2.第二章群论自测练习
群论试题及答案
群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案第二章群论复习题答案群论是现代数学中的一个重要分支，研究的是群的性质和结构。
在第二章的学习中，我们主要学习了群的基本概念、群的运算性质以及群的同态与同构等内容。
下面是对第二章群论复习题的详细解答。
1. 证明：任意群G中的单位元是唯一的。
证明：设e1和e2都是群G的单位元。
由群的定义可知，对于任意元素a∈G，有e1a=a和ae1=a，以及e2a=a和ae2=a。
由此可得：e1 = e1e2 （e1是单位元，e2是群中的任意元素）= e2 （e2是单位元）同理，可以得到e2 = e1。
因此，群G的单位元是唯一的。
2. 设G是一个群，证明：对于任意元素a∈G，存在唯一的元素b∈G，使得ab=ba=e。
证明：首先证明存在性。
对于任意元素a∈G，考虑元素集合{ag | g∈G}。
由于G是一个群，集合中的元素也都属于G。
因此，存在一个元素b∈G，使得ab=ba=e。
接下来证明唯一性。
假设存在两个元素b1和b2满足条件，即ab1=b1a=e和ab2=b2a=e。
则有：b1 = b1e = b1(ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2因此，元素b是唯一的。
3. 设G是一个群，证明：对于任意元素a∈G，存在唯一的元素b∈G，使得aba=a。
证明：首先证明存在性。
对于任意元素a∈G，考虑元素集合{ag | g∈G}。
由于G是一个群，集合中的元素也都属于G。
因此，存在一个元素b∈G，使得aba=a。
接下来证明唯一性。
假设存在两个元素b1和b2满足条件，即ab1a=a和ab2a=a。
则有：b1 = b1e = b1(ab2a) = (b1ab2)a = aa = eb2 = b2e = b2(ab1a) = (b2ab1)a = aa = e因此，元素b是唯一的。
4. 设G是一个群，证明：对于任意元素a∈G，存在唯一的元素b∈G，使得aba=b。
证明：首先证明存在性。
对于任意元素a∈G，考虑元素集合{ag | g∈G}。
高中生物选择性必修2第2章群落及其演替单元检测试卷
C．在自然演替情况下，随着时间的推移，该生态系统中的白桦树种群密度维持一段时间的稳定后，可能会出现下降趋势
D．在长白山地区，针叶树所占比例随海拔增高而增多，阔叶树所占比例随海拔增高而减少，这说明群落垂直结构的形成与温度、湿度等气候条件有关
A．②①③B．③②①C．①③②D．③①②
18．下列关于种群和群落的叙述，正确的是（ ）
A．种群是生物进化的基本单位，种群内出现个体变异是普遍现象
B．退耕还林、退塘还湖、布设人工鱼礁之后都会发生群落的初生演替
C．习性相似物种的生活区域重叠得越多，对资源的利用越充分
D．草本阶段比灌木阶段的群落空间结构复杂
（1）弃耕土地上的演替属于_________类型。土地在经数年精耕细作之后，以往植被的痕迹往往被彻底清除，同时创造出一种新的生态环境，这种环境不仅适于作物，还适于不受耕作抑制的杂草生长，所以最早入侵弃耕土地的先锋植物是___________。
（2）随着演替的发展，物种数量增多，群落内不同植物种群之间的_______关系明显加剧，依据曲线图，请描述物种丰富度在50a内的变化：____________________________。
（2）树线上升过程中，群落发生了___________演替，演替过程中输入该生态系统的总能量___________。
（3）图2说明，___________。树线之上植被厚度大时，形成一道又宽又厚的封锁墙，树木的种子落地于此便遭到“封杀”，导致树线___________。
（4）该研究表明，全球气候变暖使树线位置上升，但树线上升幅度受到种间___________关系的调控。
D．群落具有的空间结构有利于其充分利用环境资源
2.第二章群论自测练习
第二章 群论自测练习一、概念解释1. 置换2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数二、判断题1.对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
2.任何一个子群都同一个变换群同构。
3. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）4. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）5.4S 的置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。
6. 群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。
三、选择题1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. ),(+NB. ),(+QC. ),(*+Z , 其中是非零整数集合D. ),(+C2. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。
A. 111)(---=b a abB. 222)(---=b a abC. 若e a =2，则1-=a aD.ba ab =3.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 以下结论正确的是 ( )。
A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于1的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若,H K 分别是群G 的2011阶, 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ) 。
A.1阶子群B.2011阶子群C.2012阶子群D.2011⨯2012阶子群6. 以下结论正确的是 ( )。
A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在4次对称群4S 中，阶等于2的元的个数是( )。
A.2B. 3C.6D.98. 设N 是群G 的不变子群，以下结论不正确的是( )。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性，即对于任意的a, b属于G，a*b也属于G；结合律，即对于任意的a, b, c属于G，(a*b)*c = a*(b*c)；存在单位元，即存在一个元素e 属于G，对于任意的a属于G，e*a = a*e = a；存在逆元，即对于任意的a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：子群是群G的一个非空子集H，它本身在G的运算下也是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
3. 群的同构是什么？答：如果存在一个双射函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称群G和群H是同构的。
4. 什么是正规子群？答：如果群G的子群N满足对于任意的g属于G和n属于N，都有g*n*g^-1属于N，则称N是G的一个正规子群。
5. 群的直积是如何定义的？答：如果有两个群G和H，它们的直积G×H是所有有序对(g, h)的集合，其中g属于G，h属于H，并且定义运算为(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)。
6. 什么是群的阶？答：群的阶是指群中元素的数量。
7. 什么是拉格朗日定理？答：拉格朗日定理指出，对于任何有限群G和它的子群H，H的阶能整除G的阶。
8. 什么是群的同态？答：如果存在一个函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称f是群G到群H的一个同态。
9. 什么是阿贝尔群？答：如果群G的运算满足交换律，即对于任意的a, b属于G，都有a*b = b*a，则称G是一个阿贝尔群。
10. 什么是群的生成元？答：如果群G中的元素g可以通过它的幂次生成整个群，即存在整数n 使得G中的每个元素都可以表示为g的n次幂，那么称g是群G的一个生成元。
第二章习题 2013
1群论习题第二章 群表示理论2.1 为什么任何群都有单位表示做为它的一种不可约表示？2.2 说明有限群任何一维表示的模必为1。
2.3 证明：除恒等表示外，有限群的任一不可约表示的特征标对群元求和为零。
2.4 有限群的某一表示的所有表示矩阵都乘以同一常数后组成的矩阵集合是否仍为该群的表示？2.5 D j 是有限群G 的一个不可约表示。
证明：G 中同一类元素在D j 上的表示矩阵之和必为单位矩阵的常数倍。
2.6 三维实空间的基矢为(ê1, ê2, ê3)。
求D 3群在该空间上的表示，并判断该表示是否为不可约表示。
2.7某线性空间的基为{()221u r x y =-,()22u r xy =}。
该空间是否构成C 3v 群的封闭线性空间？2.8 设C 4v 群对称操作的主轴沿z 轴方向，求C 4v 群在线性空间{21u x =, 22u y =, 32u xy =}上的表示，并判断该表示是否可约。
如果可约，含有哪些不可约表示？2.9 群G 存在两个表示D a 和D b ，有集合D={D (A ) = D a (A )⊗D b (A )，A ∈G }。
证明D 也是G 的一个表示。
2.10 群C 3h 是群C 3 ={e , 3c , 23c }和C 1h ={e , h σ}的直积群，即C 3h =C 3⊗C 1h 。
求C 3h 所有不可约表示的特征标系。
2.11 求C 3h 群在三维实空间上的表示，判断该表示是否可约。
如果可约，利用投影算符法将表示空间约化。
2.12 证明直积群的所有不等价不可约表示均可由两直因子群的不等价不可约表示的直积得到。
2.13 求出C 3v 群的类特征标表及所有不可约表示的矩阵形式。
2.14 求出C 4v 群的类特征标表。
2.15 求D 4群的特征标表及在二维空间{y x ππ2,2}上的表示。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案第二章群论复习题答案在群论中，群是一种代数结构，它由一组元素和一种二元运算组成。
群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是群的性质和结构。
在本文中，我们将回顾第二章的群论复习题，并给出相应的答案。
1. 证明：如果G是一个群，那么单位元是唯一的。
证明：假设G是一个群，e和e'都是G的单位元。
根据群的定义，对于任意的g∈G，有g·e=g和g·e'=g。
我们可以将e'代入第一个等式中，得到g·e'=g·e。
由于群的乘法满足结合律，我们可以将等式右边的e'和e交换位置，得到g·e=e'·g。
再次使用单位元的定义，我们得到g=e'·g。
由于g是任意的元素，所以对于任意的g∈G，都有g=e'·g成立。
根据群的封闭性，我们可以将g取为e，得到e=e'·e=e'。
因此，我们证明了单位元是唯一的。
2. 证明：如果G是一个群，那么每个元素都有唯一的逆元。
证明：假设G是一个群，对于任意的g∈G，我们需要证明存在唯一的g'∈G，使得g·g'=e。
首先，我们证明存在性。
由于G是一个群，对于任意的g∈G，存在一个元素g''∈G，使得g·g''=e。
我们可以将g''记作g'，则有g·g'=e。
其次，我们证明唯一性。
假设存在另一个元素h∈G，使得g·h=e。
我们可以将等式两边左乘g'，得到(g·g')·h=g'·e=g'。
由于群的结合律成立，我们可以将等式左边的括号去掉，得到g·(g'·h)=g'。
由于g'是g的逆元，所以g'·g=e。
《群论》部分习题答案
《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。
（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。
因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。
所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。
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第二章 群论自测练习一、概念解释1. 置换2. 群的方程定义 ３群的公理化定义 ４. 群的阶 ５.循环群 6. 群的指数二、判断题1．对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
2.任何一个子群都同一个变换群同构。
3． 设1H ,2H 均为群Ｇ的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）４. 群G 的不变子群N 的不变子群Ｍ未必是G 的不变子群。
（ )5.4S 的置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。
６. 群G 中元素a 的逆元存在,但不一定唯一。
三、选择题１. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. ),(+N Ｂ. ),(+Q C. ),(*+Z ， 其中是非零整数集合 Ｄ． ),(+C2. 设e 是群G 的单位元,b a ,是G 的两个元素，则( )。
A. 111)(---=b a abB. 222)(---=b a ab Ｃ. 若e a =2，则1-=a a D.ba ab =3.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1B. ２C. 3D. 4４. 以下结论正确的是 （ )。
A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群Ｃ.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于１的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若,H K 分别是群G 的20１1阶， 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ） 。
A.１阶子群B.２0１1阶子群C.2０12阶子群D.２01１⨯2０１2阶子群6． 以下结论正确的是 ( )。
A ．无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C ．有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数Ｄ.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在４次对称群4S 中,阶等于2的元的个数是( )。
A.2B. 3 Ｃ.6 D ．98. 设N 是群G 的不变子群，以下结论不正确的是( )。
A 、若G 是交换群,则/N G 是交换群 Ｂ、若G 是非交换群,则/N G 是非交换群Ｃ、若G 是循环群,则/N G 是循环群 D 、若G 中元的阶都有限,则/N G 中元的阶都有限四、填空题1．设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为。
2．凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
3. 设)(a G =是循环群，则G 与整数加群同构的一个充要条件是 。
4. 设Z 是整数加群,Z}n |{2n 2∈=Z 是Z 的子群,则商群Z Z 2/的阶是 。
5. 模12的剩余类加群12Z 到模18的剩余类加群18Z 的同态映射有 个。
６. p (p 是素数)阶群的子群有 个。
７. 在全体非零复数对普通乘法作成的群*C 中,由2i 31+-生成的子群的所有元素是 。
8. 若N 是4次对称群4S 的12阶子群，则商群/N 4S 的阶是 。
９. 在同构的意义下，p （p 是素数）阶群共有 个。
10． 在实数域上全体2阶可逆矩阵对普通乘法作成的群中，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A 生成的子群的所有元素是 。
11. 模１２的剩余类加群12Z 的单位元是 ．１2. 已知群G 中元素a 的阶为6,则4a 的阶等于 .１3． 整数加群Z 的所有生成元是 ．１4. n 次对称群n S 的阶是 .五、计算题1.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 2.设6S ∈σ,其中 .261453654321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σ 1）将σ分解成不相连循环置换的乘积； ２)求σ的阶; 3)求1-σ及2σ。
3. 设9次置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ, (1)将σ表成互不相交的轮换乘积;（2) 将σ表示成形式为对换的乘积;(３)求出σ的逆与的阶。
六、解答与证明题1．请举一个幺半群其中有一个元素的左逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。
2.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a ，证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
3. 假设G 是n 2阶群,则G 包含有2阶元素；如果n 是奇数并且G 是A ｂel 群，则G 只有一个2阶元素。
证明４.实数集R ，对运算)(2b a b a += 能否作成群,并说明理由。
５.设G ＝(a)是循环群,证明：当n a =时，G=(ａ）与n 次单位根群同构。
6．设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个群。
7.设R 是一个有单位元1的环,R b a ∈,,证明：如果ab +1在R 中有逆元，则ba +1在R 中也有逆元。
8．设2R 为所有实数对),(y x 作成的集合,对运算),(),(),(d b c a d c b a -+= ,2R 能否构成群，说明理由。
9.令G={}b a e ,,,且G 有如下乘法：e a be e ａ ba ａb ｅb b e a证明：G 对此乘法作成一个群。
１０．非零实数集R 对运算ab b a = 能否作成群,说明理由。
１1.实数集R ，对运算)(2b a b a += 能否作成群,并说明理由。
１2.证明:在群G 中只有单位元满足方程x x =2。
13. 设G 是一个阶大于1的群,证明:若G 中除单位元外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限就是一个素数。
14.证明:任何群都不能是两个非平凡子群的并。
１5.两个子群的乘积不一定是子群。
１6.证明：群G 是有限群当且仅当G 只有有限个子群。
17.试举出满足以下条件的群：1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
２)Ｇ是无限群，G 中除单位元外,既有有限阶元素，也有无限阶元素。
1８.证明：在任意群Ｇ中，a 与),(1G c a cac ∈-同阶。
19． 假定群G 的阶为n ,且)(a G =.证明：)(r a G =，这里1),(=n r .20.一个群G 的可以写成ab b a 11--形式的元叫做换位子，证明:(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C 是G 的一个不变子群，称为G 的导群或换位子群;(２)G /C 是交换群；(3）若N 是G 的一个不变子群,并且N G /是交换群，那么C N ⊃.2１.假定～是一个群G 的元间的一个等价关系,并且对于Ｇ的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ⇒～y 。
证明:与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。
22.设循环群G =)(a 是可换群.23.设G 是一个阶大于1的群,证明：Ｇ只有平凡子群当且仅当Ｇ为素数阶循环群。
2４.假定群G 的不变子群Ｎ的阶是2,证明：G 的中心C(G ）包含Ｎ.２5．假定G 和-G 是两个群,并且ϕ是G 到-G 的同态满射。
(1). 证明ϕker 是群G 的正规子群； (2)． 证明ϕ是同构映射当且仅当ϕker =}{e 。
26．证明：阶是m p 的群G 一定包含一个阶是p 的子群，其中+∈Z m ,p 是素数.27.设G=（a)是循环群，证明：当∞=a 时，G=(a ）与整数加群同构。
28．整数加群Z 是否与偶数加群Z 2同态?整数环Z 是否与偶数环Z 2同态？请简要陈述理由.2９.设G N ≤,证明：G N 的充要条件是N 的任意两个左陪集的乘积是左陪集。
30.设K H ,是群G 的子群,证明:（１)]:[]:[K G K H H ≤⋂；（2)当]:[K G 有限时,则]:[]:[K G K H H =⋂当且仅当HK G =。
3１．设f 是群G 到群-G 的同态满射，--G N ，)(1--=N f N ,证明：--≅N G N G 。
自测练习参考答案一、概念解释参见课本二、判断题1.√，2.√，3.× ,4.√, ５. × ， 6. ×三、选择题1. （A ) ２. (C ) ３. (B ） 4. (D ) 5. （A ) 6． (C ) 7． (D ) 8. (Ｂ )四、填空题1.1-ab2. 变换群3. ||a =∞ ４． 2 5. 6 ６. 2 7．211,,,2ωωω-+= ８. ２ 9. 1 １0. ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 11.[0］ 12. ３1３.1,-1 １4．!n五、计算题1.G 的单位元为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01112a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01103a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10014a 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01112b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10013b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011ab 对任意的整数n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011011011)(n ab n n 即a 的阶为4，b 的阶为３, ａb 的阶为无限 ２. 1))256)(134(=σ； 2）σ的阶为3;3）)265)(143(1=-σ， )265)(143(12==-σσ 3.（１)(15)(2379)(468),σ=(２）)46)(48)(23)(27)(29)(15(=σ(3）1(15)(9732)(864),||12σσ-==。
六、解答与证明题1.设A 是正整数集合,{|:}M f f A A =,则M 是一个幺半群。
做变换()1,f n n n A =+∀∈,f 是一个单射但不是满射,(1)1,()1,2,g g n n n n A ==-≥∀∈，g 是一个满射但不是单射，并且有1A gf =但是1A fg ≠，则g 是f 的左逆元不是右逆元,同样f 是g 的右逆元不是左逆元。
2.由题设可列乘法表:ﻩａ b c da abc db b a d cc cd a bd d ｃ b ａ由此表可知:方阵普通乘法是G 的代表运算,a 是G 的单位元,又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素Ｇ中都有逆元，结合率显然成立。
故Ｇ对方阵普通乘法作成一个交换群。
3．(1）由于G 是一个偶数阶群,则G 中阶等于2的元素的个数一定是奇数，所以群G 包含一定有2阶元素;(2)假设G 有两个不同的2阶元素,a b ，又由于G 是A ｂel 群，则易知{,,,}e a b ab 是G 的一个4阶子群，于是由 Lagrange 定理知，4|2n ，进而2|n ，但这于n 是奇数矛盾，所以G 只有一个2阶元素。
4.Ｒ不能作成群,因为R 对所给运算来说没有单位元。