2014竞赛第二讲_一般物体的平衡答案

2014第二讲 一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。

记为M=FL ，单位“牛·米”。

一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。

（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。

（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。

2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。

3、公式法：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

二、常用方法①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。

三、巩固练习1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。

求它的重心。

【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C 。

C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ； 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。

不难看出两种方法的结果都是mM l R M BC +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2。

2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求： (1)绳子的力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N]解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N; （2）取球心为转轴得，f =T =10N;取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N.3.—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加（M+m ）g（2M+m ）g一个竖直向下的力F ，如图所示．问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动? [解]当球开始转动时,12f f ，达到最大静摩擦1221F G N f N f +=+⎧⎨=⎩ 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.12Fs f r f r =+ 因12f f ，为最大静摩擦:1122f N f N μμ=⎧⎨=⎩将以上方程联立可得:2()(1)(1)F G s r F μμμ++=+4.如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N ） 解:木块静止时弹力为10N ，可得杆重G =20N向左拉时:N 1L cos α+μN 1L sin α=G2L cos α,或N 1μsin α=21G cos α-N 1cos α 向右拉时:N 2L cos α=μN 2L sin α+G 2L cos α,或N 2μsin α=N 2cos α-21G cos α两式相比得10910922--=N N ,得N 2=11.25N5.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的力.[答案：)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T ]解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的力.但弹力的力臂比较难求.解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++=式中θθcos ,2tan /L AC r AD ==有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T .6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。

将C 柱体放上去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。

假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。

若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。

设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得11312()2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得11231022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得 2113102f N N +-= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得11223223f f G -===+112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤ 0233μ-≥，23μ≥- 7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。

答案：mg/42解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有2,211++=⋅=⋅i i i i N N L N L N 得所以65321)21(212121N N N N ==⨯== ① 再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图乙所示，A 6B 6受到薄片A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有A 1A 2 A 3A 4 A 5 A 6 1B 2B 3 B 4 B 5 B 6L N L mg L N ⋅=⋅+⋅61432 由①、②联立，解得 N 1=mg /42所以，A 1B 1薄片对A 6B 6的压力为mg /42.8.（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4Lh =的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。

[解]设1号右端面到2号右端面的距离为x 1，12L x =, 2号右端面到3号右端面到的距离为x 2……，以第2号木块的左端为转轴力矩平衡:22()2LGL G G L x +=-,可以得出24Lx =,同理:第3号右与第4号右端的距离为x 3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡323()2L GL G G L x +⋅=- 求得36L x = 第k 号的右端面的距离为x k ……，则第k 号由力矩平衡知： (1)()2k Lk GL G kG L x -+=- 求得： 解得2k Lx k=则桥拱长的一半为11121122n n k K k sL Lx x x k k--===+++==∑∑由图1可知1(1)(1)4H n h n L =-=- 所以11411n K s H n k -==-∑。

将n=10代入可得． 1.258sH=9.有一质量为m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0=μ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角30=θ，如图所示。

（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离L L h (5/21=为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？（2）若将作用点移到5/42L h =处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。

杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得)(0cos 0sin =--=--=--fL h L F mg T N f T F θθ另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：N f μ= 解得：hh L mgL F mas --=μθθ/tan )(tan由上式又可知，当L h h h L 66.0,/tan )(0=∞→--即当μθ时对F 就没有限制了。

（1）当0152h L h <=，将有关数据代入m ax F 的表达式得 N F 385max =（2）当,5402h L h >=无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。

10.用两个爬犁 (雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m 长为l 的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示．每个爬犁的上端A 与被运送的横梁端头固连，下端B 与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力Ｆ作用于前爬犁．作用点到雪地的距离用h 表示．已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 1．后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 2．问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动．h 应满足什么条件?水平牵引力F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计．[分析]正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件0F M ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑ 是求解平衡问题的基本出发点,准确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.[解]整个装置的受力如解图1-24所示,其中N 1与N 2分别为雪地对爬犁的支持力,f 1和f 2分别为摩擦力,根据平衡条件有12F f f =+ ①12mg N N =+ ②212Fh N l mgl += ③根据摩擦力与正压力的关系有:111f k N = 222f k N =h 越大以爬犁与地的前接触点为轴,F 的力矩越大.故N 2越小.h 最大时对应N 2=0的情况.将N 2=0代入以上各式,可以解得:12l h k =1212()12()l k k F mg l k k h +=-- 故:h 应满足的条件是:12lh k ≤11.半径为r ,质量为m 的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m 、半径为R 的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为μ=15/3(约等于0.775).问R 取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? [答案：.)133332()1332(r R r -≤<-] 解：当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示. 对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N 2sin θ-3f 2soc θ=mg ----① （或下面的小球，对球与筒接触点为转轴， 力矩平衡N 2r sin θ+mgr =f 2r (1+cos θ)）再对四个小球为整体,在竖直方向3f 1=4mg -----------②下面的小球,对球心为为转轴，有力矩平衡条件f 1r =f 2r ，得f 1=f 2----③对下面的小球,取f 1和f 2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N 1>N 2,故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R 最大时：f 2=μN 2--------------有上述四式得：128soc 2θ+24cos θ-77=0,解得：cos θ=1611,因1611)/(332cos =+=R r r θ，所以r R )133332(-=。