2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则等于（）{}1,2,3,4U ={}1,2S ={}2,3T =()U S T A ．B ．C ．D ．{}2{}3{}4{}2,3,4【答案】B【解析】根据补集和并集的定义可计算出集合.()U S T 【详解】由题意可得，因此，.{}3,4U S = (){}3U S T = 故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“，”的否定是（）0(0,)x ∃∈+∞00ln 1x x =-A ．，B ．，0(0,)x ∃∈+∞00ln 1x x ≠-0(0,)x ∃∉+∞00ln 1x x =-C ．，D ．，(0,)x ∀∈+∞ln 1x x ≠-(0,)x ∀∉+∞ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，(0,)x ∀∈+∞ln 1x x ≠-【考点】全称命题与特称命题3．下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（）()0,∞+A ．B ．C ．D ．()lg 2y x =2y x =-2xy =y 【答案】D【解析】分析各选项中函数单调性以及在区间上的单调性，可得出合适的选项.()0,∞+【详解】对于A 选项，函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，且在区间()lg 2y x =()0,∞+上为增函数；()0,∞+对于B 选项，函数为偶函数，且在区间上为减函数；2y x =-()0,∞+对于C 选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；2x y =()0,∞+对于D 选项，函数上为增函数.y ()0,∞+故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.4．“”是“”的（）11a b<0b a <<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“”是“”的必要不充11a b<0b a <<分条件.【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”.2a =1b =11a b <0b a <<11a b<⇒0b a <<当，则，由不等式的性质得，，0b a <<0b a ->->11a b ->-11a b∴<即“”“”.0b a <<⇒11a b<因此，“”是“”的必要不充分条件.11a b<0b a <<故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5．等于（）cos 480A ．B ．C ．D 12-12【答案】A【解析】利用诱导公式可计算出的值.cos 480 【详解】由诱导公式得.()()1cos 480cos 54060cos 18060cos 602=-=-=-=-故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．设，，，则、、的大小顺序是（）0.5log 6a =60.5b =0.56c =a b c A ．B ．C ．D ．b a c <<b c a<<a c b<<a b c<<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，a b c 01可得出这三个数的大小关系.【详解】对数函数在上为减函数，则；0.5log y x =()0,∞+0.50.5log 6log 10a =<=指数函数为减函数，则，即；0.5x y =6000.50.5<<01b <<指数函数为增函数，则.6x y =0.50661c =>=因此，.a b c <<故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题.7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度12π4πC ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度6π2π【答案】B【解析】将函数变形为，利用平移规律可得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 243y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦出正确选项.【详解】，为了得到函数的图象，只sin 2sin 2643y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭需把函数的图象向右平移个单位长度.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4π故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8．如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额车票收入支1y x =-出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图变为图与图，从而提出了扭123亏为盈的两种建议．下面有种说法：4（1）图的建议是：减少支出，提高票价；2（2）图的建议是：减少支出，票价不变；2（3）图的建议是：减少支出，提高票价；3（4）图的建议是：支出不变，提高票价；3上面说法中正确的是（）A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（2）（4）D ．（2）（3）【答案】C【解析】根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票y x 价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.0x =【详解】根据题意和图知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收20入是但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；0由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时30收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.故选：C.【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知三个函数，，的零点依()22xf x x =+-()38g x x =-()2log 2h x x x =+-次为、、，则（）a b c a b c ++=A ．B ．C ．D ．6543【答案】C【解析】令，得出，令，得出，由于函数()0f x =22x x =-()0h x =2log 2x x =-与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，2x y =2log y x =y x =y x =2y x =-利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可a c +()38g x x =-b 求出的值.a b c ++【详解】令，得出，令，得出，()0f x =22x x =-()0h x =2log 2x x =-则函数与函数、交点的横坐标分别为、.2y x =-2x y =2log y x =a c 函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂2x y =2log y x =y x =y x =2y x =-直，如下图所示：联立，得，则点，2y x y x=⎧⎨=-⎩1x y ==()1,1A 由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则2y x =-2x y =2log y x =A ，2a c +=由题意得，解得，因此，.()380g b b =-=2b =4a b c ++=故选：C.【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有 ( )221y x =+{}3,19A ．个B ．个C ．个D ．个151298【答案】C【解析】试题分析：由y=2x 2+1=3，得x 2=1，即x=1或x=-1，由y=2x 2+1=19，得x 2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C ．【考点】1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．二、填空题11．已知幂函数的图象过点，则____________．()y f x =⎛ ⎝()f x =【答案】12x -【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入求出参数即可。

()f x x α=α【详解】解：设幂函数的解析式为()f x xα=因为函数过点⎛ ⎝所以2α=解得12α=-()12f x x-∴=故答案为：12x -【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题。

12．设，使不等式成立的的取值范围为___________.x ∈R 2144x x -≥x 【答案】72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解不等式即可得出实数的取值范围.2144x x -≥x 【详解】解不等式，即，即，解得.2144x x -≥24140x x +-≤()()4720x x -+≤724x -≤≤因此，使不等式成立的的取值范围为.2144x x -≥x 72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.13．若函数的值域是，则实数的取值范围是______．()()1312,1log ,1a x a x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩R a 【答案】[)1,1-【解析】求出函数在区间上的值域为，从而可得出函数()y f x =()1,+∞(),0-∞在区间上单调递减，且有，得出关于实()()12f x a x a =--(],1-∞()110f a =--≤数的不等式组，解出即可.a 【详解】当时，，即函数在区间上的值域为1x >()1133log log 10f x x =<=()y f x =()1,+∞.(),0-∞由于函数的值域为，则函数在区间上单调递()y f x =R ()()12f x a x a =--(],1-∞减，且有，即，解得.()110f a =--≤1010a a -<⎧⎨--≤⎩11a -≤<因此，实数的取值范围是.a [)1,1-故答案为：.[)1,1-【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．△ABC 中，，，则=_____．【答案】【解析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A 为锐角，由得，因此【考点】正余弦定理15．已知，，且，则的最大值是_______．0a >0b >8a b +=34aba b+【答案】83【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出41a b ++a b ()41a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，从而可得出的最小值，由此可得出的最大值.41a b+34aba b +【详解】，，且，，0a > 0b >8ab +=()414559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，4b a a b =2a b =41a b +98所以，的最大值为.3334414ab a b a b ab a b ==+++38839938=⨯=故答案为：.83【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.三、解答题16．求值：（1）；340235162ln1lg 4lg5log 5log 981e --⎛⎫-+-++⨯ ⎪⎝⎭（2）已知，，求的值．0a >23xa =33x xx xa a a a--++【答案】（1）；（2）.11873【解析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出，结合可求出所求代数式33221x x x xx xa a a a a a---+=-++23x a =的值.【详解】（1）原式()3434352220lg 4lg 25log 52log 32lg 425233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+⨯=--⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；2711288=-=（2）原式.()()222211713133xx x x x x x xa a a a a a a a ----+-+==-+=-+=+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.17．已知是定义在上的奇函数，且时，()f x R ()0,x ∈+∞.()72|1|,029,2x x f x x x x --<≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（1）求，的值；()0f ()()2ff -（2）若，求的值．()6f a =a 【答案】（1），；（2）、或.()00f =()()3425ff -=-12323【解析】（1）根据奇函数的定义得出的值，求出的值，利用奇偶性的定义()0f ()2f 求出，再结合奇偶性的定义与函数的解析式可计算出的()2f -()y f x =()()2f f -值；（2）求出函数在区间上的值域为，在区间上的值域为()y f x =(]0,2[]5,7()2,+∞，可得出当时，，然后分和两种情况解[)6,+∞0x <()0f x <(]0,2a ∈()2,a ∈+∞方程，即可求出实数的值.()6f a =a【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，()y f x =R ()00f ∴=，，，()721,029,2x x f x x x x ⎧--<≤⎪=⎨+>⎪⎩ ()272215f =-⨯-=()25f ∴-=-，因此，；()9345555f =+=()()()()342555f f f f -=-=-=-（2）当时，则，则有，(]0,2x ∈111x -<-≤011x ≤-≤此时.()[]7215,7f xx =--∈当时，，当且仅当时取到最小值，即()2,x ∈+∞()96f x x x =+≥=3x =6.()[)6,f x ∈+∞所以，当时，.0x <()0f x <①当时，由，解得或； (]0,2a ∈()7216f a a =--=12a =32②当时，由，解得.()2,a ∈+∞()96f a a a=+=3a =综上，、或.12a =323【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终xOy Oxαβ边分别与单位圆相交于、两点，已知、．A B A B （1）求的值；tan 2α（2）求的值．2αβ+【答案】（1）；（2）.4334π【解析】（1）利用三角函数的定义得出的值，利用同角三角函数的平方关系求出cos α，由此可得出的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出的值；sin αtan αtan 2α（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正切公式求出tan β的值，求出的取值范围，可得出的值.()tan 2αβ+2αβ+2αβ+【详解】（1）由三角函数的定义可得，为锐角，则cos α=αsin α==，，由二倍角正切公式得；sin 1tan cos 2ααα∴==22tan 4tan 21tan 3ααα==-（2）由三角函数的定义可得，为锐角，cos β=βsin β∴==，，sin tan 7cos βββ∴==()47tan 2tan 3tan 2141tan 2tan 173αβαβαβ++∴+===---⨯，，，因此，.02πα<< 02πβ<<3022παβ∴<+<324παβ+=【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于中等题.19．已知函数．()()2cos sin f x x x x =+（1）求的最小正周期和对称中心；()f x （2）求的单调递减区间；()f x （3）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2） π(),026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（3）当时，函数取最小值为．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦1112π=x ()y f x =2-【解析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函()y f x =()23x k k Z ππ-=∈数的对称中心坐标；()y f x =（2）解不等式，可得出函数的单调()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈()y f x =递减区间；（3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23x π-最小值以及对应的的值.x 【详解】（1）()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x +=-=-+，sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.()y f x =22T ππ==由，可得，()23x k k Z ππ-=∈()26k x k Z ππ=+∈函数的对称中心为；()y f x =(),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（2）解不等式，解得()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈.()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈因此，函数的单调递减区间为；()y f x =()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）当时，，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦252333x πππ≤-≤当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．3232x ππ-=1112π=x ()y f x =2-【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知二次函数，，的最()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈()()200f f -==()f x 小值为．1-（1）求函数的解析式；()f x （2）设.()()()1g x f x f x λ=--+（i ）若在上是减函数，求实数的取值范围；()g x []1,1-λ（ii ）若在内恰有一个零点，求实数的取值范围．()g x ()1,1-λ【答案】（1）；（2）（i ）；（ii ）.2()2f x x x =+[)0,+∞()(),40,-∞-+∞ 【解析】（1）可设，可知该函数图象的对称轴方程为，由题()()2f x ax x =+1x =-意得出，可求出的值，即可得出函数的解析式；()11f -=-a ()y f x =（2）可得出.()()()21211g x x x λλ=--++（i ）分、、三种情况讨论，在时，将参数代10λ-=10λ->10λ-<10λ-=1λ=入函数的解析式进行验证，在、两种情况下，结合单调性得()y g x =10λ->10λ-<出二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，由此可得出关于的不等()y g x =[]1,1-λ式，解出即可；（ii ）对实数的值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合λ()y g x =()1,1-零点存在定理，可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.λλ【详解】（1），且函数的最小值为．()()200f f -== ()y f x =1-设，则该函数图象的对称轴方程为，，()()2f x ax x =+1x =-()11f a ∴-=-=-，；1a \=()22f x x x ∴=+（2）.()()()()()211211g x f x f x x x λλλ=--+=--++ （i ）①当时，在上是减函数，满足要求；1λ=()41g x x =-+[]1,1-②当时，对称轴方程为：．1λ≠11x λλ+=-i ）当时，，所以，解得；1λ<10λ->111λλ+≥-01λ≤<ii ）当时，，所以，解得．1λ>10λ-<111λλ+≤--1λ>综上，，因此，实数的取值范围是；0λ≥λ[)0,+∞（ii ）①当时，函数在上是减函数，0λ≥()()()21211g x x x λλ=--++[]1,1-，()()()1121140g λλλ∴-=-+++=+>，()()()1121130g λλλ=--++=-≤故时，，，此时，函数在区间0λ=()140g λ-=+>()130g λ=-=()y g x =()1,1-内无零点；当时，，，在区间内有且只有一个零点；0λ>()10g ->()10g <()y g x =()1,1-②当时，对称轴方程为：，0λ<()1211,111x λλλ+==-+∈---若函数在内恰有一个零点，则有，()y g x =()1,1-()()110g g -⋅<即，解得或，又，所以.()()430λλ+⋅-<4<-λ0λ>0λ<4<-λ综上有：或.4<-λ0λ>因此，实数的取值范围是.λ()(),40,-∞-+∞ 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

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2019-2020学年高一数学上学期期末考试及答案(新人教A版第14套)

南开区2013—2014学年度第一学期期末质量检测高一年级数学(必修4)试卷2014．01本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试时间100分钟。

第I 卷一、选择题： (本大题共l0个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)已知α为第一象限角，则2α所在的象限是( )． (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 (2)tan690o 的值为( )． (A) 3- (B) 3(C) 3 (D) 3-(3)已知cos tan θθg <0，那么角θ 是( )．(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角(4)如果角θ的终边经过点(3-，12)，则cos θ=( )．(A) 12 (B) 3-(C)3 (D) 33-(5)333sin ,cos ,888πππ的大小关系是( )．(A) 333sin cos 888πππ<< (B) 333sin cos 888πππ<<(C) 333cos sin 888πππ<< (D) 333cos sin 888πππ<<(6)如图，在四边形ABCD 中，设AB u u u r =a ，AD =u u u r b ，BC uuu r =c ，则DC u u u r =( )(A)-a +b +c (B)-a +b -c(C)a +b +c (D)a -b +c(7)为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( )． (A)向左平移12π个单位长度 (B)向右平移12π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向右平移6π个单位长度 (8)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是( )．(A) 1 (B)4(C)1或4 (D)π(9)已知下列命题：①若k ∈R ，且k b =0，则k=-0或b =0；②若a ·b =0，则a =0或b =0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a|=|b|，则(a +b )·(a -b )=0；④若a 与b 平行，则a ·b =l |a||b|；⑤若a ·b =b ·c ，则a =c ；⑥若a ≠0，则对任一非零向量b ，有a·b ≠0．其中真命题的个数是( )．(A)0 (B)1(C)2 (D)3(10)已知∆ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC 的值等于( ) (A) 1665或5665 (B) 1665(C) 5665 (D) 1665-或5665-南开区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学(必修4)答题纸题号一二三总分得分(16) (17) (18) (19) (20)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在题中横线上。

天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷(含解析)

天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,2}，T ={2,3}，则(∁U S)∩T 等于( )A. {2}B. {3}C. {4}D. {2,3，4} 2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0=x 0−1”的否定是( )A. ∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x −1B. ∀x ∉(0,+∞)，ln x =x −1C. ∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0≠x 0−1D. ∃x 0∉(0,+∞)，ln x 0=x 0−1 3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =−lgx 2C. y =2xD. y =4. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 3+S 5>2S 4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 设a =1−20.2，b =1og 3103，c =lg4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 过点A(−1,0)，斜率为k 的直线，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k 的值为( )A. ±√33B. √33C. ±√3D. √37. 函数y =sin πx 6−√3cosπx 6(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. −1−√3B. −1C. 0D. 2−√38. 已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=( ) A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：39. 四边形ABCD 中，BC =1，AC =2，∠ABC =90°，∠ADC =90°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3] 二、填空题（本大题共6小题） 10. 复数2+i1−2i 的共轭复数是______．11. 曲线y =x2x−1在点(1,1)处的切线方程为______．12. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 13. 设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24−x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为______；渐近线方程为______． 14. 已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x ______时，x +y 的最小值是______．15. 对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a(a −b)3,a ≤b b(b −a)3,a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，若函数g(x)=f(x)−mx 2(m ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是______；x 1x 2x 3的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，△ABC的面积为2√2．(Ⅰ)求a 及sin C 的值； (Ⅱ)求cos(2A −π6)的值．17. 如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，AA 1=AB =2BC =2，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A −BD −A 1的余弦值； (Ⅲ)求点B 1到平面A 1BD 的距离．18. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ． (i)当k >0，m ≠0时，射线OE 交直线x =−3于点D(−3,n)(O 为坐标原点)，求k 2+n 2的最小值；(i)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．19. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令c n =log 2a n 3，证明：1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1<1(n ∈N ∗,n ≥2)；(Ⅲ)求∑b2i (√33)b i+1ni=1(n ∈N ∗)．20. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)≤x 2对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当a =1时，设g(x)=xe −f(x)−x −1(e 为自然对数的底).若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x 1，x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2)，证明：g(λ1x 1+λ2x 2)<λ1g(x 1)+λ2g(x 2).答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，集合S={1,2}，T={2,3}，∴C U S={3,4}，∴(∁U S)∩T={3}．故选：B．先求出C U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.函数为奇函数，不满足条件．B.函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y=−lgx2=−2lgx为减函数，不满足条件．C.y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D.f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，故选：C．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．本题考查充要性，以及数列，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵20.2>20=1，∴a<0，>log33=1，∴b>1，∵log3103∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴|2k|√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=sinπx6−√3cosπx6=2(12sinπx6−√32cosπx6)=2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．故选：D．化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y=−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=1√5，可得|FM|：|MN||=1：√5故选：C求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√3,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵∠ADC =90°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0， ∴(x −√32)2+(y −12)2=1，∴设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32+cosθ,12+sinθ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3cosθ+sinθ−1=2sin(θ−π3)−1， ∵−1≤sin(θ−π3)≤1，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−3,1]．故选：C ．根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)，从而可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据条件可得出AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin(θ−π3)−1，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题． 10.【答案】−i【解析】解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i 的共轭复数是−i ．故答案为：−i ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11.【答案】x +y −2=0 【解析】解：y =x2x−1的导数，，而切点的坐标为(1,1)，∴曲线y =x2x−1在在x =1处的切线方程为x +y −2=0．故答案为：x +y −2=0根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】24π【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，所以2R=√4+4+16=√24=2√6，解得R=√6，所以表面积为S=4πR2=4π×6=24π．故答案为：24π．根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．13.【答案】x23−y212=1；y=±2x【解析】解：与y24−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24−x2=m，(m≠0)，∵双曲线C经过点(2,2)，∴m=224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y24−x2=−3，即x23−y212=1，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：x23−y212=1，y=±2x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】=129【解析】解：正数x，y满足x+y 2xy=3，∴x=y23y−1>0，可得y>13，∴x+y=y23y−1+y=4y2−y3y−1，令t=3y−1则y=1+t3且t>0，x+y=t(t+1)29t −3t9(t+1)，=4t2+5t+19t =19(4t+1t+5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t=1t 即t=12，此时x=y=12取最小值9，故答案为=：12，9．由已知可得，x=y 23y−1>0，可得y>13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】(0,14)(1−√316,0)【解析】解：当2x −1≤x −1时，即x ≤0，f(x)=(2x −1)x 3，当2x −1>x −1时，即x >0，f(x)=−(x −1)x 3，所以f(x)={(2x −1)x 3,x ≤0−(x −1)x 3,x >0，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，即k(x)={(2x −1)x,x ≤0−(x −1)x x >0与函数y =m 有三个交点，作出k(x)的图象，如图，所以0<m <14，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=1，所以0<x 2x 3<(x 2+x 32)2=14由{(2x −1)x =14x <0解得x ═1−√34，所以1−√34<x 1<0，所以1−√316<x 1x 2x 3<0．故答案分别为(0,14)和(1−√316,0).首先根据定义求出函数的解析式，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，∴sinA =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =bc 2⋅2√23=√23bc =2√2，∴bc =6，∴b =3，c =2，∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3．再根据正弦定理可得a sinA =csinC ，即2√23=2sinC ，∴sinC =4√29．(Ⅱ)∴sin2A =2sinAcosA =√29，cos2A =2cos 2A −1=−79，故cos(2A −π6)=cos2Acos π6+sin2Asin π6=−79⋅√32+√29⋅12=√2−7√318．【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．(Ⅱ)利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(2A −π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(1,0,0),C 1(0,2,0),B 1(1,2,0),A(0,0,√3)，A 1(0,2,√3)， ∵DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D(0,12,0)，(Ⅰ)证明：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,−√3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)，设平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +12y =0，令z =√3，则m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ ，即AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +12b =0，令c =√3，则n ⃗ =(3,6,√3)，又平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|−3−12+3√1+4+3√9+36+3|=√64，即二面角A −BD −A 1的余弦值为√64；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+3=2√2，∴点B 1到平面A 1BD 的距离为√2．【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标， (Ⅰ)求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面A 1BD 的法向量，验证它们平行即可得证； (Ⅱ)求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，由此得解．本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解(Ⅰ)，设椭圆的右焦点(c,0)，c >0，由题意得：b =1，3=|c+2√2|√2，a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=1，所以椭圆的方程：x 23+y 2=1；(Ⅱ)i)设M(x,y)，，将直线与椭圆联立整理得：(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0，△=36k 2m 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)>0，即m 2<1+3k 2，且，，所以MN 的中点E(−3km1+3k 2,m1+3k 2)，所以射线OE ：y =−13k x ，与直线x =−3的交点(−3,1k )，所以n =1k ，所以n 2+k 2=k 2+1k 2≥2，当且仅当k 2=1，k >0，所以k =1时n 2+k 2有最小值2．ii)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，则AE ⊥MN ，所以k AE =−1kMN，即m1+3k 2+1−3km 1+3k 2=−1k ，∴2m =1+3k 2，∴2m >m 2，解得0<m <2，所以m 取值范围(0,2)．【解析】(Ⅰ)由题意得b 值及右焦点到直线的距离得c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(Ⅱ)i)直线MN 与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE 求出n 的值，再求n 2+k 2，用均值不等式求出最小值；ii)由题意知EA ⊥MN ，斜率互为负倒数得m 与k 之间的关系，再与判别式大于零联立得m 的范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，由a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4，可得b 1+d =3q ，b 1+4d =3q 2+3，b 1+7d =3q 3，解得q =2，d =3，b 1=3，则a n =3⋅2n−1，b n =3+3(n −1)=3n ； (Ⅱ)证明：c n =log 2a n 3=log 22n−1=n −1，1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1=11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1；(Ⅲ)由2n(33)b =(33)3(n+1)=2n3n ，可设T n =∑2i 3b n=23+49+627+⋯+2n3n ， 13T n =29+427+681+⋯+2n 3n+1，相减可得23T n =23+29+227+⋯+23n −2n3n+1 =2⋅13(1−13n )1−13−2n 3n+1，化简可得∑2i (33)b n=32−2n+32⋅3n．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式； (Ⅱ)由对数的运算性质求得c n =n −1，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；(Ⅲ)由2n3b =33(n+1)=2n3n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)>0解得0<x<1a ，令f′(x)<0解得x>1a，故此时函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减；(Ⅱ)f(x)≤x2对x∈(0,+∞)恒成立，即为对任意的x∈(0,+∞)，都有a≥lnxx−x，设F(x)=lnxx −x(x>0)，则F′(x)=1−lnxx2−1=1−lnx−x2x2，令G(x)=1−lnx−x2(x>0)，则G′(x)=−1x−2x<0，∴G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(1)=0，∴当x∈(0,1)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，∴F(x)max=F(1)=−1，∴实数a的取值范围为[−1,+∞)．(Ⅲ)证明：当a=1时，g(x)=xe−(lnx−x)−x−1=xe x−lnx−x−1=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，不妨设0<x1<x2，下先证：存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，构造函数H(x)=g(x)−g(x1)−g(x2)−g(x1)x2−x1(x−x1)，显然H(x1)=H(x2)，且H′(x)=g′(x)−g(x2)−g(x1)x2−x1，则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x1,x2)，使得H′(ξ)=g′(ξ)−g(x2)−g(x1)x2−x1=0，即存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，又g′(x)=e x−1为增函数，∴g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)>g′(x1)(x2−x1)，即g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，设x3=λ1x1+λ2x2(λ1+λ2=0)，则x1−x3=(1−λ1)x1−λ2x2，x2−x3=(1−λ2)x2−λ1x1，∴g(x1)>g(x3)+g′(x3)(x1−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ1)x1−λ2x2]①，g(x2)>g(x3)+g′(x3)(x2−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ2)x2−λ1x1]②，由①×λ1+②×λ2得，λ1g(x1)+λ2g(x2)>g(x3)=g(λ1x1+λ2x2)，即g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2).【解析】(Ⅰ)求导，分a≤0及a>0解不等式即可得到单调性；(Ⅱ)依题意，问题可转化为a≥lnxx−x对任意x∈(0,+∞)恒成立，进而转化为求函数的最值问题；(Ⅲ)先证存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，结合g′(x)=e x−1为增函数，可得结论g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，令x3=λ1x1+λ2x2，再利用所证结论即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。

2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)

2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。

天津市南开区2018-2019学年高一上学期期末考试试题数学试题(含精品解析)

对于
D，��
=
1
��，为反比例函数，其定义域为{��|��增函数，不符合题意；
故选：A．
根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及定义域上的单调性、奇偶性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性，属于基础题．
D. (3,4)
∴ 函数��(��)在区间(1,2)内有零点， ∴ 方程��3 = 22 ‒ ��的解为��0，则��0所在的大致区间是(1,2)．故选：B．若连续函数��(��)在区间(��,��)内满足��(��)��(��) < 0，则函数��(��)在区间(��,��)内必有零点．掌握函数零点的判断方法是解题的关键．
B. {4}
C. {2,4}
D. {2,4，6}
【答案】C
【解析】解： ∵ �� = {1,3，5}，�� = {3,6}，
∴ �� ∪ �� = {1,3，5，6}，则∁��(�� ∪ ��) = {2,4}，
故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
【答案】B 【解析】解：令��(��) = ��3 ‒ 22 ‒ ��，则��(1) = 1 ‒ 2 =‒ 1 < 0，��(2) = 23 ‒ 22 ‒ 2 = 8 ‒ 1 = 7 > 0，
∴ ��(1)��(2) < 0，

天津市南开区2019-2020学年数学高一第一学期期末检测模拟试题

高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题1．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立2．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )A. B. C.36 D.3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C +=，则2223a b c++的最小值是（） A ．5B ．8C ．7D ．64．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生5．函数的零点所在的区间是（） A.B.C.D.6．在任意平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，(),EF AB DC R R λμλμ=+∈∈u u u r u u u r u u u r，给出下列四组等式14AE AD =u u u r u u u r ①，34BF BC u u u r u u u r =12AE AD =u u u r u u u r ②，23BF BC =u u u r u u u r13AE AD =u u u r u u u r ③，23BF BC =u u u r u u u r23AE AD u u u r u u u r ④=，23BF BC =u u u r u u u r其中，能使λ，μ为常数的组数是( ) A.1B.2C.3D.47．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（） A.43πB.63πC.6πD.46π9．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．10．函数()()sin f x A x b ωφ=++ (0,0,)2A πωφ>><的一部分图像如图所示，则（）A ．()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 323f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 326f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭11．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（）A.90，86B.94，82C.98，78D.102，7412．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（）A.23B.32C.33D.313．下列命题中错误的是 ( )A.在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c)B.在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c)C.在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D.在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)14．若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（）A.最大值64B.最小值164C.最小值64D.最小值1215．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA.{}123,4，， B.{}123，， C.{}234，， D.{}134，，二、填空题16．设函数()f x 22x 4=-+和函数()g x ax a 1=+-，若对任意[)1x 0,∞∈+都有(]2x ,1∞∈-使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为______．17．已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，则123a a a ++++L100a =__________．18．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则的最小值为．19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝_____ 三、解答题20．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，1n n a S = （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;（2）设2n an n b a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，求使不等式2626n n T n <+-g成立的正整数n 组成的集合.21．已知函数()xxaf x 22=-，()a R ∈． ()1若函数()x xaf x 22=-为奇函数，求实数a 的值； ()2设函数()()x 2x 2a g x 22a R 2--=-+∈，且()()()H x f x g x =+，已知()H x 23a >+对任意的()x 1,∞∈+恒成立，求a 的取值范围．22．如图，在ABC ∆中，2AB =，5AC =，3cos5CAB ∠=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =u u u r u u u r ．（1）设AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，求实数x ，y 的值；（2）若点P 满足 BP u u u r 与 AD u u u r共线， PA PC ⊥u u u v u u u v ，求BP ADu u u v u u u v 的值． 23．现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这50名男生身高的中位数，并估计该校高一全体男生的平均身高；（2）求这50名男生当中身高不低于176cm 的人数，并且在这50名身高不低于176cm 的男生中任意抽取2人，求这2人身高都低于180cm 的概率. 24．已知函数.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求sin 2α的值.25．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知，，且．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若，求ABC ∆面积的最大值．【参考答案】一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．B 10．D 11．C 12．D 13．A 14．C 15．A 二、填空题 16．1a 2≥17．100- 18．5 19．12n - 三、解答题20．（1）11,21n a a n ==-；（2）{}1,2 21．（1）a 1=；（2）(],1∞- 22．（1）12,33x y ==；（2）34或316. 23．(1) 这50名男生身高的中位数为168.25，该校高一全体男生的平均身高为168.72（cm ）; (2) 2()5P A =. 24．（1）2，；（2）725. 25．（Ⅰ）（Ⅱ）33高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2019-2020年天津市南开区高一上册期末数学试卷(有答案)【优质版】

天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则?U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（3分）与α＝+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π=（）sin70°3．（3分）sin80°cos70°+sin10°A．﹣B．﹣ C．D．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α＝（）A．或B．或C．或D．或9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为．12．（4分）函数f（）=2cos2?tan+cos2的最小正周期为；最大值为．13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos （2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交+cosαcosβ＝．于点C，α＝∠AOC，β＝∠OCB，则sinαsinβ15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ＝．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．（12分）函数f（）=4sinω?cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式4﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则?U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴?U（A∪B）={3，6，7，8，9}，故?U（A∪B）共有5个元素，故选：B．2．（3分）与α＝+2π（∈）终边相同的角是（）A．345°B．375° C．﹣πD．π【解答】解：由α＝+2π（∈），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．=（）sin70°cos70°+sin10°3．（3分）sin80°A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin80°c os70°+sin10°s in70°=cos10°cos70°+sin10°s in70°=．故选：C．4．（3分）下列函数中是奇函数的是（）A．y=+sin B．y=||﹣cos C．y=sin D．y=||cos【解答】解：A，y=+sin，有f（﹣）=﹣﹣sin=﹣f（），为奇函数；B，y=||﹣cos，f（﹣）=|﹣|﹣cos（﹣）=f（），为偶函数；C，y=sin，f（﹣）=（﹣）sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；D，y=||cos，f（﹣）=|﹣|cos（﹣）=f（），为偶函数．故选：A．5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ＝＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．（3分）函数f（）=log2+﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：f（）=log2+﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（）的零点在（2，3）区间内∴函数f（）=log2+﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．（3分）若偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f （log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵偶函数f（）在[0，+∞）上单调递减，∴f（）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α＝（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，±①，2sinαcosα＝可得：cosα﹣sinα＝又0＜α＜，可得：cosα+sinα＝=，②所以：由①②可得：cosα＝．故α＝或．故选：A．9．（3分）函数f（）=Asin（ω+φ）的单调递减区间为[π﹣，π+]（∈），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣）的最小正周期为πB．函数f（﹣）图象的对称轴方程为=+（∈）C．函数f（﹣）图象的对称中心为（+，0）（∈）D．函数f（﹣）的单调递减区间为[π+，π+]（∈）【解答】解：由题意，ω=2，函数f（）=Asin（ω+φ）的周期为π，φ＝，f（﹣）=Asin（﹣2+），=+，﹣2+=π+，f（﹣）=Asin（﹣2+）≠0，故选C．10．（3分）设函数f（）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）函数f（）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：＞﹣1且≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．（4分）函数f（）=2cos2?tan+cos2的最小正周期为π；最大值为．【解答】解：函数f（）=2cos2?tan+cos2=2sincos+cos2=sin2+cos2=sin（2+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．（4分）如果将函数f（）=sin2图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（）=cos （2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（+φ）]=sin （2+2φ）的图象，将函数g（）=cos（2﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（﹣φ）﹣]=cos（2﹣2φ﹣）=sin[﹣（2﹣2φ﹣）]=sin（﹣2+2φ）=sin（2﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2+2φ=2﹣2φ++2π，∈，解得：φ＝π+，（∈）当=0时，φmin=．故答案为：．14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与轴正半轴交+cosαcosβ＝．于点C，α＝∠AOC，β＝∠OCB，则sinαsinβ【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，（β﹣α）=cos∠OAC==，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos故答案为．15．（4分）设函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a=0有三个不等实根1，2，3，且1+2+3=﹣，则a=．【解答】解：如图所示，画出函数f（）的图象，不妨设1＜2＜3，则1+2=2×=﹣3，又1+2+3=﹣，∴3=．∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（8分）已知集合A={|2﹣6≤2﹣2≤1}，B={|∈A∩N}，C={|a≤≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2﹣6≤2﹣2≤1，则﹣6≤﹣2≤0，解可得：0≤≤2．即A={|0≤≤2}，又由B={|∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有?、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．（10分）已知函数f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）．（Ⅰ）判断函数f（）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（）的定义域为R，关于原点对称，f（）=cos（﹣）﹣sin（﹣）=f（﹣）=．因此，函数f（）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．（10分）设函数f（）为R上的奇函数，已知当＞0时，f（）=﹣（+1）2．（Ⅰ）求函数f（）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣（+1）2．∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣（﹣+1）2=﹣（﹣1）2．∵f（）是奇函数，∴f（﹣）=﹣（﹣1）2=﹣f（），则f（）=（﹣1）2，＜0，则函数f（）的解析式f（）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当＞0时，f（）=﹣（+1）2为减函数，且f（）＜﹣1＜f（0），当＜0时，f（）=（﹣1）2为减函数，且f（）＞1＞f（0），则函数f（）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ＝．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域与函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ＝=﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα＝；（Ⅱ）由题意，函数f（）=tan在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝，∴tanα=2，∴函数f（）=tan在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（）=2sin（2﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sin在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．（12分）函数f（）=4sinω?cos（ω+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（）在[1，2]和[3，4]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且满足等式4﹣3=2﹣1=（3﹣2），求1、4所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=4sinω?cos（ω+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（）=，由题意知，因此4﹣3=2﹣1=（3﹣2）=．即，．∵函数f（）在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，∴f（）在2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。

天津市南开区19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)

天津市南开区19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.集合U={1,2，3，4，5，6}，S={1,4，5}，T={2,3，4}，则S∩(C U T)等于()A. {1,4，5，6}B. {1,5}C. {4}D. {1,2，3，4，5}2.命题“∃x0∈(0,+∞)，使lnx0=x0−2”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−2B. ∀x∉(0,+∞)，lnx=x−2C. ∃x0∈(0,+∞)，使lnx0≠x0−2D. ∃x0∉(0,+∞)，lnx0=x0−23.下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是()A. y=cosxB. y=−x3C. y=(12)|x| D. y=|sinx|4.“b>a>0”是“1a >1b”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.计算cos300°的值()A. 12B. √32C. −12D. −√326.已知a=ln0.5，b=50.1，c=0.60.2，则a，b，c的大小关系是()A. b>c>aB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a7.为了得到函数y=sin(2x+π3)+1的图象，可以将函数y=cos(2x+π6)+1的图象()A. 向右平移π3个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π3个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度8.如图1是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．你能根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价； ③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③9. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为y =2x 2−1，值域为{1,7}的“合一函数”共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,√22)，则f(x)的解析式为______． 12. 设x ∈R ，使不等式3x 2+x −2<0成立的x 的取值范围为__________．13. 设函数f (x )={2x +a,x >2x +a 2,x ≤2，若f (x )的值域为R ，是实数a 的取值范围是__________ 14. △ABC 中，sinA =35，cosC =513，则sinB =______． 15. 设a >0，b >0，且a +b =4，则1a +1b ≥ ______ ．三、解答题（本大题共5小题，共55.0分）16. 若a2x=√2−1，求a 3x +a −3x a x +a −x的值．17. 已知函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)(1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若f(a)=12，求a 的取值集合．18. 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的纵坐标分别为√55，3√1010(1)求α−β；(2)求cos(2α−β)的值．19. 已知函数f(x)=λcos 2(ωx +π6)−3(λ>0,ω>0)的最大值为2，最小正周期为2π3．(1)求函数y =f(x)的解析式；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．20.若f(x)为二次函数，−1和3是方程f(x)−x−4=0的两根，f(0)=1；(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[−12,32]上，不等式xf(x)>2x+m有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了集合中交集、补集的混合运算，属于基础题．由U ={1,2，3，4，5，6}，T ={2,3，4}先得到C U T ={1,5,6}，最后由S ={1,4，5}即可得到S ∩(C U T)．解：∵U ={1,2，3，4，5，6}，T ={2,3，4}， ∴C U T ={1,5,6}，又∵S ={1,4，5}， ∴S ∩(C U T)={1,5}，故选B ．2.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x 0∈(0,+∞)，使lnx 0=x 0−2”的否定是∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −2．故选：A ．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =cosx 为余弦函数，是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，不符合题意；对于B ，y =−x 3，为奇函数，不符合题意；对于C ，y =(12)|x|，是偶函数，在(0,+∞)上，y =(12)x ，为减函数，不符合题意；对于D ，y =|sinx|，是偶函数，在(0,1)上，y =sinx ，为增函数，符合题意；故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.答案：A解析：解：当b>a>0时，1a >1b成立，反之当b<0，a>0时，满足1a >1b，但b>a>0不成立，即b>a>0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：cos300°=cos(360°−60°)=cos60°=12，故选：A．利用诱导公式化简求值即可．本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵a=ln0.5<0，b=50.1>1，0<c=0.60.2<1，∴a<c<b．故选：A．直接利用有理指数幂及对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：解：∵y=cos(2x+π6)+1=sin(2x+π6+π2)+1=sin(2x+2π3)+1，所以为了得到函数y=sin(2x+π3)+1的图象，可以将函数y=cos(2x+π6)+1的图象向右平移π6个单位长度即可，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的变换规律，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选：A．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．本题属于基础题．9.答案：B解析：解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．10.答案：B解析：本题考查了对新定义的理解和运用，定义域和值域的关系和求法，根据新定义，函数解析式为y= 2x2−1，求出满足值域为{1,7}的所有定义域即可，属于基础题．解：由题意知“合一函数”是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=2x2−1，值域为{1,7}，它的定义域可以是{1,2}，{1,−2}，{−1,2}，{−1,−2}，{1,−1,2}，{1,−1,−2}，{1,2，−2}，{−1,2，−2}，{1,−1,2，−2}共有9种不同的情况，故选B．11.答案：f(x)=x−12解析：本题考查求幂函数的解析式，利用待定系数法设出幂函数的解析式，通过幂函数经过的点，列出方程，求解即可得到幂函数的解析式，属简单题．解：设幂函数f(x)的解析式为f(x)=x a，∵幂函数f(x)图象过点(2,√2)，2=2a，即2−12=2a，∴√22∴a=−1，2∴幂函数的解析式为f(x)=x−12．故答案为：f(x)=x−12．12.答案：(−1,23)解析：本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．解一元二次不等式即可．解：3x 2+x −2<0，故(x +1)(x −23)<0，由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”，可得：−1<x <23，即{x|−1<x <23}. 故答案为：(−1,23).13.答案：(−∞,−1]∪[2,+∞)解析：因为当x >2时，f(x)=2x +a >4+a ；当x ≤2时，f(x)=x +a 2≤2+a 2，所以要使f(x)的值域为R ，须4+a ≤2+a 2即实数a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)14.答案：6365解析：解：∵sinA =35<√22=sin π4，cosC =513<12=cos π3，∴π3<C <π，∵若A 为锐角，则A <π4， ∴cosA =45，sinC =1213，此时sinB =sin(π−A −C)=sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =35×513+45×1213=6365，若A 为钝角，则A >3π4，A +B >π，不合要求．故答案为：6365．将sin B 化成sin(A +C)，再利用两角和与差的三角函数公式计算，即可得解．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式，角的代换，计算能力．本题的关键是充分讨论A 的大小范围，确定解的个数，属于中档题．15.答案：1解析：解：∵a >0，b >0，且a +b =4，∴1a +1b =14(a +b)(1a +1b )=14(2+ba +ab )≥14(2+2√ba ⋅ab )=1，当且仅当a =n =2时取等号．故答案为：1．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．16.答案：2√2−1解析：由a2x=√2−1，得a−2x=√2+1，所以a 3x +a −3x a x +a −x=a 2x +a −2x −1=2√2−1．17.答案：解：(1)函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)的图象如下图所示：(2)当a ≤−1时，f(a)=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f(a)=a 2=12，可得：a =±√22；当a ≥2时，f(a)=2a =12，可得：a =14(舍去)；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22,√22}解析：(1)根据分段函数分段画的原则，分别根据一次函数，二次函数图象的画法，做出三段上函数的图象，可得答案；(2)根据分段函数分段处理的原则，分三种情况构造方程f(a)=12，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的图象及分段函数的函数值，其中分段函数分段处理的原则，是解答此类问题的通法． 18.答案：解：(1)由题意得，sinα=√55，sinβ=3√1010…2 ∵sin 2α+cos 2α=1，∴cos 2α=1−sin 2α=2025，又α是锐角，则cosα=2√55，…3 同理可求，cosβ=√1010；…4 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴−π2<α−β<π2，…5 且sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22…7 ∴α−β=−π4；…8 (2)由(1)得cos(α−β)=cos(−π4)=√22…9 ∴cos(2α−β)=cos[(α−β)+α]=cos(α−β)cosα−sin(α−β)sinα=√22×2√55−(−√22)×√55=3√1010 (12)解析：(1)根据三角函数的定义和平方关系，求出α、β的正弦和余弦值，由α、β的范围求出α−β的范围，由两角差的正弦公式求出sin(α−β)，在求出α−β的值；(2)由(2α−β)=(α−β)+α和两角和的余弦公式，求出cos(2α−β)的值．本题考查了三角函数的定义和平方关系，两角差的正弦公式，以及两角和的余弦公式，注意角的范围，考查角之间的关系，以及化简、计算能力．19.答案：解：，=λ2cos(2ωx +π3)+λ2−3， ∴λ−3=2，从而λ=5，∴f(x)=52cos(2ωx+π3)−12，，ω=32，即f(x)=52cos(3x+π3)−12；(2)∵x∈[0,π2],∴3x+π3∈[π3,11π6],∴cos(3x+π3)∈[−1,√32],∴f(x)∈[−3,5√3−24]，所以f(x)的值域是[−3,5√3−24]．解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．(1)利用二倍角的余弦函数公式化简可得f(x)=λ2cos(2ωx+π3)+λ2−3，利用最大值为2，可得λ2+λ2−3=2，解得λ，利用周期公式可求ω，即可得解函数y=f(x)的解析式；(2)由x的范围，可求范围3x+π3∈[π3,11π6]，利用余弦函数的性质可得函数f(x)的值域．20.答案：解：(1)有题意设f(x)=ax2+bx+c，则f(x)−x−4=0为：ax2+(b−1)x+c−4=0，∴{−1+3=−b−1a−1×3=c−4a，又∵f(0)=1，∴c=1，代入上面方程组解得，a=1，b=−1，∴f(x)=x2−x+1；(2)由(1)得，将不等式xf(x)>2x+m化为：m<x3−x2−x，则此不等式在区间[−12,32]上有解，设g(x)=x3−x2−x，则g′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)，∴当x=−13或1时，g′(x)=0，当x∈[−13,1]时，g′(x)<0，当x∈[1,32]或[−12,−13]时，g′(x)>0，∴g(x)在[−13,1]上单调递减，在[1,32]、[−12,−13]上单调递增，∵g(−12)=18，g(32)=−38，g(−13)=527，g(1)=−1， ∴g(x)最小值是−1，最大值是527，故m <527时不等式xf(x)>2x +m 在区间[−12,32]上有解．解析：(1)由题意设出f(x)的解析式，代入方程化简，根据韦达定理和条件列出方程组，求出系数即可；(2)根据(1)将原不等式化简和分离出m 后，再构造函数g(x)=x 3−x 2−x ，求出对应的导数，求出导数大于零和小于零的解集，求出函数的单调区间，再求出函数的最值，即求出m 的范围．本题考查了待定系数法求函数的解析式，韦达定理应用，以及函数单调性、最值与导数的应用，考查了转化思想和构造函数法．。

2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁（A∪B）中元素个数为（）UA．4 B．5 C．6 D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，结合集合并集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（A∪B）={3，6，7，8，9}，∴∁U故∁（A∪B）共有5个元素，U故选：B．2．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π【考点】终边相同的角．【分析】把化成15°，再根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，即可得答案．【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简求值即可得答案．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，即可判断出奇函数的函数．【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由两角和的正切公式化简tan（θ+）=，求出tanθ的值，结合条件和三角函数值的符号判断出θ所在的象限．【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出答案．【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），能求出结果．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【考点】扇形面积公式．【分析】由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，得：（cosα﹣sinα）2=，进而解得cosα﹣sinα=±，cosα+sinα=，联立解得cos α=，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin （﹣2x+），再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，故选C．10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考点】分段函数的应用．【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及最大值得出结论．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）=．当k=0时，φmin故答案为：．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=﹣，则a= ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】如图所示，画出函数f （x ）的图象，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×，又x 1+x 2+x 3=﹣，可得x 3，代入a即可得出a ．【解答】解：如图所示，画出函数f （x ）的图象，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×=﹣3，又x 1+x 2+x 3=﹣， ∴x 3=． ∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．已知集合A={x|2x ﹣6≤2﹣2x ≤1}，B={x|x ∈A ∩N}，C={x|a ≤x ≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B 的所有子集；（Ⅱ）若A ∩C=C ，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【分析】（Ⅰ）根据题意，解2x ﹣6≤2﹣2x ≤1可得集合A ，又由B={x|x ∈A ∩N}，即可得集合B ，进而由子集的定义可得集合B 的子集；（Ⅱ）根据题意，分析可得C 是A 的子集，进而有：，解可得a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A ，因为2x ﹣6≤2﹣2x ≤1，则x ﹣6≤﹣2x ≤0，解可得：0≤x ≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和f（﹣x）即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件求出，再由θ为第一象限角，求出，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【考点】函数的值域．【分析】（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简即可得答案；（Ⅱ）求出函数f（x）的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。

2019-2020学年天津市南开区高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，则(∁U S)∩T等于（）A.{2}B.{3}C.{4}D.{2, 3, 4}2. 命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是( )A.∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1B.∀x∉(0, +∞)，ln x=x−1C.∃x0∈(0, +∞)，ln x0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，ln x0=x0−13. 下列函数中为偶函数，且在(0, +∞)上单调递增的是（）A.y＝lg(2x)B.y＝−x2C.y＝2xD.y=√|x|4. “1a <1b”是“b<a<0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. cos480∘的值为（）A.1 2B.√32C.−√32D.−126. 设a＝log0.56，b＝0.56，c＝60.5，则a、b、c的大小顺序是（）A.b<a<cB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c7. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=sin(2x+π3)的图象（）A.向右平移π2个单位长度 B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向左平移π4个单位长度8. 如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：(1)图2的建议是：减少支出，提高票价； (2)图2的建议是：减少支出，票价不变； (3)图3的建议是：减少支出，提高票价； (4)图3的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（）A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(2)(3)9. 已知三个函数f(x)＝2x +x −2，g(x)＝x 3−8，ℎ(x)＝log 2x +x −2的零点依次为a ，b ，c ，则a +b +c ＝（） A.6 B.5 C.4 D.310. 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2+1，值域为{3, 19}的“孪生函数”共有（） A.15个 B.12个 C.9个 D.8个二．填空题（共5小题）已知幂函数f(x)的图象经过点(2,√22)，则f(x)的解析式为________．设x ∈R ，使不等式14−4x 2≥x 成立的x 的取值范围为________[−2,74] ．若函数f(x)={(a −1)x −2a,x ≤1log 13x,x >1的值域是R ，则实数a 的取值范围是________．△ABC,sin A =35,cos B =513,cos C =________．已知a >0，b >0，且a +b =8，则3aba+4b 的最大值是________．三．解答题（共5小题）求值：（1）(1681)−34−2e 0+ln 1−lg 4+lg 5−2+log 35×log 59；（2）已知a >0，a 2x ＝3，求a 3x +a −3x a x +a −x的值．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，f(x)={7−2|x −1|,0<x ≤2x +9x ,x >2（1）求f(0)，f （f(−2)）的值；（2）若f(a)＝6，求a 的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为2√55，√210． (Ⅰ)求tan 2α的值； (Ⅱ)求2α+β的值．已知函数f(x)=2sin x cos x −2√3cos 2x +√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和对称中心； (Ⅱ)求f(x)的单调递减区间；(Ⅲ)当x ∈[π2,π]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的值．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +c(a, b, c ∈R)，f(−2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值为−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设g(x)＝f(−x)−λf(x)+1．(i)若g(x)在[−1, 1]上是减函数，求实数λ的取值范围；(ii)若g(x)在(−1, 1)内恰有一个零点，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题） 1.【答案】 B 2. 【答案】 A 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 D 6. 【答案】 D 7. 【答案】 B 8. 【答案】 C 9. 【答案】 C 10.【答案】 C二．填空题（共5小题）【答案】 f(x)=x −12【答案】 [−2,74]【答案】 [−1, 1)【答案】 1665【答案】83三．解答题（共5小题）【答案】(1681)−34−2e 0+ln 1−lg 4+lg 5−2+log 35×log 59=278−1+0−21g2−21g5+log 39=198；∵ a 2x ＝3， ∴a 3x +a −3x a x +a −x=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x=a 2x +1a 2x −1=3+13−1=73．【答案】∵ f(x)是定义在R 上的奇函数；∴ f(0)＝0，∴ f(−2)＝−f(2)＝−(7−2×|2−1|)＝−5， ∴ f(f(−2))=f(−5)=−f(5)=−(5+95)=−345，当x ∈(0, 2]时，可得f(x)∈[5, 6]；当x ∈(2, +∞)时，可得f(x)=x +9x ≥2√x ⋅9x =6，当且仅当x ＝3时取到最小值6，所以f(x)∈[6, +∞)，若f(a)＝6，又f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ a >0，①当a ∈(0, 2]时，∴ f(a)＝7−2|a −1|＝6，∴ a =12或32，②当a ∈(2, +∞)时∴ f(a)=a +9a =6，∴ a ＝3．综上：∴ a =12、32或3．【答案】（1）由已知可得，cos α=2√55,cos β=√210， ∵ α，β为锐角，∴ sin α=√55，sin β=7√210， ∴ tan α=sin αcos α=12,tan 2α=2tan α1−tan 2α=43； (2)cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=2√55×√210−√55×7√210=−√1010， ∵ α，β为锐角，∴ 0<α+β<π∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=3√1010， ∴ sin (2α+β)＝sin [α+(α+β)]＝sin αcos (α+β)+cos αsin (α+β)=√55×(−√1010)+2√55×3√1010=√22，又0<α+2β<3π2，∴α+2β=3π4．【答案】（1）f(x)=2sin x cos x−2√3cos2x+√3=sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π；由2x−π3=kπ，可得x=kπ2+π6，∴函数的对称中心为(kπ2+π6, 0)(k∈Z)；（2）由2x−π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，可得x∈[kπ+5π12,kπ+11π12]，∴f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)；(Ⅲ)当x∈[π2,π]时，2x−π3∈[2π3,5π3]，∴2x−π3=2π3，即x=π2时，函数f(x)取得最大值，最大值为√3．【答案】f(−2)＝f(0)＝0，f(x)的最小值为−1．设f(x)＝ax(x+2)，又a>0，f(−1)＝−1，∴a＝1，∴f(x)＝x2+2x．∵g(x)＝f(−x)−λf(x)+1，∴g(x)＝(1−λ)x2−2(1+λ)x+1，(i)①当λ＝1时，g(x)＝−4x+1在[−1, 1]上是减函数，满足要求；②当λ≠1时，对称轴方程为：x=1+λ1−λ．ⅰ）当λ<1时，1−λ>0，所以1+λ1−λ≥1，解得0≤λ<1；ⅱ）当λ>1时，1−λ<0，所以1+λ1−λ≤−1，解得λ>1．综上，λ≥0．(ii)①当λ≥0时，g(x)＝(1−λ)x2−2(1+λ)x+1在[−1, 1]上是减函数，∴g(−1)＝(1−λ)×1+2(1+λ)+1＝4+λ>0，g(1)＝(1−λ)×1−2(1+λ)+1＝−3λ≤0，故λ＝0时，g(−1)＝4+λ>0，g(1)＝−3λ＝0，若g(x)在(−1, 1)内无零点①；λ>0时，符合题意；②当λ<0时，对称轴方程为：x=1+λ1−λ=−1+21−λ∈(−1,1)，若g(x)在(−1, 1)内恰有一个零点，则有g(−1)⋅g(1)<0，所以(4+λ)⋅(−3λ)<0，解得λ<−4或λ>0，又λ<0，所以λ<−4．综上有：λ<−4或λ>0．。

南开区2019～2020学年度第一学期高三年级期末考试试卷 -

2019—2020学年度第一学期南开区期末考试试卷高三年级数学学科2019.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：·锥体的体积公式V锥体=13Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．·球的表面积公式S球=4πR2，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，2}，T={2，3}，则(∁U S)∩T等于（）．（A）{2}（B）{3}（C）{4}（D）{2，3，4}（2）命题“∃x0∈(0，+∞)，ln x0=x0–1”的否定是（）．（A）∀x∈(0，+∞)，ln x≠x–1（B）∀x∉(0，+∞)，ln x=x–1（C）∃x0∈(0，+∞)，ln x0≠x0–1（D）∃x0∉(0，+∞)，ln x0=x0–1（3）下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是（）．（A）y=x3（B）y=–lg x2（C）y=2x（D）（4）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（5）设a=1–20.2，b=log3103，c=lg4，则a，b，c的大小关系是（）．（A）a＜c＜b（B）b＜c＜a（C）c＜a＜b （D）c＜b＜a（6）过点A (–1，0)斜率为k 的直线，被圆(x –1)2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（）．（A ）3 （B ）±3 （C ）33 （D ）±33 （7）函数y=sin 6πx –3cos 6πx （0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为（）．（A ）–1–3 （B ）–1 （C ）0 （D ）2–3（8）已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |:|MN |=（）．（A ）2 （B ）1:2 （C ）1 （D ）1:3（9）四边形ABCD 中，BC=1，AC=2，∠ABC=90°，∠ADC=90°，则AC ·BD 的取值范围是（）．（A ）[–1，3] （B ）(–3，1) （C ）[–3，1]（D ）[–3，3]第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分。

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