解疑周期函数的定义域与周期
周期函数的二种定义
(a x
+
为非 零 整 数 } 易 知
.
”’ 的最小正 周 期 是
2万
。
所以
备
周
期
函
数
的
二
陈
种
尧
定
义
唐盛 昌
( 上 海 市陕北 中学 )
( 上 海 教育 学院 )
对 于周 期函 数 定义方 式
。
,
目 前 广 泛 采 用 的 有二 种
(幻 对 于 任 何
x
〔 M 有 厂(
,
x
+
T ) 一 厂(x )
。
。
O
,
述
但 那 里 的 许 多性质
,
对 定义 (幻 下 的 周
下 面我 们简单叙 述
,
周 期函 数
期 函 数 却 并 不 完 全 成立
.
如夕一t
g
x
在 (:
.
`
万
n
万
十
,
丁
)
,
定义 ( 2 ) 下 周 期 函 数 所 具有 的 一 些 性 质
以
〔 j 上是 周期 函 数
与定 义 ( 1 ) 下 的 性 质作一对 比
,
那 么 称 厂( x ) 为集 M 上 的 周 期 函 数
1
,
定义
:
设 厂( x ) 是 定 义 在 某 一 实数 集 若 存在 一 常 数 T (斗 0 )
x
,
在 苏 联 的 一 些 有关 书籍 中 一定 义 性 问题
.
,
基本 采 用 这
,
M上 的 函 数
具有
,
数 学通 报 1 9 8 0 一文
周期函数的定义(老黄学高数第41讲)
第41讲 周期函数的定义
设f为定义在D上的函数。若存在T>0，使得 对一切x∈D有f(x±T)=f(x)，则称f为周期函数， T为f的一个周期。 在所有正周期中最小的周期，称为基本周期， 或最小正周期，简单称为周期。 常量函数没有基本周期。 三角函数是最常见的周期函数。
设f是定义在R上的以h为周期的函数，a为实数.
1、若周期函数在一个周期内有界，则在整个定义域 上也有界，而且确界也是一致的；
2、若周期函数在任一周期内有增减性，则在其它周 期内也会有相同的增减性，但在整个定义域内没有增 减性；
3、若周期函数在原点所在的周期内有奇偶性，则在 整个定义域内也有相同的奇偶性.
求下列函数的周期：
(1)cos2x；(2)tan3x；(3)cos(x/2)+2sin(x/3). 解：(1)cos2x= (1+cos2x)/2. ∵cos2x的周期为π，∴cos2x的周期为π. 若f(x)以T为周期，则f(ωx)以T/ω为周期(ω≠0). (2)∵tanx的周期为π ，∴tan3x的周期为π/3. (3)∵cos(x/2)的周期为4π，sin(x/3)的周期为6π， ∴cos(x/2)+2sin(x/3)的周期为12π.
证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界. 证：∵f在[a,a+h]上有界， ∴对任意的x0∈[a,a+h]，存在M>0，使|f(x0)|≤M， 对任意的x∈R，一定存在整数k，使x=kh+x0， 于是|f(x)|=|f(kh+x0)|=|f(x0)|≤M， ∴f在R上有界.
周期函数在每个周期内的图象性状相同.
设周期函数f, f1, f2的周期分别为T, T1, T2, 若f=f1±f2，T是T1和T2的最小公倍数.
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数
7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.
周期函数性质
周期函数性质
周期函数性质：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也
是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定
是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T
称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称
它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，
且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
周期函数及其周期
中学教材对函数的周期性及其应用的介绍很简单，有很多学生对学习这部分内容感到困难，也有很多疑问．为了帮助学生解决疑点和丰富学生对周期性的学习，本文谈一下周期函数及其周期．一、周期函数周期的求法１．利用公式确定周期我们利用周期定义和三角函数的诱导公式可得一般的三角周期函数，正如（１）ｓｉｎ（ｘ＋２!）＝ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ＋２!）＝ｃｏｓｘ，所以２!为ｙ＝ｓｉｎｘ、ｙ＝ｃｏｓｘ的周期；（２）ｔａｎ（ｘ＋!）＝ｔａｎｘ，ｃｏｔ（ｘ＋!）＝ｃｏｔｘ，所以!为ｙ＝ｔａｎｘ、ｙ＝ｃｏｔｘ的周期．２．利用函数的运算和特性，求出函数的周期定理１两个周期（这周期不一定是最小正周期）相同的周期函数的和、差、积、商（作为分母的周期函数不能为零）也是周期函数，并且周期不变．例如，若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都是Ｔ为周期的周期函数，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）也都是周期函数，并且Ｔ也是它们的周期．证明：设这两个周期函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的和、差、积、商函数分别为Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ），即Ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），Ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），Ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），Ｆ４（ｘ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．∵ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）有相同的周期Ｔ，∴当ｘ取ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域内的任一个值时，有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ（ｘ）（其中ｘ＋Ｔ是在定义域内），∴有（１）Ｆ１（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）＋ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝Ｆ１（ｘ）；（２）Ｆ２（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）－ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝Ｆ２（ｘ）；（３）Ｆ３（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）·ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝Ｆ３（ｘ）；（４）Ｆ４（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）／ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）＝Ｆ４（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．因此Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ）都是周期函数，并且Ｔ是它们的一个周期．定理２周期函数的绝对值函数也是周期函数，即若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则ｆ（ｘ）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都是在定义域内），∴由绝对值的性质得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），∴ｆ（ｘ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．定理３周期函数的有限次整数幂的函数（以后把它称为函数幂）也是周期函数，并且原来函数的周期也是函数幂的周期．例如，若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ，ｆ（ｘ）≠０）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：设Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）．∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都在定义域内）．∴Ｆ（ｘ＋Ｔ）＝［ｆ（ｘ＋Ｔ）］ｎ＝［ｆ（ｘ）］ｎ＝Ｆ（ｘ）．∴Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．例１：证明函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ是周期函数，并求出它的一个周期．分析∵ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，２!是它们的周期，所以由上面定理２得ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，并且２!是它们的周期，由上面定理１得ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ也是周期函数，又因为ｓｉｎｘ（ｘ＋!２）＋ｃｏｓ（ｘ＋!２）＝ｃｏｓｘ＋－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，所以!２是ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的一个周期．３．利用递推关系，找出函数的周期定理４具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的数列｛ａｎ｝必定是周期数列，６ｋ就是它的周期．证明：∵ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（ｋ为某正整数）①∴ａｎ＝ａｎ－ｋ－ａｎ－２ｋ（其中ｎ＞２ｋ）②将①②两式左右两边相加并合并同类项得：ａｎ＋ｋ＝－ａｎ－２ｋ∴ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ∴ａｎ＋６ｋ＝－ａｎ＋３ｋ＝－（－ａｎ）＝ａｎ③又由ｎ的任意性可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列，而６ｋ就是它的周期．我们从上面定理４的推导过程可得到：推论具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的周期数列｛ａｎ｝的任一周期段的各项之和必为零．证明：①由上面定理４得｛ａｎ｝是一个周期数列，６ｋ是它的周期；周期函数及其周期文／茂名学院高州师范分院蒋雪英５７广东教育·教研２００７年第１期广东教育·教研２００７年第１期②设它的任一周期段的各项分别为ａｎ＋１，ａｎ＋２，…，ａｎ＋６ｋ，由上面定理４的证明过程（由③式的证明过程）中可得：ａｎ＋１＝－ａｎ＋１＋３ｋ，ａｎ＋２＝－ａｎ＋２＋３ｋ，…，ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ＋６ｋ；∴ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋ａｎ＋３ｋ＋１＋ａｎ＋３ｋ＋２＋…＋ａｎ＋６ｋ＝ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋（－ａｎ＋１－ａｎ＋２－…－ａｎ＋３ｋ）＝（ａｎ＋１－ａｎ＋１）＋（ａｎ＋２－ａｎ＋２）＋…＋（ａｎ＋３ｋ－ａｎ＋３ｋ）＝０二、周期的应用１．求周期函数的函数值例２：已知函数ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ，ｆ（ｘ＋１）［１－ｆ（ｘ）］＝１＋ｆ（ｘ），ｆ（１）＝２!．求ｆ（２００６）的值．分析：由已知式子得ｆ（ｘ＋１）＝１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）≠１，ｆ（ｘ）≠０，所以ｆ（ｘ＋２）＝ｆ［（ｘ＋１）＋１］＝１＋ｆ（ｘ＋１）１－ｆ（ｘ＋１）＝１＋１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）１－１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）＝－１ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ＋４）＝ｆ［（ｘ＋２）＋２］＝－１ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），即ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数．又因为２００６＝４×５０１＋２，所以ｆ（２００６）＝ｆ（２＋４×５０１）＝ｆ（２），而ｆ（２）＝１＋ｆ（１）１－ｆ（１）＝１＋２!１－２!＝－３－２２!，所以ｆ（２００６）＝－３－２２!．这里我们利用函数ｆ（ｘ）的周期性把求ｆ（２００６）的值转化为求ｆ（２）的值．这比直接将ｘ＝２００６代入计算简化了许多．２．求周期函数的最大值和最小值例３：求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的最大值和最小值．分析：此函数的定义域是Ｒ，由例１知它是一个周期函数，并且π２是它的周期．若在整个定义域Ｒ上考察它的函数值，然后找出它的最大值和最小值，则计算量大且复杂．我们若根据函数的周期性，只在它的一个周期［０，π２］上考察ｆ（ｘ）的函数值，就可得出ｆ（ｘ）的最大值和最小值，因为当ｘ∈［０，π２］时，有π４≤ｘ＋π４≤π２＋π４，ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ≥０，所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２!ｓｉｎ（ｘ＋π４），再由正弦函数的单调性质得：当ｘ＋π４＝π２（即当ｘ＝π４）时，ｆ（ｘ）有最大值２!；当ｘ＋π４＝π４（即当ｘ＝０）或当ｘ＋π４＝π２＋π４（即当ｘ＝π２）时，ｆ（ｘ）有最小值１．显然，我们利用函数的周期性把考察ｘ的范围缩小了，从而可去掉函数式中的绝对值符号，使问题变成一个关于三角函数的最值问题．３．求周期数列的前ｎ项之和例４：己知数列｛ａｎ｝有ａｎ＝ａｎ－１－ａｎ－２（ｎ≥３）；它的前１８４项之和等于１９７，前１９７项之和等于１８４，求它的前２００６项之和．解：（１）由上面定理４可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列且６是它的周期．由定理４的推论得：Ｓ１８０＝Ｓ６·３０＝０·３０＝０（其中Ｓ１８０是数列｛ａｎ｝的前１８０项之和，其余有关Ｓ及其下标的符号类推），所以Ｓ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１８１＋ａ１８２＋ａ１８３＋ａ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝１９７①又由定理４的推论得：Ｓ１９２＝Ｓ６·３２＝０·３２＝０．所以Ｓ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１９３＋ａ１９４＋ａ１９５＋ａ１９６＋ａ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝１８４②比较①②得：ａ５＝Ｓ１９７－Ｓ１８４＝１８４－１９７＝－１３．又由定理４的③式的证明过程可得：ａ１＝－ａ１＋３＝－ａ４，ａ２＝－ａ２＋３＝－ａ５＝１３，即ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２．（２）因为Ｓ２００４＝Ｓ６·３３４＝０，又根据已知条件得ａ３＝ａ２－ａ１，即ａ１＝ａ２－ａ３，所以Ｓ２００６＝Ｓ２００４＋ａ２００５＋ａ２００６＝Ｓ２００４＋ａ１＋ａ２＝ａ１＋ａ２＝（ａ２－ａ３）＋ａ２＝２ａ２－ａ３＝２×１３－ａ３③又因为ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２，所以②式变为１８４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝ａ１＋ａ２＋ａ３－ａ１－ａ２＝ａ３④再用④式代入③得Ｓ２００６＝２×１３－１８４＝－１５８．责任编辑罗峰５８。
高中数学函数周期知识点总结最新
高中数学函数周期知识点总结最新知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。
下面小编给大家分享一些高中数学函数周期知识点总结最新，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学函数周期知识点总结一、重要结论1、f(x+a)=f(x)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数f(x+a)=f(x-a)，则是以T=2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=2a为周期的周期函数。
7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=4a为周期的周期函数。
8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。
9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。
10、函数y=f(x)x∈R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a<b都对称，则函数是以2(b-a)为周期的周期函数;< p="">11、函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x) p="" 是以4(b-a)为周期的周期函数;12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。
13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。
函数的周期性与函数的图象(最全解析版)
八、函数的周期性㈠ 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3、图象的对称性 一个函数的对称性：1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
周期函数知识点总结
周期函数知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数。
在数学上，如果存在一个正数T，对于所有实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就被称为周期函数，而T被称为函数的周期。
简单来说，如果以某个固定的间隔T，函数值会重复出现，则该函数是周期函数。
周期函数的周期并不是唯一的，存在多个周期的正整数倍也是周期。
周期函数的周期通常记作T。
二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数在每个周期内具有相同的性质，即满足f(x+T) = f(x)。
2. 周期的加法性：如果函数f(x)的周期为T1，函数g(x)的周期为T2，则函数f(x)g(x)的周期为T1和T2的最小公倍数。
3. 周期函数的奇偶性：若f(x)为周期函数，则它可以是奇函数、偶函数或者既非奇又非偶。
4. 周期函数的连续性：周期函数可以在周期内连续，也可以在周期的边界处不连续。
5. 周期函数的有界性：周期函数可以是有界函数，也可以是无界函数。
三、周期函数的图像周期函数的图像通常以周期为一个完整周期的图像展现。
其图像特点可以通过周期函数的性质进行推断。
1. 若函数f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)为有界函数，则其图像在一定范围内波动，不会趋于无穷。
四、常见周期函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其周期为2π。
正弦函数在周期内呈现周期性波动，其图像为一条类似正弦曲线的波动函数。
2. 余弦函数：y = cos(x)，其周期为2π。
余弦函数也呈现周期性波动，其图像为一条类似余弦曲线的波动函数。
3. 正切函数：y = tan(x)，其周期为π。
正切函数在周期内也呈现周期性波动，其图像为一条类似正切曲线的波动函数。
4. 正弦函数的变形函数：y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，称为正弦函数的变形函数。
这类函数在正弦函数的基础上进行了挤压、平移和拉伸等变换。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解8 函数的周期性
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第8讲 函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设()f x 的定义城为D ,若对x D ∀∈,存在一个非零常数T ,有()f x T +()f x =,则称函数()f x 是一个周期函数,称T 为()f x 的一个周期.2.若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么(2)()f x T f x T +=+()f x =,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期.3.最小正周期:若T 为()f x 的一个周期,(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数()f x C =就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论结论一、()()(0)f x a f x a ±=≠型()()(0)()f x T f x T y f x ±=≠⇔=的周期为T .(,0)kT k k ∈≠Z 也是函数的周期.【例1】定义在R 上的函数()f x 满足:(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,()f x =2(2)x -+;当13x -<…时,()f x x =,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【答案】C【解析】因为(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,2()(2)f x x =-+;当13x -<…时,()f x x =, 所以(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)f f f f f f f f ===-=-=-==-1,(6)(0)0f f =-==, 所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f +++++=,因为(6)f x +()f x =,所以()f x 的周期为6, 所以(1)(2)(3)(2019)336(1)(2)(3)338f f f f f f f ++++=+++=.故选C .【变式】函数()f x 的定义域为R ,且()(3)f x f x =-,当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（）A ．671B ．673C ．1343D ．1345【答案】D【解析】因为()(3)f x f x =-,所以(3)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为3的周期函数. 又当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+, 所以(1)(2)(3)(2)(1)(0)1012f f f f f f ++=-+-+=++=,所以(f +(202)f ffff fff =⨯++++=⨯++134411345=+=.故选D .结论二、()()f x a f x +=-型()()()f x a f x y f x +=-⇔=的周期为2T a =.【例2】已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(5)()f x f x +=-,当(0,5)x ∈时, 2()f x x x =-,则(2016)f =（）A ．12-B ．16-C ．20-D ．0【答案】A【解析】因为(5)()f x f x +=-,所以(10)(5)(),()f x f x f x f x +=-+=的周期为10, 因此(2016)(4)(4)(164)12f f f =-=-=--=-.故选A .【变式】设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,且3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,若(1)2f >-,3(2017)f m m =-,则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(,1)(0,3)-∞C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(0,3)【答案】B【解析】因为3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3(3)()2f x fx f x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,即()(3)f x f x =+, 所以f (x )是周期为3的函数，所以f (2017)=f (1)=3m m -，又f (1)>-2，所以3m m -+>-2,所以223m m m--＜0,所以m (m +1)(m -3)<0,所以m <-1或0<m <3.故选B. 结论三、f (x +a )=f (x ±b )型f (x +a )=f (x -b ) ⇔y =f (x )的周期为T =a +b . f (x +a )=f (x +b ) ⇔y =f (x )的周期为T =b -a .【例3】已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时f (x )=x 3-1,当-1≤x ≤1时，f (-x )＝-f (x ),当x >12时，f (x -12)=f (x +12)，则f (6)=（）.A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】A 【解析】因为当x >12时，f (x -12)=f (x +12) ⇒T =1，所以f (6)=f (1)=-f (-1)＝-(-1-1)=2.故选A. 【变式】已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )+f (-x )=0，f (x -1)=f (x +1)，当x ∈(0, 1)时，f (x )=-x 2+x ，则函数f (x )的最小值为（）A .14B. 14-C. 12-D.12【答案】B【解析】由f (x −1)=f (x +1)可得f (x )是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。
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解疑周期函数的定义域与周期
2010.04
提出问题：f(x)=sinx (x>0)是周期函数吗？；周期函数定义域是R 吗？若T 是f(x)的周期，那么kT(k 属于Z ）必是f(x)的周期吗？
首先明确：一、有限区间、无限区间；二、非空数集的有界、无界与确界；三、再解疑周期函数的定义域与周期；四、教师参考．探讨如下
一、有限区间、无限区间：
1.有限区间：= 开区间；= 闭区间；
半开(半闭)区间.
2.无限区间：= ； ；；；. 二、非空数集的有界、无界与确界
1.上界、上确界： 设A 为R 中的一个非空数集．若存在实数M ，使得对一切x A ∈，都有x M ≤, 则称M 为数集A 的上界。
所有上界中最小的一个叫数集A 的上确界。
2.下界、下确界: 设A 为R 中的一个非空数集．若存在实数M ，使得对一切x A ∈，都有x M ≥, 则称M 为数集A 的下界。
所有下界中最大的一个叫数集A 的下确界。
3. 非空数集有界：设A 为R 中的一个非空数集，若数集A “有上界且有下界”, 则称数集A 有界。
如
有限区间类：()[)(][],;,;,;,a b a b a b a b 。
间断类型：()[)(][]1,24,5;1,25,6
4. 非空数集无界：设A 为R 中的一个非空数集，若数集A “无上界或无下界”, 则称数集A 无界。
（A 无界含有三种情况：无上界；无下界；无上界且无下界。
）如
无限区间类: ()(]()[)(),;,;,;,;,a a a a -∞-∞+∞+∞-∞+∞
间断类型：()[)(][],24,5;1,25,-∞+∞;,2x x k k N ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭; ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
注意：函数的定义域是非空数集应分有界与无界两类。
即有限区间双侧有界，间断双侧有界；无限区间单侧无界，无限区间双侧无界，间断单侧无界与间断双侧侧无界。
（定义域分为有限区间与无限区间不确切）
三、 函数的定义域与周期
1.周期函数的定义（旧人教、新课标版一样）：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x 取定义域内每一个值时， 都有f(x+T) = f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T 就叫这个函数的周期。
若所有周期Ｔ中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。
注意：①定义中“存在常数T≠0”,其意是可存在正数T ，也可存在负数T ，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。
②定义中“x 取定义域内每一个值”时，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。
结论：⑴其实有周期函数定义和注意①②不难得出周期函数的定义域有不同的三种形式，：定义域左侧无界；定义域右侧无界；定义域双侧无界。
（定义域为左侧无限区间；定义域为右侧无限区间；定义域双侧无限区间；不妥因由间断）。
⑵周期T 有不同的三种形式形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期。
举例如下
例1：()sin (0)f x x x => 解：周期Ｔ＝2π。
无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。
例２：()sin (0)f x x x =< 解：周期Ｔ＝－2π。
无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。
例3：()sin ()f x x x R =∈ 解：周期Ｔ＝2π。
有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例4()tan (0,,)2f x x x x k k Z ππ=>≠+
∈ 解：周期Ｔ＝π。
无负周期，定义域
右侧无界，有最小正周期。
例5: ()tan (0,,)2f x x x x k k Z π
π=<≠+∈ 解：周期Ｔ＝－π。
无正周期，定
义域左侧无界，无最小正周期。
例6: ()tan (,)2f x x x k k Z ππ=≠+
∈ 解：周期Ｔ＝π。
有正负周期，定义域双
侧无界，有最小正周期。
例7: ()()f x C x R =∈ 解：任意Ｔ0≠都是周期。
有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。
例8: [](),f x C x a b =∈ 解：非周期函数。
例9:f(x)=0,x 为整数 解：周期Ｔ＝1。
有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例10lgsin （x ） 解：周期Ｔ＝2π。
有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例11克雷Dirichlet 函数1(()0(x f x x ⎧=⎨⎩为有理数）为无理数）
解：周期为任意Ｔ0≠实数。
有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。
2. 周期函数性质：①T 是函数f(x)的周期，则对于任意的正整数k ∈N ＊，kT 是f(x)的周期。
应该把那个k ∈Z 改成k ∈N ＊.
②若12,T T 都为函数f(x)的周期，且120T T +≠，则12T T +也是f(x)的周期.
注意：T 是函数f(x)的周期，则对于任意的整数()0k k z ≠∈，kT 是f(x)的周期不正确。
四、教师参考
为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪？其原因是中学与大学教材定义不一样。
1. 大学周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x 取定
义域内每一个值时，都有f(x±T)=f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T
就叫这个函数的周期。
若所有周期Ｔ中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。
结论：⑴定义域双侧无界。
⑵周期T：有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期。
性质：此时周期函数的性质可变为：
(1) 若T是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
(2) 若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期，其中k是非零整数；
(3) 若T1、T2是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期；
(4) 若T是f(x)的最小正周期，则f(X)的所有周期组成的集合为{t|t=kT,k∈Z, k≠0}；
(5 若f(x)是周期函数，则f(x)的定义域一定是双侧无界的。
2. 严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。
因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷，而且还可能会有一些奇怪的例子，很不符合最初的观念。
2010.04.17。