函数的定义域与值域 知识点与题型归纳
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
函数的定义域和值域知识点总结
函数定义域的几种求法：一、已知复杂函数，求f（x）例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域总结：二、已知简单函数f(x)，求复杂函数例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域总结：三、综合一和二，求函数的定义域例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域四、当定义域为R时，求未知数的取值范围例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围²总结：函数值域基本初等函数的定义域和值域1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]函数值域的常用方法：一、利用简单函数值域求复杂函数值域例1．求函数y=-1的值域解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)例8.求函数y=的值域²三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定例9．求函数y=²的值域²解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0当y=0时，显然不成立；当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)所以函数y=²的值域为[-,2）²。
求函数定义域、值域、对应关系(知识点+例题)pdf版
2
2
综上 1 y 1 ．
2
2
答案：[ 1 , 1 ] 22
（6）单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域．
例 17 求函数 y 4x 1 3x 的值域．
解析：由解析式知1 3x 0 ，即 x 1 3
4x 单调递增， 1 3x 也递增，则 y 4x 1 3x 在定义域内单调递增
x3
x3
答案：{y | y 2}
（5）判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程，通过方程有实根，判别式 0 ，从而 求得原函数的值域．
例 15
求函数
y
3x x2
4
的值域．
解析：将函数化为 yx2 3x 4y 0
原函数有意义，等价于此方程有解
y 0 时， x 0 有解符合题意
y 0 时，判别式 9 16y2 0 ，解得 3 y 0或0 y 3
{x | x 0}
R 决定 [1,1] [1,1]
R (, 2 k ) (2 k , )
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．
（1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为 0；
②偶次根式的被开方数大于等于 0；
③零次幂底数不为 0；
④对数的真数大于 0；
例 21 已知 f ( 2 1) lg x ，求 f (x) 的解析式． x
解析：令 2 1 t ，则 x 2 且 t 1
x
t 1
带入原式得 f (t) lg 2 (t 1) t 1
f (x) lg 2 (x 1) ． x 1
答案： f (x) lg 2 (x 1) x 1
例 22 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式．
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。
函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。
定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。
根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。
1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。
2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。
对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。
3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。
对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。
指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。
在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。
2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。
4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。
在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。
2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。
3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。
4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。
接下来，我们来讨论函数的值域。
值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。
函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。
确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
根据幂函数的定义域与值域知识点及题型归纳总结
根据幂函数的定义域与值域知识点及题型归纳总结幂函数是一种常见的数学函数形式。
它的一般定义为：$f(x) =a^x$，其中$a$是一个实数且$a \neq 0$。
根据幂函数的定义域与值域的知识点，我们可以得到以下总结和题型归纳。
定义域幂函数的定义域取决于底数$a$的正负情况：- 当$a > 0$时，定义域为$(-\infty, +\infty)$，即实数集；- 当$0 < a < 1$时，定义域为$(-\infty, +\infty)$，即实数集；- 当$a < 0$时，定义域为$x \in R$，即实数集。
值域幂函数的值域取决于底数$a$的正负情况和幂指数$x$的奇偶性：- 当$a > 0$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(-\infty, +\infty)$。
- 当$0 < a < 1$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(0, 1)$。
- 当$a < 0$时：- 当$x$为偶数时，值域为$(0, +\infty)$；- 当$x$为奇数时，值域为$(-\infty, 0)$。
题型归纳在幂函数的相关题目中，常见的题型有：1. 求定义域和值域：根据幂函数的定义域和值域的规律，结合给定的底数$a$和幂指数$x$，求出幂函数的定义域和值域。
2. 求幂函数的图像：根据幂函数的定义域和值域的规律，绘制出幂函数的图像，包括凹凸性、渐近线等特征。
3. 幂函数的性质：探究幂函数的性质，如对称性、增减性、极值点等。
4. 幂函数的应用：应用幂函数解决实际问题，如人口增长模型、物体的增长衰减模型等。
总结幂函数是一种常见的数学函数形式，其定义域和值域取决于底数$a$的正负情况以及幂指数$x$的奇偶性。
掌握幂函数的定义域和值域的知识点，可以帮助我们解答相关的题目，理解幂函数的性质，以及应用幂函数解决实际问题。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的世界里，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。
为了更好地理解函数，让我们通过一些例题来深入探究，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个非空数集 A，按照某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
我们用符号 y ＝ f(x)来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
二、函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。
解析式法就是用数学式子表示两个变量之间的对应关系，比如 y ＝2x ＋ 1 。
列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，比如在一定范围内，给出 x 的值和对应的 y 的值。
图象法是用图象来表示两个变量之间的对应关系，比如画出函数 y＝ x²的图象。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量 x 的取值范围，而值域则是因变量 y 的取值范围。
例如，对于函数 y ＝ 1/x ，其定义域为x ≠ 0 ，值域为y ≠ 0 。
确定函数定义域时，需要考虑以下几点：1、分式的分母不为零。
2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数函数的真数大于零。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减的性质。
如果对于区间 I 内的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 I 上是减函数。
例如，函数 y ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。
五、函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
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了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.
一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一常见基本初等函数的定义域
注意：
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！
2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R
(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）
三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为
{|,,}2
∈≠+∈x x R x k k Z π
π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
知识点二 基本初等函数的值域
注意：
值域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .
(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：
当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2
4a
}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2
4a
} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}
(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}
(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .
（补充）三角函数中
正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 《名师一号》P15 知识点二
函数的最值
注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．
1、温故知新P11 知识辨析1（2）
函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ）
答案：正确
2、温故知新P11 第4题
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函数(]()
1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭C (].2,0-D
答案：D
注意：牢记基本函数的值域
3、温故知新P11 第6题
函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）
[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D
答案：A
注意：图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析：
（一)函数的定义域
1．据解析式求定义域
例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (2014·山东) 函数()
=f x 为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞)
解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，
解得x >2或0<x <12
. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）
函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3
的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]。