函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一常见基本初等函数的定义域

注意：

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！

2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R

(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)

(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）

三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为

{|,,}2

∈≠+∈x x R x k k Z π

π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．

知识点二 基本初等函数的值域

注意：

值域必须写成集合或区间的形式！！！

(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .

(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2

4a

}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2

4a

} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}

(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .

（补充）三角函数中

正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 《名师一号》P15 知识点二

函数的最值

注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3

函数最值与函数值域有何关系？

函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．

1、温故知新P11 知识辨析1（2）

函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（ ）

答案：正确

2、温故知新P11 第4题

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函数(]()

1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝

⎭C (].2,0-D

答案：D

注意：牢记基本函数的值域

3、温故知新P11 第6题

函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）

[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D

答案：A

注意：图像左右平移没有改变函数的值域

二、例题分析：

（一)函数的定义域

1．据解析式求定义域

例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (2014·山东) 函数()

=f x 为( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12∪[2，＋∞)

解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，

解得x >2或0

. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）

函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3

的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]