映射，函数定义域，值域 解题办法归纳
函数的映射知识点总结
函数的映射知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。
2. 函数的定义设A和B是非空的两个集合，如果对于每一个a∈A，都存在唯一的b∈B与之对应，这个对应关系就叫做从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。
x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质(1) 函数的值域函数f的值域是指函数值y的取值范围，也就是集合B中所有的可能的y的值。
(2) 函数的定义域函数f的定义域是指函数变量x的取值范围，也就是集合A中所有的可能的x的值。
(3) 一一对应函数若函数f中不同的x对应不同的y，且每一个y都能找到唯一的x与之对应，这样的函数称为一一对应函数。
(4) 反函数如果函数f是一个一一对应函数，那么就存在一个逆映射f⁻¹，它将y映射回x。
(5) 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
(6) 单调函数若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)或者f(x1)＞f(x2)，则称函数f在定义域内是单调的。
二、函数的表示和运算1. 函数的图像表示函数的图像是自变量和因变量构成的平面点集在直角坐标系中的几何图形。
2. 函数的解析表示函数的解析表示是指用一个式子或者公式来表示函数，例如y=x²。
3. 函数的运算(1) 函数的和、差、积、商给定函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商分别记作(f+g)(x)、(f-g)(x)、(f*g)(x)、(f/g)(x)。
(2) 复合函数如果y=f(u)，u=g(x)，那么复合函数h(x)=f(g(x))。
(3) 反函数运算如果函数f是一个一一对应函数，那么它的逆映射f⁻¹的运算是求f⁻¹(y)。
三、常见的函数类型1. 一次函数一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b是常数，k≠0。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域是指所有输入值的集合，也就是函数可以接受的所有输入。
值域是函数所有可能的输出值的集合，也就是函数可以得到的所有输出。
在求函数的定义域和值域时，一般需要注意以下一些常用的方法和技巧：1.分析函数的显式定义式：如果函数的显式定义式直接给出了函数的定义域和值域，那么问题就迎刃而解了。
例如，定义域是实数集合，值域是区间(0,∞)的函数，可以通过观察定义式得出。
2.求解方程或不等式：通过求解方程或不等式，可以确定函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x-2)，需要解方程x-2≥0，得到x≥2，即定义域为[2,∞)。
对于函数g(x)=1/x，需要解方程x≠0，得到定义域为(-∞,0)∪(0,∞)。
对于值域，可以通过类似的方式求解不等式或方程得到。
3.观察函数的图像：通过观察函数的图像，可以大致判断函数的定义域和值域。
函数在图像上的取值范围和横坐标的取值范围可以提供一些线索。
例如，对于函数f(x)=x^2，通过观察图像可以看出它的定义域为实数集合，值域为[0,∞)。
4.分解复合函数：当函数是由两个或多个函数复合而成时，可以通过分解复合函数的方式求解定义域和值域。
例如，对于函数f(x)=√(3-x^2)，可以将其分解为两个函数f(x)=√(3-y)和g(y)=y^2，然后分别求解其定义域和值域。
5. 推导函数的性质和特点：有时候可以根据函数的性质和特点来推导其定义域和值域。
例如，对于比例函数 f(x) = kx，由于比例函数在定义域上的取值范围是全体实数，所以比例函数的值域也是全体实数。
需要注意的是，函数的定义域和值域是相互依存的。
函数的定义域决定了可以输入什么值，而函数的值域决定了可以输出什么值。
因此，在求解函数的定义域和值域时，需要综合考虑函数定义式、方程和不等式的求解、函数图像的观察、复合函数的分解以及函数的性质和特点等多个方面的信息。
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
必修一专题：定义域、值域解析式求法(经典题型全面)
专题：函数的定义域、值域、解析式的求法一、定义域 128)(2++=x x x f 43-)(2++=x x x f 143)(2+--=x x x x fx y 311l o g 7-= 抽象函数的定义问题1. 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数()12+x f 的定义域为2.已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是二、值域1、直接法：1y =+12+=x yy =2.二次函数223y x x =+- ()x R ∈ 223y x x =+-[1,2]x ∈242y x x =-++[1,1]x ∈-3.分离常数法：132x y x -=- 4.换元法：2y x =+0()f x =)2(log 221x y -=1x x y -+=三．解析式的求法1、配凑法23)1(2+-=+x x x f 221)1(xx x x f +=+ 2.换元法x x x f 2)1(+=+ 11)11(2-=+xx f 3.待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4.赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
例2：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．5、构造方程组法1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x2.设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
函数定义域值域求法总结
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
练习：
已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
若 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
已知函数 的定义域为Ａ，函数 的定义域为Ｂ，则（ ）
Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ．
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
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一种特殊的对应：映射
（1） （2） （3） （4）
1．对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f ： A B 集合A 到集合B 的映射。
6．讲解：象与原象定义。
再举例：1︒A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 2︒A =N + B ={0,1} 法则：B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3︒A =Z B =N * 法则：求绝对值 不是映射（A 中没有象）
4︒
A ={0,1,2,4} B
={0,1,4,9,64} 法则：f ：
a
b =(a -1)2 是映射
一一映射
观察上面的例图（2）得出两个特点：
1︒对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
2︒集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。
从映射的观点定义函数（近代定义）：
1︒函数实际上就是集合A 到集合B 的一个映射 f ：A B 这里 A , B 非空。
2︒A ：定义域，原象的集合
B ：值域，象的集合（
C ）其中C ⊆ B f ：对应法则 x ∈A y ∈B
3︒函数符号：y =f (x ) —— y 是 x 的函数，简记 f (x )
函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1．3
)
5)(3(1+-+=
x x x y
52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同
2。
111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同 3。
x x f =)( 2
)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同
4．
x x f =)( 33
)(x x F = 解：是同一函数
5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同
关于复合函数
设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。
f [g (x )]=2(x 2+2)-3=2x 2+1 g [f (x )]=(2x -3)2+2=4x 2-12x +11
例：已知：f (x )=x 2
-x +3 求：f (
x
1
) f (x +1) 解：f (x 1)=(x 1)2-x
1
+3 f (x +1)=(x +1)2-(x +1)+3=x 2+x +3
1. 函数定义域的求法
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
● 指数式的底数大于零且不等于一；
● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
● 正切函数tan ...(,,)
2
y x x R x k k π
π=∈≠+
∈Z 且
● 余切函数cot y x =
(),,x R x k k π∈≠∈Z 且
● 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是
[,]22ππ
-
，
函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是
(,)22ππ
-
，
函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 注意，
1. 复合函数的定义域。
如：已知函数()f x 的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)F x f x f x =-+-的定义域。
1(1,3)2(1,3)x x -∈⎧⎨
-∈⎩
2.函数
()
f x的定义域为(,)
a b,函数()
g x的定义域为(,)
m n,
则函数
[()]
f g x的定义域为
()(,)
(,)
g x a b
x m n
∈
⎧
⎨
∈
⎩，解不等式，最后结果才是
3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数
(1)
f x-的定义域为(1,3),求函数()
f x的定义域；或者说，已知函数(1)
f x-的定义域为(3,4),
则函数
(21)
f x-的定义域为______?
2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
（1）、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例 求函数
1
,[1,2]y x x =
∈的值域
（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数
2
25,y x x x R =-+∈的值域。
（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:
.1
12..2
22
22222
b
a y 型：直接用不等式性质k+x
bx
b. y 型,先化简，再用均值不等式
x mx n
x 1 例：y 1+x x+x
x m x n c y 型 通常用判别式
x mx n x mx n
d. y 型
x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1
例：y （x+1）1211
x 1x 1x 1=
=++==≤
''
++=++++=+++-===+-≥-=+++
4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数
34
56x y x +=
+值域。
346456345635x y y xy y x x x y +-=
⇒+=+⇒=+-,分母不等于0,即35y ≠
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数
11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=
+的值域。
110
11
2sin 11|sin |||1,
1sin 22sin 12sin 1(1cos )
1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11
即又由解不等式，求出，就是要求的答案
x x x e y y e y e y y y y y y y
x y x x y θθθθθθθ
θθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=
+≤≤
10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例
求函数
y =
的值域
2011
202
2012
时，时，=00y x y y x y y =
+≠==+≥⇒<≤
+=∴≤≤
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。