股票指数期权外汇期权和期货期权

股票指数期权外汇期权和期货期权SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#股票指数期权、外汇期权和期货期权【学习目标】本章的主要学习目标是掌握股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价原理。

我们把这三种期权放在一起讨论是因为它们的定价原理相同，三种期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产。

对股票指数而言，它的红利是指数所含股票的红利总和，对外汇而言，可以把外汇的利率看成红利，而对期货而言，可以将融资成本和标的资产的储存成本看成红利。

我们还要深入理解各种期权定价模型在本章中的运用。

因为股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产，因此可以用默顿（Merton ）模型直接为这三种资产的欧式期权定价。

同样，二叉树模型也可以直接应用，二叉树模型还可以直接用来为美式期权定价。

第一节 欧式股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价 默顿（Merton ）模型是B-S （Black-Scholes ）模型的扩展，可以用来为支付连续复利红利的资产的欧式期权定价。

一、默顿模型默顿模型通过将股票所支付的连续复利的红利看成负的利率来扩展B-S 模型。

在前面的章节里，我们证明了红利的支付会降低看涨期权的价值，因为红利会降低期权标的股票的价值。

实际上，连续红利支付意味着股票价值的连续漏损，令q 表示漏损率，它等于红利的支付率。

因此，我们只要将)(t T q Se --代替式（）和（）中的S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。

根据默顿模型，标的股票支付连续红利的欧式看涨期权的价值为()()()()12q T t r T t c Se N d Xe N d ----=-由于()()ln ln q T t Se S q T t X X --⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭因此，1d 、2d 分别为：21221d d d σ===- （） 从中可以看出，默顿模型将标准的B-S 模型中的S 换成了)(t T q Se -- （）依据默顿模型得出的欧式看跌期权价值为()()()()21r T t q T t p Xe N d Se N d ----=--- （）当q ＝0时，默顿模型就转化为B-S 模型。

二、股票指数期权默顿模型也可以用来给股票指数期权定价。

股票指数综合反映了一系列股票的表现，我们可以将股票指数看成是一个股票组合，每期都可能有一部分股票支付红利。

因为我们是给以一个组合为标的的期权定价，所以我们关心的只是组合的红利支付，几乎所有的股票都只是按期支付离散的红利，不过股票指数中包含了众多的股票，因此假设股票指数支付连续红利是比较接近现实的，而且指数所含股票越多，这个假设就越合理。

为了解释默顿模型在股票指数期权定价上的运用，我们用一个例子来进行说明。

例 假设现在有一价值为的股票指数，指数收益的标准差是，无风险利率是8％，指数的连续红利支付率是4％。

该指数的有效期为150天的欧式看涨期权和看跌期权的执行价格为，那么，q ＝4％，S =。

()()12350150ln 0.080.040.50.20.20.0289880.0246580.4184130.1282120.4184130.290201d d ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦=+===-=从而()()()()()()()()12120.418410.662177;0.2902010.614169;0.418410.337823;0.2902010.385831.N d N N d N N d N N d N ====-=-=-=-=因此，期权价值为三、外汇期权我们现在考察默顿模型在外汇期权定价中的运用，我们站在美国期权交易者的角度来看这个问题，此时外汇汇率（直接标价）成了S ，外汇的利息可以看成红利，公式中的标准差是标的资产价格即外汇汇率的标准差。

例 考虑一个英镑的欧式看涨期权和欧式看跌期权。

英镑目前的汇率是$，标准差是，英国目前的无风险利率为12％，而美国的是8％，看涨期权和看跌期权的执行价价格都为$，有效期都是200天。

根据默顿模型，可以计算得到看涨期权价值为$，看跌期权价值为$。

四、期货期权假设有一种类似黄金的资产，这种资产的存货相对于消费很大，而且容易保存，该资产生产的季节性不明显，消费的季节性也不明显，而且这种资产可以卖空。

当这些条件都满足时，以该资产为标的的期货的理论价格为()r T t F Se -= （）如果这个等式不成立，就会有无风险的套利机会存在。

一般而言，所有的贵金属（金、银和铂等）和所有的金融工具（股票和债券等）都满足这个关系。

从默顿模型的角度来看，资产即期价格的增长率r ，取代了q ,期货价格取代了（）中的股票价格。

也就是说，对于可以纳入持有成本模型的资产，它的期权定价可以将默顿模型中的q 用r 来取代进行，即令q ＝r 即可，这样处理使得期货期权的定价十分简单。

因此，欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价值分别为)]()([21)(d XN d FN e c t T r -=--)]()([12)(d FN d XN e p t T r ---=--其中，21221d d d ===- （） 式（）中的标准差是指期货价格的标准差。

例 假设有一个有效期为一年的股票指数期货的欧式期权，指数现在为，无风险利率为7％，因此，根据持有成本模型，期货价格应该为：()0.07365480$514.80F e ⨯=⨯=设以该期货为标的的欧式期权的执行价格为，期货价格的标准差为，那么12514.80ln 0.50.20.2500.000.2458520.20.2458520.20.045852d d ⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭===-= ()()120.597102;0.518286.N d N d ==因此，期权价格为[][]0.070.07514.800.597102500.000.518286$44.98500.000.481714514.800.402898$31.18c e p e --=⨯⨯-⨯==⨯⨯-⨯=五、期货期权和现货期权有些资产，例如外汇，既有以它的现货为标的的期权交易，同时也有它的期货为标的的期权交易，这两种期权的区别关键取决于期权是欧式的还是美式的。

在期货合约到期的时候，期货价格必须与现货价格相等，只有这样市场上才不会存在套利机会。

例如，在黄金市场上，如果现货价格为$400/盎司，而且期货即将到期，那么期货价格的合约也必须为$400/盎司，否则就有套利机会，如果期货价格超过了现货价格，那么投资者在现货市场买入，在期货市场上交割就可以获利；反过来，如果期货价格低于现货价格，那么投资者只要买入期货，等待交割，然后卖出现货就可以获利。

总之，在期货合约到期时期货价格必须等于现货价格，否则就会存在上述套利机会。

无套利条件对欧式期货期权的定价意义重大，因为欧式期权只有在到期时才能交割，所以交割时期货价格和现货价格一定相等。

也就是说欧式期货期权和现货期权的损益是相同的。

因此，欧式期货期权和欧式现货期权的价格必须相等。

（注意，这里欧式期货期权的到期日与其标的期货的到期日是相同的。

）美式期货期权和美式现货期权的关系比较复杂，因为美式期权可以在到期日之前的任意时刻交割。

美式期货期权和美式现货期权的关系取决于一定期限内现货价格和期货价格之间的关系。

对于贵金属和金融资产，到期之前的期货价格几乎都高于现货价格；另外一些市场上如铜、农产品和能源市场上到期日之前的期货价格一般是低于现货价格的。

一个完整的解释已超出本书的范围，这里只能做个简单的解释：如果标的资产的供给相对于消费很大，标的资产容易储存和运输，标的资产的供给和需求不存在季节性波动，标的资产卖空很容易，卖空成本很低，那么它的期货价格在到期日之前一般高于现货价格，上述条件一般适用于贵金属和金融资产；相对而言，工业用金属、农产品、能源产品的供给和需求的季节性波动很明显，现货市场不发达，运输成本和存储成本很高，这些因素使得期货价格在到期日之前低于现货价格。

期货价格和现货价格之间的关系决定了美式期货期权和美式现货期权的关系，如果期货价格高于现货价格，那么美式期货看涨期权的价格必须高于美式现货看涨期权的价格，美式期货看跌期权的价格必须低于美式现货看跌期权的价格；反之如果期货价格低于现货价格，那么美式期货看涨期权的价格必须低于美式现货看涨期权的价格，而美式期货看跌期权的价格必须高于美式现货看跌期权的价格。

第二节 标的资产支付连续红利的期权价格的敏感性期权价格的敏感性是指参数变动时期权价格的变动幅度，如第十二章所述，衡量期权价格敏感性的指标包括DELTA 、GAMMA 、THETA 、VEGA 和RHO 。

本节我们将考察股票指数期权、外汇期权和期货期权价格的敏感性，基本原则与第十二章是一样的，但对敏感性的定义需要稍做调整。

表13-1和表13-2给出了默顿模型中标的资产支付连续红利的看涨期权和看跌期权的敏感性，它们的具体运用条件是:1.在股票指数期权的敏感性计算中，将S 看成是指数的价格，将q 看成指数的连续红利收益率，同时在计算1d 和2d 时做相应的调整。

2.外汇期权：将S 看成外汇的价格（汇率），将q 看成外汇无风险投资的连续复利收益率，同时在计算1d 和2d 时做相应的调整。

3.期货期权：将S 看成是期货合约的价格，将q 看成是无风险利率，因此0r q -=，同时在计算1d 和2d 时做相应的调整。

因为这些期权的敏感性计算很相似，我们只用一个英镑期权的例子来解释。

例 英镑现在的价格为$,美国的无风险利率为11％，英镑汇率的标准差是，期权有效期为90天，期权执行价格为$，那么$1.56,$1.50,0.25,S X T t σ===-=90天，0.11,0.8q r ==。

代入公式得欧式看涨期权的价格为$，欧式看跌期权的价格为$，表13－3是这个期权价格的敏感性。

表13－1 默顿模型中看涨期权价格的敏感性表13－2 默顿模型中看跌期权价格的敏感性表13－3外汇期权价格的敏感性（默顿模型）第三节 二叉树定价模型一、二叉树模型回顾在第十一章，我们已经介绍了二叉树模型定价的基本原理和方法。

总的来看，二叉树模型定价就是通过构造一个反映标的资产价格运动和到期可能分布的树形图，估计到期时的期权价值，然后以无风险利率往回贴现，推出期权的当前价格。

二叉树模型的一个优点在于它可以同时为欧式和美式期权定价，可以为没有红利和支付红利的期权定价。

如果期权是美式期权，则其与欧式期权的一个比较大的区别是，在美式期权树形图上的每个节点，期权价格是以下两个值中较大的一个：1. 期权下一期的价值按无风险利率的贴现值；2. 立即执行期权得到的现金流，看涨期权是t S X -,看跌期权是t X S -。