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人教部初三九年级数学上册 旋转复习课 名师教学PPT课件
3，线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆 都是 中心对称。图形
4，中心对称与轴对称的类比
中心对称
轴对称
1 有一个对称中心—点 有一条对称轴—线
2 图形绕中心旋转180
3
旋转后与另一图形重 合
图形沿轴对折180 °
翻折后与另一图形 重合
十，关于对称点的坐标特点
点P（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_(_x_,_－__y). 点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_(_－__x_,_y).
AB=5，DE=6。△DAE旋转后能与△DCF重合，
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？
（4）四边形DEBF的周长和面积？
F
D
C
AE
B
随堂练习
19，四边形ABCD是正方形，△DCE顺时 针旋转后与△DAF重合，那么 （1）旋转角是几度？ （2）连结EF后，△DEF是什么三角形？
A C
DB
O
练一练
8，如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一
点,△ABE经过旋转后得到△ADF,请按图回答:
(1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是多少度? (3)∠EAF等于多少度?
G. E
(4)经过旋转,点B与点E分别移动到 A
B
什么位置?
(5)若点G是线段BE的中点,经过旋转
后,点G移到了什么位置?请在图形 上作出.
P
D B
P′
随堂练习
17，在正方形ABCD中，E为DC边上的点， 连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900 得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则 ∠EFD的度数为（ B ） A、100 B、150 C、200 D、250
初三数学复习课课件
总结词：掌握代数方程与不等式的解题技巧。
二次根式与一元二次方程
详细描述：通过解决涉及二次根式和一元二次方程的题 目，学生可以更好地理解两者之间的关联，掌握解题方 法，提高解决复杂代数问题的能力。
几何模拟试题
三角形与四边形
详细描述：通过解决三角形与四边形的题目，学生可以 深入理解三角形与四边形的性质和判定条件，掌握解题 方法，提高解决几何问题的能力。 总结词：掌握圆的基本性质及其应用。
几何重点难点
几何变换
掌握平移、旋转和轴对称的变换性质，理解变换在几何问题中的应用。
函数重点难点
一次函数与反比例函数
01
二次函数
03
02
掌握一次函数和反比例函数的图像和性质， 理解函数图像的平移和对称变换。
04
掌握二次函数的图像和性质，理解二次函 数的顶点和对称轴。
函数的应用
05
06
掌握函数在实际问题中的应用，理解函数 的最大值和最小值的求解方法。
03
复习解题方法
代数解题方法
代数方程求解
总结了代数方程的基本 解法，包括移项、合并 同类项、去括号、解方
程等步骤。
不等式求解
介绍了不等式的基本性 质和解题技巧，包括移 项、合并同类项、去分
母等步骤。
因式分解
总结了因式分解的常用 方法和技巧，包括提公
因式法、公式法等。
分式化简
介绍了分式化简的基本 方法和技巧，包括约分 、通分、分子分母同乘
04
复习易错题解析
代数易错题解析
总结词
代数式运算错误
详细描述
学生在进行代数式运算时，常常因为对运算法则理解不透彻或粗心大意导致运算错误，如括号处理不 当、符号混淆等。
人教版初三数学九年级上册 第24章 《圆》教材分析 课件(共38张PPT)
能利用垂径定理解决有关简单问题； 能利用圆周角定理及其推论解决有关 简单问题
运用圆的性质的有关 内容解决有关问题
点和圆 的
位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过 不在同一直线上的三点作圆；能利用 点与圆的位置关系解决有关简单问题
图图 形形 与的 几性 何质
直线和圆 的
位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直 线和圆的位置关系；理解切线与过切 点的半径的关系；会用三角尺过圆上 一点画圆的切线
三角形的内切圆；了解三角形的内心； 有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆 作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面 会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积 算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一 些简单的实际问题
O
O
适当补充“知二推三”，灵活运用所学 知识，特别是体会如何证明圆心在弦上 （某弦是直径）。
O
C
A
B
例. 根据条件求解：
D
（1）已知⊙O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高.
（3）已知⊙O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和 弦心距.
（4）已知⊙O弦长为2，弦心距为，求⊙O半径及弓形高.
A
B
半径为5dm。则水深______dm.
5.注重数学核心素养的培养
本章的教学内容能进一步发展学生的几何 直观、推理能力等数学核心素养。
在教学过程中引导学生多画图、敢画图， 借助对几何图形直观的感知、分析问题， 并在此基础之上，在解决问题的过程中， 运用合情推理探索思路，发现结论，运用 演绎推理用于证明结论。
初三数学中考专题复习 握手问题的探究与应用 课件(共26张PPT)
“握手”问题的探究及应用
【实际问题】
班级迎新晚会上，全班同学两两 握手一次致意，那么他们共握手多少 次？
合作探究：
小组进行握手游戏，合作寻找握手的 内在规律。
请思考：若4位同学两两握手共握手多
少次？5位呢？8位呢？…n位呢？
（ 小组展示握手探究过程，小组代表讲解探究过程）
【问题解决】
班级迎新晚会上，n位同学 两两握手一次致意，那么他们共
握手 n(n 1) 次. 2
实 【思考1】 数线段
际
应 小明在纸上画了一条直线，
用
小红又拿起了笔，在小明画的直 线上点了8个点，“你知道现在 这条直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明快速回答这 个问题吗？
【思考1】
小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔， 在小明画的直线上点了8个点，“你知道现在这条 直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明 快速回答这个问题吗？
2
平面内确定直线条数
不在同一条直线上的3个点，过任意两点 一共可以画 3 条直线； 平面内4个点（任意三点不在同一条直线 上），过任意两点一共可以画 6 条直线； 5个点呢？ 在同一平面内有n个点（任意三个点都不 在同一条直线上）过这n个点中的任意两 点画直线，一共能画出 n(n 1) 条直线？
下一张
【思考2】
往返于青岛、北京南的D336动车，中途 经过胶州北、潍坊、昌乐、淄博、济南、德 州东、沧州西、天津南、廊坊站点，（只考 虑站点）那么该列火车需要安排多少种不同 的车票？
【解析】把每个站点看成每位同学，共 11个站点就是11位同学；每2个站点 的火车票种类可以看作2位同学握手， 火车票种类便是平面内，由不在同一条直线上
但有公共端点的n条射线所组成的图形中，
【实际问题】
班级迎新晚会上，全班同学两两 握手一次致意，那么他们共握手多少 次？
合作探究：
小组进行握手游戏，合作寻找握手的 内在规律。
请思考：若4位同学两两握手共握手多
少次？5位呢？8位呢？…n位呢？
（ 小组展示握手探究过程，小组代表讲解探究过程）
【问题解决】
班级迎新晚会上，n位同学 两两握手一次致意，那么他们共
握手 n(n 1) 次. 2
实 【思考1】 数线段
际
应 小明在纸上画了一条直线，
用
小红又拿起了笔，在小明画的直 线上点了8个点，“你知道现在 这条直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明快速回答这 个问题吗？
【思考1】
小明在纸上画了一条直线，小红又拿起了笔， 在小明画的直线上点了8个点，“你知道现在这条 直线上有多少条线段吗？” 同学们，你能帮小明 快速回答这个问题吗？
2
平面内确定直线条数
不在同一条直线上的3个点，过任意两点 一共可以画 3 条直线； 平面内4个点（任意三点不在同一条直线 上），过任意两点一共可以画 6 条直线； 5个点呢？ 在同一平面内有n个点（任意三个点都不 在同一条直线上）过这n个点中的任意两 点画直线，一共能画出 n(n 1) 条直线？
下一张
【思考2】
往返于青岛、北京南的D336动车，中途 经过胶州北、潍坊、昌乐、淄博、济南、德 州东、沧州西、天津南、廊坊站点，（只考 虑站点）那么该列火车需要安排多少种不同 的车票？
【解析】把每个站点看成每位同学，共 11个站点就是11位同学；每2个站点 的火车票种类可以看作2位同学握手， 火车票种类便是平面内，由不在同一条直线上
但有公共端点的n条射线所组成的图形中，
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.1.1 锐角三角函数(第1课时) 课件(共24张PPT)
课堂练习
1.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来 的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
2.以下对坡度的描述正确的是(
)
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
例题讲解 例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
解：甲梯中，tan
4 8
1 2
.
乙梯中， tan
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
5
5
.
132 52 12
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为 夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
探究新知 知识点一 正切
梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种 判断办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
┌ A ∠A的邻边b C
谢谢聆听
其实就是坡角的正切．
例题讲解 例4 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
九年级上册数学ppt课件
一、教材分析
（一）教材所处的地位及作用。 本节课是九年级上册（人教版）
第二十三章第二节 中心对称的第一课 时。它是初中数学的一项重要内容。 它与轴对称、轴对称图形、旋转有着 密不可分的联系,实际生活中也随处可 见中心对称的应用。
（二）教学目标
1 、知识目标：
(1)理解并掌握中心对称的概念和性质。
2.动手操作
学生在教师的引导下动手操作， 旋转三角板，画出关于点O对称的 两个三角形，在学生画出两个中心 对称的三角形后，及时展开中心对 称性质的研究。
设计意图
通过学生动手操作、合作交流， 来获取知识，这样设计有利于突破 难点，也让学生体会到观察、猜想、 归纳的数学思想及学习过程，提高 学生分析问题和解决问题的能力。
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你又有什么发现?
O
重合
B
（2） C
重合
设计意图
鼓励学生通过观察、思考 和讨论，用自己的语言来描述 这些图案的共同特征，初步感 受中心对称的概念。这种以实 际问题为切入点导入新课，不 仅自然，而且也反映了数学来 源于生活，学习数学是为了服 务于生活。
3、归纳验证
归纳：通过动手操作、合作交流，探索 中心对称的性质，让学生在整个学习过 程中感受学习数学的乐趣，使学生学会 “文字语言”与“数学语言”这两种表 达方式。
验证：学生在探究过程中进行了画图、 旋转还有证明等活动，引导学生从中体 会到数形结合和从特殊到一般的数学思 想，而且这一过程也有利于培养学生严 谨、科学的学习态度。
教法
数学是一门培养人的思维，发展 人的思维的重要学科，因此在教学中， 不仅要使学生“知其然”，而且还要 使学生“知其所以然”。针对初三年 级学生的认知结构和心理特征，本节 课可选择“引导探索法”，引导学生 自主探索，合作交流，这种教学理念 紧随新课改理念，也反映了时代精神。
（一）教材所处的地位及作用。 本节课是九年级上册（人教版）
第二十三章第二节 中心对称的第一课 时。它是初中数学的一项重要内容。 它与轴对称、轴对称图形、旋转有着 密不可分的联系,实际生活中也随处可 见中心对称的应用。
（二）教学目标
1 、知识目标：
(1)理解并掌握中心对称的概念和性质。
2.动手操作
学生在教师的引导下动手操作， 旋转三角板，画出关于点O对称的 两个三角形，在学生画出两个中心 对称的三角形后，及时展开中心对 称性质的研究。
设计意图
通过学生动手操作、合作交流， 来获取知识，这样设计有利于突破 难点，也让学生体会到观察、猜想、 归纳的数学思想及学习过程，提高 学生分析问题和解决问题的能力。
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你又有什么发现?
O
重合
B
（2） C
重合
设计意图
鼓励学生通过观察、思考 和讨论，用自己的语言来描述 这些图案的共同特征，初步感 受中心对称的概念。这种以实 际问题为切入点导入新课，不 仅自然，而且也反映了数学来 源于生活，学习数学是为了服 务于生活。
3、归纳验证
归纳：通过动手操作、合作交流，探索 中心对称的性质，让学生在整个学习过 程中感受学习数学的乐趣，使学生学会 “文字语言”与“数学语言”这两种表 达方式。
验证：学生在探究过程中进行了画图、 旋转还有证明等活动，引导学生从中体 会到数形结合和从特殊到一般的数学思 想，而且这一过程也有利于培养学生严 谨、科学的学习态度。
教法
数学是一门培养人的思维，发展 人的思维的重要学科，因此在教学中， 不仅要使学生“知其然”，而且还要 使学生“知其所以然”。针对初三年 级学生的认知结构和心理特征，本节 课可选择“引导探索法”，引导学生 自主探索，合作交流，这种教学理念 紧随新课改理念，也反映了时代精神。
初三数学ppt课件
1.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数 的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图 形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的 大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位 置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值 范围等. 2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利 用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x 轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范 围. 3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函 数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式； 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式； 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
把你的喜悦和大家一起分享, 也请把你的收获告诉你的同桌吧!
14
四、方法小结
2m1时图象过原点另一个交点坐标为103当m1且m3时抛物线的顶点在第四象限轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论13如图所示已知抛物线yaxcb2cao30求抛物线的解析式和它的顶点坐标
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
把你的喜悦和大家一起分享, 也请把你的收获告诉你的同桌吧!
14
四、方法小结
2m1时图象过原点另一个交点坐标为103当m1且m3时抛物线的顶点在第四象限轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论13如图所示已知抛物线yaxcb2cao30求抛物线的解析式和它的顶点坐标
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秀峰中学 初三数学组 制作
y
x
本课内容： 一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念
❖ 整式方程中都只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次 方程
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax2叫做 二次项，a叫做二次项系数； bx叫做一次项，b叫做一次 项系数， c叫做常数项。
课堂小节
❖ ．何种类型的一元二次方程适合用直接开平 方法？
（左边为含有未知数的平方的形式，右边为非 负数或能整理为此形式）
用因式分解法解一元二次方程
x2 4
x2 4 0
(x 2)(x 2) 0
x 2 0或x 2 0
x 2或x 2.
原方程的两个根为x1 2, x2 2.
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6. 小林说:“我的方法多简便！”
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
练一练1 1. 判断下列方程哪些是一元二次方程?
并说明理由.
(1) 2x=y2－1(不是) (2) y2－2y－3=0(是)
(3) x2-－X2 -3=0(不是) (4) z(3z-1)=3z2+1(不是)
(5)y2=9( 是)
(6)y2-2y3+1=0(不是)
三个条件:(1)是整式方程. (2)只含有一个 未知数. (3)未知数的最高次数是2
用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)x2 3x 10 0 解：原方程可变形为
(x 2)(x 5) 0
x 2 0,或x 5 0,
x1 2, x2 5.
(2)x2 9x 18 0
解 : 原方程可变形为 (x 3)(x 6) 0
x 3 0，或x 6 0,
x1 3, x2 6.
2.方程(m-2)xImI+3mx+1=0是关于X 的一元二次方程，则m=( ＿2 )
3.关于X的方程(K2-1)X2+2(K-1)X+44=0 当K__≠±__1__时,为一元二次方程,当K=_－_1 时为一元一次方程. 4.一元二次方程的一般形式是_____
__ax_2_+_b_x+_c_=_0__(_a_≠_0_) _. 5.方程(2X-1)(X+5)=6X的二次项系数是 （ 2 ）一次项系数是（ 3 ）常数项 是( －5 )
x 2 0或x 4 0,
x1 2, x2 4.
(3)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
(x 2)(3x 5) 0,
x 2 0,或3x 5 0,
5
x1
2,
x2
. 3
(4)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
解：去括号，整理，得 a2 2a 1 0
.
(3)x2 7x 12 0
解：(x 3)(x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
(4)t(t 3) 28
解：整理，得 t 2 3t 28 0, (t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4,t2 7.
(5)(4x 3)2 (x 3)2
直接开平方法
x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以
x 4
即x= 2.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得
x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
练一练2
❖ 解下列方程：
（1）(x－1)2－18＝0； （2）(1－3x)2＝1； （3）(2x＋3)2－25＝0.
解：移项，得
x2 x 0, x(x 1) 0
x 0,或x 1 0,
原方程的解为: x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
解：移项，得 (4x 3)2 (x 3)2 0,
(4x 3 x 3)(4x 3 x 3) 0 5x(3x 6) 0,
5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
(6)x2 ( 3 2)x 6 0
解：原方程变形为 (x 3)(x 2) 0
x 3 0或x 2 0,
(a 1)2 0 a1 a2 1.
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5x2 4x 0
解：x(5x 4) 0, x 0或5x 4 0,
x1
0,
x2
4 5
.
(2) 2 y2 3y
解：2 y2 3Βιβλιοθήκη 0 y( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
y1
0,
y2
32 2
快速回答：下列各方程的根分别 是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
(4)x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1. 原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4)x2 x
解：(1)当x 0时，左边 02 0，右边 0. 左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时,方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
用因式分解法解下列方程：
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得 x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
(2)(x 3)(x 1) 5 解 : 原方程可变形为
x2 2x 8 0
(x 2)(x 4) 0,
y
x
本课内容： 一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念
❖ 整式方程中都只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次 方程
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax2叫做 二次项，a叫做二次项系数； bx叫做一次项，b叫做一次 项系数， c叫做常数项。
课堂小节
❖ ．何种类型的一元二次方程适合用直接开平 方法？
（左边为含有未知数的平方的形式，右边为非 负数或能整理为此形式）
用因式分解法解一元二次方程
x2 4
x2 4 0
(x 2)(x 2) 0
x 2 0或x 2 0
x 2或x 2.
原方程的两个根为x1 2, x2 2.
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6. 小林说:“我的方法多简便！”
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
练一练1 1. 判断下列方程哪些是一元二次方程?
并说明理由.
(1) 2x=y2－1(不是) (2) y2－2y－3=0(是)
(3) x2-－X2 -3=0(不是) (4) z(3z-1)=3z2+1(不是)
(5)y2=9( 是)
(6)y2-2y3+1=0(不是)
三个条件:(1)是整式方程. (2)只含有一个 未知数. (3)未知数的最高次数是2
用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)x2 3x 10 0 解：原方程可变形为
(x 2)(x 5) 0
x 2 0,或x 5 0,
x1 2, x2 5.
(2)x2 9x 18 0
解 : 原方程可变形为 (x 3)(x 6) 0
x 3 0，或x 6 0,
x1 3, x2 6.
2.方程(m-2)xImI+3mx+1=0是关于X 的一元二次方程，则m=( ＿2 )
3.关于X的方程(K2-1)X2+2(K-1)X+44=0 当K__≠±__1__时,为一元二次方程,当K=_－_1 时为一元一次方程. 4.一元二次方程的一般形式是_____
__ax_2_+_b_x+_c_=_0__(_a_≠_0_) _. 5.方程(2X-1)(X+5)=6X的二次项系数是 （ 2 ）一次项系数是（ 3 ）常数项 是( －5 )
x 2 0或x 4 0,
x1 2, x2 4.
(3)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
(x 2)(3x 5) 0,
x 2 0,或3x 5 0,
5
x1
2,
x2
. 3
(4)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
解：去括号，整理，得 a2 2a 1 0
.
(3)x2 7x 12 0
解：(x 3)(x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
(4)t(t 3) 28
解：整理，得 t 2 3t 28 0, (t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4,t2 7.
(5)(4x 3)2 (x 3)2
直接开平方法
x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以
x 4
即x= 2.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得
x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
练一练2
❖ 解下列方程：
（1）(x－1)2－18＝0； （2）(1－3x)2＝1； （3）(2x＋3)2－25＝0.
解：移项，得
x2 x 0, x(x 1) 0
x 0,或x 1 0,
原方程的解为: x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
解：移项，得 (4x 3)2 (x 3)2 0,
(4x 3 x 3)(4x 3 x 3) 0 5x(3x 6) 0,
5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
(6)x2 ( 3 2)x 6 0
解：原方程变形为 (x 3)(x 2) 0
x 3 0或x 2 0,
(a 1)2 0 a1 a2 1.
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5x2 4x 0
解：x(5x 4) 0, x 0或5x 4 0,
x1
0,
x2
4 5
.
(2) 2 y2 3y
解：2 y2 3Βιβλιοθήκη 0 y( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
y1
0,
y2
32 2
快速回答：下列各方程的根分别 是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
(4)x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1. 原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4)x2 x
解：(1)当x 0时，左边 02 0，右边 0. 左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时,方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
用因式分解法解下列方程：
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得 x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
(2)(x 3)(x 1) 5 解 : 原方程可变形为
x2 2x 8 0
(x 2)(x 4) 0,