x>20时合算.

4.2 一次函数与正比例函数北师大版数学八年级上册知识考点梳理课件

重
难
题
型
突
破
思路点拨
返回目录
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
解题通法根据正比例函数的定义确定字母的值时，
重
难
题需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
清
单
解入 28 元，如果超额生产一个零件，增加收入 1.5元．写
读出该工人在超额完成的情况下一天的收入 y（元）与他生产
的零件个数 x（个）的函数关系式：______________．
［答案］ y=1.5x-2
4.2 一次函数与正比例函数
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重 ■题型应用函数的定义确定字母的值
难
−
4.2 一次函数与正比例函数
● 考点清单解读
● 重难题型突破
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
返回目录
■考点一一次函数与正比例函数的定义
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成
定义
y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的形式，则称 y
是 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
下列函数：①y = -2x + 1，②y= ，③y=

单
解（x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。

但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。

2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。

2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。

3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。

北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数ppt课件

2（1）y=(m-2)x+1是关于x的一次函数,则m_≠_2__；
（2）y = xn-1 1是关于x的一次函数,则n _=_2__. (3) 要使y=(m-3)xn-3+1是关于x的一次函数, m, n应满足 m≠3 , n=4 .
19
3．若y+3与x-2成正比例，则y是x的( C )
A．正比例函数
22
7.一种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费30元，每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元. （1）写出每月话费y关于通话时间x(x>120)的函数解析式；
（2）分别求每月通话时间为100分，200分的
话费.
y=0.4x-18 (x > 120)
当x=100时,y=30（元），
(1)此函数为一次函数； (2) 此函数为正比例函数.
解:(1) 因为此函数为一次函数，所以 2-m≠0, m≠2。 (2)因为函数为正比例函数
14
写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为 y (千米)与行驶时间 x (时)之间的关系;
y=
(C
1； )x
s = 60 t , 其中表示一次函数的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列说法不正确的是( D ) A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数
D．不是正比例函数就不是一次函数
12
3. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
解：C =2πr
（2）冷冻一个0℃物体，使它每分钟下降

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薪金收入是多少以元？
解:(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,
y=(x－3500)×3%, 即y=0.03x－105；
(2)当x=4160时, y=0.03×4160－105=19.8(元)；
(3)因为(5000－3500)×3%=45(元),
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。设此人本月工资、薪金收入是x元，则
(3)z=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是
x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数. 思考：正比例函数一定是一次函数吗？
练一练
3 1.在函数(1)y = —，（2）y=x-5, (3) y=-4x， x 1 2 (4) y=2x -3x, (5) y = —— 中 x-2
汽车行使路程x/km 耗油量y/L
0
50
100
150
200
300
0
6
12
18
24
36
(2) 你能写出y与x的关系吗?
y=0.12x
(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程 x(km)之间的关系式吗?
z=60－0.12x
议一议
上面的三个关系式中，有什么共同之处？
(1) y=3+0.5x
(2) y=0.12x
是一次函数的是 (3) 的是
(2),(3)
.
，是正比例函数
2.当k= -3 时,函数 y (k 3) x
次函数。
k 2 8
5 是关于x的一
例题
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：
y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、
薪金所得税为(3860-3500)×3%= 10.8(元)
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应
缴纳所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳所得税多少元？
(3)如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、
y =60x
2
是正比例函数，也是一次函数
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
y x 不是正比例函数，也不是一次函数
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
y=15＋5x
是一次函数，但不是正比例函数
例2 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg，
4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg y/cm 0 1 2 3Байду номын сангаас4 5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
2、某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L。
(1) 完成下表：
19.2=0.03x－105；解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
随堂练习
课本第80页第1、2题
课堂小结
1、一次函数与正比例函数的概念： 2、一次函数与正比例函数的关系； 3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式；
作业布置 1、课本第82页习题4.2 第2、3两题 2、练习册第35～36页
知识回顾
1、什么叫函数? 在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个
x值,相应地就确定唯一一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
2、函数有哪些表示方法? 图象法、列表法、关系式法
做一做
1、某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。