【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
其中真命题的个数是（
）
A． 4 B ． 3 C.2 D
．1
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A． 10
B
．20 C.40
D
． 60
9. 已知
A 、B 是椭圆
x2 a2
y2 b 2 1 a b 0 长轴的两个端点， M 、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 直线 AM 、
BN 的斜率分别为 k1 ，k2 k1k 2 0 ，若椭圆的离心率为
D ． 18 3
ln 1 x ，x 0
11. 已知函数 f x
3
，若 f x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
x 1 1 ，x 0
A． 0 ， 2 3
B
． 0 ，3
4
C.
0 ，1
D
． 0，3
2
12. 已知过抛物线 G : y2 2 px p 0 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、 N 两点（ M 在 x 轴上方），满足
x2 是椭圆 C :
y2 1 上的一点，从原点 O 向圆
24 12
2
2
R: x x0
y y0 8 作两条切线，分别交椭圆于 P ， Q .
（ 1）若 R 点在第一象限，且直线 OP ， OQ 互相垂直，求圆 R 的方程；
（ 2）若直线 OP ， OQ 的斜率存在，并记为 k1 ，k2 ，求 k1 ，k2 的值；
OR
2r 4 ，即 x02 y02 16 ①
2
2
又点 R 在椭圆 C 上，所以 x0 y0 1 ②
24 12
联立①②，解得
x0
22 ，所以，所求圆
R 的方程为
x
2
22
y0 2 2
2
y 2 2 8．
（ 2）因为直线 OP : y
k1 x 和 OQ : y
k2x 都与圆 R 相切，所以
k1x0 y0 1 k12
设平面 ACC1 的一个法向量为 n x ，y ，1 .
n AC 0
x ，y ，1 2 ， 1 ， 3 0
因为
即
，
n CC1 0
x ，y ，1 0 ，2 ，0 0
3 所以 x 2 即 n
y0
3 ，0 ，1 ， 2
由（ 1）可知： CB1 是平面 ABC1 的一个法向量 .
所以 cos n ，CB1
n CB1 n CB1
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程
x 2cos
已知圆锥曲线 C :
（ 为参数）和定点 A 0 ， 3 ， F1 、 F2 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原
y 3sin
点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求直线 AF2 的直角坐标方程；
（ 2）经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M 、 N 两点，求 MF1 NF2 的值 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲 设 f x x 3 x 4.
（ 2）由（ 1）知 cosB
3 ，从而 sin B
7 .
4
4
因此 sin C
sin 2B
2sin B cos B
37 ， cosC
cos2 B
2
2cos B 1
1 . 所以
8
8
sin A sin
BC
sin B C
sin B cosC cos B sin C
7 1 3 37 57 ，
4 8 4 8 16
已知 t 0 ，设函数 f x
3 3t 1 2
x
x 3tx 1 .
2
（ 1）存在 x0 0 ，2 ，使得 f x0 是 f x 在 0 ，2 上的最大值，求 t 的取值范围；
（ 2） f x xex m 2对任意 x [0 ， ) 恒成立时， m 的最大值为 1，求 t 的取值范围 .
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .
17. （本小题满分 12 分） 在 △ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b 4 ，c 6 ，C 2B . （ 1）求 cosB 的值； （ 2）求 △ ABC 的面积 . 18. （本小题满分 12 分）
如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 B1B 为正方形， BB1C1C 为菱形， BB1C1 60 ，平面 AA1 B1B 平
AA1 的中点，所以 AF
1 AA1 .
2
1 BB1 ，因为 F 是
2
在正方形 ABB1 A1 中， AA1 ∥ BB1 ，AA1 BB1 ，所以 GE∥ AF ，且 GE AF .
∴四边形 GEFA为平行四边形，所以 EF ∥ GA. 因为 EF 平面 ABC ， GA 平面 ABC ， 所以 EF ∥平面 ABC .
（ 1）解不等式 f x 2 ；
（ 2）若存在实数 x 满足 f x ax 1，试求实数 a 的取值范围 .
2016-2017 学年度高三上学期四调考试
高三年级数学试卷（理科）
一、选择题 1-5 ： CCDCB 6-10:DABAA 11
、12： BC
二、填空题
13.2
14.8
15.120
16.
y2 4x
4 ，若数列
1
的前 n 项和为 5，则
an 1 an
an 1 an
n
．
16. 过抛物线
2
y
2 px p
0 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为
A ，与抛物线的准线的的交点
为 B ，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C ，若 AF FB ，BA BC 48 ，则抛物线的方程为
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
12
1 x22 2
1 x12x22 ， 4
整理得 x12
x
2 2
24 ，所以 y12
y22
12 1 x12 2
12 1 x22 2
12 ，
所以 OP2 OQ2 x12 y12 x22 y22 x12 x22
所以 △ ABC 的面积为 1
4
57 6
15 7 .
2
16
4
18. 证明：（1）连接 BC1 ，在正方形 ABB1 A1 中， AB BB1 ，
B1C 平面 ABC1 ，因为 AC1 平面 ABC1 ，所以 B1C AC1 .
（ 2） EF ∥平面 ABC ，理由如下：
取 BC 的中点 G ，连接 GE 、 GA ，因为 E 是 B1C 的中点，所以 GE ∥ BB1 ，且 GE
3 ，0 ，1 0 ，3 ， 3 2
3 1 93
4
7， 7
所以二面角 B AC1 C 的余弦值为 7 . 7
2
2
19. 【答案】（ 1） x 2 2
y 22
8；（ 2）
1 ；（3） 36.
2
试题解析：（ 1）由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r 2 2 ，因为直线 OP ， OQ 互相垂直，且和圆 R 相切，所以
三、解答题
17. 【答案】（ 1） 3 ；（ 2） 15 7 .
4
4
试题解析：（ 1）在 △ ABC 中， b sin B
c ，因为 b 4 ，c sin C
6 ，C
4 2B ，所以
sin B
6 ，即
sin 2 B
4
6
3
，又 sin B 0 ，∴ cos B .
sin B 2sin B cos B
4
）
A． 5 B ． 6 C ． 4 D ． 3
2
2
4. 已知双曲线
x C : a2
y b2
1 a 0 ，b 0 的离心率为
5 ，则 C 的渐近线方程为（ 2
）
A． y
1 x
4
1
1
B ．y
x C. y
x
3
2
D ．y x
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（
）
A． 4 B ． 9 C.7 D
．5
（ 3）在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz BB1 ，
由（ 1）可知： AB 平面 BB1C1C ，以点 B 为坐标原点，分别以 BA 、 BB1 所在的直线为 x 、 y 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系 B xyz ，设 A 2 ，0 ，0 ，则 B1 0 ，2 ，0 .
在菱形 BB1C1C 中， BB1C1 60 ，所以 C 0 ， 1 ， 3 ， C1 0 ，1 ， 3 .
由（ 2）知 2k1k 2 1
2
2
2
以 x1 y1 1， x2
24 12
24
0 ，所以 2 y1 y2 x1x2
2
y2 1， 12
1 ，故
22
y1 y2
1
22
x1 x2
，因为
P
x1 ，y1
，Q
x2 ，y2
，在椭圆
C 上，所
4
即
2
y1
12
12
2
x1 ， y2
2
12
12 x2 ，所以
12
2
1 x12 2
面 BB1C1C .
（ 1）求证： B1C AC1 ；
（ 2）设点 E 、 F 分别是 B1C ， AA1 的中点，试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系，并说明理由；
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C ．22 D ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609.已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，若椭圆的离心率为32，则12k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.32D ．3 10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．123 C.24 D ．18311.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =u u u u r u u u r ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2212316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()2232316x y -+-= D ．()()223316x y -+-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，，则抛物线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.2016-2017学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题17.【答案】（1）34；（2）1574.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =. （2）由（1）知3cos 4B =，从而7sin 4B =.因此37sin sin 22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以 ()()7133757sin sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C B C π=--=+=+=⨯+⨯=， 所以ABC △的面积为157157462164⨯⨯⨯=. 18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以()0 1 3C -，，，()10 1 3C ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r 即()()()() 1 2 1 30 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，， 所以320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3 0 12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB uuu r是平面1ABC 的一个法向量.所以()1113 0 10 3 327cos 731934n CB n CB n CB ⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⋅⎝⎭<>===-⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r ，，，，，， 所以二面角1B AC C --的余弦值为77. 19.【答案】（1）()()2222228x y -+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为()()2222228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k -=+，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即 22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立2212412y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()2222222224112k x y k ++=+，由（2）12210k k +=，得1212k k =-.所以()()2212222222112222122412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++()2221112221111241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.20.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，，()3 AQ c b =--u u u r ，，()2 AF c b =-u u u u r ，，由题2AQ AF ⊥u u u r u u u u r ，即22230AQ AF c b ⋅=-+=u u u r u u u u r ，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线330x y --=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，3b =，故所求的椭圆C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒） ()1221212122121434F MN m S y y y y y y m +=-=+-=+△， 令21t m =+，则1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解，②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.22.解：（1）曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，. 经过()0 3A ，和()21 0F ，的直线方程为113x y +=，即330x y +-=. （2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为33，倾斜角为30︒， 所以l 的参数方程为31212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.因为 M N ，在点1F 的两侧，所以111212313MF NF t t -=+=. 23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()12[ )2-∞-+∞U ，，.。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考(全国卷)理数试题01(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A = ，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b满足()5a a b += ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．B ． ．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>= ，所以1cos ,2a b <>= ，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D 【解析】考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C.考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C 【解析】考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是）A． B ．6π C ．24π D【答案】B 【解析】径为R ，则2221132R SO OO =+=，所以246S R ππ==，故选B.考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D 【解析】考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B 【解析】故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ． 【答案】14【解析】试题分析：抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离152pd =+=,所以8p =，抛物线方程为216y x =，点(1,4)M ，点(1,0)A -，4021(1)AM k -==--，所以12=-，即14a =，故应填14.考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠= 点的仰角45CAB ∠= 以及75MAC ∠= ，从C 点测得60MCA ∠= ，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150 【解析】【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ． 【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥ ，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max1g x k ke ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）. 【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.【解析】10500.99n n a -=⨯因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23. 【解析】试题分析：(1)由题意可知PB ⊥平面ABCD ,所以只要构造直线//MN PB 即可，连接BD ，取BD 中点N ，构造三角形PBD 的中位线即可；(2) 以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系,求出平面DPE 与平面APE 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可. 试题解析： （1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. 【解析】由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
【河北省衡水市】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科模拟数学试卷(一)-答案
河北省衡水市2017年普通高等学校招生 全国统一考试理科模拟数学试卷（一）答 案1~5．ABCBD 6~10．ABDCB 11~12．AA13．23-14．3-15．416．17．解：（1）在ABC △中，cos(2016π)sin(2017π)0B b C --+=Q ，cos sin 0B b C +=，cos sin sin 0C B B C +=．（3分）又0πsin 0C C <<∴≠，，sin 0B B +=，即tan B =， 又2π0π3B B <<∴=，． （6分）（2）由点D 在ABC △的外接圆上，得ππ3D B =-=，或2π3B D ==． （7分）11sin 522ACD S CD AD D AD =⋅=⨯=△解得4AD =．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 21AC AD CD AD CD D =+-⋅=或61，AC ∴=（12分）18．解：（1）2AB CD =Q ，O 是线段AB 的中点，OB CD ∴=．又OB CD //Q ，∴四边形OBCD 为平行四边形． 又90BCD ∠=︒，AB OD ∴⊥．又O Q 是等腰直角EAB △斜边上的中点，EO AB ∴⊥．EO DO O =Q I ，AB ∴⊥平面EOD ．AB ⊂Q 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EOD ．（5分）（2）Q 平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，EO ∴⊥平面ABCD ，EO OD ∴⊥．OB OD OE ∴,,两两垂直．以O 为坐标原点，以OB OD OE ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．EAB Q △为等腰直角三角形，且1CD BC ==， 1OA OB OD OE ∴====，(000)(100)(100)C(1,1,0)D(010)E(001)O A B ∴-,,,,,,,,,,,,,,,，(100(011)CD DE ∴=-=-u u u r u u u r ,,）,,,．（9分）设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r0,0,x y z -=⎧∴⎨-+=⎩ 取1z =，得(0,1,1)n =．OD ⊥Q 平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r．设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,OD n θ===u u u r∴平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小为45︒．（12分）19．解：（1）记所选取的两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则2225252025020()49C C C P A C ++==， 所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为291(A)49P -=． （3分）（2）由题，知ξ的可能取值分别为0,1,2． 2225252025020(0)49C C C P C ξ++===， 1111525202525025(1)49C C C C P C ξ+===， 115202504(2)49C C P C ξ===． （6分）从而ξ的分布列为()01249494949E ξ=⨯+⨯+⨯=． （8分）（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入两个团购网站的概率为251502P ==．所以1(3,)2B η:．（10分）所以事件“2η≥”的概率为2233331111(2)(3)C ()(1)()2222P P C ηη=+==-+=． （12分）20．解：（1）由于点P 为线段MF 的垂直平分线， 故PM PF =，因此4PE PF PE PM ME +=+==>， 故点P 轨迹为椭圆，其中24,a c ==因此P 点的轨迹C 的方程为2214x y +=． （4分）（2）由FD FA FB =+u u u r u u u r u u u r，知四边形AFBD 为平行四边形，故2AFBD AFB S S =Y △，①当AB 为短轴时，11222AFB S AB OF =⋅=⨯△即AFBD S =Y②当AB 为长轴时，易知AFBD 不是四边形，故AB 斜率不为0．③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为(0)y kx k =≠， 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去x ，得222(14)40k y k +-=，所以21212240,14k y y y y k -+==+．121222AFBD ABF S S OF y y ==⨯⋅-Y △==．而2144k+>，所以0=．综上所述，四边形AFBD的面积的取值范围为．（12分）21．解：（1）令()ln 0f x x x a =+=，得ln a x x =-． 记()ln h x x x =-， 则'()ln 1h x =--，∴当1(0,)x e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；∴当1(,)x e∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减．max 11()()()h x h x h e e∴===极大值．（2分）而x 趋向于0时，0,ln 0,()0x x h x -<<>；x 趋向于+∞时，()0h x <∴当1(0,)x e ∈时，()0h x >；当1(,)x e∈+∞时，恰好存在一个实数0x ，使得0()0h x =．（3分）∴当1a e=或0a ≤时，()f x 恰有一个零点； 当1a e>时，()f x 没有零点； 当10a e<<时，()f x 恰有两个零点．（5分）（2）()()f x g x a >+等价于12ln ()x xx x e g x e->-=．由（1），知min 1(ln )x x e =-．（6分）而111212()2(1)'()()x x x x e xe x g x e e ------==．当(0,1)x ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减． ()=()(1)2g x g x g e ∴==-最大值极大值．（10分）11(2)20e e e e ---=-->Q ，min max (ln )()x x g x ∴>．()()f x g x a ∴>+得证．（12分）22．解：（1）直线l 的普通方程为y mx =， 圆C 的普通方程为22(1)1x y +-=． 圆心(0,1)C 到直线l 的距离d ，相交弦长为=令1m ≤-或1m ≥． 即实数m 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞U ． （5分）（2）设(cos ,1sin ),(x,y)P Q αα+，则由线段的中点坐标公式，得cos 2,2()1sin 2x y ααα+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩为参数， 消去参数α并整理，得22(22)(21)1x y -+-=， 即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为2211(1)().24x y -+-=（10分）23．解：（1）由零点分段法，得4(1),()22(13),4(3),x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩函数()f x 的图像如图所示．（4分）（2）311311211m mm mm m +--++-≤=++，当且仅当(31)(1)0m m +-≤， 且311,1m m m +≥-≠-， 即1m ≥或1m <-时，取等号． 由不等式311()1m mf x m +--≥+对任意实数1m ≠-恒成立，得132x x +--≥．由（1）中图像，可知2x ≥． 所以实数x 的取值范围是{|2}x x ≥． （10分）。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正方向的夹角为60o，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈Q ， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30 非供暖季 63770合计85 15 100…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄W Q 平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴W 平面11ABB A ， 同理可得GE W 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I ，所以平面GEF W 平面11ABB A ， EF ⊂Q 平面GEF ，EF ∴W 平面11ABB A .…………4分 （2）连接1AC ，在11AAC V 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，则11110,0m A C m A B •=•=u r u u u u r u r u u u u r ，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =r为平面1CB D 的一个法向量，所以222110113222cos ,112113m n m n m n ⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++u r ru r r W u r r ，平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分 ()2,2Q 在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k =-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以MAB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，MAB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦Q ()()2212322x ax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩Q 的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x Q 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 【答案】D 【解析】试题分析：设,z a bi z a bi =+=-，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．2.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b aa-⋅--===. 考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长 安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先 至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日【答案】D 【解析】试题分析：设n 日相逢，()()111103139711252222n n n n n n --⎛⎫+⋅++⋅-=⋅ ⎪⎝⎭，解得9n =. 考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和． 4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．3 【答案】B 【解析】5.动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：依题意2x yλ-=，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()3,1取得最大值为2.考点：向量，线性规划．6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ． 105+B ． 102+C ．6226++D ．626++ 【答案】CABCED考点：三视图．7.已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的 图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到 【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换． 8.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得()()sin 3cos sin cos A B A A B +=+，化简得cos sin 03A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以是cos 0,2A A π==直角三角形或者0,,233B B B AC ππ-===+.考点：解三角形．9.已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭， 且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C 【解析】试题分析：12n n n a a a +=+取倒数，得11111121,121n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅++=⋅+ ⎪⎝⎭，故112n n a +=，故()122n n b n λ+=-⋅，()22212,3b λλλ=->-<.考点：数列与不等式．10.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B 【解析】考点：向量运算． 11.已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示， 若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？ 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()'111111310,,,3111fa a g x g n x x n n n n -=-=====-+++，程序框图的作用是求其前n 项和，由于201512014120152015S =-=，故再循环一次就满足20142015S >，故填2015n ≤. 考点：算法与程序框图．【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =⋅，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．【答案】5050 【解析】试题分析：令1m n ==，211113a a a =++⋅=，令2,1m n ==，321125a a a =++⋅=，故991991981199298991001299121005050a a a a a a +=++=+++==++++=+++=.考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理．14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的 值为 ． 【答案】14- 【解析】DEFCAB考点：向量运算．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】52【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.EOABCC'F考点：解三角形．16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 【答案】20,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：定义域为{}0x ≠，令()23ln 2f x x ax =-+，这是一个偶函数，我们只需研究0x >上的零点即可，此时()()22'3112ln ,22ax f x x ax f x ax x x-=-+=-=，当0a ≤时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当0a >时，函数在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，要有两个零点，只需11131ln ln 1022222f a a a a a ⎛⎫=-⋅+=+< ⎪ ⎪⎝⎭，解得20,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.考点：函数图象与性质，零点问题．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到a 的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）6A π=；（2）32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得()3sin 2sin cos ,3sin 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是3co s 2A =,又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5533sin coscos sin sin 1sin cos 13sin 166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此323sin 1,3162B π⎛⎤+⎛⎫--∈-- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 考点：解三角形．18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.【答案】（1）证明见解析，243,2n n a n S n n =-=-；（2）10n =；（3）7.【解析】试题解析：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.故数列{}n a 是以1为首项, 以4公差的等差数列.()()()()1211443,22n n nn a a a n n n NSn n n N **+∴=+-⨯=-∈==-∈. （2）由（1）知()21nS n n N n*=-∈, ()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由 221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）故符合条件m 的最大值为7.考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.【答案】（1）10-；（2）①()2211x y -+=；②()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-，由齐次方程可计算的结果为10-；（2）①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y=-⎧⎛⎫∴⎨⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=；②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由①知111x m y n =-⎧⎨=⎩，cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入正弦的单调区间，求得增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换． 20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值 点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值. 【答案】（1）2a ≥-；（2）3ln 24-. 【解析】试题分析：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,分离参数得21x a x--≥，求右边函数的最大值为2-，故2a ≥-；（2）()21ln 2h x x x mx =++，求导得()211'x mx h x x m x x ++=++=，写出根与系数关系1212,,1x x m x x +=-=.化简()()121122121ln 2x x x h x h x x x x ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭，令12x t x =换元后，利用导数可求得其最小值为3ln 24-. 试题解析：()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥, 2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减, ()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.考点：函数导数与不等式．21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数 列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. （1）①求证：数列{}2n a 为等差数列；②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 【答案】（1）①证明见解析；②当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=，化简得222222n n n a a a -+=+，所以数列{}2n a 为等差数列；②由①得{}2n a 首项为2公差为1，所以21n a n =+，即()221n a n =+，结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=；（2）()()()2131120444n n n +++-=>，另外，()()()22312044n n n ++-+>，故()()234nn n a ++<，所以()()14112323n a n n n n >=-++++，利用裂项求和法求得()433n nS n >+.试题解析：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N*=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n aa a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,.n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222222222n n n n n a a a a a -+=+, 化简得222222n n n a a a -+=+ , 所以数列{}2n a 为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列{}2n a 的首项为22a =,公差为4221,1n d a a a n =-=∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭,则有123111111111111...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：数列与不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E.（1）证明:CD CE =； （2）求ADBD的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.试题解析：（1）由题可,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠, 故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得3CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则33BD CD AD AC ==,故3ADBD=. 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应 的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程； （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.【答案】（1）221164x y +=，()2211x y -+=；（2）516. 【解析】试题解析：（1）将()2,3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩,所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：极坐标与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≠±. 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，按2,1,2--三个零点分段去掉绝对值，可求得()f x 最小值为5，得证；（2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()()222222999112115111a a aa a a +=++-≥+⨯-=+++,“=” 成立,()22911a a ⇔+=+, 即2,a =±∴当2a =±时,2291a a ++ 取得最小值5,当2a ≠±时,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以2a ≠±,a ∴的取值范围2a ≠±. 考点：不等式选讲．。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(原卷版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 2.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先 至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ． 8日D ．9日 4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．4 B ．16 C ． 9 D ．35.动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2 D．2 6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ． 105+B ． 102+C ．6226++D ．626++7.已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的 图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到 D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到 8.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 9.已知数列{}n a 满足()111,2n n n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭， 且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 10.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 11.已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的 值为 ．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ∆面积的最大值为 ． 16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值 点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数 列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =.（1）①求证：数列{}2n a 为等差数列；②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E.（1）证明:CD CE =； （2）求ADBD的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应 的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程； （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.。
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三上学期第四次调研考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2016届高三上学期四调考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.已知全集{}U 08x x =∈Z <<,{}2,3,5M =,{}28120x x x N =-+=,则集合{}1,4,7为（ ）A ．()U M N ðB ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()U M Nð2.下列命题中正确地是（ ）A ．若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B ．"0a >,0b >"是"2b aa b+≥"地充分必要条件C ．命题"若2320x x -+=,则1x =或2x ="地逆否命题为"若1x ≠或2x ≠,则2320x x -+≠"D ．命题:p 0R x ∃∈,使得20010x x +-<,则:p ⌝R x ∀∈,使得210x x +-≥3.函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）地大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知等差数列{}n a 地公差0d ≠,且1a ,3a ,13a 成等比数列,若11a =,n S 为数列{}n a 地前n 项和,则2163n n S a ++地最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．925.如图1,已知正方体1111CD C D AB -A B 地棱长为a ,动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ,1C B ,11C D 上．当三棱锥Q -BMN 地俯视图如图2所示时,三棱锥Q -BMN 地正视图面积等于（ ）A ．212a B ．214a C2D26.设x ,y 满足约束条件3200x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数2m z x y =+（0m >）地最大值为2,则sin 3y mx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭地图象向右平移6π后地表达式为（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.已知A ,B ,C ,D 是函数()sin y x ωϕ=+（0ω>,02πϕ<<）一个周期内地图象上地四个点,如下图所示,,06π⎛⎫A -⎪⎝⎭,B 为y 轴上地点,C 为图象上地最低点,E 为该函数图象地一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,CD 在x 轴上地投影为12π,则ω,ϕ地值为（ ）A ．2ω=,3πϕ=B ．2ω=,6πϕ=C ．12ω=,3πϕ= D ．12ω=,6πϕ=8.已知不等式422xx ay y +-≤+对任意实数x ,y 都成立,则常数a 地最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.如图,正方体1111CD C D AB -A B 地棱线长为1,线段11D B 上有两个动点E ,F ,且F E =,则下列结论中错误地是（ ）A ．C A ⊥BEB ．F//E 平面CDAB C ．三棱锥F A -BE 地体积为定值D ．异面直线AE ,F B 所成地角为定值10.已知三棱锥C A -B O ,OA ,OB ,C O 两两垂直且长度均为6,长为2地线段MN 地一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在C ∆B O 内运动（含边界）,则MN 地中点P 地轨迹与三棱锥地面所围成地几何体地体积为（）A ．6πB ．6π或366π+C ．366π-D ．6π或366π-11.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数地底数）上任意一点处地切线为1l ,总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处地切线2l ,使得12l l ⊥,则实数a 地取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-12.设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=,()228e f =,则0x >时()f x （ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知数列{}n a 对于任意p ,q *∈N ,有p q p q a a a ++=,若119a =,则36a = ．14.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥CD P -AB ,其中底面四边形CD AB 是边长为1地正方形,1PA =,且PA ⊥平面CD AB ,则球体毛坯体积地最小值应为．15.若C ∆AB 地内角A ,B 满足()sin 2cos sin B=A +B A,则当B 取最大值时,角C 大小为 ．16.定义函数()y f x =,x ∈I ,若存在常数M ,对于任意1x ∈I ,存在唯一地2x ∈I ,使得()()122f x f x +=M ,则称函数()f x 在I 上地"均值"为M ,已知()2log f x x =,20141,2x ⎡⎤∈⎣⎦,则函数()2log f x x =在20141,2⎡⎤⎣⎦上地"均值"为．三、解答题 （本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中,角A ,B ,C 所对地边为a ,b ,c ,且满足cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角B 地值；（2）若b =且b a ≤,求12a c -地取值范围．18.（本小题满分12分）已知四棱锥CD P -AB 地底面是菱形,CD 60∠B =,D 2AB =PB =P =,C P =,C A 与D B 交于O 点,E ,H 分别为PA ,C O 地中点．（1）求证:PH ⊥平面CD AB ；（2）求直线C E 与平面PAB 所成角地正弦值．19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 地公差为1-,前n 项和为n S ,且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 地通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 地前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 地前三项,记数列{}n n a b 地前n 项和为n T ,若存在m *∈N ,使得对任意n *∈N ,总有n m S λ<T +成立,求实数λ地取值范围．20.（本题小满分12分）如图,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,DC 90∠A = ,AE ⊥平面CD AB ,F//CD E ,1C CD F D 12B ==AE =E =A =．（1）求证:C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ,使二面角DE -M -A 地大小为6π？若存在,求出C M 地长；若不存在,说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x x b =-++,()lng x a x =．（1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上地最大值为38,求实数b 地值；（2）若对任意[]1,x e ∈,都有()()22g x x a x ≥-++恒成立,求实数a 地取值范围；（3）在（1）地条件下,设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,对任意给定地正实数a ,曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ,使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点地直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分．22.（本小题满分10分）如图,已知圆O 是C ∆AB 地外接圆,C AB =B ,D A 是C B 边上地高,AE 是圆O 地直径．过点C 作圆O 地切线交BA 地延长线于点F ．（1）求证:C C D A ⋅B =A ⋅AE；（2）若F 2A =,CF =求AE 地长．23.（本小题满分10分）已知函数()21f x x =-,()1g x a x =-．（1）若关于x 地方程()()f x g x =只有一个实数解,求实数a 地取值范围；（2）若当R x ∈时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 地取值范围．。
精选题库2017年河北省衡水中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
A．（0， ] B．（ ，2] C．（ ，2 ] D．（ 2， 4] 7．（ 5 分）数列 { an} 中，对任意 n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则 a12+a22+…+an2 等于 （）
A．（2n﹣1）2 B．
C． 4n﹣1 D．
8．（5 分）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为 （）
第 10 页（共 27 页）
∴ =4n﹣1．
∴ a12+a22+…+an2=
=
．
故选： D．
8．（5 分）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为 （）
A．2 B．
C． D．
【解答】 解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的一个侧面 SAB与底面 ABCD垂直，过 S 作 SO⊥AB，垂足为 O， ∴ SO⊥底面 ABCD， SO=2× ，
第 2 页（共 27 页）
A．2 B．
C． D．
9．（5 分）设函数 f（x）=Asin（ ωｘ+φ）（A，ω， φ是常数， A＞0，ω＞0），且函
数 f（ x）的部分图象如图所示，则有（
）
A．f （﹣ ）＜ f （ ）＜ f （ ） B．f （﹣ ）＜ f （ ）＜ f（ ）
C．f （ ）＜ f（ ）＜ f（﹣ ） D．f（ ）＜ f（﹣ ）＜ f（ ）
5．（5 分）给出计算
的值的一个程序框图如图，其中判断框内
第 8 页（共 27 页）
应填入的条件是（
）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞ 20 D．i＜ 20 【解答】 解：根据框图， i﹣1 表示加的项数 当加到 时，总共经过了 10 次运算，则不能超过 10 次， i﹣1=10 执行 “是” 所以判断框中的条件是 “＞ｉ10” 故选： A．
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．32 B ． 32- C ．12 D ．12- 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n NS *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．57B ．61C ．62D ．63 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．749. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2310. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D ．6π11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程;（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证: 直线MN 过定点, 并求出定点坐标；(3) 在(2) 的条件下求AMN ∆面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). （1）证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明:EF CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:312(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题参考答案一、选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB 二、填空题：每题5分，共20分.13. 2 14. 1415. 150 16. 1e 21k -≥三、解答题17.本题满分12分解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩ （2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 18．本题满分12分解：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD （2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为3219．本题满分12分解：（1）16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯= ，即67 3.2a b += ①又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ② 由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅… ()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染 合计供暖季228 30非供暖季 63 7 70 合计 8515100…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴平面11ABB A ，同理可得GE 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，EF ∴平面11ABB A .…………4分（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A BC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以222110113222cos ,112113m n m n m n⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分()2,2在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k =-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以MAB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，MAB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦ ()()2212322xax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=. 由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。